capitulo5 cisalhamento
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CAPÍTULO 5:CISALHAMENTO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
� Hipóteses Básicas:
� a) As tensões de cisalhamento τsão admitidas paralelas à força de cisalhamento V, portanto paralela a “y’’.
� b) As tensões τ não variam ao longo da largura da seção, e sim na altura.
� c) As tensões normais σ não ficam afetadas pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento.
<4
1
h
b
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
� Analisando o elemento, vemos que existem tensões de cisalhamento horizontais agindo entre as camadas horizontais.
� Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem forças de cisalhamento na superfície da barra.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento horizontais agindo entre camadas da viga.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Modelo de cálculo:
zI
yM ⋅−=1σ
( )zI
ydMM ⋅+−=2σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� A face superior da barra está livre de tensões de cisalhamento.
� A face de baixo é submetida a tensões de cisalhamento τ.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mpm1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τpara equilibrar.
� As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o equilíbrio na direção x.
� Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1:
dAI
yMdAF
z
⋅⋅=⋅= ∫∫ 11 σ
( )dA
I
ydMMdAF
z
⋅⋅+=⋅= ∫∫ 22 σ
onde y varia de y1 até h/2.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x:
123231 0 FFFFFF −=∴=−+
∫ ⋅⋅= dAyI
dMF
z3
( )dA
I
ydMdA
I
yMdA
I
ydMMF
zzz
⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+= ∫∫∫3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� F3 também pode ser vista em função da tensão τ:F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior
do elemento.
� Logo:
∫∫ ⋅⋅⋅
⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ dAyIbdx
dMdAy
I
dMdxb
zz
1 ττ
neutra. linha a relação em
sombreada área da Estático Momento
tocisalhamen de força :onde
→=⋅
→=
∫ sMdAy
Vdx
dM
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Com essa notação temos:
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
toCisalhamen de Fórmula →⋅⋅=
z
s
Ib
MVτ
� Observações:� V, b e Iz são constantes em uma seção.
� Ms varia com a distância y1.� Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os
elementos como valores positivos, pois sabemos que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular
( )22
22
1
11 2
h
y
h
y
h
ys
ybdybydAyM
⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫
−⋅=
−⋅= 2
1
221
2
4228y
hbyhbM s
−⋅⋅
⋅=
⋅⋅= 2
1
2
42y
hb
Ib
V
Ib
MV
zz
sτ
−⋅
⋅= 2
1
2
42y
h
I
V
z
τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular
� Variação quadrática com a distância y1.
−⋅
⋅= 2
1
2
42y
h
I
V
z
τ
A
V
I
hVy
zmáx ⋅
⋅=⋅⋅=→=
2
3
8 0 para
2
1 τ
0 2
para 1 =→= τhy
Pro
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omel
Dia
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ande
rlei
5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular
� Não podemos assumir que as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y.
� Em um ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente.
� As tensões de cisalhamento na Linha Neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como: paralelas a y e intensidade constante ao longo da largura.
Pro
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular
� Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de cisalhamento:
z
smáx Ib
MV
⋅⋅=τ
� Onde:
4
4rI z
⋅= π3
2
3
4
2
32 rrryAMs
⋅=
⋅⋅⋅
⋅=⋅=π
π
rb ⋅= 2
2
3
4 3
4
3
24
2 r
Vr
rr
Vmáx ⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅
=ππ
τA
Vmáx ⋅
⋅=3
4τ
Pro
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s V
ande
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular
� Para seção circular vazada:
( )41
424
rrI z −⋅= π
( )31
323
2rrMs −⋅=
( )122 rrb −⋅=
++⋅+⋅
⋅⋅=
⋅⋅=
21
22
2112
22
3
4
rr
rrrr
A
V
Ib
MV
z
smáxτ
Pro
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Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira mostrada, determine o máximo valor para P se a tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para tração e compressão) e a tensão admissível para cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa. Desconsidere o peso próprio.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
P
0,5m 0,5m
P
100mm
150mm
Pro
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Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 1
� a) Diagrama de Esforços Internos:
A C D B
P
PD.E.C.
A C D B
0,5PD.M.F.
� Cisalhamento � trecho AC e DB� Flexão Máxima � trecho CD
Pro
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s V
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Exemplo 1
� b) Características geométricas:
222
3 3756
1510
62
cmhb
hI
W =×=⋅==
21501510 cmhbA =×=×=
WMW
Madmmáxadm
máxmáx ⋅=⇒≤= σσσ
3
2
2
3 admmáxadm
máxmáx
AV
A
V τττ ⋅⋅=⇒≤⋅
⋅=
� c) Carga Máxima:
Pro
f. R
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Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 1
5,0
103751011
5,0
66 −⋅×⋅=⋅= WP adm
flexão
σ
KNPflexão 25,8=
3
102,1101502
3
2 64
.
⋅×⋅×=⋅⋅=−
admcisalh
AP
τ
KNPcisalh 12=
Pro
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s V
ande
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� Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam ultrapassadas as seguintes tensões:
7..;70).( == SCMPaTRuptσ
8..;56).( == SCMPaCRuptσ
MPaadm 2,1=τB
40kN/m
A
4m2m
30kN
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Pro
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s V
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Exemplo 2
� a) Tensões admissíveis:
MPaSC
TRuptTadm 10
7
70
..).(
)( ===σ
σ
MPaSC
CRuptCadm 7
8
56
..).(
)( ===σ
σ
kNRVA 125=kNRVB 65= D.E.C.
A C B
3065
95� b) Seções críticas:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 2
� Trecho :AC
( )xV −⋅+−= 64065
mxxV 375,4040175 =⇒=⋅−=
mKNM A .60230 −=×−=
( ) ( )mKNMC .81,52
2
375,4640375,4665
2
=−×−−×=
� Seções críticas: A e C
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Tensões Normais Máximas:
� Seção A:
)(Cadmz
A
I
rM σ≤⋅
⇒⋅≤⋅
×⋅ 64
3
107
4
1060r
r
πmr 222,0≥
Exemplo 2
rCC 21 ==z
A
I
rM ⋅== 21 σσ
Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� d) Tensão de Cisalhamento Máxima:
admmáx
máx A
V ττ ≤⋅
⋅=3
4
mr 183,0≥
62
3
102,13
10954 ⋅≤⋅×⋅×rπ
⇒≥ mr 22,0 cmr 23=
Exemplo 2
Logo,
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� As tensões de cisalhamento nos flanges da viga atuam em ambas as direções, verticais e horizontais.
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange
Alma
Mesa ou Flange
Mesa ou Flange
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange
� As tensões de cisalhamento na alma de viga de flange largo são verticais e são maiores que as tensões nos flanges.
� Devido a complexidade da distribuição das tensões de cisalhamento no flange, iremos considerar apenas as tensões agindo na alma da viga.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef.
z
s
Ib
MV
⋅⋅=τ onde b = t e Ms é da área sombreada
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Momento Estático da área sombreada.
−⋅=221
1
hhbA
222
2
11
1
hhhy
−+=
−⋅= 11
2 2y
htA
22 1
1
12
yh
yy−
+=
( ) ( )21
21
21
22211 4
88yh
thh
byAyAM s ⋅−⋅+−⋅=⋅+⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Logo:
( ) ( )[ ]21
21
21
2 48
yhthhbIt
V
It
MV
zz
s ⋅−⋅+−⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅=τ
( ) ( )31
31
331
3
12
1
1212hthbhb
htbhbI z ⋅+⋅−⋅⋅=⋅−−⋅=onde:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e Mínimas
� τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0.
� τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2.
� Logo:
[ ]
[ ]21
2
21
21
2
8
8
hhIt
V
hthbhbIt
V
zmín
zmáx
−⋅⋅⋅
=
⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅
=
τ
τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma
� A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento e os flanges são superponíveis por uma pequena parcela.
( )mínmáxalma
htV ττ +⋅⋅⋅= 2
31
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange
� Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção transversal em T. Pede-se para determinar a tensão de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento a 3 cm da borda superior da viga, na seção de engastamento.
50kN
2m 25cm
5cm
5cm
45cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 3
� a) Centróide e Momento de Inércia:
cmA
Ayy 57,18
1
11 =⋅
=∑∑
( ) 42'
4,88452 cmdAII iizz=⋅+=∑25cm
5cm
5cm
45cm
x
y
zy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 3
� b) Diagrama de Esforço Cortante:
kNVmáx 50=
50kN
+
D.E.C.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 3
� c) Tensão de Cisalhamento Máxima:
z
s
Ib
MV
⋅⋅=τ
( )43,3152
43,311 ××=⋅= AyMs
361,2469 cmM s =
=××= −−
−
82
63
10.4,8845210.5
10.61,246910.50máxτ MPa79,2
25cm
5cm
5cm
45cm
z
y1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 3
� d) Tensão a 3 cm de borda superior:
( ) ( )3
1
9,448
355,143,31
cmM
AyM
s
s
=
××−=⋅=
=×
×= −−
−
82
63
10.4,8845210.5
10.9,44810.50máxτ MPa51,0
z
25cm
5cm
5cm
45cmy1
3cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m.
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange
q
A B
a aa
D EC
aq aq aq
a
10cm5 5
20cm
55
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 4
� a) Centróide e Momento de Inércia:
cmy
cmx
15
10
==
12
2010
12
3020 33
.)(int(ext.)
×−×=−= zzz III
433,333.38 cmI z =
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 4
� b) Esforços internos máximos:RVB = 4,5q e RVD = 3,5q
qM B ⋅−= 4 qqqM C −=+⋅−= 78 qM D ⋅−= 4
Logo: qM máx ⋅−= 4 qVmáx ⋅= 5,2
Seções críticas: B, C e D.
2q
2,5q
0,5q
1,5q
2q
- -
+ +
A B C D E
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 4
� c) Verificação da σadm:
MPaI
eMadm
z
1021 =≤⋅== σσσ
⇒⋅≤⋅
×⋅⋅−
−6
8
2
10101033,38333
10154 qmkNq /39,6≤
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 4
� d) Verificação da τadm:
3175010102
101520
2
15cmMMM sises =
××−
××=−=
682
6
105,11033,383331010
1017505,2 ⋅=≤⋅×⋅
⋅×⋅=⋅⋅= −−
−
admz
smáxmáx
q
Ib
MV ττ
mkNq /14,13≤
Logo: mkNq /3,6=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.4 Fluxo de Cisalhamento
∫ ⋅⋅= dAyI
dMF3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.4 Fluxo de Cisalhamento
� Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga.
∫ ⋅⋅⋅== dAyIdx
dM
dx
Ff
13
Vdx
dM = sMdAy =⋅∫
I
MVf s⋅=
onde:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.4 Fluxo de Cisalhamento
� Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de 280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento permissível S dos parafusos.
5.4 Fluxo de Cisalhamento
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 5
� a) Centróide e Momento de Inércia:
mmy
mmx
140
105
==
46
33
.)(int(ext.)
102,26412
200180
12
280210
mmI
I
III
z
z
zzz
×=
×−×=
−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 5
� b) Fluxo de Cisalhamento:
s
F
I
MVf s =⋅=
( ) 331086412018040 mmdAM fflanges ⋅=××=⋅=
mmNf /3,34102,264
10864105,106
33
=×
⋅×⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 5
� c) Espaçamento dos parafusos:� Força admissível � F=800N� 2 parafusos por comprimento S � 2F
� Logo:
3,34
800222 ×==⇒=f
FSf
S
F
mmS 6,46=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
zx I
yM ⋅−=σbI
MV
z
s
⋅⋅=τe
PV = xPM ⋅=eCarga no plano de simetria
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
zx I
yM ⋅−=σ
PV = xPM ⋅=eCarga fora do plano de simetria
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
� As tensões de cisalhamento não podem ser
determinadas pela equação , pois a seção
não tem plano de simetria vertical .
� Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da carga P.
bI
MV
z
s
⋅⋅=τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
� Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a carga P tem que ser aplicada em um ponto específico da seção transversal, conhecido como Centro de Cisalhamento (S) .
� O centro de cisalhamento está em um eixo de simetria. Então, em seções duplamente simétricas o Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C) coincidem.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas
� Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S).
� onde “y” e “z” são eixos centroidais.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas
� As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de flexão:
zx I
yM ⋅−=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas
0321 =−− FFF
dxtF ⋅⋅=τ3 ∫∫ ⋅⋅−=⋅=s
z
zs
x dAyI
MdAF
0
1
01 σ
∫∫ ⋅⋅−=⋅=s
z
zs
x dAyI
MdAF
0
2
02 σ
� As tensões de cisalhamento no elemento abcd são obtidas pelo equilíbrio das forças:
� onde:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas
� Assim, obtemos:
∫ ⋅⋅⋅
⋅
−=s
z
zz dAytIdx
MM0
12 1τ
yzz V
dx
dM
dx
MM ==− 12onde: , que é paralela a y e positiva em sentido de P.
tI
MV
z
zsy
⋅⋅
= )(τ ���� Fórmula de CisalhamentoLogo:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas
� As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas.
� τ é constante através as espessura t da parede.
� O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da
tensão τ pela espessura t.
z
zsy
I
MVtf )(⋅=⋅=τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Seção C ou Canal:
� O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de simetria (eixo z).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de cisalhamento variam linearmente nos flanges e parabolicamente na alma.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� A tensão de cisalhamento que atua em um elemento
de seção transversal de área dA = t.ds produz a força
dF = ττττ . dA ou dF = f . ds , e .z
s
I
MVtf
⋅=⋅=τ
dsdA
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� A resultante das forças que age nos flanges AB e DE éa força horizontal F1;
� As tensões que atuam na alma BD vão ter como resultante uma força igual à força cortante V na seção:
∫ ⋅=B
AdsfF1
∫ ⋅==D
BdsfVF2
AB
D E
ds
h
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� As forças F1 provocam um momento em relação ao centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as linhas de centro das mesas. Este momento que éresponsável pela resistência da seção à torção.
� Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V deve ser deslocada para a esquerda de uma distância “e”, de modo que:
( ) hFeV mesa ⋅=⋅ ( )
V
hFe mesa ⋅
=→
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha central da alma BD.
� A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”, representa o Centro de Cisalhamento da seção (S).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� No caso da força P ser inclinada, acha-se as componentes Pz e Py atuando no ponto “S”.
P Py
Pz
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Seções que não possuem nenhum plano de simetria:� Seção Cantoneira:
� A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Força elementar:
,
dsfdF ⋅=
z
s
I
MVf
⋅= sendo
dF
ds
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
∫ ⋅=S
AdsfF1
∫ ⋅=B
SdsfF2
� Forças Resultantes:
F1
F2
A
B
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas
� Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”, deduzimos que a força cortante V da seção deve passar por “S” também.
� O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção, pois a força V não provocará torção, independente da sua direção.
,
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do perfil canal, de espessura uniforme e dimensões:b=100mm, h=150mm e t=3mm.
,
( ) ( )zz
zs
I
htsV
I
MVf 2⋅⋅⋅
=⋅
=
zI
htsVf
⋅⋅⋅⋅=
2
Fluxo de Cisalhamento:
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
t
t
t
AB
DE
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 6
� Força Resultante no flange AB:
,
dssI
htV
I
htsVdsfF
b
z
b
z
B
A ∫∫∫ ⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅=⋅=001 22
z
b
z I
bhtVs
I
htVF
⋅⋅⋅⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
422
2
0
2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Centro de Cisalhamento:
,
zz I
bht
V
h
I
bhtV
V
hFe
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅=⋅=
44
22
flangesalmaz III ⋅+= 2
( )
⋅⋅
+⋅⋅+⋅= tb
hbthtI z 212
212
233
Exemplo 6
( )hbhttbhtbht
I z +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 6122612
2233
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Centro de Cisalhamento:
,( )hbht
tbhe
+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=6
124
2
22
hb
be
+⋅⋅=
6
3 2
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a distribuição de tensões de cisalhamento causada por uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade, aplicada no Centro de Cisalhamento S.b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm.
,
t
t
t
AB
DE
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Tensão no flange AB:
,
zzz
s
I
hsV
tI
htsV
tI
MV
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
22τ
2
htsMs ××=
Exemplo 7
Distribuição Linear
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Tensão em B:
,
( )hbht
I z +⋅⋅⋅= 612
2
( ) ( )hbht
bV
hbht
hbVB +⋅⋅⋅
⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=6
6
612
22τ
( ) =+×⋅×
××=15,01,0615,0003,0
1,08006Bτ MPa422,1
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
,
tI
MV
z
s
⋅⋅=τ
( )hbthh
thh
tbMs +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= 48422
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
,
( )
( )( )( )hbht
hbV
thbht
hbth
V
máx +⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅=
62
43
612
48
2τ
( )( ) =
+××××+×××=
15,01,0615,0003,02
15,01,048003máxτ MPa956,1
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x 120mm pregadas entre si, como mostra a figura. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 30mm e que a força cortante vertical na viga é V = 1200N, determine (a) a força cortante em cada prego, (b) a tensão de cisalhamento máxima na viga.
,
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado, determine a largura b mínima necessária, sabendo que, para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm = 825kPa. ,
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colando-se várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B.,
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN, determine a tensão de cisalhamento nas junta colada (a) em A, (b) em B.
,