insa394 İnşaat mühendisliğinde yapım ve...

Doç. Dr. Gürkan Emre Gürcanlı

İTÜ İnşaat Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü

INSA394 İnşaat Mühendisliğinde

Yapım ve Ekonomi

Para Yönetimi ve Paranın Zaman

Değeri

Doç.Dr. G. Emre GÜRCANLI-İTÜ İnşaat Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü

Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri

Nominal ve Efektif Faiz Oranları

Eşdeğerlik Hesaplamaları

Faiz Oranlarını Değiştirme

Borç Yönetimi


Nominal vs. Efektif Faiz Oranları

1. Eğer ödemeler yıllık ödemelerden daha sık olursa (örn:

aylık), ekonomik eşdeğerliği nasıl hesaplarız?

2. Eğer faiz periyodu yıllık değil ise, ekonomik eşdeğerliği

nasıl hesaplarız?

3. Ticari krediler nasıl yapılandırılır?

4. Borcumuzu nasıl yönetmeliyiz?


Nominal vs. Efektif Faiz Oranları Nominal/Yıllık Faiz Oranı (Annual percentage rate, APR):

Yıllık bazda belirtilen faiz oranı. Ancak hangi sıklıkla birleşik faiz uygulanacağı belli değil.

Efektif Faiz Oranı: Yıllık veya başka bir periyot uzunluğu için

gerçekte kazanılan faiz oranı. Yıllık %18 bileşik aylık: Nominal faiz: %18 Aylık efektif faiz = 18/12 = %1,5



Efektif yıllık faiz oranı (effective annual interest rate), ia?

r = yıllık nominal faiz oranı

M = bir yıldaki faiz periyotlarının sayısı

1)/1( M

a Mri


Nominal vs. Efektif Faiz Oranları Soru: Aylık bileşik faizi %1.5 olan bir kredi kartınız olsun. Bu kartın

yıllık nominal ve efektif faiz oranları nedir?

Cevap: Nominal (bir yıl bazında)

r = (%1.5)*(12)= %18 ia = (1 + 0,18/12)12 – 1 = 0.1956 veya

ai

iF 1212 )015.01(1$)1(1$

= $1.1956

0.1956 veya %19.56



: %1.5

%18

%18 aylık bileşik

veya

Aylık %1.5 (12 ay için)

=

%19.56 yıllık bileşik


Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı

C = ödeme periyodu başına faiz

periyotlarının sayısı

K = yılda ödeme periyodu sayısı

r/K = ödeme periyodu başına nominal faiz oranı

M = C * K : Bir yıldaki faiz periyotlarının sayısı

1]/1[

1)/1(

C

C

CKr

Mri

Efektif faiz oranı ödeme periyodu ve faiz periyodu farklı

olduğunda hesaplanmalıdır.



Örnek: Bir mevduat hesabına 3 aylık periyotlarda yıllık %12

aylık bileşik faiz ile para yatırmış olalım. 3 aylık periyot için

efektif faiz oranı nedir?


Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı %12 aylık bileşik

Ödeme periyodu = çeyrek (K = 4 çeyrek/yıl)

Bileşik periyot = ay (C = 3 ay/çeyrek)

Bir Yıl

• Çeyrek yıl başına efektif faiz oranı

• Efektif yıllık faiz oranı

%1 %1 %1

%3.030

1 2 3 4

3(1 0.01) 1 %3.030i 12

4

(1 0.01) 1 %12.68

(1 0.03030) 1 %12.68

a

a

i

i



Örnek: Eğer hesaba para yatırmalar 6 aylık ve yıllık %14

aylık bileşik faiz uygulanıyor ise, 6 aylık efektif faiz nedir?

Yıllık nominal faiz, r = %14

Ödeme periyodundaki faiz dönemi, C= 6

Yılda yapılan ödeme, K= 2

M = C * K = 6 * 2 = 12

i= (1+ r/ CK)C – 1= (1 + 0,14/12)6 – 1 =%7.21


Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı - Sürekli

Bileşik

CK = yıldaki bileşik periyot sayısı

Sürekli bileşik =>

1]/1[ CCKri

1

]1)/1lim[(

/

Kr

C

e

CKri

C


Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı - Sürekli

Bileşik

Örnek (5.4): Başlangıçta $1,000 para yatırmış olalım, yıllık nominal faiz %8’den aşağıdaki durumlar için 4 aylık periyot başına efektif faiz oranını hesaplayınız:

(a) haftalık

(b) günlük ve

(c) sürekli bileşik faiz.

Ayrıca, her bir bileşik faiz periyoduna göre 3 yılın sonundaki hesap bakiyesini bulunuz.


Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı –

1. DURUM

%8 çeyrek bileşik

ödeme periyodu, K = çeyrek

faiz periyodu, C = çeyrek

1 faiz periyodu Verilen r = %8,

K = yılda 4 ödeme

C = çeyrek başına 1 faiz periyodu

M = yılda 4 faiz periyodu

2. çeyrek 3. çeyrek 4. çeyrek

1

[1 / ] 1

[1 0.08 /(1)(4)] 1

%2.00 (çeyrek başına)

Ci r CK

1. çeyrek


Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı

2. DURUM

%8 aylık bileşik


faiz periyodu, C = aylık


K = yılda 4 ödeme

C = çeyrek başına 3 faiz periyodu


2 3 4

3

[1 / ] 1

[1 0.08 /(3)(4)] 1

%2.013 çeyrek başına

Ci r CK

1. çeyrek



3. DURUM

%8 haftalık bileşik


faiz periyodu, C = haftalık


K = yılda 4 ödeme

C = çeyrekte 13 faiz periyodu (52/4)


13

[1 / ] 1

[1 0.08 /(13)(4)] 1

%2.0186(çeyrek başına)

Ci r CK

2 3 4 1. çeyrek



4. DURUM

%8 sürekli bileşik


faiz periyodu, C = sürekli

faiz periyodu Verilen r = %8,

K = yılda 4 ödeme

C =

2 3 4

/

0.02

1

1

2.0201% (çeyrek başına)

r Ki e

e

1. çeyrek


SONUÇ: Çeyrek Başına Efektif Faiz Oranları

Durum 0 Durum 1 Durum 2 Durum 3 %8

çeyrek bileşik

%8

aylık bileşik

%8

haftalık bileşik

%8

sürekli bileşik

Ödeme periyodu:

çeyrek

Ödeme periyodu:

çeyrek

Ödeme periyodu:

çeyrek

Ödeme periyodu:

çeyrek

%2.000

(çeyrek başına)

%2.013

(çeyrek başına)

%2.0186

(çeyrek başına)

%2.0201

(çeyrek başına)

Efektif Faiz Oranları İle Eşdeğerlik

Analizi


Efektif Faiz Oranları İle Eşdeğerlik Analizi

Adım1:

Ödeme periyodunu belirle (örn: yıllık, çeyrek yıllık, aylık, haftalık v.b.)

Adım 2:

Faiz periyodunu belirle.

Adım 3:

Ödeme periyoduna karşı gelen efektif faiz oranını hesapla.


Durum I: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Aynı

Adım 1: Yıldaki bileşik periyotların sayısını (M)

belirle (para yılda kaç kez para kazandırıyor)

Adım 2: Ödeme periyodu başına efektif faiz oranını

(i) hesapla:

i = r/M

Adım 3: Toplam ödeme periyotlarının sayısını (N)

belirle:

N = M * (Yıl sayısı)

Adım 4: i ve N değerlerini uygun faiz formülünde

kullanarak hesap yap.



ÖRNEK

Örnek: İş makinası Ödemeleri

Bir fabrika için alınacak Forklift ile ilgili ödeme planı, üretici firma tarafından aşağıdaki şekilde verilmektedir

%8,5 nominal faiz. Tüm modellerde 48 ay vade. $21,599’dan başlayan fiyatlar. Bu fiyat üzerine sadece satış vergisi ve %1 nakliye ve kurulum ücreti eklenecektir

%4 satış vergisi = $863.96

%1 bayi taşıma ücreti = $215.99

Toplam fiyat = $ 22, 678.95

SORU: Başlangıçta $2,678.95 peşinat verebiliyoruz, aylık taksit ne kadar olur?


Araç Kredisi Ödemeleri

Verilenler:

Fatura fiyatı = $21,599

Satış vergisi (%4) = $21,599 (0.04) = $863.96

Taşıma ücreti = $21,599 (0.01) = $215.99

Toplam satış fiyatı = $22,678.95

Peşinat = $2,678.95

Bayi faiz oranı = %8.5 (yıllık)

Vade = 48 ay

İstenen: aylık ödeme


ÖRNEK



Örnek: Araç Kredisi Ödemeleri

Verilen: P = $ 22.678,95, r = %8,5 (yıllık)

K = 12 ödeme (yılda)

N = 48 ödeme periyodu

İstenen: A

Adım 1: M = 12

Adım 2: i = r/M = %8.5/12 = %0.7083 (aylık)

Adım 3: N = (12)(4) = 48 ay

Adım 4: A = $ 22,678.95 (A/P, %0.7083,48) = $559

48

0

1 2 3 4

$22678,95

A


Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı

Adım 1: Aşağıdaki parametreleri belirle: M = bir yıldaki bileşik periyotların sayısı K = bir yıldaki ödeme sayısı

C = ödeme periyodundaki faiz periyodu sayısı

Adım 2: Ödeme periyodu başına efektif faiz oranını

hesapla: Kesikli bileşik faiz için:

Sürekli bileşik faiz için:

Adım 3: Toplam ödeme periyotlarını sayısını belirle: N = K * (Yıl sayısı)

Adım 4: i ve N değerlerini uygun eşdeğerlik formülünde kullan.

1]/1[ CCKri

1/ Krei



Örnek : Yıllık %12 aylık bileşik faizi olan bir hesaba 3 aylık

periyotlarda $1000 yatırmış olalım. Üç yıl sonraki hesap

bakiyesini hesaplayınız.

Eğer %12 sürekli bileşik faiz uygulansaydı, sonuç nasıl değişirdi?



Örnek (5.6): Aylık bileşik

Adım 1: M = 12 bileşik periyot/yıl K = 4 ödeme/yıl C = 3 faiz periyodu/çeyrek

Adım 2: Ödeme periyodunun efektif faizi

Adım 3: N = (4 çeyrek/yıl)(3 yıl) = 12 çeyrek Adım 4: F = $1,000 (F/A, %3.030, 12) = $14,216.24

%030.3

1)]4)(3/(12.01[ 3

i

F = ?

A = $1,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Çeyrekler

1.yıl 2.yıl 3.yıl



Örnek : Sürekli bileşik

içinçeyrek 045,3%

14/12,0

ei

Yaz 2008 İKT 321

Mühendislik Ekonomisi

Adım 1: K = 4 ödeme periyodu/yıl C = faiz periyodu

Adım 2:

Adım 3: N = (4 çeyrek/yıl)(3 yıl) = 12 çeyrek

Adım 4: F = $1,000 (F/A, %3.045, 12) = $14,228.37

F = ?

A = $1,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

çeyrekler

2. yıl 1. yıl 3. yıl



Örnek : Yıllık %10 üç aylık bileşik faiz uygulayan bir

yatırım hesabına aylık 500 YTL yatırmış olalım. 10 yıl

sonundaki hesap bakiyemiz ne olurdu?



Örnek (5.8):

R = %10

K= 12 ödeme periyodu/yıl

C= 1/3 faiz periyodu/ödeme periyodu

M= 4 bileşik periyot/yıl

i = (1+0.1/4)1/3 – 1

= %0.826 (aylık)

N= (12 ay/yıl) (10 yıl)= 120 aylık ödeme

F= 500 (F/A, %0.826, 120)

= 101,907.89 YTL



Bir önceki örnekte (5.8) paramız 3 aylık dönemde (bileşik

periyot) hiç faiz getirmeseydi 10 yılın sonunda kaç liramız

olurdu?

i= %10 / 4= %2.5 / 3 aylık

A= 3 * (500) = 1500 çeyrek yıllık ödeme

N= (4 ödeme/yıl) * (10 yıl) = 40 ödeme

F= $ 1500 (F/A, %2.5, 40)

= 101,103.83


Değişik faiz oranları

Örnek (5.11): Bir bireysel emeklilik planı ilk iki yılda yıllık

%6 aylık bileşik faiz ve sonraki 3 yılda ise yıllık %9 aylık

bileşik faiz uygulamaktadır. 2000 YTL yatırdığınız hesabın 5

yıl sonundaki bakiyesini hesaplayınız.


Değişik faiz oranları Örnek Çözüm:

I = %6 / 12 = %0.5 aylık faiz

N = (12 ay/yıl)*(2 yıl) = 24 ay

İstenen: 5 yıl sonraki değeri (F)

F1 = 2000 (F/P, %0.5, 24)

= 2,254

I = %9 / 12 = %0.75 aylık faiz

N = (12 ay/yıl)*(3 yıl) = 36 ay

F = 2,254 (F/P, %0.75, 36)

= 2,950


Değişik faiz oranları Örnek : Aşağıdaki nakit akışına eşdeğer eş ödemeli (düzgün)

nakit akış serisini bulunuz.

0 1 2 3

$100 $200

$250

i1=%5 i2=%7 i3=%9


Değişik faiz oranları Örnek (5.12) Çözümü:

P = P1 + P2 + P3

P = $100 (P/F, %5, 1) + $200 (P/F, %7, 1)(P/F, %5, 1) + $250

(P/F, %9, 1) (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1)

= $477.41

P = A (P/A,i,n)

$477.41= A (P/F, %5, 1) + A (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1) + A (P/F,

%9, 1) (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1)

477.41= 2.6591A

A= $179.54


Borç/Kredi Yönetimi


Ticari Krediler Amortize Krediler

• Efektif faiz oranı belirtilmiştir.

• Faiz en son bakiyeye göre hesaplanır.

• Taksitli ödeme yapılır.

• Örn: taşıt kredisi, ev kredisi, çoğu ticari krediler.

• Bn = n. periyot sonundaki bakiye

• In = n. periyottaki faiz ödemesi, In = Bn-1*i

• Pn = n. periyottaki ana para ödemesi

• A = In + Pn


Ticari Krediler Add-on Krediler

• Toplam faizi önceden hesaplamak için gerekli

basit faiz oranı belirtilmiştir.

A = Ana Para + Toplam Basit Faiz

Ödeme Sayısı

• Örn: beyaz eşya, mobilya kredileri


Ticari Krediler – Tablolama Yöntemi

Örnek (5.13): Bir bankadan ev tadilatı için $5000 kredi

almış olalım. Kredi ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

Kredi miktarı = $5000

Sözleşme periyodu = 24 ay

Yıllık faiz oranı = %12

Bakiye, faiz ödemesi ve ana para ödemelerini gösteren ödeme

tablosu hazırlayınız.


Ticari Krediler – Tablolama Yöntemi Örnek (5.13):

Verilen: P = $5,000, i = 12% APR, N = 24 months

İstenen: A

A = $5,000(A/P, 1%, 24) = $235.37



Örnek (5.13):

Kredi miktarı = $5000

Sözleşme periyodu = 24 ay

Yıllık faiz oranı = %12

n Bakiye

Aylık

Ödeme

Faiz

Ödemesi

Ana Para

Ödemesi

1 5.000 TL 235 TL 50 TL 185 TL

2 4.815 TL 235 TL 48 TL 187 TL

3 4.627 TL 235 TL 46 TL 189 TL

4 4.438 TL 235 TL 44 TL 191 TL

5 4.247 TL 235 TL 42 TL 193 TL

6 4.054 TL 235 TL 41 TL 195 TL

7 3860 TL 236 TL 39 TL 197 TL


Ticari Krediler – Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): Herhangi bir ayda borcunuzu ödemek

istiyorsunuz. Ne kadar ödemeniz lazım?



• Çözüm: Geri kalan ödemelerin o anki (ödemeyi

yapacağınız zamanki) değeri, ödemeniz gereken

değerdir.

Mesela 6. ayda borcunuzu kesmek isterseniz:

B6 = $235.37 (P/A, %1, (24 – 6)) = $3,859.62


Ticari Krediler – Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): 7. aydaki aylık ödemenin ne kadarı ana para

ödemesi olacak, ne kadarı faize gidecek?

• Çözüm: 6. ay sonunda bakiye ne ise onun 1

aylık faizi 7. ayın faiz ödemesi olacaktır. Geri

kalan ise, ana para ödemesidir.

Faiz7 = [$235.37 (P/A, %1, (24 – 6)) ] * %1


Ticari Krediler – Add-on Kredi Örnek (5.15): Aylık eşit taksitli ve add-on faiz oranı %12

olan 2 yıl vadeli $5,000 kredi almış olalım. Bu kredinin aylık

taksit tutarını hesaplayınız. Bu add-on kredi için efektif ve

nominal faiz oranlarını hesaplayınız.

Add-on Faiz = (Yıllık Faiz Oranı)(Ana Para)(Süre)

= (0.12)($5,000)(2) = $1,200

Ana para + add-on faiz

= $5,000 + $1,200 = $6,200

Aylık Taksitler

A = $6,200/24 = $258.33


Ticari Krediler – Add-on Kredi Örnek (5.15): $5,000

0

24 1 2 i = ?

A = $258.33

$5,000 = $258.33 (P/A, i, 24)

(P/A, i, 24) = 19.3551

Deneme ve yanılma yöntemiyle,

• i = %1.7975 (aylık)

• r = %1.7975 x 12 = %21.57 (yıllık)

./%84.231)017975.01( 12 Yria


Lineer Enterpolasyon (Linear Interpolation)


Araba ihtiyacını karşılamanın 3 farklı yolu

Yaz 2008 İKT 321


Opsiyon A

Kredi Kullanmak

Opsiyon B

Peşin Almak

Opsiyon C

Kiralama

Fiyat $32,508 $32,508 $32,508

Peşinat $4,500 0

Nominal yıllık faiz (APR) (%) 4.5%

Aylık ödeme $736.53 $513.76

Süre 42 months 42 months

Ücretler $994

Kiranın sonundaki nakit ödeme $395

Kiranın sonunda alma opsiyonu $17,817

İmzadaki peşin ödeme $4,500 $31,020 $1,507.76



Bu opsiyonları karşılaştırmak için hangi faiz oranını kullanmak lazım?

Yaz 2008 İKT 321




Opsiyon A: Kredi kullanımı

Pdebt = $4,500 + $736.53(P/A, 4.5%/12, 42)

- $17,817(P/F, 4.5%/12, 42)

= $17,847

Opsiyon B: Peşin ödeme

Pcash = $31,020 - $17,817(P/F,4.5%/12,42)

= $15,845

Opsiyon C; Kiralama

Please = $1,507.76 + $513.76(P/A, 4.5%/12, 42)

+ $395(P/F, 4.5%/12, 42)

= $21,336


Borç/kredi yönetimi

SORU: $15,000 araç kredisi 48 ay vade ile %9 nominal faiz

(aylık bileşik faiz ile) alınmıştır. İlk üç ödeme için aşağıdaki

tabloyu doldurunuz.

Ay Faiz

ödemesi

Anapara

ödemesi

Kredi

bakiyesi

1 $14739.22

2 $262.74

3 $108.57


Borç/kredi yönetimi Cevap:

A = P (A/P, i, N) = 15,000 (A/P, %0.75, 48) → A=373.28

I= (Bn-1)i P= A-I Bn=(Bn-1) - Pn

Ay Sonu Faiz

Ödemesi

Anapara

Ödemesi

Kredi Bakiyesi

1 $112.50 $260.78 $14739.22

2 $110.54 $262.74 $14,476.48

3 $108.57 $264.71 $14,211.77



Soru: Mr. Smith fiyatı $18,000 olan bir araç satın almak

istemektedir. Peşin ödeme olarak $8,000 yatırdıktan sonra

geriye kalan tutar için yıllık %9 aylık bileşik faizle aylık

ödemeli ve 2 yıl vadeli bir kredi kullanmak istemektedir.

Aylık taksitler ne kadar olur?

Mr. Smith 12 taksit ödemiş olsun. 12. taksitin sonunda ödemiş

olduğu toplam faiz miktarı nedir? Geriye kalan kredi bakiyesi

nedir?



Cevap:

A) A = $10,000(A/P, %0.75, 24)

B) 12. ay sonundaki bakiye, kalan ödemelerin o anki değeridir:

B12= A (P/A, %0.75, 12)

I12 = B11*i

I12 = A(P/A, %0.75, 13) * %0.75


Borç/kredi yönetimi Soru: Fiyatı $15,000 olan bir araç satın almak istiyorsunuz.

Finans opsiyonları, %8 faize sahip vadeli hesabınızdan para çekme veya bireysel kredi ($15,000, 4 yıl vade, %11 faiz) şeklindedir. Hesaplamalar eğer banka hesabındaki paraya dokunulmasaydı 4 yıl için $5635 faiz geliri elde edileceği ve bireysel kredi için ödenecek toplam faizin de $3609 olacağını göstermektedir. Bu hesaba göre bireysel kredi kullanılması avantajlı gibi görünmektedir. Sizce bu yargı doğru mudur?



Cevap:

Vadeli hesaptan para çekme:

F1= $15,000 (F/P, %8 /12, 48) =$20,635.32

Bu periyotta kazanılan faiz:

I= 20,635-15,000= $5,635

Bireysel kredi:

Aylık ödeme:

A= 15,000(A/P, %11/12, 48)= $387.69

Toplam faiz ödemesi:

I= (387.69*48)- 15,000= $3,609


Borç/kredi yönetimi Görünen o ki, 5,635-3,609 = $2,026 faiz ödemesinde avantaj var.

Ancak, bu hesapta ana para ödemelerinin zaman değeri dikkate

alınmamaktadır!

Bu yüzden, hesap mantığı yanlıştır.

Bankadaki para %8/12 aylık faiz ödediğine göre, 48 aylık periyot

için eşdeğer toplam kredi ödemesini hesaplarsak;

F2= $387.69 (F/A, %8/12, 48)= $21,846.30

Şimdi F1 ve F2 değerlerini karşılaştırdığımızda; kredi kullanma

alternatifinin kredi vadesinin sonunda $1,211 daha fazla

maliyetinin olacağını görmekteyiz.



Soru: Aşağıdaki ödeme planlarının bugünkü net değeri

nedir?

10 yıl süresince %8 altı-aylık bileşik faizle 6 aylık periyotlarda

yatırılan $500.

10 yıl süresince %8 aylık bileşik faizle 6 aylık periyotlarda

yatırılan $500.

10 yıl süresince %8 altı-aylık bileşik faizle aylık periyotlarda

yatırılan $500.


Borç/kredi yönetimi A) Faiz periyodu = bileşik faiz periyodu

M=2 i= 8/2=%4 N=10*2=20

P= $500 (P/A, %4, 20)

B) Faiz periyodu ≠ bileşik faiz periyodu

M=12 K=2 M=C*K C=6

i= (1+ r/M)C-1 i=%4.07 altı aylık

P=$500 (P/A, %4.07, 20)

C) Faiz periyodu ≠ bileşik faiz periyodu

M=2 K= 12 C= 1/6

i= (1+ r/M)C-1 i= %0.656

P= $500 (P/A, %0.656, 120)

insa394 İnşaat mühendisliğinde yapım ve...

Documents