Introducción a la Cristalografía y Sistemas CristalinosEscrito por Mike Howard - Ilustrado por Darcy Howard

(Traducción al español :Juan José Palafox Reyes; colaborador Porfirio Sosa.Universidad de Sonora, México)

La cristalografía es una división fascinante del estudio de la mineralogía. Incluso los no-coleccionistas pueden tener una gran apreciación por los cristales individuales desarrollados y hermosamente simétricos, como aquellos de pirita, de España, y grupos de cristales como el cuarzo de Arkansas o turmalina de California; y pensar que dichos cristales vienen de la Tierra por lo que resulta sorprendente para muchos. La persona no especialista no ha tenido oportunidad de aprender sobre cristales, por que  simplemente  no se le ha presentado dicha oportunidad. Se es pera darle las herramientas para tener una mayor y mejor apreciación de los cristales naturales y sus formas proporcionando algo de teoría para entender  la cristalografía.

Se espera sensibilizar al lector  para una mayor apreciación de cristales naturales y sus formas. La CRISTALOGRAFÍA simplemente es un palabra con un significado elegante:" el estudio de cristales." En alguna ocasión la palabra cristal sólo se refirió a cristal de cuarzo, pero en la actualidad ha asumido una definición tan amplia que incluye a todas las  formas  cristalinas bien expresadas.

La cristalografía puede estudiarse en muchos niveles, pero no importa cómo sea, elemental o a profundidad la discusión del tema que se tenga, siempre será en algo de geometría y más aún en geometría sólida. Pero si se medita sobre lo cotidiano, es clara la evidencia con que se usa la geometría;  cuando se usa el paraguas, cuando se entrega el correo o cuando se trabaja en la computadora . La geometría simplemente trata con  relaciones espaciales.  En dichas relaciones se ha familiarizado, aunque no se ha profundizado. La palabra importante aquí es "familiar". Se trata esta serie de artículos para ayudar a familiarizarse y, por consiguiente estar más cómodo, con la geometría involucrada con el estudio de formas  cristalinas.

La cristalografía se puede dividir en 3 secciones -geométrica, física, y química-. Las dos últimas involucran las relaciones de la forma  cristalina  (geométrica) en las propiedades físicas y químicas de cualquier mineral dado. Aquí se cubrirán los aspectos geométricos más significativos de cristalografía y dejaremos los otros temas para después. No se piensa ser un reemplazo de un  texto de mineralogía, pero si en cambio una introducción al estudio de cristalografía.  Durante y después de leer estos artículos, se querrá probablemente examinar uno o dos libros de texto para estudiar a detalles temas individuales. Recomiendo dos Klein and Hurlbut's Manual of Mineralogy (20th edition, 1985) y Ford's Textbook of Mineralogy (4th edition, 1932). Ambos están basados en publicaciones clásicas de  E. S. Dana.

En cualquier tipo de estudio, allí existe  palabras especiales que resumen  conceptos enteros. Ése es el idioma especial del "experto", si se habla de ingeniería eléctrica, informática, contabilidad, o cristalografía. Hay una manera de aprender algunas de estas definiciones básicas y "leyes". Un CRISTAL es un  forma regular poliédrica, limitada por caras lisas que son formadas por un compuesto químico, debido a la acción de sus fuerzas interatómicas, al pasar, bajo condiciones convenientes, del estado de líquido o gas a  un sólido. Desglosando esa declaración. La forma del poliedro es de un sólido limitado por los planos (se les denomina a estos planos son las CARAS DEL CRISTAL). "Un compuesto químico" dice que todos los minerales son entes químicos que se han formado en la naturaleza. Por último  la mitad de la definición dice que un cristal normalmente se forma durante el cambio de materia del líquido o gas  al estado sólido. En el estado líquido y gaseoso de cualquier compuesto, las fuerzas atómicas que ligan a la materia en el estado sólido, no están presentes. Los líquidos y gases asumen la forma de su recipiente, los sólidos toman  varias formas geométricas regulares. Estas formas pueden subdividirse, usando la geometría, en seis sistemas.

Pero antes de que se pueda empezar a discutir los sistemas individuales y sus variaciones, se trataran otros temas para describir los sistemas cristalinos. Hay también algunas leyes y reglas que se deben de aprender.

En 1669, Nicolás Steno, médico danés y científico naturalista, descubrió una de estas leyes. Examinando numerosos especimenes del mismo mineral, así encontró que, cuando están a la misma temperatura, los ángulos entre las caras de cristales similares permanecen constantes sin tener en cuenta el tamaño o la forma

del cristal. Así, si el cristal creció bajo las condiciones ideales o no, si se comparan los ángulos entre las caras correspondientes en los distintos cristales del mismo mineral, el ángulo permanece constante.Aunque él no supo cual era la causa (no se habían descubierto los rayos x todavía, mucho menos inventado la difracción de rayos x), se sabe ahora, que esto es porque  la estructura atómica de cualquier mineral demuestra que la estructura permanece dentro de determinados límites o relaciones geométricas. Si no es así, entonces por la definición moderna de  mineral,  no se están comparando  dos minerales similares. Ya que se podría estar comparando el polimorfo, pero ciertamente no el mismo mineral (Polimorfos son minerales con la misma composición química, como el diamante y grafito o esfalerita y wurtzita, pero  difiriendo en la estructura atómica y, por consiguiente, cristalizando en  sistemas cristalinos diferentes) la ley de Steno se llama ley de CONSTANCIA DE ÁNGULOS INTERFACIALES tan valida como las leyes de física y química.

Ahora, si se tiene un cristal que no encuadra en los libros de minerales. Lo que se puede tener es una forma de cristal deformada dónde algunas caras pueden ser sumamente secundarias o incluso extrañas. Los cristales deformados son comunes y son el resultado de menos espacio para el crecimiento ideal lo que condiciona  la fractura o la recristalización del mineral. Sin embargo, recuerdese que se deben comparar los ángulos entre las caras similares. Si las caras no están presentes, entonces no se puede compararlas. En muchos cristales se tratan de una forma final determinada por la relaciones de los enlaces atómicos.

Durante el proceso de cristalización en el ambiente apropiado, los cristales asumen distintas formas geométricas dependientes de la clasificación de su estructura atómica y las condiciones físicas y químicas bajo la que ellos crecen. Si hay una dirección predominante en  las formas minerales, los hábitos diferentes prevalecen. Así, la galena a menudo toma las mismas formas (cubos u octaedros), el cuarzo es típicamente prismático, y la barita tabular.

Para discutir los seis sistemas cristalinos, se debe de tener algunos conocimientos  de geometría sólida. Para esto, se deberán  describir lo que se llama EJES CRISTALOGRÁFICOS. Que se plantean en tres dimensiones , puesto que deben tener 3 ejes y para la discusión inicial, hágase de la misma longitud y en  ángulos rectos al observador. Éste es el caso más simple a considerar. Los ejes atraviesan el centro  del cristal y usándolos, se pueden describir la intersección de cualquier cara dada con estos 3 ejes.

Los mineralogistas tenían que decidir como  llamar a cada uno de estos ejes y qué su orientación en cada cristal fuera para que todos estuvieran hablando el mismo idioma. Muchos sistemas diferentes se propusieron en la literatura inicial. Entonces, cuando se encontraron ciertos sistemas para solucionar los problemas, algunos eran abandonados hasta que  se llegó al sistema de notación que se usa hoy. Es así que existen dos de éstos en uso, y que se asumirán en esta serie. Se usa la notación de  números para indicar formas o  caras individuales y el otro usa las letras para indicar las formas.  Aquí se discutirán los dos sistemas.

Se dibujan a los ejes en una  hoja de papel para describir su orientación. Todo lo que se necesita para este ejercicio es lápiz y papel. Hágase el primer eje vertical, y  llámese eje  c. El extremo superior es + y el extremo inferior es -. El segundo eje, el eje b, es horizontal y pasa través del centro del eje  c. Es de la misma  longitud del eje c. El extremo derecho es el +, y el izquierdo es el -. El tercer eje es el  eje a y pasa en ángulo recto a través de los ejes b y c.

.

.

Es algo engañoso al dibujar porque, aunque el eje a es de la misma longitud como los ejes c y b , pero va al frente y el de atrás parece más corto. Es difícil representar una  figura de 3 dimensiones en la superficie de dos  dimensiones  en el papel, pero es posible hacerlo. Se

tiene que usar un sentido de perspectiva, como diría un artista . El extremo delantero de a que parece salir del papel es el + y la parte de atrás  A- (parece estar en el fondo o detrás del papel)..

Esto complica todo, pero si se mira la Figura 1, si se está teniendo problemas con dibujar el último eje. Los ejes siempre serán referidos en el orden a, b y c, en cualquier tipo de notación. El punto de intersección de los tres ejes se llama la CRUZ AXIAL.  Fig.1

La perspectiva es la clave al dibujar 3 objetos dimensionales en un (2D) pedazo de papel. 

La perspectiva es lo que hace que las vías del ferrocarril parezcan que están juntas en la distancia. También es lo qué causan las ilusiones ópticas al intentar dibujar las cruces axiales, o dibujos de la línea de modelos de cristal. Quizás se ha mirado estas líneas e intentó decidir cuál avanza, y cuál retrocede, por lo que tiene una  ilusión para observar de una manera correcta. Es por qué ellos se etiquetan + y -para evitar la confusión.

En este nivel se pueden  mencionar los seis grandes grupos  o los sistemas cristalinos en que todas las formas de cristal pueden ponerse. Los sistemas son: 

(1) CÚBICO (ISOMÉTRICO) - Los tres ejes cristalográficos son todos de igual  longitud y cortan a los ángulos rectos (90 °) en dirección al observador. Esto es exactamente lo que se dibujó para obtener la Figura 1. Sin embargo, si se renombra al eje a1, a2, y a3 ahora porque ellos son la misma longitud (a se vuelve a1, b se vuelve  a2, y c se vuelve  a3).

(2)TETRAGONAL - Tiene los tres ejes, todos en  ángulo recto, dos de los cuales son iguales en la longitud (a y b) y uno (c) qué es diferente en la longitud (más corto o más largo). ¡nota: Si c fuera igual en la longitud a a o b, entonces se estaría en el sistema cúbico!.

Se discutirá en la parte 4.

 

3) ORTORRÓMBICO - Tres ejes, todos en  ángulo recto, y  los tres de longitudes diferentes. ¡ nota: Si cualquier eje fuera de longitud igual a cualquier otro, entonces se estaría en el sistema del tetragonal!, se discutirá en la parte 5.

(4) HEXAGONAL - ¡Cuatro ejes! se debe definir esta situación considerándola no derivada de la Figura 1. Tres de los ejes son horizontales y contenidos en el mismo plano es así como cortan a la cruz axial a 120° entre los extremos positivos. Estos 3 ejes, denominados a1, a2, y a3, son la misma longitud. El cuarto eje, llamado c, puede ser más largo o más corto que los demás ejes. El eje c también pasa a través de la intersección de los ejes en ángulo recto en el plano formado. Mirar la figura 2 para ver estas relaciones más claramente. Se discutirá en la parte 6.

(5) MONOCLÍNICO - Los tres ejes, todos desiguales en la longitud, dos de los cuales (a y c) se cortan en ángulo oblicuo (no de 90°), el tercer eje (b) es perpendicular a los otros dos ejes. ¡ nota: Si a y c  se cruzan a 90 °, entonces se estaría en el sistema ortorrómbico!. Se discutirá en la parte 7.

(6) TRICLÍNICO - Los tres ejes son todos desiguales en la longitud y se cortan a tres ángulos diferentes (cualquier ángulo pero diferentes de 90°). ¡La nota: Si cualquiera de los ejes cruzara a 90 grados, entonces se estaría describiendo un cristal del monoclínico! Será discutido en la parte 8.

Como se declaró antes, las formas cristalinas  conocidas encajaron en los seis sistemas cristalinas anteriores. ¿Pero por qué no analizar todos los cristales de una misma mirada? ¿O, porque, por qué no se puede aprender seis formas de cristal y  saber todos lo que se necesita saber? Bien, los cristales, incluso del mismo mineral, tienen diferentes FORMAS CRISTALINAS, mientras dependiendo en sus condiciones de crecimiento. Si ellos crecieron  despacio o rápidamente, bajo la constante o fluctuando condiciones de temperatura y presión, o de fluidos muy inconstantes o notablemente uniformes o fusiones, todos estos factores tienen su influencia en la resultante de las formas cristalinas, incluso al no considerar otros parámetros.Se deben de mencionar a menudo un tipo de notación visto en la literatura mineral conocido como índices de Miller.William H. Miller (1801-1880) inventó este sistema matemático para describir cualquier cara cristalina o grupo de caras similares (las formas), entonces había una considerable confusión debido a los muchos sistemas descriptivos diferentes. Algunos de estos sistemas usaron los símbolos de la letra para denotar caras cristalinas y formas. También  existieron las" escuelas" mineralógicas diferentes acerca de cómo un cristal dado debe verse o debe orientarse antes de asignar los ejes cristalográficos y la descripción de las distintas caras presente de las formas. Si se viniera de la escuela alemana, se tendría una visión; de la escuela inglesa otro pensamiento; de la escuela francesa, otra opinión.

Así que el problema  era  de cómo traer el orden al caos en la literatura. Para resolver dicho problema Miller ( Universidad de Cambridge) aplicó una matemática relativamente simple - el Idioma Universal-. A los sistemas del letras, Miller describió el a,b,c (para los cristales hexagonales su notación  de cuatro números es demasiado larga). La intercepción de cada plano en la  forma cristalina la simbolizo con números y también con letras. Su sistema se aceptó ampliamente y es conocido como los índices del Miller. Los números se presentan como  números enteros (no se permiten los fraccionarios) y  el recíproco del número en la intercepción. Todos los números enteros son reducidos por su mínimo común denominador. Aquí se presenta un par de ejemplos simples del sistema cúbico.

Descríbase primero una cara de un octaedro y después un cubo que usa los índices de Miller. Primero, se debe de comprender que un octaedro es una forma cristalina de 8 lados que es la repetición simple de un triángulo equilátero sobre los tres ejes cristalográficos. El triángulo que se orienta para que cruce los tres ejes  a1,a2, y a3 a la misma distancia en la cruz axial. Esta distancia de la unidad se da como 1. Dividiendo 1 entre el número 1 entero (es un recíproco, recuerdese) los resultados dan el  valor de 1 para cada número del Miller. Así que los índices de Miller (111) para la cara que intercepta el extremo positivo de cada uno de los 3 ejes. Vea la Figura 3 para  todos los posibles números para las 8 caras. La nota: Una barra encima del número significa que la intercepción estaba en el extremo negativo del eje cristalográfico. La forma del octaédrico se da en la designación de la letra "o."

Ahora a la cara del cubo. Una cara del cubo que intercepta a3 (vertical) el eje en el extremo positivo no interceptará  a1 y  a2. Si la cara no intercepta un eje, entonces se asigna un valor matemático de infinito a él. Así que  se empieza con lo infinito,  1 ( a1,  a2,  a3). El infinito se dividió en  0 = 0 (cualquier número dividido entre  cero es  igual a cero). Así que los índices del Miller interceptan a a3 positivo cuya cara es (001). Vease el dibujo para los posibles índices del Miller para las 6 caras de un cubo (Figura 4).

Se  debe  mencionar brevemente a estas alturas el clivaje. El CLIVAJE es la dirección preferencial de fractura de un mineral. Es debido a los planos de debilidad que existe en algunos minerales pues la fuerza de enlace entre los átomos o las moléculas no son los mismos en cada dirección. Puesto que los  cristales están compuestos de arreglos ordenados de átomos o moléculas, por lo

que debemos esperar que el clivaje este presente en muchos cristales. La notación que denota el clivaje es de la misma manera como los índices del Miller, aunque se expresa con llaves. Así un cristal cúbico, digamos el diamante, no importa si es cúbico {001} u octaédrico {111} la forma cristalina, tiene un clivaje octaédrico y se escribe como {111}.

Nota: Los  índices del Miller se usan como símbolos de una cara dentro de paréntesis por ejemplo (111). Los símbolos de la forma se presentan en llaves, como {111} por ejemplo. Los símbolos de la zona se presentan en corchetes por ejemplo [111] y significa un eje de zona del cristal. Así en la discusión de clivaje, usted debe acostumbrar a las llaves para simbolizar el clivaje. El clivaje puede llamarse según su forma geométrica sin tener que ver con la cara cristalina.Ahora se discutirán los ELEMENTOS DE SIMETRÍA. incluyen los PLANOS DE SIMETRÍA, EJES DE SIMETRÍA, y CENTRO DE SIMETRÍA. Los elementos de simetría pueden presentarse solos o pueden combinarse en el mismo cristal. ¡De hecho, nosotros encontraremos  una clase cristalina o sistemas que tienen sólo uno de estos elementos!

   Reúnase las partes y tendrá todos los planos enla figura 6.

Cualquier superficie en dos dimensiones (es decir un  plano) que, cuando atraviesa el centro del cristal, lo divide en dos partes simétricas que son las IMÁGENES ESPEJO es un PLANO DE SIMETRÍA es decir  cualquier plano de simetría divide la forma cristalina en dos imágenes espejo. Los planos de simetría son  a menudo llamados  planos  de imagen de espejo. Discutase un cubo de nuevo. Un cubo tiene 9 planos de simetría, 3 de una manera y 6 de otra.Uno se debe de acostumbrar a las dos figuras para  reconocerlos fácilmente.En la Figura 5,  los planos de simetría son paralelos a las caras de la forma del cubo, en la Figura 6 los planos de simetría unen los bordes opuestos del cubo. El segundo juego corresponde a la forma cristalina. Los planos de simetría siempre son las posibles formas cristalinas. Esto significa que, aunque no siempre estén presentes en muchos cristales naturales, existe la posibilidad que puede expresarse con otras caras cristalinas. Así aunque una forma del cubo no presenta una cara del octaedro, siempre es posible que pudiera formarse bajo las condiciones apropiadas.

El humano típico tiene dos manos, derecha e izquierda. Poner las palmas frente a frente y unamos los dedos pulgares. Asumir que se tiene el mismo número de dedos en cada mano, se notará que la mano derecha es la imagen espejo de su izquierda y viceversa. La persona promedio es simétrica, si se observa de la cabeza a los pies se puede dar cuenta que existe una simetría (simetría bilateral).Se puede ver la parte cómica con los amigos  usando un espejo para observar los elementos de simetría. Las Figuras 5 y 6 sirven como guías, tome una madera o cubo de plástico y ver si se pueden dibujar con un marcador todos los planos de simetría que estén presentes. Refirse a las dos figuras para ayudarse.

A veces es conveniente designar planos de simetría como axial, diagonal, principal, o intermedio. La Figura 7 es un ejemplo de los 5 planos de simetría del sistema tetragonal y la notación abreviada y apropiada.Los EJES DE SIMETRÍA pueden  prestarse a confusión al principio. Cualquier línea  que pasa a través del centro del cristal  y que se gire alrededor  de un cristal , cierto número de grados, puede generar caras

similares y se le denomina eje de simetría. Dependiendo de los grados de rotación, cuatro tipos de ejes de simetría (de rotación) en cristalografía (algunos libros de texto mencionan cinco). Abajo se describen todos los ejes de simetría

Cuando la rotación repite la forma cada 60 grados, se tendría un eje senario o la SIMETRÍA HEXAGONAL. Un hexágono  simboliza al eje de rotación.

Cuando la rotación repite la forma cada 90 grados, se tendría  un eje cuaternario o SIMETRÍA  TETRAGONAL. Un cuadrado simboliza al eje de rotación.

Cuando la rotación repite la forma cada 120 grados, se tendría  un eje ternario o SIMETRÍA TRIGONAL. Un triángulo equilátero simboliza al eje de rotación. 

Cuando la rotación repite la forma cada 180 grados, se tendría  un eje de binario de simetría o la SIMETRÍA BINARIA. Un ovalo simboliza al eje de rotación..

Cuando la rotación repite la forma cada 360 grados, se tendría  un círculo lleno como  notación. Este eje llamado monario lo tiene cualquier objeto y ¡¡no cuantifica la SIMETRÍA!!

Notar que los ejes de rotación  pueden estar en el plano de la cara, en el borde de reunión de dos caras, o en el punto de conjunción de tres o más caras. En una forma de cristal completa, el eje debe atravesar el centro del cristal y debe existir al sitio equivalente en el lado opuesto del cristal donde él entró.Tomar un cubo sólido, hecho de madera o plástico (una caja de cubo plástica clara sirve bien para este ejercicio). Marcar, mientras se este usando la notación rotatoria, cada cuatro, tres  y dos o ejes de rotación que se puedan encontrar. ¡ debe ser una  sorpresa en cuánto a la cantidad que hay!. Examinar La figura 8 (el cubo de hades!) para ver cuántos símbolos se pueden dibujar en el  cubo.

Esto no es todo lo que hay de los ejes de rotación, pues hay otra situación que se debe de considerar--los EJES DE ROTOINVERSION. Aquí es donde la mente retorcida de uno hace el resto(¡hay un juego de palabras aqui!). hay que considerar un par de ejemplos simples.

Primero, se examina un cristal como el de la Figura 9a a la izquierda. Usar una pieza de "2 por 2" la tabla y hacer la forma cristalina cortando los extremos para que el bloque de madera se parezca  al dibujo. Colocar el bloque en la mano izquierda y con el dedo pulgar en la parte superior y en el centro de las dos caras (el eje largo) y el índice toca la misma parte en la mitad inferior. La palma estará hacia el cuerpo. Colocar los dos dedos para que esté parezca recto abajo en el dedo pulgar y no se pueda ver el extremo de el dedo del índice. 

En la parte superior del bloque aparecerán como dos caras del mismo tamaño , mientras inclinándose fuera de usted. Si se gira el bloque180 grados, las caras aparecerán atrás en la misma posición (eje de rotación binario), pero aquí es la parte

engañosa--girar el espécimen 90 grados y entonces volver la muñeca hacia el dedo índice que esta en la parte superior ( se hace más fácil  volviendo la muñeca en sentido contrario a las agujas del reloj). Se verá que las caras del bloque aparecen en la posición original. ¡Se ha descubierto un eje de inversión rotatoria!

 

Fig 9b: Modelos de madera o de plástico que en la clase de mineralogía son conocidos como bloques idiotas.

Fig 9c: Fig 9d: Bloque rotado 90 grados alrededor del eje mostrado por en el punto.

Fig 9e: Bloque rotado alrededor del reloj 180 grados sobre el eje que muestra la flecha.

Vease la serie de fotografías (Figura 9 b-9 e) si acaso hay confusión. Algunos libros de texto utilizan el termino de ejes de reflexión y otros de roto inversión  y se les puede llamar  1̅, 2̅ , 3̅ , 4̅  y 6̅ . Yo lo refiero a Klein y el Manual deHurlbut de Mineralogía (según de J. S. Dana) si se quiere mostrar los ejes de roto inversión. Con los ejes de rotación, hay una notación gráfica usada . Para los ejes de rotoinversión, el mismo símbolo se usa, pero parece sombreado.Ambos tipos de ejes de simetría de rotación  (discutido anteriormente) normalmente se trazan en un círculo (representando el ciclo completo de 360 grados rotación). Se trazan los ejes simples del símbolo de rotación para una cara en el  centro del círculo y los ejes de rotación y  de rotoinversión se trazan en el límite del círculo a lo que ángulo rotatorio es apropiado. Ver Figura 10 para los ejemplos.

Finalmente el  último tema de cristalografía geométrica, el CENTRO DE SIMETRÍA. La mayoría de los cristales tiene un centro de simetría, aunque ellos no pueden poseer cualquier plano de simetría o ejes de simetría. Los cristales triclínicos  normalmente sólo tienen un centro de simetría. Si se puede pasar una línea imaginaria de la superficie de una cara cristalina a través del centro del cristal (la cruz axial) e intersecta un punto similar en una cara equidistante  desde el centro es entonces que el cristal tiene un centro de simetría. Se discutirá esto más a detalle en el articulo del sistema triclínico.Es ahora cuando se debe de relacionar la  simetría geométrica con la SIMETRÍA CRISTALOGRÁFICA. La simetría de los arreglos cristalinos de cualquier cristal dado, simplemente es una expresión de la estructura atómica interior. Esta estructura interior es generalmente igual en cualquier dirección paralela. Pero se debe tener presente que el tamaño relativo de una cara dada no tiene ninguna importancia, sólo la relación angular o la  posición de  otras caras cristalinas dadas. Utilizar como referencia a la ley de Steno acerca de la CONSTANCIA DE ÁNGULOS INTERFACIALES.

!Considerar un cristal en el sistema cúbico con el cubo {001} y el octaedro {111} las formas  están representadas en la figura 11. En la  figura, se ha usado la designación de -a - para las caras del cubo y -o - para las caras del octahedra. A pesar de la observación inicial de que  varios cubos y  las caras del octaedro son desiguales en el tamaño, el ejemplo despliega todos los elementos de simetría y relaciones de un cristal del sistema cúbico. Asumir  la dificultad de aprender cristalografía,  como quien usa los cristales naturales. Debido a una variedad de factores, muchos cristales naturales

tienen algún grado de deformación en su crecimiento, lo que causa que los las caras puedan variar en el

tamaño y a veces en la forma. En la mineralogía de la universidad, este problema esta resuelto, requiriendo el uso en el aula de un juego de formas cristalinas, a veces hechas de madera o plástico.

Dependiendo qué elementos de simetría estén presentes, todos los cristales pueden ser divididos en 32 grupos distintos llamado CLASES DE SIMETRÍA. Recuerdar, que se tienen relación con los elementos de simetría que se aprendieron anteriormente, no en las formas cristalinas malformadas en la mayoría de minerales. Sólo formas que pertenecen a la misma clase pueden ocurrir juntos  la combinación en la naturaleza. Por lo que no es posible encontrar una cara del cubo en un cristal hexagonal. Igualmente,  nunca se descubrirá la terminación de la pirámide rómbica de un cristal hexagonal en un cristal  tetragonal. Así que las leyes, reglas, y elementos de simetría previamente discutidas previenen el caos en  el mundo hermosamente simétrico de la cristalografía. ¡Ciertamente, al tratar  los cristales reales, los problemas de distorsión pueden levantarse! Piense en  la pirita capilar. Aquí se tiene un cristal cúbico que, debido a un fenómeno de crecimiento, tiene un eje que se acerca al infinito respecto a la longitud de los otros dos. Pero esto se causa por las condiciones especiales durante el crecimiento, no por la cristalografía.

Hay  métodos gráficos de trazar todas las caras cristalinas  y elementos de simetría en un tipo de diagrama llamado red estereográfica. Los diagramas estereográficos permiten representar los datos tridimensionales en una superficie de dos  (como una hoja de papel). Una discusión de diagramas estereográficos está fuera del alcance de esta serie,  porque presentarlo adecuadamente requerirían mucho dibujo,  matemáticas, y que cada lector tuviera la red estereográfica. Si alguien desea intentar cualquier ejercicio con los diagramas estereográficos, yo recomiendo los libros de textos mencionados anteriormente. Se puede comprar el papel cuadriculado en las librerías especializadas o en las de la universidad..Bien, si sus caras están brillantes, su simetría en  orden, y sus ejes alineados propiamente, entonces se cuentan con los conocimientos al punto para el próximo artículo donde  se consideran las formas cristalinas y las 32 clases de simetría. ¡Entonces se tendría el conocimiento necesario para discutir los seis sistemas cristalinos!

Parte2: Formas y Simetrías Cristalinas

Discusión de las FORMAS CRISTALINAS y los 32 TIPOS DE SIMETRÍA CLASES. Se discutirán algunas definiciones. Desafortunadamente, el término "forma" es usado por mucha gente para indicar la apariencia externa. Sin embargo, se debe "aplicar" nuestra definición cuando se discute en cristalografía. HABITO es el término correcto para indicar la apariencia externa aplicado a cristales y minerales, que incluye los términos descriptivos como tabular,  equidimensional, acicular, masivo, reniforme, drusa, e incrustaciones.

Drusa de Cuarzo en geoda Feldespato Ortoclasa tabular incrustaciones de Smithsonita

 Como un cristalográfo, se usa con una restricción importante. Una FORMA es un grupo de caras cristalinas, todas teniendo la misma relación con los elementos de simetría de un sistema cristalino dado. Dichas caras cristalinas poseen las mismas propiedades físicas y químicas porque el ARREGLO ATÓMICO (relaciones geométricas internas) de los átomos que las componen  es igual. Las relaciones entre forma y los elementos  de simetría son importantes a considerar, porque de ninguna manera se pueden distorsionar los cristales naturales, algunos elementos claves podrían ayudar a ser reconocidos y ayudan al estudiante en la caracterización de la forma o de las formas presentes. El término general forma, tiene un significado específico en cristalografía. En cada clase cristalina, hay una forma en las cuales las caras cortan a los ejes a

diferentes longitudes. Este es el nombre de la forma general {hkl}y es el nombre para cada una de las 32 clases (clase hexoctaedrica del sistema isométrico, por ejemplo).Las otras formas son llamadas especiales. 

Observar a un octaedro como ejemplo ( fig. 2.1 ) . Todas las caras cristalinas, presentan la expresión de la repetición de una sola forma, teniendo los índices de Miller{111}en los tres ejes cristalográficos (¿recordemos lo explicado en el primer artículo ?).Cada cara en un cristal natural  (galena o fluorina octaédrica serian buenos ejemplos), cuando la rotación a la posición de la cara (111) en el modelo, tendrían el mismo tamaño y orientación,  las estrías, intercrecimientos o formas escalonadas y redondeadas.

La presencia de estos rasgos se observa, si el cristal se forma bien o no o acaso se deformó en su crecimiento. ¡Nótese que no se sostiene que las caras necesariamente son del mismo tamaño en el cristal natural!.

De hecho, las condiciones de crecimiento varían, las caras cristalinas no son comunes. En la literatura se puede observar, mencionada como {hkl}. Esta es la notación presentada como índices de Miller, para la forma general. La forma octaédrica es denominada como{111}, es la cara que intercepta todas las partes positivas de los ejes cristalográficos. Una sola forma puede ser cerrada, como un octaedro, o puede ser, como en un  pinacoide   ( una forma abierta de dos caras). Así que cada forma tiene una notación {h k l}.En el caso de notación general del sistema hexagonal, es {el h k i l ̅} y se lee como "(h, k, menos i)".

Antes de dejar la discusión de forma, aquí se presentan un par de ejemplos de cómo el conocimiento de las relaciones mutuas de formas y sistemas cristalinas pueden usarse.

Si alguien muestra un cristal de cuarzo y dice," observe este cristal. No es normal." Si dicha persona lo considera así , se debe de asumir que es un cristal alargado prismático de 6 caras producida por un crecimiento libre. Cuando se analiza el cristal se da cuenta que esta muy distorsionado, quebrado y con un crecrecimiento de caras.

Las caras del cuarzo, casi siempre tienen estriaciones perpendiculares al eje cristalográfico c y paralelas al plano de los ejes a1, a2, y a3 .Dichas estriaciones se deben a los rangos de variaciones de crecimiento de las últimas caras del mineral cristalizado. Conociendo sobre las estriaciones  y su orientación, si usted examina la superficie del espécimen, con luz reflejada encontrará las caras del prisma por sus estrías.

Las caras del prisma de los cristales de cuarzo, casi siempre tienen estriaciones en ángulos rectos al eje cristalográfico c y paralelos al plano de  a, los ejes a1, a2, y a3. Dichas estriaciones se deben a los rangos de variaciones de crecimiento de las últimas caras del mineral cristalizado.

Las caras terminales (o piramidales) en cristales de cuarzo muestran hoyos o formas planares triangulares. Para encontrarlas, se puede determinar si alguna cara inusual está presente. Si no se encuentran no se hallaran ninguna cara inusual, se puede retornar el espécimen  a la persona comentando."Bien, su cristal es interesante , pero no tiene ninguna forma inusual. Lo que indica es una historia compleja de crecimiento, reflejada por su forma de cristal poco ideal".

La forma de un cristal puede ser completamente descrita usando los índices de Miller y la notación de Hermann - Mauguin de su GRUPO DE SIMETRÍA PUNTUAL.  La última notación dice cómo orientar el cristal, en cada clase cristalina específica, para reconocer un eje ( a, b, o c) se designa a la que tenga la simetría más alta. También dice qué otros elementos de simetría pueden estar presentes y cual es la orientación  de los otros elementos.

Se espera que usted hasta aquí  no se HAYA PERDIDO. ¡Al considerar toda la literatura escrita sobre este asunto, a veces se compara que se siente como si estuviera rotando en un eje de simetría y no realmente

aprendiendo algo¡.  El grupo de simetría puntual  es también complicado para incluirlo en esta discusión, por lo que se recomienda el Manual de Mineralogía de Hurlbut y Klein  para la información detallada. Sin embargo, se discutirán algunas partes pertinentes del grupo de simetría puntual en cada clase cristalina y se mencionará la notación para formas cristalinas seleccionadas en cada apartado de los sistemas cristalinos.

Tipos de Formas Cristalinas

Note que hay DOS TIPOS GENERALES DE FORMAS, aquéllos que por el cierre de la repetición en ellos crean, una forma completa y aquéllos que no lo hacen .

Ahora, las MALAS NOTICIAS. Cada forma tiene un nombre y hay muchas de ellas.

 Las BUENAS NOTICIAS son que ya se saben algunas de ellas, particularmente algunas de las formas cerradas porque se han estado usando en las discusiones anteriores. El cubo y el octaedro son los ejemplos. Hay 32 (algunos dicen 33), las formas no-isométricas ( no cúbicas), los sistemas cristalinos y otras 15 formas en el sistema isométrico (cúbico). Se debe empezar a familiarizarse con ellos haciendo una tabulación e incluso mencionando el número de las caras (abajo). Se comienza primero con la descripción de las formas isométricas, y todas ellas son  formas cerradas.

Formas Cristalinas Isométricas

Nombre Número de caras   Nombre Numero de caras

 (1) Cubo 6 

9)Tristetraedro 12

 (2) Octaedro 8 

 (10) Hextetraedro 24

 (3) Dodecaedro 12 

 (11) DodecaedroDeltoide 24

 (4) Tetrahexaedro 24 

 (12) Giroide 24

 (5) Trapezoedro 24 

 (13) Piritoedro 12

 (6) Trisoctaedro 24 

 (14) Diploide 24

 (7) Hexoctaedro 48 

 (15) Tetartoide 12

 (8) Tetraedro 4     

Formas Cristalinas No-Isométricas

NombreNúmero de caras

  NombreNuúmero de caras

 (16) Pedion* 1 

 (32) Pirámidedihexagonal  12

 (17) Pinacoide** 2 

 (33) Dipirámide rómbico  8

 (18) Domo o esfenoide 2 

 (34) Dipirámide trigonal  6

 (19) Prisma rómbico  4 

 (35) Dipirámide ditrigonal  12

 (20)Prisma Trigonal  3 

 (36) DipirámideTetragonal  8

 (21) Prisma ditrigonal  6 

 (37) DipirámideDitetragonal  16

 (22) Prisma  tetragonal  4 

 (38)DipirámideHexagonal  12

 (23) Prisma    ditetragon 8 

 (39)Dipirámide Dihexagonal  24

 (24) Prisma  hexagonal  6 

 (40) Trapezoedro trigonal  6

 (25) Prisma dihexagonal 12 

 (41)Trapezoedro tetragonal  8

 (26) Pirámide rómbico  4 

 (42)Trapezoedro hexagonal  12

 (27) Pirámide trigonal  3 

 (43)Escalenoedro tetragonal  8

 (28)Pirámide ditrigonal  6 

 (44) Escalenoedro hexagonal  12

 (29) Pirámide   tetragonal  4

  (45) Romboedro

6

 (30)Pirámide ditetragonal  8

  (46) Disfenoide rómbico

4

 (31) Pirámide hexagonal  6 

 (47)Disfenoide tetragonal  4

*Pedión  puede aparecer en algunos sistemas cristalinos

**Pinacoide en la figura se observan 3 pares caras pinacoidales del sistema ortorrómbico.Los pinacoides aparecen en algunos sistemas cristalinos.

¡Ahora se sabe por qué los estudiantes de la mineralogía odian los bloques idiotas!. Es importante hacer notar que éstas, son las posibles FORMAS INDIVIDUALES, no las combinaciones de formas vistas en un solo cristal natural.

Fig. 2.4 Pirita Peruana,distintas formas cristalinas

 La pirita es un mineral común que puede exhibir varias formas cristalinas en un solo cristal.  Una forma está comúnmente presente, y se pueden observar en las caras más grandes del cristal.   La pirita peruana  que normalmente tiene formas cúbica, octaédrica y dodecaedrica presentes en un solo cristal; a veces los piritoedros y las caras del diploide pueden estar presentes en un solo cristal.  Cualquiera de estas formas individuales puede ser la dominante. Cristales con la misma forma presente, pero con las formas

dominantes diferentes cada uno parece muy distinto (fig.2.4).Cuando se explora cada sistema cristalino,

habrá minerales que muestren la mayoría de las formas ideales y algunos dibujos que muestran la mayoría de las formas ideales y algunos dibujos que muestran a menudo combinaciones de formas exhibidas por los cristales de minerales individuales.

Parte3: Sistema Cúbico

Ahora que se ha visto los dos artículos previos, se puede comprender el primero de los 6 sistemas.

El SISTEMA ISOMÉTRICO-- tiene15 formas, todas cerradas, más que ningún otro sistema de los que se examinarán. Quizá se desee releer brevemente al primer artículo de esta serie, cuando se construyo la cruz axial, los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud y se cruzan en ángulos rectos entre si  . A los ejes se les denomina a1, a2, y a3. es necesario recordar que a3 es vertical, a2 es horizontal, y a1 es frontal al observador.

.

Las formas cristalinas de más alto grado de simetría son las del sistema isométrico. SIMETRÍA, cuando se compare  todos los sistemas cristalinos. ¿quién pensaría que hay un solo objeto en el universo geométrico con simetría perfecta? se considera a la esfera (fig. 3.1). Los infinitos planos de simetría que pasan a través del centro de la esfera, así como infinitos ejes rotacionales están presentes, no importa cuan pequeño o grande sea el giro siempre aparecen escenarios semejantes, una esfera es el non plus ultra  de la simetría.

Ningún sistema cristalino se aproxima al grado de simetría de la esfera , pero es rápidamente reconocible puesto que algunas de sus formas y combinaciones de formas  se aproximan a la esfericidad,  especialmente cuando las caras son curvadas, debido al alto grado de simetría en el sistema isométrico.

Observando la notación de Hermann-Mauguin para las primeras siete formas isométricas, tenemos, que cada forma tiene la siguiente notación :

Cubo {001} Dodecaedro {011} Trapezoedro {hhl} Hexoctaedro {hkl}Octaedro {111} Tetrahexaedro {0kl} Trisoctaedrov {hll}  

Para estas formas, los tres ejes cristalográficos son ejes cuaternarios ( de rotación ). Este también  tiene cuatro ejes diagonales ternarios de roto-inversión que pasan a través del sólido en el punto en donde se interceptan las tres caras . Sin embargo, hay 6 direcciones de ejes de simetría binarios (en el centro de la línea formada por la intersección de dos planos). Existe también un centro de simetría. Hay 9 planos de simetría (ver figs. 1.5  y 1.6 en primer artículo en esta  serie). Dicha combinación de elementos de simetría define la más alta simetría posible en los cristales. Como  4/m-32/m. Según la notación de Hermann-Mauguin

En el texto, la notación se presenta como (-3) se presenta como un tres con un signo negativo debido a problemas con las computadoras y los navegadores en el web, Y no se pudo reemplazar este tipo de notación especial en el ciberespacio, se hace la aclaración para que el lector no sufra una confusión si consulta con un libro de mineralogía. Se pronuncia como 3 negativo o 3 barra  es la notación para el  eje ternario de roto-inversión. Se puede utilizar el signo  negativo donde considere necesario. Los mismos criterios que se utilizan en la notación para los índices de Miller, se utilizan para las notaciones de las formas generales.

Las formas de los grupos cristalográficos por su notación simétrica son considerados  siete, el primero con la misma simetría - 4/m-32/m.

CUBO—El cubo esta compuesto de 6 caras cuadradas formando ángulos de  90 grados entre ellos, cada cara esta interceptando a cada uno de los ejes cristalográficos (fig. 3.2). Esta forma, {001}, es una de las más fáciles a reconocer  y muchos  minerales lo presentan,  a veces con pequeñas modificaciones. ¡ejem. como la galena, pirita, fluorina, perovskita, o cubos de halita !

OCTAEDRO-- El octaedro es una forma compuesta de 8 triángulos equiláteros. Dichas caras en forma de triángulos interceptan a los tres ejes cristalográficos a la misma distancia, su forma de notación de {111} ( fig. 3.3) . Los Minerales comúnmente exhiben la misma  forma octaédrica simple  como es el caso de la  magnetita, cromita, franklinita, espinela, pirocloro, cuprita, oro, y  diamante. En ocasiones la fluorina, pirita y galena toman esta

forma.

DODECAEDRO (Dodecaedro Rómbico) – Esta forma esta compuesta  de 12 caras de forma rómbicas. Las caras de esta forma  interceptan dos de los ejes equidistantes y es paralelo al tercer eje, su notación es{011}.Las diferentes especies minerales del grupo del granate presentan muy comúnmente esta forma. La magnetita y la sodalita, en ocasiones exhiben esta forma.

 

TETRAHEXAEDRO—Esta forma tiene 24 caras triangulares isósceles. La manera más fácil de comprender esta forma es la visualización del cubo interprentando por otro cubo de caras iguales (fig. 3.5) que ha sido intercrecido desde el centro de la cara del cubo. Cada cara triangular tiene su base agregada al limite del cubo, y la cúspide de las cuatro caras triangulares permite observar un eje de simetría de orden cuaternario. Puesto que en la variación  de la inclinación del eje cuaternario, hay un numero determinado de posibles formas tetrahexahedrales, todas tienen la notación general {0hl}.

La forma más común es{012}. Esta está interceptando, en forma de levantamiento, cuando se combinan un conjunto de cuatro caras a lo largo del eje, esta forma se aproxima al dodecaedro. Conforme se acercan al origen, la forma se acerca al cubo. El tetrahexaedro es raramente una forma dominante en los cristales naturales, y esta estadísticamente subordinado al cubo, octaedro o dodecaedro (fig. 3.6). Los minerales del sistema cúbico como la fluorina (cubo o tetrahexaedro), magnetita o cobre (octaedro y tetraexaedro) y el granate (dodecaedro y tetrahexaedro) pueden exhibir en ocasiones esta forma.

 

TRAPEZOEDRO (Tetragon-trioctaedro) –Esta forma tiene 24 caras similares a la forma de un trapezoedro. Si mi sitio en la red está correcto, un trapezoedro tiene un conjunto de cuatro caras planas no paralelas. Dichas  caras se interceptan en el eje cristalográfico a una distancia considerada como la unidad y  a los otros dos ejes a distancias iguales, dichas distancias podrían ser mas grandes que la unidad. Esto suena un poco complicado, pero viendo el dibujo es más comprensible (fig. 3.7).  Puesto que hay varias distancias de intercepción en los dos ejes  el símbolo general {hhl} es muy común utilizarlo. La forma mineral más común es {112} .  Los dos silicatos más comunes que cristalizan como trapezoedros son la analcima y la leucita. Esta forma es poco conocida y varia desde dominante a subordinada en el caso de las variedades del  granate, donde se le observa combinada con el dodecaedro (fig. 3.8) .

TRISOCTAEDRO (Trigonal Trisoctaedro ) – Esta es otra forma de 24 caras, pero las caras son triángulos isósceles, cada cara intersecta dos ejes cristalográficos, y el tercer eje en algún múltiplo de la unidad; por lo que su notación general es {hll}.

Para visualizar mejor un trisoctaedro, es mejor pensar en un octaedro. Cada cara octaédrica esta dividida en tres triángulos isósceles, dibujando tres líneas desde el centro de la cara octaédrica  y alcanzando las tres esquinas de cada cara, repitiendo la misma operación en las otras siete caras del octaedro usted tiene el  trisoctaedro (fig. 3.9). Como

una forma dominante, el trisoctaedro  es poco común,  se presenta  más comúnmente en  el diamante y como forma subordinada (fig. 3.10).

Recientemente se ha demostrado que el diamante trisoctaedrico, probablemente no sea un  verdadero cristal sino un intercrecimiento de formas cristalinas, ¡pero si  en cambio una forma de la solución causada por la disolución diferencial del diamante octaédrico durante su transporte del manto a la corteza, pero eso corresponde a otro curso. Cuando una forma subordinada ha sido reportada, es en  combinación con el octaedro en los casos de la fluorina y la magnetita y en  combinación con el cubo y el octaedro, los cristales complejos de galena.

HEXOCTAEDRO—Esta es una forma de 48 caras triangulares, seis caras parecen estar levantadas de cada cara de un simple octaedro. Estas podrían visualizarse dibujando una línea desde el centro de cada uno de los bordes de una cara octaédrica a través de una cara central a la esquina opuesta. Repitiendo este mecanismo para las otras 7 caras  de un octaedro, se puede construir el hexoctaedro (fig. 3.11).

 

Simplemente como la forma trisoctaedral , esta forma se ve más a menudo en el diamante por lo que se piensa que representa una forma derivada de un octaedro, la verdadera cristalización. Con ambos los tris - y hexoctaedros, las caras se encorvan a menudo, produciendo una forma casi esférica. La combinación del dodecaedro dominante y el hexoctaedro subordinado es común en el granate (fig. 3.12).

 

TETRAEDRO-- El tetraedro incluye formas positivas y negativas con la notación{111} y {1-11}, respectivamente. Estas son simples imágenes espejo, uno de otro. Un  tetraedro es una forma de cuatro caras, cada cara en principio es un triangulo equilátero.

Cada cara intersecta  a los tres ejes cristalográficos  a la misma distancia. Se puede derivar esta forma desde un octaedro extendiendo caras alternadas (esto también se

incluye en el conjunto contrario de caras alternadas hasta que ellas

En la figura 3.13  se despliega la orientación de una forma tetraedral en relación al cubo. No se especula que las dos formas , tanto positiva como negativa existan porque siempre se encuentran juntas (fig. 3.14) ¡en un solo cristal!

Si las formas positiva y negativa tienen el mismo tamaño en un cristal individual y la apariencia inicial de la forma cristalina es INDISTINGUIBLE desde un octaedro. Aquí es donde  la diferencia  en la orientación de la superficie es muy importante para el estudio de la forma. Un mineral  que comúnmente presenta esta forma ha sido denominada tetraedrita. Otros ejemplos son el diamante, helvita y esfalerita.

TRISTETRAEDRO—Con los ejemplos anteriores se puede derivar esta forma. Ahora, tomar un tetraedro y levantar 3 triángulos isósceles  y formar las caras en cada una de las 4 caras del tetraedro. Así es como esta forma tiene 12 caras triangulares (fig. 3.15).

En el tetraedo hay formas positivas y negativas como el tetraedro, designadas como { hhl} y {h-hl}, respectivamente. Ésta es sólo una forma relativamente común en la tetraedrita, normalmente subordinada al tetraedro (el fig. 3.16), pero también se ha

reportado en la esfalerita y la boracita. La posibilidad de que este presente en el diamante no puede pasarse por alto, pero como se ha mencionado, puede ser el resultado de procesos de la disolución, en lugar de cristalización.

DELTOIDE DODECAEDRO—Éste es una forma de 12 caras están en las caras adelante a cada uno de la cara de un tetraedro (el fig. 3.18). La forma de las caras resultante es  rómbica. Hay formas positivas y  negativas, designadas como {hll} y {h-ll}, respectivamente. Esta forma a veces se ve como  subordinada  a la tetraedrita o esfalerita dónde aparecería como un conjunto de 3 caras rómbicas modificando las

esquinas de la forma tetraédrico dominante.

Ahora ahora se tienen sólo 4 formas restantes para discutir, del sistema isométrico. El primero a considerar es el giroide.

GIROIDE (Pentagono-trioctaedro)—¡Esta forma no tiene centro de simetría¡. La notación de Hermann-Mauguin es 432. Hay dos formas basadas en simetría de mano izquierda-mano derecha (fig. 3.19) . Los viejos libros mencionan que esta es una forma rara a veces reportadas en la cuprita. Pero libros más recientes indican que en un estudio cristalográfico de la cuprita, esta se muestra como una posible forma hexoctaedrica. Si esto es así, entonces no se tiene ningún mineral natural que cristalice en esta forma, aunque hay laboratorios en donde

los cristales crecidos con esta forma han sido reconocidos.

 Dos de las 3 formas restantes tienen ejes de rotación 3 2, y tienen ejes de rotoinversión 4 3, y tres planos axiales de simetría. La notación de Hermann-Mauguin es de 2/m-3. Estas formas consisten en el piritoedro y el diploide.

PIRITOEDRO (Pentagonal dodecaedro)-- Hay 12 caras pentagonales cada una de las cuales cortan en la unidad a un eje cristalográfico y cortan un segundo eje en algún múltiple de unidad, y el otro paralelo al tercer eje. Hay formas positivas y negativas, que

se le designan como {h0l} y {0kl}, respectivamente. Hay  varias formas piritoedricas, debido al grado de inclinación de las caras. La forma más común es el {102}, la forma positiva ( fig. 3.20) . La Pirita es el único mineral común que presenta esta forma. Es a menudo subordinada,  combinada con el cubo, diploide

(debajo), u octaedro.

DIPLOIDE (Didodecaedro)-- Hay 24 caras (el fig. 3.21), cada cara que corresponde a la mitad de las caras de un hexoctaedro. Ésta es una forma rara. Se debe comparar las figuras 3.20 y 3.21. El diploide se parece un piritoedro dónde dos caras  se forman de cada cara pentagonal del piritoedro. Las caras resultantes son los trapezoides. Hay formas positivas y negativas, designadas como {hkl} y {khl}, respectivamente. La pirita es el único mineral común que exhibe la forma del diploide

¡Se ha llegado a la última forma de los minerales isométricos! ¡Si todavía se está a estas alturas (mentalmente y físicamente), entonces se considera que 1) se tiene poco quehacer hoy para tener el tiempo suficiente y leer este artículo entero, 2) se está haciendo esto para evitar el comienzo de un proyecto mayor, 3) se tiene un problema de salud mental y necesita un consejero, ó 4) se tiene la seriedad para aprender más acerca de la Cristalografía! Así, se escogera esta última forma, el tetartoide y terminamos todo. 

TETARTOIDE (Pentagono-Tritetraedro)—La notación de Hermann-Mauguin  23. esto es, 3 ejes de rotación binarios que coinciden con los ejes cristalográficos y 4 ejes diagonales ternarios de simetría rotacional.  Hay 4 formas separadas en esta clase: derecho positivo {hkl}, izquierdo negativo {khl}, derecho negativo{k-hl}, e izquierdo negativo {h-kl}. Ver figura 3.22 Para la forma positiva. Cobaltita, un mineral desconocido que cristaliza en esta forma. El  tetartoide puede presentarse en forma subordinada en combinación con el cubo, dodecaedro, piritoedro, tetraedro, y dodecaedro y deltoide.

¿Se recuerda el naturalista Steno del 16 siglo? Se mencionó en el artículo introductorio. Bien, se tiene información que él es el cristalográfo que más ha aportado sobre los cristales isométricos y los ángulos interfaciales de algunos de las diferentes formas. Esta información podría ayudar cuando se este considerando qué las formas comunes que se observan tienen presente complejos cristales isométricos.

El ángulo entre dos caras contiguas del cubo es de 90 grados El ángulo entre dos caras contiguas del octaedro es de70 grados 32 minutos.   El ángulo entre dos caras contiguas del dodecaedro es de 60 grados El ángulo entre la cara del cubo(100) y  la de un octaedro (111) es 54 grados 44 minutos. El ángulo entre la cara del cubo(100) y  la de un dodecaedro (110) es de 45 grados. El ángulo entre un octaedro (111) y la de dodecaedro (110) es de 35 grados16 minutos.

¡BIEN! Si se ha comprendido o no, se ha consumido la discusión más larga de formas de cristales de manera simple en esta serie. ¡Por consiguiente, yo le otorgohumildemente a usted la Orden de la Cruz Axial Dorada! Habrá otros premios y palmadas para la vitalidad, perseverancia, tenacidad y dedicación con la que usted ha procedido en su estudio de cristalografía geométrica. ¡Ahora si usted está

sintiendo un pedazo demasiado esférico, después de digerir todo el sistema isométrico, ¡verta algo de simetría ejerciendo nuestros poderes mentales en algunas formas de simetría más simples en el próximo artículo!

Parte 4: Sistema Tetragonal

 

Para comenzar el análisis del sistema tetragonal se examinará primero la cruz axial comparándola con la cruz axial Isométrica (artículo 3), recordando que en el sistema isométrico, los tres ejes tienen la misma longitud y son perpendiculares entre sí. En el sistema tetragonal, se conserva la misma relación angular, pero varía la longitud del eje vertical, pudiendo ser más largo o más corto que los otros dos. Se puede ver que el eje c es vertical, conservando la misma orientación positiva o negativa de este eje (ver fig 4.1 a y 4.1 b).

Como la notación de Hermann-Mauguin para el sistema tetragonal, la primera parte de la notación (4 ó –4) se refiere al eje c y la segunda o la tercera se refieren a el eje 1 y 2 y son elementos de simetría diagonales en ese orden. El prisma tetragonal y las formas piramidales tienen una notación simétrica 4/m2/m2/m.

Primero se considerarán os prismas tetragonales. Hay tres formas abiertas que consisten de 1er orden, 2do orden y prismas ditetragonales. De aquí surge la pregunta, ¿por qué no hay formas cerradas?, y la respuesta es simple: porque no hay formas cerradas, en la figuras a manejar, no se añade una terminación pinacoidal simple denominada c. la forma pinacoidal intersecta sólo al eje c, y según los índices de Miller, se denomina {001}. Esta es una forma abierta simple.

   

El prisma de primer orden es una forma que tiene 4 caras, que son paralelas al eje c e intersectan a los ejes al y a2 a la misma distancia (unidad).Estas caras son designadas por la letra m ( con índices Miller en la fig. 4.2a y por m en fig. 4.2c) y el símbolo de la forma es {110}. El prisma de segundo orden es esencialmente idéntico al prisma de primer orden, pero rotado con respecto al eje c donde las caras son paralelas a los ejes a (fig. 4.2b), siendo así, perpendicular al otro eje. Las caras del prisma de segundo orden se denominan como a y el símbolo de su forma es{100}.

Es claro que las caras de ambos prismas son idénticas, y su designación de la letra sólo depende de cómo ellos seorientan a los dos ejes a. Cuando esas formas están combinadas (fig. 4.2c), entonces se pueden observar rápidamente sus relaciones una a una. Si cada forma está igualmente desarrollada el resultado es un prisma de ocho lados. En esta instancia se debe recordar que la forma aparente de prisma de ocho lados es la combinación de dos formas distintas. La tercera forma del prisma es el prisma ditetragonal (fig. 4.3, la forma común es {210}). Esta puede ser fácilmente confundible con la forma combinada del prisma de primer y segundo orden, sobre todo si están igualmente desarrollada.

Pero vale la pena hacer una comparación de la orientación del prisma ditetragonal en los ejes a en relación a las formas combinadas. Se debe mirar hacia abajo al eje de c

del prisma ditetragonal y los combinamos con los prismas tetragonal de ler y 2do orden, entonces se observará la similitud.

El prisma ditetragonal {210} podría aproximarse a una forma prismática cerrada, y con las malformaciones naturales podrían ser indistinguible uno del otro. Cuando se examina la superficie natural cristalina, formas íntercrecidas y así como las orientaciones de sus estrías, podrían ser diferentes en los dos prismas de las formas combinadas, sin embargo con el prisma ditetragonal todas estas formas tienen la misma orientación. El prisma ditetragonal tiene el símbolo el (hkO).

Las líneas azules que indican el eje y se proyecta adicionalmente en la cima y base de este dibujo sombreado, para que se pueda entender laperspectiva de esta forma de ocho lados " deteniendo la señal " .Otra forma es el sistema tetragonal dipirámide y, hay tres tipos de pirámides. Ellas corresponden a los tres tipos de prismas que se acaban de describir. El nombre dipirámide esta dado por una forma cerrada cuyos planos interceptan a los tres ejes (esto es verdadero en todos los cristales pero sobre todo en el isométrico).

Se puede observar en esta forma, que el eje de c corta a una longitud diferente a los ejes a, debido a que ya definimos esa forma como un octaedro en el sistema isométrico. Es así

que puede cortar a una distancia más larga o más corta a lo largo del eje c que la longitud de los ejes a. Note la orientación a la cruz axial (la fig. 4.4, la forma más común {111}). Se designan las caras de la dipirámide de primer orden como en la p. La dipirámide de segundo orden tiene la forma básica como la forma de la dipirámide de primer orden, difiriendo solamente en su orientación en la cruz axial ( el fig. 4.5, la forma mas común{011}) .Las segundas caras de dipirámide de orden se designan por la letra e.

El circón es un mineral maravilloso para observar las caras de la dipirámide tetragonal y del prisma tetragonal. De hecho, causa gran admiración la variación de la longitud del eje de c en cristales del circón de las diferentes localidades. El circón puede variar desde una forma corta y gruesa, cristales equidimensionales a casi aciculares y puede tener las mismas formas básicas. Antes de que se discuta la 3ra forma dipiramidal, es necesario observar los distintos dibujos en la Figura 4.6 para comprender la variedad de formas que pueden producirse con tetragonales simples. En figura 4.6c, las caras designadas como u representan otra dipirámide de primer orden con un ángulo diferente de intersección con el eje vertical. 

     

Ahora la forma de tercer orden dipiramidal, la dipiramidal ditetragonal. Esta es una forma con terminación cerrada que tiene 16 caras (fig. 4.7) .Esta forma tiene una doble pirámide de 8 lados por lado de donde las 16 caras similares cortan a los tres ejes a distancias desiguales. El símbolo general es {hkl}. Esta forma es raramente dominante, pero en ocasiones es común como forma subordinada en el circón a la que se le nombra zirconoide. La Anatasa podría tener también la forma expresada. El prisma ditetragonal esta combinada con el prisma de primer orden. En la figura 4.7, a veces el prisma no se presenta, por consiguiente simplemente está la unión de las dos caras, para facilitar el trabajo se ha marcado su posición, expresándola por una flecha y la letra m. 

 

Las siguientes formas en el sistema a considerar tienen la notación de Hermann- Mauguin -42m. Esas formas cerradas incluyen al escalenoedro tetragonal(escalenoedro rómbico) y el disfenoide ( tetraedro tetragonal). Es importante recordar que en ambas formas existe un eje de rotoinversión cuaternario. El diesfenoide tetragonal existe como una forma positiva y una forma negativa. Tiene sólo 4 caras ( fig. 4.8a). Pueden expresarse ambas formas

en un solo cristal ( fig. 4.8b) .Las caras se designan por la letra p para la forma positiva y p1 para la  forma negativa. Esta forma difiere del tetraedro del sistema isométrico en el que el eje vertical no es de la misma longitud como los otros dos ejes. El único mineral común en esta clase es la calcopirita. Cualquier mineral de esta clase debe tener el ángulo interfacial muy exacto, las medidas efectuadas permiten demostrar que es el tetragonal

y no el isométrico. 

El Escalenoedro tetragonal (fig. 4.9) es raro en si mismo, pero se expresa a menudo con otras formas en la calcopirita y estanita. Se puede derivar la forma del disfenoide del sistema, dibujando una línea desde una esquina de cada cara del diesfenoide, al centro de la línea que une las dos esquinas opuestas, formándose dos

caras de la división resultante. Así, una forma disfenoidal de cuatro caras  una forma

¡La pirámide ditetragonal se parece a la mitad de la dipirámide ditetragonal, pero un ejemplo bien formado está presente en un extremo del eje c!. Esta forma es raramente dominante y normalmente es subordinada a otro prisma común así como a formas de la dipirámide. La diaboleíta es el único mineral conocido que representa a esta clase cristalina. Es interesante hacer notar que aunque el mineral diaboleíta se describió primero en 1923, y no fue sino hasta en 1941 que los cristalógrafos comprendieron sus formas, permitiendo el reconocimiento de dicha forma. En la literatura anterior a 1941, ningún mineral se conocía de esta clase cristalina.

El trapezoedro tetragonal es la próxima forma a considerar. Es una forma cerrada que consiste en 8 caras trapezoedrales las cuales corresponden a la mitad de las caras de la dipirámide ditetragonal. Su notación de simetría es 422, mientras que un eje cuaternario de rotación es paralelo al eje c y los ejes 22 forman ángulos rectos al eje

Tetragonal c. No presenta centro de simetría y ningún plano de simetría. Allí existen formas de mano derecha-mano izquierda( fig. 4.11) .Sólo la fosgenita representa esta clase cristalina.

 

En un dibujo de la forma simple ( designadas como e en las figs.. 4.12a y 4.12b), la dipirámide tetragonal parece tener una simetría más alta que 4/m, la verdadera simetría se revela cuando se observa en un cristal real de scheelita (las caras azules en la fig. 4.12b ). Los minerales que expresan esta simetría lo hacen como formas cerradas cristalinas, aparte de la scheelita, se incluyen la powellita, fergusonita y miembros del grupo de la escapolita.

La siguiente forma es interesante pues sólo tiene un eje -4 de roto-inversión que coincide con el eje c. Su notación de simetría es -4. La forma cerrada de este disfenoide tetragonal ( el tetraedro tetragonal) posee sólo 4 caras que son triángulos isósceles ( fig. 4.13).

Sin otras formas modificando, como los pinacoides y prismas tetragonales, la forma parecerá tener dos planos de simetría verticales, es decir una simetría de –42m ( como el disfenoide que se discutió anteriormente ). Sólo se conoce el mineral cahnita como representante de esta clase. 

Finalmente se ha llegado a la última forma del sistema tetragonal. Aunque parece simple, por ser la última forma, tiene la simetría más baja. La pirámide tetragonal ( hemimórfica hemiedral) es una forma abierta con sólo un eje de simetría cuaternario que coincide con el eje c (fig. 4.14) .¡EI término hemimórfico suena a imaginación, pero simplemente es una manera corta de decir que aparece sólo la mitad de la forma que se observa! Ningún centro o plano de simetría existen en esta clase. Tiene formas superiores {hkl} e inferiores {hk-I}, en una relación de mano izquierda- mano derecha. Otras dos pirámides tetragonales tienen la notación de la forma general de {hhl} y {0kl}, dependiendo su orientación en la cruz axial. La wulfenita es la única especie mineral que representa a esta forma, aunque sus cristales no siempre muestran la diferencia entre las caras piramidales inferiores y superiores, para caracterizar las formas complementarias distintas.

Se espera ahora, que quede entendido que simplemente estirando o acortando el eje vertical de la cruz axial del sistema isométrico, definimos el sistema tetragonal. Entonces, examinando la presencia o ausencia de varios elementos de simetría (los planos, ejes de rotación, y centro de simetría), se pueden describir todas las formas cristalinas posibles del sistema tetragonal. Muchos cristalográfos, prefieren considerar el sistema hexagonal como el próximo a tratar porque tiene sus corolarios en el sistema tetragonal, pero se discutiría alrededor de eso y variaría la longitud de otro eje de la cruz axial y se vería que pasa con él, en el artículo 5 “el sistema ortorrómbico”.

jAsí es pues, considere el mundo simétrico alrededor de usted y no tenga miedo mirar su propia imagen en el espejo! 

Parte 5: Sistema Ortorrómbico

Se inicia esta vez examinando la cruz axial para el sistema ortorrómbico, el Sistema Tetragonal tiene la a y b de la misma longitud (a1 y a2) pero varia la longitud del eje de c. En el Sistema Ortorrómbico, las relaciones angulares son de 90 grados entre los 3 ejes, pero varia la longitud de cada eje individual. Los 3 EJES DEBEN SER DESIGUALES EN LONGITUD. Si dos son iguales, entonces, por la convención, se habla de el sistema tetragonal.

En el cuadro 5,1, por conveniencia se orienta cualquier cristal de este sistema de tal modo que la longitud de c sea mayor que la longitud de a, que, por otra parte, es mayor  que la longitud del eje b. Se encontrará comúnmente esto en libros de textos como "c<a<="" comunes.="" orthorhombic="" minerales="" ciertos="" de="" tratar="" al="" orientación="" la="" especiales="" situaciones="" algunas="" encontraremos="" porqué="" es="" razón="" esta="" existente.="" literatura="" con="" posible="" cuando="" conformarse="" consenso="" el="" actualmente,="" y="" aquí,="" dada="" longitud="" axial="" práctica="" siempre="" observado="" han="" no="" mineralogistas="" los="" pasado,="" en="" qué!="" conjetura=""

¡pero="" otro.="" uno="" perpendiculares="" ser="" deben="" que="" espejo,="" del="" simetría="" planos="" 3="" haber="" también="" puede="">"

Al examinar un cristal Ortorrómbico, se encuentra que la simetría obtenible más alta es 2-(eje binario). En una forma simple, como es la combinación de los 3 pinacoides  (forma abierta), el cristal adquiere un aspecto alargado, y a menudo tabular. Éstas son formas típicas  en la baritina y el celestina. Los 3 pinacoides son perpendiculares el uno al otro y la orientación de   los ejes de un cristal dado es lograda generalmente por un examen del hábito y de cualquier corte evidente. En el topacio, el corte pinacoide al prominente está en el plano de los 2 ejes  más cortos perpendiculares  al eje más largo, así que por convención, es considerado perpendicular al eje de c. Sin embargo, se encuentra la situación donde un cristal dado exhibe un pinacoide muy prominente y el cristal es tabular en forma. En tal caso, se considera el eje de c al ángulo recto del pinacoide prominente y el cristal se orienta como en el cuadro 5,2. Esto es un aspecto muy diverso que el ejemplo del topacio, conocido en el párrafo superior. El sistema Ortorrómbico tiene 3 clases generales de la simetría, cada uno expresada por su propia notación de Hermann-Mauguin. Observese las formas señaladas por la simetría 2/m2/m2/m. Hay 3 de éstas (casi todo lo  mencionado en este artículo está en 3): el pinacoide (también llamado el paraleloedron); el Prisma rombico; y la dipiramide rómbica.

El pinacoide consiste en 2 caras paralelas, y pueden ocurrir en las 3 diversas orientaciones cristalográficas. Éstos son el par que interceptan el eje de c y son paralelos a las ejes de a y de b { 001 }; el par que intercepta el eje de b y es paralelo a las ejes de a y de c { 010 }; y el par que intercepta al eje a y es paralelo a los ejes de b y de c { 100 }. Se llaman el pinacoide de c, el pinacoide de b, y un pinacoide de a, respectivamente (fig. 5,3). El Prisma rómbico, es una forma abierta, que consiste en 4 caras que sean paralelas a un eje e intercepten a los otros dos. Hay 3 de estos

Prismas rómbicos y son dadas por las formas generales: { hk0 }, que es paralelo al eje c; { h0l }, que es paralelo al eje de b; y { 0kl }, que es paralelo al eje a. Cuadro 5,4 a, b, presenta los 3 Prismas rombales, cada uno conjuntamente con una forma pinacoide al correspondiente. Solamente la cara positiva del Prisma rómbico se denomina en éstos

5.4a Prisma {110} yPinacoide {001}

5.4b Prisma {101}yPinacoide {010}

5.4c Prisma  Rombico {011}y Pinacoide {100}

Sin embargo, después de examinar una gran cantidad de diversos minerales ortorrómbicos,  se nota una gran cantidad de prismas expresadas en un solo cristal, y estas formas no se pueden expresar como  unidades en sus índices porque  se intersectan sobre las ejes horizontales que no son proporcionales a sus longitudes. Aquí es donde viene lo práctico de la notación general de la símbologia. En los primeros días de la cristalografía, estas formas fueron señaladas como macroprismas o braquiprismas, dependiendo de si h > k o macroprisma de k > h. Tiene el símbolo general { h0l } y un braquiprisma tiene el símbolo general de { hk0 }.

5.5a Macro- Braqui-yPinacoides Basales

5.5b Prisma y Pinacoides Basales 5.5c

Con el cuadro 5,5, se tienen 3 sistemas de prismas expresadas por las designaciones de la letra  m,  l y  n, y de una cara del pinacoide señalada con a. La dipirámide rómbica es la forma tipica de esta clase de la simetría. Se simboliza por la forma general { hkl } y consiste en 8 caras triangulares, cada uno de las cuales intersecta los 3 ejes cristalográficos. Esta pirámide puede tener varios  aspectos debido a la variabilidad de las longitudes axiales (figs. 5,6 a, b, c).

5.6a  DipiramideRombico 5.6b 5.6c Cristal de azufre

Un número relativamente grande de minerales ortorrómbicos se encuentra con combinaciones de distintas formas. Éstos incluyen la andalucita, los miembros del grupo de la aragonita y de la baritina, la brookita, el crisoberilo, los ortopiroxenos, la goethita, la marcasita, el olivino, la sillimanita, la estibnita, el azufre, y el topacio.Se considera que son  pocas las formas que tienen la simetría mm2 (llamada  pirámide rómbica). El eje de rotación binario corresponde al eje cristalográfico c y los 2 planos  (perpendiculares  uno al otro) intersectan este eje. debido al hecho de que no existe ningún plano horizontal, las formas en la parte superior

y el fondo del cristal son diferentes (fig. 5.7a). También, debido a la carencia del plano horizontal del espejo, no existe ningún prisma, sino que por el contrario tenemos 2 domos en lugar de cada uno de los prismas (un domo que consiste en 2 caras que se intersectan, pero no tienen  ninguna cara paralela correspondiente en el otro extremo del cristal).  Hemimorfita (fig. 5.7b), el struvita (fig. 5.7c) o la bertrandita son ejemplos para esta clase de simetría.

5.7a Piramide Rombica 5.7b Hemimorfita 5.7c Struvita

Y ahora a la clase (y el más bajo) de la simetría del sistema ortorrómbico, el diesfenoide rómbico. La forma también se ha llamado el tetraedro rombico. Tiene la notación de 222,  cuya simetría es de 3 ejes de  rotación (binario) que corresponden a los 3 ejes cristalográficos.  Las formas son, sin embargo, enantiomorfico, es decir presente tanto a la derecha como a la izquierda (fig. 5,8). Estas formas cerradas consisten en 2 caras triangulares superiores que se alternen con 2 caras triangulares inferiores, el par de caras superiores son compensadas  90 grados con relación al par de

caras inferiores.

Figura 5.9

Los pinacoides y los prismas pueden también existir en esta clase. El mineral más común de esta clase cristalina es la epsomita (fig. 5,9). Observe que en el cuadro 5,9 el diesfenoide rómbico es señalado por la letra z y el prisma de la unidad por m.

Parte 6: Sistema Hexagonal

Ahora, se analizará el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación.

Las formas del Sistema Hexagonal están definidas por las relaciones de la cruz axial. Los ejes hexagonales ( fig. 6.1) consisten en 4 ejes, 3 de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a1 , a2, y a3 tienen una relación angular de 120 grados (entre los extremos positivos). En ángulo recto {ángulo normal según las matemáticas) se encuentra el eje c cuya longitud puede variar.

Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje  c), los ejes dividen un círculo en 6 partes del igual y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-,+,-,+, -. Los extremos se alternan positivo y negativo. Nombrando los índices de cualquier cara, con cuatro números (símbolos de Bravais) debe darse. En la notación de simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría que es coincidente con c en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se refieren a los elementos de simetría paralelos  y normal a  los ejes cristalográficos a1, a2 y a3, respectivamente.

Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones fundamentales. Existen siete posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría senaria, en la división Hexagonal y cinco posibles clases, todos  los que contienen ejes ternarios, en la división  Trigonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el Sistema Hexagonal es {hk -il}. La relación angular de las tres ejes horizontales (a1, el a2, y a3)  muestran que la suma algebraica de los índices h, k, i, es igual a 0.

 

División Hexagonal 

Ahora, se estudiará la primera clase de la división Hexagonal. La Normal o la clase Dipiramidal dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalográfico c o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 tres ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisectan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m.

Para comprobar lo anterior, es necesario el uso de la figura 6.2a y 6.2b qué muestra los elementos de simetría de esta clase, asociado con los ejes y  planos de simetría.

Elementos de simetría rotacionales Planos de Simetría

Hay 7 formas posibles que pueden presentarse en la clase Dipiramidal Dihexagonal:

Forma Numero de caras  Índices de Miller  Forma1. Base o pinacoide basal  2 (0001) abierta2. Prisma de primer orden 6 (10-10) abierta3. Prisma de segundo orden 6 (11-20) abierta4. Prisma dihexagonal 12 (hk-i0) ejemplo: (21-30) abierta5.Pirámide de primer orden 12 (h0-hl) ejemplo: (10-11), (20-21) cerrada6. Pirámide de segundo orden 12 (hh2hl) ejemplo: (11-22) cerrada7. Dipiramidal dihexagonal  24 (hk-il) ejemplo: (21-31) cerrada

Ver las figuras 6.3 hasta 6.8 (abajo) para las formas referidas.

 Prisma hexagonal de primer orden y Pinacoide c 

Prisma hexagonal de segundo orden y Pinacoide c 

Prisma Dihexagonal y Pinacoide c

 Dipirámide hexagonal de primer orden

Dipirámide hexagonal de segundo orden

 Dipirámide dihexagonal 

Las dos caras de la base, o el pinacoide basale, es normal al eje c y al observador, y generalmente se denota por la letra cursiva c. Sus índices del Miller son (0001) y (000-1).      

 Los primeros y segundos prismas del orden no pueden distinguirse entre si, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60 grados, pero cuando se observa hacia abajo el eje  c, como en la figura 6.9, las relaciones de las dos formas y los ejes a son rápidamente visualizadas.

Correspondiendo a los 3 tipos de prismas son 3 tipos de pirámides. Se puede notar que en las figuras 6.6 y 6.7 de la página anterior la forma similar, pero se diferencia en la relación angular en los ejes horizontales. La dipirámide dihexagonal es una doble pirámide de 12 lados  (figura 6.8). La primera pirámide del orden se etiqueta la p. La segunda pirámide del orden se etiqueta s. La dipirámide del dihexagonal se etiqueta v.

Estas formas aunque parezcan relativamente simples algunos de ellas se combina en un solo cristal, en este punto, se debe de tener especial atención. Se pueden tener algunas de las mismas formas, incluso a  ángulos diferentes, así las dos pirámides de primer orden pueden denominarse las pirámides del orden p y u, respectivamente.

Vea figura 6.10 de un cristal del berilo que tiene todas estas formas desplegadas. La molibdenita y  la

pirrotita también cristalizan en esta

El dipiramidal ditrigonal  {hk - il} tiene un eje senario de rotoinversión  que es escogido como c. Se debe notar que los ejes -6 son equivalentes a un eje -3 de rotación normal a un plano de simetría. Tres ejes de simetría, cortan al eje vertical y son perpendiculares a las 3 ejes cristalográficos horizontales. Existen también 3 ejes binarios horizontales en los planos de simetría verticales, Herman - Mauguin es -6m2.

Esta clase es una forma de doce, seis en la cara superior  y seis caras en la parte inferior del plano de simetría que queda en el a1-a2-a3 plano axial. La figura 6.11a es la dipirámide ditrigonal que se  forma y la figura 6.11b representa un dibujo de benitoita, el único mineral que se ha descrito en esta clase.

La clase Hemimórfica (Piramide dihexagonal). Esta clase difiere de las clases discutidas anteriormente en  que  no tiene ningún plano  horizontal de simetría y ningún eje  horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann - Mauguin es 6mm. La geometría de los prismas presenta el mismo comportamiento. El plano basal es un pedión (recuerde que un pedión difiere de un pinacoide en que es una sola cara) y las pirámides positivas y negativas de los 3 tipos. La diferencia puede notarse rápidamente en un dibujo de la forma de esta clase ( fig. 6.12) cuando se comparó con la figura 6.8 (dos páginas atrás).

Algunos minerales como zincita, wurtzita, y greenockita que son de esta

   

En la clase Trapezoedral Hexagonal, los ejes de simetría están igual que la clase normal (la clase dipirámidal dihexagonal que se discute inicialmente en esta sección), pero los planos de simetría y el centro de simetría no están presentes.La notación de  Hermann - Mauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen  espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (figura 6.14).

Otras formas, incluso los pinacoides, prismas hexagonales, dipiramides, y prismas  dihexagonales, pueden estar presentes. Se conocen sólo 2 minerales que representan a esta clase cristalina:  cuarzo beta y kalsilita.

La clase Dipiramidal Hexagonal (figura 6.15) tienen sólo un eje vertical senario de rotación y un  plano de simetría perpendicular a el. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría.

Las formas generales de esta clase son los dipirámides hexagonales positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6 inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una dipirámide dihexagonal.

Otras formas presentes puede incluir pinacoides y prismas. Los minerales principales

que tienden a  cristalizar en esta clase son los

La Dipirámide trigonal posee un eje senario de roto-inversión , la notación de Hermann - Mauguin de -6. Esto es equivalente de tener un eje 3 y un plano de simetría normal  a él (3/m). Ver figura 6.16. Matemáticamente, esta clase puede existir, pero hasta la fecha no, se conoce ningún mineral que cristalize en esta clase.

En la clase de la Pirámide hexagonal, el eje vertical es un eje 6. Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura  6.17 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquéllas de la Dipirámide Hexagonal (anteriormente discutidas), pero porque no se presenta ningún plano de simetría horizontal? a diferencia de esto, están presentes en la parte superior e inferior del cristal. La pirámide hexagonal tiene cuatro ejes senarios  presentes y sus  formas son :superior positivo, superior negativo, inferior positivo, inferior negativo.

Pediones, pirámides hexagonales y prismas pueden estar presentes. Sólo raramente se presentan plenamente desarrolladas. La nefelina es la representante más común de esta clase.

 

División Trigonal 

Hasta ahora se ha trabajado a través de las primeras 7 clases en el Sistema Hexagonal, todos que tienen algún grado de  simetría senaria (6). Ahora, toca mirar la División Trigonal del Sistema Hexagonal. Aquí, se observa que la simetría ternaría (3)  gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son  formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma  trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico c y  forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del el prisma hexagonal de primer orden.

De hecho, la luz normal refractada 60 grados en un  prisma de vidrio, se  ha usado en muchos talleres de laboratorio de física, de esta manera esta limitada en el extremo por el pinacoide  c. Allí existe un  prisma de segundo orden y que da  la apariencia general  del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en

la terminación de otra manera que el pinacoide c, los dos prismas pueden distinguirse rápidamente, uno del otro. El  prisma de segundo orden se gira 60 grados sobre el eje de c cuando se compara con el prisma de

primer orden.

 El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales arregladas en conjuntos de 2 caras.

Por consiguiente los bordes alternos son de diferente  carácter; sobre todo es notable cuando se observa hacia abajo el eje c.

Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden.

Las estriaciones en la  parte izquierda de la figura son típicos para los cristales trigonales naturales, como la turmalina. En el dibujo,  en el eje c están los pinacoides  y en m las caras del prisma.

Se cree que estas formas son bastantes simples y no es necesario algún dibujo para explicarlos, pero si se busca en la  figura 6.23 (abajo) las formas de la turmalina. Ellos se dan la anotación del prisma normal de m y a.

La clase escalenoedrica hexagonal. Lo primero en considerar en esas formas es la simetría - 3 2/m en la notación de Hermann - Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: el romboedro y el escalenoedro hexagonal.

En esta clase, los ejes de rotoinversión -3 son coincidentes con el eje vertical (c) y los tres ejes binarios 2  corresponden a las tres ejes horizontales ( a1, a2,y  a3).

La forma general {hk- il} del escalenoedro  hexagonal (figura 6.19), la diferencia primaria en el romboedro  es una forma  romboedral , es decir, hay 3 caras romboedrales anteriores y 3 caras debajo del

centro del cristal.

En un escalenoedro, cada una de las  caras del romboedro se convierten en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 en la parte inferior. El escalenoedro que es una

forma de 12 caras. Estas formas se

Con esta forma, usted puede tener ambos, positivo {h0 - hl} y negativo {0h - hl} las formas para el romboedro...

y  formas positiva {hk-il} y negativa {kh-il}  para el escalenoedro.

Las figuras complicadas, el romboedro y escalenoedro, como formas, a menudo se combinan con las formas presentes,  en las clases de simetría hexagonales más complicadas. Así, se pueden encontrarlas en combinación con los prismas hexagonales, dipirámides hexagonales, y formas del pinacoides.

La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas. Ver la figura 6.21  algunas formas de la cristalización de calcita. Varios minerales, como la chabazita y el corindón,

normalmente muestran las combinaciones de la forma.

En los últimos 3 dibujos en la figura 6.21, hay que nombrar las caras  presentes. Ya se han nombrado las primeras 5 figuras. 

La próxima clase de cristal a considerar es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación(3) y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann -  Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a  los tres planos normales a los tres ejes horizontales (el a1,a2,a3). Estos 3 planos de simetría cortan al eje vertical 3.

La forma general {hk-il} es una Pirámide Ditrigonal. Hay 4 formas posibles de pirámides ditrigonales cuyos índices son {hk-il}, {kh-il}, {hk-i-l}, y {kh-i-l}.

Las formas son similares a la forma escalenoedrica hexagonal pero tienen solo la mitad de las caras, observándose la ausencia de ejes binarios de rotación. Como los cristales, tienen formas diferentes en la parte superior en su parte superior así como en su base. La figura 6.22 muestra la pirámide ditrigonal.

La figura 6.23 muestra 2 cristales de turmalina el mineral más común que se cristaliza en esta clase la cual despliega simetría de 3m.

Esta forma puede combinarse con pediones, Prismas hexagonal y Piramides, Pirámides trigonales, Prismas trigonales prismas, y Prismas

ditrigonal algunas veces

Se ha  llegado al trapezoedro trigonal. Las 4 direcciones axiales están ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario (3) y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario(2).Esto es similar a la clase -32/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Hay 4 trapezoedros  trigonales, cada uno compuestos de 6 caras trapezoidales. Sus índices de Miller son: {hk - il}, {i-k - hl}, { kh - il}, y {- ki - hl}. Estas formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha y una forma izquierda (un par ilustra la figura 6.24).

Otras formas que pueden estar presentes incluyen pinacoides, prismas  trigonales, prismas hexagonales, prismas  ditrigonales, y romboedros.

El cuarzo es el mineral más común que cristaliza en esta clase, pero raramente  la cara trapezohedral se forma. Cuando, es una cuestión simple para determinar si el cristal es de forma derecha o izquierda (figura 6.25).El cinabrio también cristaliza en esta clase.

La clase Romboedrica tiene un eje ternario(-3)  de rotoinversion que es equivalente a un eje ternario(3) y un centro de simetría. La forma general es {hk - il} y la notación Hermann - Mauguin es -3.Esta forma es engañosa porque a menos que en otras formas estén presentes, su verdadera simetría no estará clara. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes.Dolomita e ilmenita son  la mayoría de los minerales comúnes que cristalizan en esta clase. Ver la figura 6.26.

 

Ahora, se ha alcanzado a la clase final en el sistema Hexagonal. La Pirámide trigonaltiene uno eje un eje ternario de rotación(3). Ver figura 6.27. Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hk - il, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Dipirámide Dihexagonal (ya se discutió anteriormente). Además de esto, es posible que puede haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides abajo de. Sólo cuando Pirámides trigonales están en combinación entre si es cuando la combinación revela la verdadera simetría.Aparece sólo un mineral, una especie rara llamada gratonita, que pertenece a esta clase no se ha estudiado suficientemente por los cristalógrafos.

 

Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan por el extremo negativo del eje  a3 (ver la figura 6.1 de nuevo) se considera que es 0 grados para propósitos de ploteo Esto es importante cuando se mira  la distribución de las  formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos.Se sugiere que se lea la página 88 del Manual de Mineralogía  de J. D. Dana por Klein y Hurlbut (edición 20) si se desea todo a detalle.

 

¡ESTUPENDO! hemos visto al Sistema hexagonal. Yo espero que usted también no sea insensible a cualquier discusión. En ese caso, prepárese a ponerse menos simétrico, incluso cuando comenzamos a trabajar con el sistema monoclínico. 

 

Parte 7: Sistema Monoclínico

Después de haber visto el sistema hexagonal en el artículo 6, se puede reasumir la tarea de conocer la simetría de otro de los sistemas de 3 ejes. Considérese la cruz axial, (ejes a, b, y c), cada uno de longitud desigual, del sistema  monoclínico (fig. 7.1). En todo lo anterior,  los sistemas de 3 ejes, se considera lo que pasa cuando  se varia uno o más de las longitudes axiales, teniendo los ángulos axiales a 90°. Pero en el sistema  monoclínico, se observa lo que pasa cuando se  tiene 3 ejes de longitud desiguales y se cambia el ángulo de 90°de dos de sus ejes. ¡Obviamente, se debe de perder un poco de simetría de nuevo!

Los ejes se designan como sigue: el eje inclinado es a y se dirige  al espectador, el eje vertical es c, y el eje restante que es perpendicular al plano que contiene al eje a y c es b. Cuando se orienta, el eje inclinado hacia el observador, b está horizontal y c es vertical. los ejes b y c están en un mismo plano.

En la Figura 7.1, el ángulo entre c y b sigue siendo de 90° y el ángulo (^) entre c y a es el que se cambiará. Se le Llamará β  y se representa por la letra griega en la figura axial. Para la mayoría de los cristales del sistema monoclínico, el (^) de beta es mayor , pero en algunos casos raros, el ángulo puede ser de 90°. Cuando esto ocurre, la simetría del

monoclínico no visualiza claramente la morfología. Los ejes de rotación binarios (en dirección perpendicular al plano de simetría) normalmente se toman como el eje b. Un eje esta inclinado hacia el frente en la mencionada figura. Los cálculos de parámetros axiales en los sistemas cristalinos ortogonales (donde todos los ejes son perpendiculares al observador) es relativamente fácil, pero es bastante tedioso en los sistemas con uno o más ejes inclinados. Se sugiere un texto de mineralogía avanzado, no introductorio, si usted esta interesado en ir mas lejos. Incluso en textos de  mineralogía normales,  en estos días se dan las fórmulas para hacer estos cálculos. Aparte de las constantes axiales necesarias para describir minerales en el sistema monoclínico, el (^)  beta también debe darse. Dada esta situación, y si se desearía buscar esta información para la ortoclasa en un libro de texto de  mineralogía normal, como el  Manual de Hurlbuts y Klein de Mineralogía según E. S. Dana. Se encontrará que para el a:b:c de la ortoclasa es = 0.663:1: 0.559. ^beta = 115 grados, 50 minutos.

El clivaje es importante a considerar  en este sistema. Si hay un buen clivaje pinacoidal,  paralelo al eje b (como en la ortoclasa), entonces se llama clivaje basal. Normalmente se considera que ellos son clivajes prismáticas verticales en los piroxenos del monoclínico y anfíboles dónde hay 2 direcciones de clivajes equivalentes.

Hay solo 3 clases de simetría a considerar en el Sistema Monoclínico: 2/m, m, y 2.

En la clase de simetría 2/m, sin embargo, hay 2 tipos de formas, pinacoides y prismas. Recuérdese que una forma del pinacoide consiste en 2 caras paralelas (la forma abierta).El pinacoide a también se llama frontal (se llamaba el ortopinacoide), el b se llama el pinacoide lateral (se llamaba el clinopinacoide), y el c es el denominado pinacoide basal.Hay 2 pinacoides adicionales con las anotaciones de la forma generales de {h0l} y {-h0l}. La presencia de uno de estas formas no hace necesario la presencia del otro.

Estos 3 pinacoides juntos forman el prisma diametral (el fig. 7.2) que es el análogo del cubo en el sistema isométrico, de hecho la nueva denominación de los libros de texto, confunde; los pinacoides forman un paraleloedro. Así que tenemos 3 nombres en la literatura para la misma cosa.

Primero obsérvese un dibujo para mostrarlo donde se ubica el plano de simetría y la orientación de los ejes binarios (2) (fig. 7.3). Como se describió anteriormente, el eje de b es uno los 3 ejes de rotación.

Los prismas con 4 cuatro caras tienen la forma general {hkl). Un prisma  monoclínico se muestra en la Figura 7.4. La forma general puede ocurrir como dos prismas independientes {hkl} y {-hkl}. Hay también {0kl} y {hk0} los prismas. El {0kl} el prisma corta el b y c el es paralelo al eje a.

Aquí es la parte divertida. La única forma en la clase 2/m que es fijo haciendo coincidir el eje binario de rotación con el eje b es el pinacoide  b {010}. ¡el otro eje binario pueden escogerse como c o a !

Como un ejemplo, el pinacoide {100}, el pinacoide{001}, y el pinacoide {h0l} se pueden posicionar a los pinacoides hacia el observador ¡girando su orientación sobre el eje  b! El corolario a esta situación, los prismas pueden intercambiarse de la misma manera. Se necesita mirar algunas ilustraciones de algunos minerales

monoclínicos relativamente comunes. En estos dibujos usted debe reconocer la notación de la letra dónde a, b, y c son las formas del pinacoide ; m es el prisma de la unidad  y z es un prisma; las pirámides son o, u, v, y s ;   los ortodomos son p, x, y y ; y n es un clinodomo.

En las figuras 7.5a, b, y c son las formas comunes para la ortoclasa y 7.5d son una forma común para selenita (el yeso). Muchos minerales comunes cristalizan en esta clase de simetría, incluso la azurita, clinopiroxenos y grupos de los clinoanfiboles, datolita, epidota, yeso, malaquita, ortoclasa, rejalgar, titanita, espodumeno, y talco.

La segunda clase de simetría del sistema monoclínico es m y representa un solo  del plano vertical (010) eso incluye los c y un eje cristalográfico. Un domo es la forma

general {hkl} en esta clase (fig. 7.6) y es una figura de 2 caras que es simétrico por un plano de simetría. Hay 2 posibles orientaciones del domo, {hkl} y {- hkl). La forma {010} es un pinacoide, pero todas las caras en el otro lado del plano son  pediones. Éstos incluyen {100}, {- 100}, {00-1), y { h0l}. Sólo 2 minerales raros, la hilgardita y clinohedrita, cristalizan en esta clase.

La tercera clase de simetría del sistema monoclínico es 2 y representa un eje binario(2) de rotación que coincide con el eje cristalográfico b. La figura 7.7 representa a la forma general {hkl} es un esfenoide o diedro. Puesto que no se tiene ningún plano de simetría que coincida con los ejes a-c y con el eje  b que es polar, en la clase de simetría binaria, se tienen diferentes formas presentes en las partes opuestas de b. El pinacoide {010} de 2/m se vuelven 2 pediones, {0l0} y {0-10}. Igualmente, el esfenoide {0kl}, {hk0} y {hkl} los prismas de 2/m cambian en  pares de mano derecha e izquierda (enantiomórfico).

La forma general, el esfenoide, es enantiomórfico y tiene los índices de Miller  {hkl} and {h-kl}. Los minerales representativos son escasos en esta clase, pero incluye el grupo de halotrictita junto con el mineral pickeringita como el miembro

que más ocurre. Para comparaciones obsérvese los

Parte 8: Sistema Triclínico

El lector debe estar contento de leer el artículo del sistema anterior! . En el examen total de los sistemas de 3 ejes, éste es relativamente corto y poco difícil de entender debido a la carencia de la simetría.

Obsérvese, como con el resto de sistemas, mirando la cruz axial del sistema triclínico (fig. 8,1). En esta figura, se observa que los 3 ejes (a, b, y c) todos son desiguales en longitud  y que no hay ángulos axiales de 90°. En el sistema monoclínico, por lo menos se tenían a y b perpendicularmente, pero aquí se ha perdido incluso eso!

Obsérvese que el ángulo β todavía está entre los ejes a y c, pero ahora se tienen los 2 ángulos adicionales a definir, ni uno ni otro son iguales a 90 grados. Un ángulo se llama α y se define como el ángulo entre los ejes  c y  b y el segundo es γ que ahora se define como el ángulo entre a y  b, existen algunas convenciones o reglas validadas a seguir para orientar un cristal triclínico.

Recuérdese, en la orientación de cualquier cristal, se está determinando la posición de los 3 cristalográficos. Así pues, las reglas son: 1) la zona más pronunciada debe ser vertical y por lo tanto el eje en esta zona se convierte en  c; 2) { los 001}forma (pinacoide básico) deben inclinarse adelante y a la derecha; y 3) las dos formas selectas en la zona vertical, una será {100 } y la otra será { 010 }. Ahora, la dirección de un eje es determinada por la intersección de { 101 } y { 001 } y la dirección del eje de b es determinada por la intersección de { 100 } y { 001 }. Una vez que se haga esto, un eje debe ser más corto que el eje  b de modo que se cumpla la convención c < a < b. las distancias axiales y los 3 ángulos, alfa, beta, y gama, se puede calcular solamente con dificultad considerable. Como en el sistema monoclínico, la longitud del eje  b se define como unidad (1). La información de la cristalografía referente a un mineral triclínico incluirá lo siguiente (un ejemplo): a:b:c = 0.972: 1 : 0.778; alfa = 102 grados 41 minutos, beta = 98 grados 09 minutos, gama = 88 grados 08 minutos.

En el sistema triclínico, se tienen dos clases de la simetría. El primer a considerar es el -1 (notación de Hermann-Mauguin). En esta clase, hay un eje -1 de la simetría, el equivalente de un centro de la simetría o de inversión. El cuadro 8,2 muestra un pinacoide triclínico (o el paraleloedro). Esta clase se llama la clase pinacoidal después de que su forma general { hkl }.Todas las formas pinacoides presentes y por lo tanto consiste en caras paralelas e idénticas.

Cuando se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide determinan su posición. Hay 3 pinacoides. Recuérdese  que los pinacoides para intersecar un eje y ser paralelos a los otros 2 (en sistemas de 3 ejes). Se comienza a mirando la simetría -1. Éste es el eje de la  rotoinversión, que se puede ver igual que un centro de simetría. El cuadro 8,3 muestra un pinacoide triclínico, también llamado un paraleloedro. Esta clase se le denomina  clase pinacoidal, debido a su forma {hkl }. Con la simetría -1, todas las formas son pinacoides así que consisten en 2 caras paralelas idénticas. Una vez que se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide establecen su posición.

Figure 8.3 pinacoides triclínicos, o paraleloedro

Hay 3 tipos generales de pinacoides: los que intersecan solamente un eje cristalográfico, los que intersecan 2 ejes, y los que intersecan a los 3 ejes. El primer tipo de pinacoides { 100 }, { 010 }, y { 001 }. { 100 } es el pinacoide delantero e intersecta al eje a, { 010 } es el pinacoide de la cara  b e intersecta al eje b, y { 001 } es la cara c o el pinacoide básico que intersecta al eje  c. Todas estas formas están determinados por la convención basada en la parte positiva del eje.

El segundo tipo de pinacoide se llama { 0kl }, { h0l }, y los pinacoides { hk0 }, respectivamente. El pinacoide { 0kl } es paralelo a un eje y por lo tanto interseca los ejes b y  c. Puede ser positivo { 0kl } o el negativo { 0-kl }. El pinacoide { h0l } es paralelo al eje b e intersecta los ejes a y c. Puede ser positivo { h0l } o negativo { - h0l }. Finalmente,  pinacoide{ hk0 } es paralelo al eje  c e intersecta los ejes a y  b. Puede ser positivo { hk0 } o  negativo { h-k0 }. El tercer tipo de pinacoide es { hkl }. Existen el derecho positivo { hkl }, izquierdo positivo { hkl }, el derecho negativo { - hkl }, y la izquierdo negativo { - h-kl }. cada uno de estas formas de 2 caras y puede existir independientemente de las otras. El cuadro 8,3 muestra algunas de las formas pinacoidales en esta clase. Un  buen número de minerales  cristalizan en la clase -1 incluyendo pectolita, microclina, y wollastonita y las plagioclasas. La segunda clase de simetría del sistema triclínico es el 1, que es equivalente a ninguna simetría! Es una sola cara llamada un pedión y la clase se llama  clase pedial { hkl }. Porque la forma consiste en una sola cara, cada pedión o monoedro hace una reflejo de sí mismo. Es raro el mineral que  cristaliza en esta clase, la axinita  es un ejemplo. Ahora que se ha

terminado la discusión de los sistemas cristalinos y de sus lazos geométricos y de la simetría. Apenas puedo creerlo! Si el se siente con ganas de seguir con el tema de la simetría más lejos, váyase al artículo 9 para leer las observaciones sumarias, algunas referencias y artículos adicionales sugeridos.

Parte 9: Conclusión, resumen y lecturas recomendadas

Bien, se ha  terminado los 6 sistemas cristalinos y se tiene la sensación que se ha aprendido. Pero , aunque se plantee algunas discusiones de pizarrón sobre los cristales, los sistemas y sus elementos de simetría y clases, se va a entrar al mundo real. El  mundo dónde los mecanismos de crecimiento y el ambiente de formación de un cristal tiene tanto que considerar como la expresión de las formas cristalinas así como el arreglo molecular de los átomos que componen los minerales.

Casi todos minerales son cristalinos ( es parte de la definición de un mineral), pero sólo bajo condiciones especiales se forman minerales bien cristalizados. El mineral puede crecer de una fusión como en las rocas ígneas, de los sólidos bajo la temperatura elevada y  altas presiones, o en fracturas abiertas o bolsas de fluidos calientes o en minerales formados a bajas temperaturas.

Así, cuando se examina cristales euhedrales de cualquier mineral, entiéndase que ellos son objetos bastante notables. Probablemente 99% de todo los minerales presentes en  la corteza de la tierra, no presenta ninguna forma cristalina externa. ¡Un cristal euhedral es una flor del mundo mineral!. Trate a los cristales con cuidado y respeto porque ellos han sobrevividos millones de años probablemente antes de que alguien los descubriera. Un momento de descuido y ellos pueden destruirse para siempre.

A lo largo de una serie de artículos, se ha intentado mostrarle el mundo la  simetría presente en el mundo cristalino alrededor de este. Pero la simetría está presente por todas partes. La simetría está presente en  grado variante en el mundo biológico. De la simetría bilateral simple (la simetría del espejo llamada de mano derecha- mano izquierda)  la simetría del eje quinario no esta presente en el mundo cristalino. Los miembros de la familia de los equinodermos son ejemplos bonitos de este tipo de simetría. La próxima vez que se mire una estrella de mar,  un blastoide fósil, o un erizo de mar sería bueno utilizar algún tiempo examinando su simetría. Se reconocerá los elementos de varios principios que se aprendió al estudiar minerales.

La simetría o la ausencia de simetría se observan en  muchos trabajos artísticos. Una de las personas más notables por usar una gran variedad de elementos de simetría era M. C. Escher. Sus trabajos no sólo despliegan muchos elementos de simetría, sino que  él incluye mucho de su teología personal escondida en sus planes. Un reciente libro excelente, disponible si se pide en su librería local  M. C. Escher : Su Vida y sus Trabajos Gráficos, por M. C. Escher, L. J. Locher ( ed.), y F. Bool, publicado por Harry N. Abrams, noviembre, 1992, ISBN: 0810981130. Se puede pedir este libro en Amazon.com en el internet. Hay un CD - ROM de los Trabajos de M. C. Escher también disponible por menos de $50 a través de Amazon.com.

¡Hay muchos artículos escritos en periódicos tenidos relación con los varios aspectos de simetría incluso un artículo de Scientific American en la simetría de los modelos de hoyos presentes en las pelotas del golf!

Uno de los libros más interesantes que se han visto en nuestra  vida es: Cristales de Nieve por W. A. Bentley y W. J. Humphries.

 Este libro notable contiene 2,453 fotografías de cristales de nieve (hielo mineral).

La afición de W. A. Bentley era la fotografía de cristales de nieve. Después de su muerte, su colección de varios miles de fotografías de cristales de nieve y escarcha  se donaron a la Sociedad Meteorológica americana. El AMS se  encargo de designar a alguien para poner la colección de fotografías en un orden sensato y vigilar su publicación. W. J. Humphries vigiló el trabajo que involucró a varios renombrados mineralogistas de la época entre los que se encontraba S. B. Hendricks, H. E. Merwin, C. S. Ross, y W. T. Schaller. Estos hombres clasificaron las fotografías en los tipos básicos de tipos de formación y crecimiento y trabajaron  la porción descriptiva  del libro sobre la cristalografía del Cristal de Nieve.

La presentación de tantas ilustraciones de un solo mineral (el hielo) todos del mismo sistema cristalino hacen el libro único y le da la oportunidad  al lector, de examinar al espectador las distintas tipos de formación  crecimiento de un mineral pueden afectar la apariencia de un cristal, aunque los elementos de simetría permanecen constantes. El lector ha oído el comentario probablemente que nunca dos hojuelas de nieve son idénticas. ¡lo creerá después de examinar las fotografías en este libro! ¡Cada instructor de mineralogía  debe tener disponible este libro en su clase sólo para iluminar a los estudiantes acerca de la variedad  infinita de la  naturaleza en el mismo tema!.

Nosotros no sabemos si todavía está impreso, pero se publicó primero por McGraw - Hill en 1931 y republicado en 1962 por  Publicaciones  Dover, Nueva York. El número del libro normal es 486-20287-9 y 

el numero de tarjeta del catálogo de la Biblioteca de Congreso es 63-422 para la editorial

El autor podría intentar hacer unas páginas adicionales, pero aportaría poco, en lo básico. Ahora, el lector o está encorvado por la simetría o enfermo de la discusión sobre ella. Pero nunca se mirara en un espejo como lo hacía antes. En cambio  verá un organismo con la simetría bilateral. La simetría es una manera de observar el entorno y se vera el orden en la aleatoriedad  de la  naturaleza.

La aleatoriedad y caos son  temas populares en estos días, en  matemáticas y en las discusiones filosóficas acerca de la naturaleza general de vida, pero yo lo aseguro que si el lector echa una mirada alrededor y está pensando enque simetría ve,  la encontrará. Está por todas partes en la plantas y el mundo animal así como el reino mineral. Simplemente detengase y mire el trébol común, una planta cuyo plano de simetria exhibe un plano de simetria, pero que el arreglo de la hoja despliega los elementos de un eje simetría trigonal. Piense sobre la simetría de un trebol de 4 hojas. ¡Ahora el lector no

está interesado en encontrar uno para la buena suerte, pero si para examinar su simetría más completamente!.