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La integración numérica o cuadraturanumérica consiste en evaluar la integraldefnida
o equivalente a resolver I=y(b) en laecuación dierencial
con la condición de valor inicial
∫ =b
a
dx x f I )(
)( x f
dx
dy=
0)( =a y
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Este problema tuvo origen antes de lainvención del cálculo y oy en d!agracias a la computadora es utili"adopara evaluar las integrales que nopueden ser computadas anal!ticamente
o cuando f ( x ) es conocida para unn#mero de puntos$
Las integrales defnidas son calculadas
usando métodos de discreti"ación% queapro&iman la integral a una suma fnita$
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Introducción La e&presión para medir el error en laestad!stica% es la distribución normalestándar% llamada la curva campanadonde la probabilidad viene dada por
Esta evaluación se refere como lacomputación de la unción % erf ' suestimación es reali"ada usando técnicasnuméricas$
∫ −2
0
2
2
2
1dxe
x
π
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La evaluación de las integrales esdenominada cuadratura' desde unvieo problema en geometr!aconocido como cuadratura del
c!rculo$
uadratura es sinónimo de encontrar
áreas y vol#menes$
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*eglas de cuadratura
+esde la suma de *iemann% que seobtiene al dividir el intervalo ,a,b- en n subintervalos con anco ∆ i y la evaluación
de f ( x ) en cada subinterval% defniendo
se obtiene la regla generali"ada de lacuadratura% defnida por
∑=
∆n
i
ii x f 1
)(
∑∫ =
+==n
i
nii
b
a
R x f wdx x f I 1
)()(
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+onde wi es denominado anco y x i el nodo' siendo Rn el residuo o error$
.e an generado mucas reglas decuadratura destacándose/ puntomedio% rectángulo% trape"oide ysimpson$
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0órmulas
clásicas.ea la secuencia de valores de x /
x 1% x 2% $$$$$% x n
igualmente espaciados% por un pasoh% siendo /
nihi x x
n
abh
b x
a x
i
n
,...,2,1,0,0
0
=+=
−==
=
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teniendo como convención que
f( x
i ) =
y i
0ig$ 3$2$
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uando la integración numérica usa sólo lospuntos interiores ( x 2% x 4% $$$% x n52 ) se denominaórmula abierta' en el caso de usar los puntos x 1% x 2% $$$% x n se denomina órmula cerrada$
La regla del rectángulo se basa en el cálculodel rectángulo% cuya altura es f (a) y la base(b-a).6er la fgura 3$4$
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Fig. 5.2
),(,2
)´(
)(
)()()(
2
ba
h f
h E
h E a f hdx x f
b
a
∈
−
=
+=∫
ξ
ξ
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El área bao la curva f ( x ) en el intervalo
,a,b-% puede ser apro&imada por el áreabao el segmento de l!nea entre (a % f (a)) y(b % f (b))'
esta l!nea tiene como ecuación /
+esde la fgura 3$7% se obtiene el área del
trape"oide
)()()( b f aba xa f
bab x xl
−
−+
−
−=
+−=
−+−
2
)()()(
)(2
)(2
b f a f ab
b f ab
a f ab
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Fig. 5.3
Esta área es producto de un sencillo
ra"onamiento geométrico$
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0órmulas de 8e9ton5
otesuando el integrando es reempla"ado porun polinomio interpolante P( x )% y se cumple
entonces se dice que las órmulas deintegración son de 8e9ton5otes$
+esde la teor!a de interpolación polinomial%se tiene que un polinomio de grado n omenos% es
∫ ∫ ≅b
a
b
a
dx x P dx x f )()(
ni x f f x P iiin ...,,2,1,0,)()( ===
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Por Lagrange :
y haciendo x = a + t h
∏
∑
≠
=
−−
=
=
ik k i
k i
n
i
iin
x x
x x
x L
x L f x P
)(
)()(0
∏≠ −−==
n
ik
iik i
k t x Lt )()(ϕ
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se tiene la integración
con
∑
∑ ∫ ∫
=
=
=
==
n
i
ii
n
i
b
a
ii
b
a
f h
dt hdxdx x L f dx x P
0
0
,)()(
β
nn
i
i =∑=0
β
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.i :i = s ;i donde s es com#ndenominador% tal que
El error en la apro&imación seg#n
.te<enson es e&presado como sigue/
∑
∑∫ −=
==
s f n
ab
f hdx x P
ii
n
i
ii
b
a
n
σ
β
)(
)(0
],[,)()()()(1
ba f k hdx x f dx x P nn
b
a
b
a
n ∈=− +∫ ∫ ξ ξ
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La regla del trapecio se basa en el cálculo
del trapecio defnido entre los puntos a yb' es decir la semisuma de los lados por labase$
0ig$ 3$
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El error E es proporcional a h7 y f >>
La regla del trapecio es un 8e9ton5otes con n=2
)()]()([2)( h E b f a f
h
dx x f
b
a ++=∫
),(,12
)´´()(3
bah f h E ∈−= ξ ξ
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La regla del punto medio% se originacuando la altura es la ordenada en elpunto medio y la base es (b5a)
),(,
24
)´´()(
)(2
)(
3
bah f
h E
h E ba f hdx x f
b
a
∈−=
+
+=∫
ξ ξ
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Fig. 5.5
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La órmula de .impson es el
resultado de la e&presión/
el error viene dado por /
+
Trapecio
delRegla
3
1
medio
PuntoRegla
3
2
+
++=
=
++
+=
)(2
4)(3
2
´,
2
1)]()([
3
1
23
2´
b f ba
f a f h
hhb f a f
ba f h
),(,90
)()(
)4(
bah f
h E
∈
−
= ξ ξ
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.u desarrollo matemático es elresultado de considerar una parábolaP(x) que apro&ime a f(x)$
chah
cxbxax
dxcbxax x P
h
h
h
h
h
h
23
2
23
)()(
3
23
2
+=
++=
++=
−
−− ∫ ∫
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al pasar la parábola por los puntos/
( 1 % y i )% ( h % y i?2 )% ( 5h % y i52 )% origina elsistema
1
2
12
2
)()(
)()(
)0()0(
−
+
=+−+−=++
=++
i
i
i
ychbha
ychbha
ycba
2
11
11
2
2
2
h
y y ya
h
y yb
yc
iii
ii
i
−+=
−=
=
+−
−+
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La regla de .impson de 7@A% considerauna ecuación ax 7 ? bx 4 ? cx ?d ' y
como en el proceso a 2@7% desarrolla losvalores de a%b%c y d' llegando a lae&presión /
∫
∫
−
+−
+−
−
+=
++=
+−+=
h
h
iii
iiii
h
h
h E dx x P I
y y yh
h y
h
y y yhdx x P
)()(
)4(3
2
2
)2(
3
2)(
11
2
113
)()33(
!
3321 h E y y y y
h I iiii ++++=
+++
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siendo el error
La regla de Boole% considera un polinomio degrado
!0
)(3)(
)4(h f
h E ξ =
")#(
43210
)(94
!)(
)"321232"(90
4)(
h f h E
y y y y xh
dx x P
ξ −=
++++=∫
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En la tabla 3$2% se consideran estosresultados$
Cabla 3$2
$oole90"321232"4
3%!&imp'!13313
1%3&imp'#1412
trapeoide2111
Nombrensn iσ
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la evaluación
aplicando /
*egla del rectángulo
∫ −1
0
2
dxe x
1
rea
0.1
0
0
==
= yh
y
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*egla del punto medio
*egla del trapecio
""!!.0
rea
""!!0.0
2
m
n
yh
ba
f y
=
+
=
#!394.0
][2
rea
3#"!!.0
1
10
1
0
=
+=
=
=
y yh
y
y
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Regla de &imp'on 1%3Regla de &imp'on 1%3
"4"1!.0
]4[3rea
3#"!!.0
""!!0.02
1
10
1
0
=++=
==
+=
=
y y yh
y
ba f y
y
m
m
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*egla de .impson 7@A
"4#99.0
]33[!
3rea
3#"!!.0
#411!.03
2
!94!4.03
1
1210
1
2
1
0
=
+++=
=
=
+=
=
+=
=
y y y yh
y
ba f y
ba f y
y
mm
m
m
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*egla de Boole
"4#!4.0rea
3#"!!.0
#9"!.0
""!!0.0
93941.0
0.1
1
3
2
1
0
======
y
y
y
y
y
m
m
m
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0órmulas ompuestas
uando el intervalo ,a,b- es ra"onablegrande% se acostumbra a dividirlo entren intervalos% y aplicar los esquemas decuadraturas de 8e9ton5otes /
b x x x xa n =<<<<= ...210
∑∫ ∫ =
≅h
i
xb
a
i
dx x P dx x f 1
)()(
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0ig$ 3$D
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Crape"oide
.eg#n la regla del trape"oide e&tendida%se desarrolla como/
)(2
)(2
)(2
1
212
101
nnn y yh
A
y yh
A
y y
h
A
+=
+=
+=
−
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Evaluar
)interiore' punto'2e*tremo'(punto' 2
22
)2...22(2
)(
1
1
0
1210
+≅
++≅
+++++≅
∑
∫ −
=
−
h
y y yh
y y y y yh
dx x f
n
n
i
i
nn
b
a
0
1
0
2%2
=
∫ −
n
dxe x
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x x y y
00
0.10.1
0.20.2
0.30.3
0.40.40.0.
0.#0.#
0."0."
0.!0.!0.90.9
1.01.0
11
0.99010.9901
0.9!0200.9!020
0.9#000.9#00
0.923120.923120.!!200.!!20
0.!32"0.!32"
0."!2"00."!2"0
0."2#10."2#10.###9!0.###9!
0.#0#30.#0#3
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Crape"oide
h = (b5a)@n.uma = 1
or i =2 to n52
.uma = .uma ? y ,i-rea = (h@4)F( y ,n- ? 4F.uma ?
y ,1-)
End Crape"oide
!119.0
1
0
2%2
=
∫ − dxe x
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.impson a
2@7 Gara aplicar la regla de .impson 2@7% serequiere que n sea un n#mero par$
0ig$ 3$H
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)4(3
)4(3
)4(3
21222
4322
2101
iiii y y yh A
y y yh
A
y y yh
A
++=
++=
++=
−−
[ ]n paresimpares
n
n
i
i
b
a
y y y yh
y y y y y y y yh
Adx x f
+++≅
+++++++++≅
≅∑∫ =
24
3
)]...)(2...)(4[3
)(
0
#42310
2%
1
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.impson 2@7
.uma = 1for i = 2 to n52
if i es impar then
.uma = .uma ? F y ,i- else
.uma = .uma ? 4F y ,i-
rea = (h@7)F( y ,1- ? .uma? y ,n-)
End .impson 2@7
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plicando .impson a 2@7 con n = 21
!#2.0
1
0
2%2
=∫ − dxe x
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.impson a
7@A Gara aplicar la regla de .impson a 7@A%se requiere que n sea m#ltiplo de 7/
)33(!
3
)33(!
3
)33(!3
3132333
#432
32101
iiiii y y y yh
A
y y y yh
A
y y y yh A
+++=
+++=
+++=
−−−
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+++≅ ∑∑∫
−
=
−
=n
n
i
n
i
i
b
a
y y yhdx x f 1
1
3
#,3
0 )ordenada' de re'to(32!3)(
plicando &imp'on a 3%! con n + 9
!#2".0
1
0
2%2
=
∫
− dxe x
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ii x xii y yii
00
11
22
3344
##
""!!
99
0.00.0
0.111110.11111
0.222220.22222
0.333330.333330.444440.44444
0.#0.#
0.####"0.####"
0.""""!0.""""!0.!!!!90.!!!!9
1.000001.00000
1.00001.0000
0.993!0.993!
0.9"#10.9"#1
0.949#0.949#0.909#0.909#
0.!"000.!"00
0.!00"40.!00"4
0."3!990."3!990.#"3#40.#"3#4
0.#0#30.#0#3
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.impson 7@A
.uma = 1
for i = 2 to n52
if i es m#ltiplo de 7 then
.uma = .uma ? 4F y ,i-
else .uma = .uma ? 7F y ,i-
rea = (7Fh@A)F( y ,1- ? .uma ?
y ,n-)End .impson 7@A
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lgoritmo en cuadratura
El valor que estiman los métodose&tendidos dependen en gran parte den/ el n#mero de intervalos$
La determinación de n puede ser deacuerdo a la regla iterativa/
reai?2 J reai ≤ Error
donde la iteración i?2 el valor de n esmás grande que para la iteración i$ Knode estos algoritmos es el que se
presenta a continuación$
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Crape"oide refnado
uando se eval#a por la regla del trape"oidese utili"a la órmula/
uando n = 2% el área es igual a
si en la iteración (i?2)% el n#mero desegmentos se duplica con respecto a i% seencuentra que el n#mero de puntos interioresnuevos es 4i54$
++
−
= ∑
−
= )()(2)(.0)(
1
1 b f x f a f n
ab
h I
n
ii
)]()()[(.0)( b f a f abh I +−=
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i = 2 n = 2
i = 4 n = 4
i = 7 n =
i = n = A
,ig. .12
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.ean/
.iendo .umai?2
% el acumulado de losnuevos puntos interiores$
+e.umai = f(a) ? 4 (puntos interiores) ? f(b)
se tiene
]2[.0
)]()interiore' punto'(2)([.0
1
1
1 ++
+ +
−=
++
−=
ii
i
i
i
i
SumaSuman
ab Area
b f a f
n
ab Area
ii
i Areaab
nSuma
)(.0 −=
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luego
como/
−
+
=
+−
−=
+++
++
+
111
1
1
1
22.0
2)(.0
.0
ii
ii
i
iii
i
i
Suman
ab
Arean
n
Sumaab
Arean
n
ab Area
[ ]1
11
1
.0
..0
2
+
++
+
+=
−+=
−==
iii
i
i
ii
i
i
i
i
Sumah Area
Suman
ab Area Area
n
abh
n
n
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El cálculo de .uma i?2 depende de ni %porque los valores de x para f(x)% son encantidad ni % siendo/
......,2
,2
3
,2
h
a
h
a
h
a +++
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lgoritmo Trapeoide
if
j + 0then
rea + 0.-(b a)( f (a) / f (b))
N + 1
else
H + (ba)% N x + a / H %2
for i + 1 to N
&uma + &uma / !"x#
x + x / H rea + 0.-(rea / H -&uma)
N + 2- N
nd lgotimo Trapeoide
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aciendo 4 J = 4n subintervalos de
anco h igual a
y los puntos x i = a ? ih % se defne laregla del trape"oide recursivamentecomo
siendo
%
abh
2
)( −=
∑=− ≥+
−=
n
k
k % x f h % &
% & 1
12 1,)(2
)1()(
[ ] abhb f a f h
& −=++= con)()(2
)0(
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 55/75
1
1 ==
∫ b
a
x
dx
400000.2
)200.0000.1(2
)0(
41
1
=
+=
=−=
h&
h
!####".1
)333333.0(22
4.2)21(2
2
)0()1(
22
1
=
+=++=
=−=
f &
&
h
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 56/75
[ ]
#!3333.1
)4()2(12
)1()2(
1
4
1
=
++=
=−=
f f &
&
h
#2!9#!.1
2
9
2
"
2
2
3
2
1
2
)2()3(
2
1
!
1
=
+ + + +=
=−=
f f f f & &
h
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 57/75
*esumiendo
iteraciniteracin rearea
00
1122
33
44
##
""
11
2244
!!
1#1#
3232#4#4
12!12!
2.4000002.400000
1.!####"1.!####"1.#!33331.#!3333
1.#2!9#!1.#2!9#!
1.#1440#1.#1440#
1.#10#!#1.#10#!#1.#09"01.#09"0
1.#091#1.#091#
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 58/75
*esolviendo la integral
se tiene
rearea
00
11
22
3344
11
22
44
!!1#1#
3232
0.!032#0.!032#
0.!42!!10.!42!!1
0.!2490.!249
0.!4!340.!4!340.!42"0.!42"
0.!"0.!"
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 59/75
Integración de *omberg
+esde la regla del trape"oide
siendo
donde
)(),()( h E h f & dx x f
b
a
+=∫
n
abh −=
...)( #
3
4
2
2
1 +++= hahahah E
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 60/75
también
con
se tiene
)2()2,()( h E h f & dx x f
b
a +=∫
...#41#4)2( #
3
4
2
2
1 +++= hahahah E
...),(
.....#01214
)2,(),(4)(
#
2
4
1
#
3
4
2
+++=−−−−
−
=∫ hbhbh f S
hahah f & h f &
dx x f
b
a
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 61/75
de igual manera se demuestra que
.ean las órmulas de cuadraturas paraf(x) sobre ,a,b-% defnidas como/
$oole)de(regla2)()2,(
&imp'on)de(regla1)()1,(e)trapeoiddel(regla0)()0,(
≥=≥=≥=
% % ' % R
% % S % R % % & % R
.....1
240
1
4!),(
.....11#
24011#
4!11#
)2,(),(1#)(
#
3
4
2
#
3
4
2
−−−=
−−−−−
−−=∫
hbhbh f '
hbhbh f S h f S dx x f
b
a
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 62/75
siendo la regla general
y el tablero de *omberg que resumetodos los cálculos% para que el error
con un determinado método cumplacon la precisión deseada$
( % ( % R ( % R
k % R k
k
≥−−−−−
= 14
)1,1()1,(4),(
% % R"%)*# R"%)*# R"%)+# R"%)+# R"%),# R"%),# R"%)-# R"%)-# R"%).# R"%).#
00
1122
33
44
R"*)*# R"*)*#
R"+)*# R"+)*# R",)*# R",)*#
R"-)*# R"-)*#
R".)*# R".)*#
R"+)+# R"+)+# R",)+# R",)+#
R"-)+# R"-)+#
R".)+# R".)+#
R",),# R",),#
R"-),# R"-),#
R".),# R".),# R"-)-# R"-)-#
R".)-# R".)-# R".).# R".).#
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 63/75
s! por eemplo
!#22.0
1
0
2
2
≅∫ −
dxe x
% % R"%)*# R"%)*# R"%)+# R"%)+# R"%),# R"%),#
00
11
22
0.!032#0.!032#
0.!42!!10.!42!!1
0.!2490.!249
0.!#0!#0.!#0!#
0.!#10.!#1 0.!#220.!#22
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 64/75
14192.3)1(2
0
2 ≅++∫
π
dx senx x x
% % R R(( %)* %)*)) R R(( %)+ %)+)) R R(( %), %),)) R R(( %)- %)-))
00
11
22
33
3.9#9913.9#991
3.312#093.312#09
3.1!24#3.1!24#
3.11"223.11"22
3.09"!13.09"!1
3.1391913.139191
3.14144"3.14144"
3.141903.14190
3.1419!3.1419! 3.141923.14192
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 65/75
Groblemas
2$ Grobar que el trape"oide es un 8e9ton5otes con n=2$
4$ Grobar que el .impson a 2@7 es un8e9ton5otes con n=4$
7$ plicar la regla trape"oidal paraintegrar entre 2$1 y 2$7 con n=21$
$ plicar la regla de .impson para elproblema anterior$
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 66/75
3$ onsiderar una masa que se mueve sobreun riel% actuando una uer"a f(x). Evaluar eltrabao w de la uer"a f (x) = 7 x 4 ? x en
,1%3-$$ Modifcar el programa NK+C*G para
recibir la lista de valores para lasordenadas$
D O ll l di t i id t l
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 67/75
D$ Oallar la distancia recorrida entre lasA/11 a A/71 para las siguientesvelocidades$
.ugerencia/
oraora 5elocidad5elocidad
!600!600
!60!60
!610!610
!61!61!620!620
!62!62
!630!630
#0#0
##
"0"0
#0#04040
44
4040
∫ ==b
a
dt / xdt dx0 %
A Oallar una apro&imación a
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 68/75
A$ Oallar una apro&imación a
usando cuadratura gaussiana para
puntos$.ugerencia/ acer el cambio x = t ? 4
H$ Grogramar el algoritmo del Crape"oide$
∫ =3
1
2
dx x
x sen
I
∫ − ++
=1
1
2
2
)2(dx
t
t sen I
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 69/75
*espuestas
1. n=2$
2
1
201
0
2
1
12
10
1
1
0
21
0
1
1
0
2
1
0
0
===−−=
=−
−=−−=
∫ ∫
∫
t dt t dt
t
t t
dt t
β
β
sn
sn
sn
=+
=+
==+
11
2 para,
10
10
σ σ
β β
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 70/75
2. n=4$
3
1
)12)(02(
)1)(0(
3
4
)21)(01(
)2)(0(
31
)20)(10()2)(1(
2
0
2
2
0
1
2
0
0
=−−−−=
=
−−
−−=
=−−−−=
∫ ∫
∫
dt t t
dt t t
dt t t
β
β
β
sn
s
s
=++
=++
==++
141
3 para,3
210
210
σ σ σ
β β β
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 71/75
7$
para n=21
++≅ ∑∫
−
=n
n
i
i y y y
h
dx x
1
1
0
30.1
0.12
03.0
10
0.130.1
=
−=
−=nabh
3214!1.0)(
30.1
0.1
≅∫ dx x f
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 72/75
ii x x f "x# f "x#
0011
22
33
44
##
""
!!99
1010
1.001.001.031.03
1.0#1.0#
1.091.09
1.121.121.11.1
1.1!1.1!
1.211.21
1.241.241.2"1.2"
1.301.30
1.000001.000001.014!91.014!9
1.029#1.029#
1.044031.04403
1.0!301.0!301.0"23!1.0"23!
1.0!#2!1.0!#2!
1.100001.10000
1.1131.1131.12#941.12#94
1.1401!1.1401!
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 73/75
$
3$
plicando trape"oide con n=21
3214!.0
3.1
0.1≅∫ dx x
#2.1")(
0
≅= ∫ dx x f w
( )∫ +
0
2 43 dx x x
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 74/75
D$
0.2")(
0.!
!
#con
2)(
0.!
!
1
1
0
≅
=
=
=
++≅
∫
∑∫ −
=
dx x f
b
a
n
y y yh
dx x f n
n
i
i
b
a
7/25/2019 integranum apoyo
http://slidepdf.com/reader/full/integranum-apoyo 75/75
A$
!#113#31.0
3399!104.0
#2141.0
34"!4!.0
6con
)(´
03
12
03
12
1
0
0
=−==−=
===
=
=∑=
ξξ
ξ ξ
ξ
A A
A A
A
A
f A I n
i
ii