integranum apoyo

7/25/2019 integranum apoyo

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La integración numérica o cuadraturanumérica consiste en evaluar la integraldefnida

o equivalente a resolver I=y(b) en laecuación dierencial

con la condición de valor inicial

∫ =b

a

dx x f I )(

)( x f

dx

dy=

0)( =a y



Este problema tuvo origen antes de lainvención del cálculo y oy en d!agracias a la computadora es utili"adopara evaluar las integrales que nopueden ser computadas anal!ticamente

o cuando f ( x ) es conocida para unn#mero de puntos$

Las integrales defnidas son calculadas

usando métodos de discreti"ación% queapro&iman la integral a una suma fnita$



Introducción La e&presión para medir el error en laestad!stica% es la distribución normalestándar% llamada la curva campanadonde la probabilidad viene dada por

Esta evaluación se refere como lacomputación de la unción % erf ' suestimación es reali"ada usando técnicasnuméricas$

∫ −2

0

2

2

2

1dxe

x

π



La evaluación de las integrales esdenominada cuadratura' desde unvieo problema en geometr!aconocido como cuadratura del

c!rculo$

uadratura es sinónimo de encontrar

áreas y vol#menes$



*eglas de cuadratura

+esde la suma de *iemann% que seobtiene al dividir el intervalo ,a,b- en n subintervalos con anco ∆ i y la evaluación

de f ( x ) en cada subinterval% defniendo

se obtiene la regla generali"ada de lacuadratura% defnida por

∑=

∆n

i

ii x f 1

)(

∑∫ =

+==n

i

nii

b

a

R x f wdx x f I 1

)()(



+onde wi es denominado anco y x i el nodo' siendo Rn el residuo o error$

.e an generado mucas reglas decuadratura destacándose/ puntomedio% rectángulo% trape"oide ysimpson$



0órmulas

clásicas.ea la secuencia de valores de x /

x 1% x 2% $$$$$% x n

igualmente espaciados% por un pasoh% siendo /

nihi x x

n

abh

b x

a x

i

n

,...,2,1,0,0

0

=+=

−==

=



teniendo como convención que

f( x

i ) =

y i

0ig$ 3$2$



uando la integración numérica usa sólo lospuntos interiores ( x 2% x 4% $$$% x n52 ) se denominaórmula abierta' en el caso de usar los puntos x 1% x 2% $$$% x n se denomina órmula cerrada$

La regla del rectángulo se basa en el cálculodel rectángulo% cuya altura es f (a) y la base(b-a).6er la fgura 3$4$



Fig. 5.2

),(,2

)´(

)(

)()()(

2

ba

h f

h E

h E a f hdx x f

b

a

∈

−

=

+=∫

ξ

ξ



El área bao la curva f ( x ) en el intervalo

,a,b-% puede ser apro&imada por el áreabao el segmento de l!nea entre (a % f (a)) y(b % f (b))'

esta l!nea tiene como ecuación /

+esde la fgura 3$7% se obtiene el área del

trape"oide

)()()( b f aba xa f

bab x xl

−

−+

−

−=

+−=

−+−

2

)()()(

)(2

)(2

b f a f ab

b f ab

a f ab



Fig. 5.3

Esta área es producto de un sencillo

ra"onamiento geométrico$



0órmulas de 8e9ton5

otesuando el integrando es reempla"ado porun polinomio interpolante P( x )% y se cumple

entonces se dice que las órmulas deintegración son de 8e9ton5otes$

+esde la teor!a de interpolación polinomial%se tiene que un polinomio de grado n omenos% es

∫ ∫ ≅b

a

b

a

dx x P dx x f )()(

ni x f f x P iiin ...,,2,1,0,)()( ===



Por Lagrange :

y haciendo x = a + t h

∏

∑

≠

=

−−

=

=

ik k i

k i

n

i

iin

x x

x x

x L

x L f x P

)(

)()(0

∏≠ −−==

n

ik

iik i

k t x Lt )()(ϕ



se tiene la integración

con

∑

∑ ∫ ∫

=

=

=

==

n

i

ii

n

i

b

a

ii

b

a

f h

dt hdxdx x L f dx x P

0

0

,)()(

β

nn

i

i =∑=0

β



.i :i = s ;i donde s es com#ndenominador% tal que

El error en la apro&imación seg#n

.te<enson es e&presado como sigue/

∑

∑∫ −=

==

s f n

ab

f hdx x P

ii

n

i

ii

b

a

n

σ

β

)(

)(0

],[,)()()()(1

ba f k hdx x f dx x P nn

b

a

b

a

n ∈=− +∫ ∫ ξ ξ



La regla del trapecio se basa en el cálculo

del trapecio defnido entre los puntos a yb' es decir la semisuma de los lados por labase$

0ig$ 3$



El error E es proporcional a h7 y f >>

La regla del trapecio es un 8e9ton5otes con n=2

)()]()([2)( h E b f a f

h

dx x f

b

a ++=∫

),(,12

)´´()(3

bah f h E ∈−= ξ ξ



La regla del punto medio% se originacuando la altura es la ordenada en elpunto medio y la base es (b5a)

),(,

24

)´´()(

)(2

)(

3

bah f

h E

h E ba f hdx x f

b

a

∈−=

+

+=∫

ξ ξ



Fig. 5.5



La órmula de .impson es el

resultado de la e&presión/

el error viene dado por /

+

Trapecio

delRegla

3

1

medio

PuntoRegla

3

2

+

++=

=

++

+=

)(2

4)(3

2

´,

2

1)]()([

3

1

23

2´

b f ba

f a f h

hhb f a f

ba f h

),(,90

)()(

)4(

bah f

h E

∈

−

= ξ ξ



.u desarrollo matemático es elresultado de considerar una parábolaP(x) que apro&ime a f(x)$

chah

cxbxax

dxcbxax x P

h

h

h

h

h

h

23

2

23

)()(

3

23

2

+=

++=

++=

−

−− ∫ ∫



al pasar la parábola por los puntos/

( 1 % y i )% ( h % y i?2 )% ( 5h % y i52 )% origina elsistema

1

2

12

2

)()(

)()(

)0()0(

−

+

=+−+−=++

=++

i

i

i

ychbha

ychbha

ycba

2

11

11

2

2

2

h

y y ya

h

y yb

yc

iii

ii

i

−+=

−=

=

+−

−+



La regla de .impson de 7@A% considerauna ecuación ax 7 ? bx 4 ? cx ?d ' y

como en el proceso a 2@7% desarrolla losvalores de a%b%c y d' llegando a lae&presión /

∫

∫

−

+−

+−

−

+=

++=

+−+=

h

h

iii

iiii

h

h

h E dx x P I

y y yh

h y

h

y y yhdx x P

)()(

)4(3

2

2

)2(

3

2)(

11

2

113

)()33(

!

3321 h E y y y y

h I iiii ++++=

+++



siendo el error

La regla de Boole% considera un polinomio degrado

!0

)(3)(

)4(h f

h E ξ =

")#(

43210

)(94

!)(

)"321232"(90

4)(

h f h E

y y y y xh

dx x P

ξ −=

++++=∫



En la tabla 3$2% se consideran estosresultados$

Cabla 3$2

$oole90"321232"4

3%!&imp'!13313

1%3&imp'#1412

trapeoide2111

Nombrensn iσ



la evaluación

aplicando /

*egla del rectángulo

∫ −1

0

2

dxe x

1

rea

0.1

0

0

==

= yh

y



*egla del punto medio

*egla del trapecio

""!!.0

rea

""!!0.0

2

m

n

yh

ba

f y

=

+

=

#!394.0

][2

rea

3#"!!.0

1

10

1

0

=

+=

=

=

y yh

y

y



Regla de &imp'on 1%3Regla de &imp'on 1%3

"4"1!.0

]4[3rea

3#"!!.0

""!!0.02

1

10

1

0

=++=

==

+=

=

y y yh

y

ba f y

y

m

m



*egla de .impson 7@A

"4#99.0

]33[!

3rea

3#"!!.0

#411!.03

2

!94!4.03

1

1210

1

2

1

0

=

+++=

=

=

+=

=

+=

=

y y y yh

y

ba f y

ba f y

y

mm

m

m



*egla de Boole

"4#!4.0rea

3#"!!.0

#9"!.0

""!!0.0

93941.0

0.1

1

3

2

1

0

======

y

y

y

y

y

m

m

m



0órmulas ompuestas

uando el intervalo ,a,b- es ra"onablegrande% se acostumbra a dividirlo entren intervalos% y aplicar los esquemas decuadraturas de 8e9ton5otes /

b x x x xa n =<<<<= ...210

∑∫ ∫ =

≅h

i

xb

a

i

dx x P dx x f 1

)()(



0ig$ 3$D



Crape"oide

.eg#n la regla del trape"oide e&tendida%se desarrolla como/

)(2

)(2

)(2

1

212

101

nnn y yh

A

y yh

A

y y

h

A

+=

+=

+=

−



Evaluar

)interiore' punto'2e*tremo'(punto' 2

22

)2...22(2

)(

1

1

0

1210

+≅

++≅

+++++≅

∑

∫ −

=

−

h

y y yh

y y y y yh

dx x f

n

n

i

i

nn

b

a

0

1

0

2%2

=

∫ −

n

dxe x



x x y y

00

0.10.1

0.20.2

0.30.3

0.40.40.0.

0.#0.#

0."0."

0.!0.!0.90.9

1.01.0

11

0.99010.9901

0.9!0200.9!020

0.9#000.9#00

0.923120.923120.!!200.!!20

0.!32"0.!32"

0."!2"00."!2"0

0."2#10."2#10.###9!0.###9!

0.#0#30.#0#3



Crape"oide

h = (b5a)@n.uma = 1

or i =2 to n52

.uma = .uma ? y ,i-rea = (h@4)F( y ,n- ? 4F.uma ?

y ,1-)

End Crape"oide

!119.0

1

0

2%2

=

∫ − dxe x



.impson a

2@7 Gara aplicar la regla de .impson 2@7% serequiere que n sea un n#mero par$

0ig$ 3$H



)4(3

)4(3

)4(3

21222

4322

2101

iiii y y yh A

y y yh

A

y y yh

A

++=

++=

++=

−−

[ ]n paresimpares

n

n

i

i

b

a

y y y yh

y y y y y y y yh

Adx x f

+++≅

+++++++++≅

≅∑∫ =

24

3

)]...)(2...)(4[3

)(

0

#42310

2%

1



.impson 2@7

.uma = 1for i = 2 to n52

if i es impar then

.uma = .uma ? F y ,i- else

.uma = .uma ? 4F y ,i-

rea = (h@7)F( y ,1- ? .uma? y ,n-)

End .impson 2@7



plicando .impson a 2@7 con n = 21

!#2.0

1

0

2%2

=∫ − dxe x



.impson a

7@A Gara aplicar la regla de .impson a 7@A%se requiere que n sea m#ltiplo de 7/

)33(!

3

)33(!

3

)33(!3

3132333

#432

32101

iiiii y y y yh

A

y y y yh

A

y y y yh A

+++=

+++=

+++=

−−−



+++≅ ∑∑∫

−

=

−

=n

n

i

n

i

i

b

a

y y yhdx x f 1

1

3

#,3

0 )ordenada' de re'to(32!3)(

plicando &imp'on a 3%! con n + 9

!#2".0

1

0

2%2

=

∫

− dxe x



ii x xii y yii

00

11

22

3344

##

""!!

99

0.00.0

0.111110.11111

0.222220.22222

0.333330.333330.444440.44444

0.#0.#

0.####"0.####"

0.""""!0.""""!0.!!!!90.!!!!9

1.000001.00000

1.00001.0000

0.993!0.993!

0.9"#10.9"#1

0.949#0.949#0.909#0.909#

0.!"000.!"00

0.!00"40.!00"4

0."3!990."3!990.#"3#40.#"3#4

0.#0#30.#0#3



.impson 7@A

.uma = 1

for i = 2 to n52

if i es m#ltiplo de 7 then

.uma = .uma ? 4F y ,i-

else .uma = .uma ? 7F y ,i-

rea = (7Fh@A)F( y ,1- ? .uma ?

y ,n-)End .impson 7@A



lgoritmo en cuadratura

El valor que estiman los métodose&tendidos dependen en gran parte den/ el n#mero de intervalos$

La determinación de n puede ser deacuerdo a la regla iterativa/

reai?2 J reai ≤ Error

donde la iteración i?2 el valor de n esmás grande que para la iteración i$ Knode estos algoritmos es el que se

presenta a continuación$



Crape"oide refnado

uando se eval#a por la regla del trape"oidese utili"a la órmula/

uando n = 2% el área es igual a

si en la iteración (i?2)% el n#mero desegmentos se duplica con respecto a i% seencuentra que el n#mero de puntos interioresnuevos es 4i54$

++

−

= ∑

−

= )()(2)(.0)(

1

1 b f x f a f n

ab

h I

n

ii

)]()()[(.0)( b f a f abh I +−=



i = 2 n = 2

i = 4 n = 4

i = 7 n =

i = n = A

,ig. .12



.ean/

.iendo .umai?2

% el acumulado de losnuevos puntos interiores$

+e.umai = f(a) ? 4 (puntos interiores) ? f(b)

se tiene

]2[.0

)]()interiore' punto'(2)([.0

1

1

1 ++

+ +

−=

++

−=

ii

i

i

i

i

SumaSuman

ab Area

b f a f

n

ab Area

ii

i Areaab

nSuma

)(.0 −=



luego

como/

−

+

=

+−

−=

+++

++

+

111

1

1

1

22.0

2)(.0

.0

ii

ii

i

iii

i

i

Suman

ab

Arean

n

Sumaab

Arean

n

ab Area

[ ]1

11

1

.0

..0

2

+

++

+

+=

−+=

−==

iii

i

i

ii

i

i

i

i

Sumah Area

Suman

ab Area Area

n

abh

n

n



El cálculo de .uma i?2 depende de ni %porque los valores de x para f(x)% son encantidad ni % siendo/

......,2

,2

3

,2

h

a

h

a

h

a +++



lgoritmo Trapeoide

if

j + 0then

rea + 0.-(b a)( f (a) / f (b))

N + 1

else

H + (ba)% N x + a / H %2

for i + 1 to N

&uma + &uma / !"x#

x + x / H rea + 0.-(rea / H -&uma)

N + 2- N

nd lgotimo Trapeoide



aciendo 4 J = 4n subintervalos de

anco h igual a

y los puntos x i = a ? ih % se defne laregla del trape"oide recursivamentecomo

siendo

%

abh

2

)( −=

∑=− ≥+

−=

n

k

k % x f h % &

% & 1

12 1,)(2

)1()(

[ ] abhb f a f h

& −=++= con)()(2

)0(



1

1 ==

∫ b

a

x

dx

400000.2

)200.0000.1(2

)0(

41

1

=

+=

=−=

h&

h

!####".1

)333333.0(22

4.2)21(2

2

)0()1(

22

1

=

+=++=

=−=

f &

&

h



[ ]

#!3333.1

)4()2(12

)1()2(

1

4

1

=

++=

=−=

f f &

&

h

#2!9#!.1

2

9

2

"

2

2

3

2

1

2

)2()3(

2

1

!

1

=

+ + + +=

=−=

f f f f & &

h



*esumiendo

iteraciniteracin rearea

00

1122

33

44

##

""

11

2244

!!

1#1#

3232#4#4

12!12!

2.4000002.400000

1.!####"1.!####"1.#!33331.#!3333

1.#2!9#!1.#2!9#!

1.#1440#1.#1440#

1.#10#!#1.#10#!#1.#09"01.#09"0

1.#091#1.#091#



*esolviendo la integral

se tiene

rearea

00

11

22

3344

11

22

44

!!1#1#

3232

0.!032#0.!032#

0.!42!!10.!42!!1

0.!2490.!249

0.!4!340.!4!340.!42"0.!42"

0.!"0.!"



Integración de *omberg

+esde la regla del trape"oide

siendo

donde

)(),()( h E h f & dx x f

b

a

+=∫

n

abh −=

...)( #

3

4

2

2

1 +++= hahahah E



también

con

se tiene

)2()2,()( h E h f & dx x f

b

a +=∫

...#41#4)2( #

3

4

2

2

1 +++= hahahah E

...),(

.....#01214

)2,(),(4)(

#

2

4

1

#

3

4

2

+++=−−−−

−

=∫ hbhbh f S

hahah f & h f &

dx x f

b

a



de igual manera se demuestra que

.ean las órmulas de cuadraturas paraf(x) sobre ,a,b-% defnidas como/

$oole)de(regla2)()2,(

&imp'on)de(regla1)()1,(e)trapeoiddel(regla0)()0,(

≥=≥=≥=

% % ' % R

% % S % R % % & % R

.....1

240

1

4!),(

.....11#

24011#

4!11#

)2,(),(1#)(

#

3

4

2

#

3

4

2

−−−=

−−−−−

−−=∫

hbhbh f '

hbhbh f S h f S dx x f

b

a



siendo la regla general

y el tablero de *omberg que resumetodos los cálculos% para que el error

con un determinado método cumplacon la precisión deseada$

( % ( % R ( % R

k % R k

k

≥−−−−−

= 14

)1,1()1,(4),(

% % R"%)*# R"%)*# R"%)+# R"%)+# R"%),# R"%),# R"%)-# R"%)-# R"%).# R"%).#

00

1122

33

44

R"*)*# R"*)*#

R"+)*# R"+)*# R",)*# R",)*#

R"-)*# R"-)*#

R".)*# R".)*#

R"+)+# R"+)+# R",)+# R",)+#

R"-)+# R"-)+#

R".)+# R".)+#

R",),# R",),#

R"-),# R"-),#

R".),# R".),# R"-)-# R"-)-#

R".)-# R".)-# R".).# R".).#



s! por eemplo

!#22.0

1

0

2

2

≅∫ −

dxe x

% % R"%)*# R"%)*# R"%)+# R"%)+# R"%),# R"%),#

00

11

22

0.!032#0.!032#

0.!42!!10.!42!!1

0.!2490.!249

0.!#0!#0.!#0!#

0.!#10.!#1 0.!#220.!#22



14192.3)1(2

0

2 ≅++∫

π

dx senx x x

% % R R(( %)* %)*)) R R(( %)+ %)+)) R R(( %), %),)) R R(( %)- %)-))

00

11

22

33

3.9#9913.9#991

3.312#093.312#09

3.1!24#3.1!24#

3.11"223.11"22

3.09"!13.09"!1

3.1391913.139191

3.14144"3.14144"

3.141903.14190

3.1419!3.1419! 3.141923.14192



Groblemas

2$ Grobar que el trape"oide es un 8e9ton5otes con n=2$

4$ Grobar que el .impson a 2@7 es un8e9ton5otes con n=4$

7$ plicar la regla trape"oidal paraintegrar entre 2$1 y 2$7 con n=21$

$ plicar la regla de .impson para elproblema anterior$



3$ onsiderar una masa que se mueve sobreun riel% actuando una uer"a f(x). Evaluar eltrabao w de la uer"a f (x) = 7 x 4 ? x en

,1%3-$$ Modifcar el programa NK+C*G para

recibir la lista de valores para lasordenadas$

D O ll l di t i id t l



D$ Oallar la distancia recorrida entre lasA/11 a A/71 para las siguientesvelocidades$

.ugerencia/

oraora 5elocidad5elocidad

!600!600

!60!60

!610!610

!61!61!620!620

!62!62

!630!630

#0#0

##

"0"0

#0#04040

44

4040

∫ ==b

a

dt / xdt dx0 %

A Oallar una apro&imación a



A$ Oallar una apro&imación a

usando cuadratura gaussiana para

puntos$.ugerencia/ acer el cambio x = t ? 4

H$ Grogramar el algoritmo del Crape"oide$

∫ =3

1

2

dx x

x sen

I

∫ − ++

=1

1

2

2

)2(dx

t

t sen I



*espuestas

1. n=2$

2

1

201

0

2

1

12

10

1

1

0

21

0

1

1

0

2

1

0

0

===−−=

=−

−=−−=

∫ ∫

∫

t dt t dt

t

t t

dt t

β

β

sn

sn

sn

=+

=+

==+

11

2 para,

10

10

σ σ

β β



2. n=4$

3

1

)12)(02(

)1)(0(

3

4

)21)(01(

)2)(0(

31

)20)(10()2)(1(

2

0

2

2

0

1

2

0

0

=−−−−=

=

−−

−−=

=−−−−=

∫ ∫

∫

dt t t

dt t t

dt t t

β

β

β

sn

s

s

=++

=++

==++

141

3 para,3

210

210

σ σ σ

β β β



7$

para n=21

++≅ ∑∫

−

=n

n

i

i y y y

h

dx x

1

1

0

30.1

0.12

03.0

10

0.130.1

=

−=

−=nabh

3214!1.0)(

30.1

0.1

≅∫ dx x f



ii x x f "x# f "x#

0011

22

33

44

##

""

!!99

1010

1.001.001.031.03

1.0#1.0#

1.091.09

1.121.121.11.1

1.1!1.1!

1.211.21

1.241.241.2"1.2"

1.301.30

1.000001.000001.014!91.014!9

1.029#1.029#

1.044031.04403

1.0!301.0!301.0"23!1.0"23!

1.0!#2!1.0!#2!

1.100001.10000

1.1131.1131.12#941.12#94

1.1401!1.1401!



$

3$

plicando trape"oide con n=21

3214!.0

3.1

0.1≅∫ dx x

#2.1")(

0

≅= ∫ dx x f w

( )∫ +

0

2 43 dx x x



D$

0.2")(

0.!

!

#con

2)(

0.!

!

1

1

0

≅

=

=

=

++≅

∫

∑∫ −

=

dx x f

b

a

n

y y yh

dx x f n

n

i

i

b

a



A$

!#113#31.0

3399!104.0

#2141.0

34"!4!.0

6con

)(´

03

12

03

12

1

0

0

=−==−=

===

=

=∑=

ξξ

ξ ξ

ξ

A A

A A

A

A

f A I n

i

ii

integranum apoyo

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