introdução aos métodos numéricos
DESCRIPTION
Introdução aos métodos numéricos. Representação Numérica e Erros. Motivação. Foguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lançamento em 1996. O foguete transportava um satélite de comunicações. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/1.jpg)
Introdução aos métodos numéricos
Representação Numérica e
Erros
![Page 2: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/2.jpg)
MotivaçãoFoguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lançamento em 1996
O foguete transportava um satélite de comunicações
A causa do acidente foi um erro numérico (overflow) no cálculo da velocidade horizontal do foguete
![Page 3: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/3.jpg)
Motivação
Qual foi o prejuízo?
500 milhões de Dólares (preço do satélite)
7 bilhões de Dólares foram gastos no projeto do foguete
![Page 4: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/4.jpg)
Soluções numéricas para problemas físicos
Problema Físico
Modelagem
Solução
Modelo Matemático
Resolução
![Page 5: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/5.jpg)
Erros na Modelagem
Suponha uma queda livre de um prédio
d = d0 +vot +1/2at2
Suponha os dados:
d= 0 + 0x3 + 1/2x9.8x9
d = 44,1 Este resultado é coerente?
![Page 6: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/6.jpg)
Representação Numérica
Computadores possuem memória finita
O conjunto de números que os computadores podem representar é finito
![Page 7: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/7.jpg)
Erros na Resolução
Fortemente influenciados pela precisão
Relacionados à Representação numérica
Erro do Foguete (máquinas com precisão diferente com mesmo software)
![Page 8: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/8.jpg)
Representação numérica
Cada computador possui uma precisão numérica diferente
Esta precisão é dependente do hardware, sistema operacional, compilador, etc
![Page 9: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/9.jpg)
Representação Numérica
O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de 0 a 9)
Computadores modernos usam a base numérica 2 (dígitos 0 e 1)
![Page 10: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/10.jpg)
Mudança de Bases
510 = 1012
5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0
510 = 1012
![Page 11: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/11.jpg)
Mudança de Base
5,25 = 5 + 0,25
5 sabemos como resolver
Mas e a parte decimal?
![Page 12: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/12.jpg)
Mudança de base
Método das multiplicações sucessivas
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
Logo 0,2510 = 0,012
![Page 13: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/13.jpg)
Mudança de Base
Conversão de base 2 para base 10 1002 = 410
1002 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = 410
1012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = 510
100,12 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 =
= 4+0+0+0,5 = 4,510
![Page 14: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/14.jpg)
Representação Numérica
Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado
±0,c1c2c3…cn x be
cn – digito entre 0 e b-1 (mantissa) b – número natural (base) e – número Inteiro (expoente)
![Page 15: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/15.jpg)
Representação Numérica
Devido à questão da memória finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parâmetros bem definidos durante o projeto
Número de caracteres da mantissa (n) Valor da base (b) Valor e1 menor e e2 maior expoentes do sistema e1 < 0 e e2 > 0
![Page 16: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/16.jpg)
Representação Numérica
Menor número positivo: x1=+0,10...0xbe1
Maior número: x2 = +0,c1c2...cnxbe2
Quantidade de números:
2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e1+1)+1
![Page 17: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/17.jpg)
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2
![Page 18: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/18.jpg)
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2 overflowoverflow
underflow
![Page 19: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/19.jpg)
Representação Binárias
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
![Page 20: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/20.jpg)
Representação Binárias
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
Sinal
0 = positivo,
1 = negativo
![Page 21: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/21.jpg)
Representação Numérica
A distribuição dos números na reta real não é uniforme
Há concentração de números em trechos da reta
![Page 22: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/22.jpg)
Representação NuméricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2
![Page 23: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/23.jpg)
Representação Numérica
Resultados de operações aritméticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre estão corretos
![Page 24: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/24.jpg)
Representação NuméricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2
![Page 25: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/25.jpg)
Representação Numérica
Propriedades aritméticas nem sempre são verificadas
Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100
(x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)
A propriedade só se mantém com maquinas de precisão maior do que 7 digitos com truncamento
![Page 26: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/26.jpg)
Representação Numérica
Para somar x1 e x2 precisamos coloca-los na mesma base decimal
x1=0,3491x104
x2=0,2345x100=0,00002345x104
Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes de representar x2
![Page 27: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/27.jpg)
(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10
x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10
Representação Numérica
![Page 28: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/28.jpg)
Tipos de Erro por Precisão
Arredondamento - para Cima
Truncamento – para baixo
Para o Número de máquina mais próximo
![Page 29: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/29.jpg)
Erro por Truncamento
São erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos
Calculo de séries infinitas
Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! – x7/7!...
![Page 30: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/30.jpg)
Erro por truncamento
Dizimas periódicas binárias
0,110 = 0,0001100110011...2
Calculadora do Windows - sqrt(2)
![Page 31: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/31.jpg)
Erros
Sendo x o valor real e x’ o valor representado
Absoluto: |x – x’|
Relativos: |x - x’|/ |x’|
![Page 32: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/32.jpg)
Revisão
Consequências dos erros
Sistema de Ponto Flutuante
Representação numérica em computadores
Erros
![Page 33: Introdução aos métodos numéricos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012402/56814e43550346895dbbb625/html5/thumbnails/33.jpg)
Conclusão
Erros devem ser evitados quando possível
Quando não for possível evita-los:Não devem ser ignoradosDevem ser reduzidos