ingenieria sismica-revisar

8/6/2019 INGENIERIA SISMICA-REVISAR

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Anlise deEstruturas

ACO DOS SISMOS

1

0,0399

f 1= 160KN

f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

APONTAMENTOS DAS AULAS

ss r r ii ee EE SS TT RR UU TT UU RR AA SS

joo guerra martins 7. edio / 2009


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Aco dos Sismos Apontamentos das Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

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ACO DOS SISMOS


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Aco dos Sismos Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

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A Intensidade de um sismo uma medida da destruioobservvel numa determinada regio afectada

A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificadasubsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas deMercalli, ou simplesmente Escala de Mercalli modificada.


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Esta escala baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibrao nocomportamento das pessoas e no grau de destruio provocado. Uma verso desta escala apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o tipo de efeitos observveis:

I - A vibrao no perceptvel por pessoas.

II - Vibrao perceptvel por pessoas situadas em pisos elevados de edifcios.

III - Vibrao perceptvel dentro dos edifcios (semelhante produzida pela passagem decamies leves) podendo no ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balanam.

IV - Vibrao semelhante provocada pela passagem de camies pesados; Sensao desacudidela como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automveisestacionados balanam; Portas e janelas rangem. Os vidros vibram;

V - Vibrao perceptvel fora dos edifcios; Acorda pessoas, agita lquidos dentro dosrecipientes podendo provocar extravasamento; Objectos menos estveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pndulos dos relgios param;

VI - Vibrao sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacesde pnico; Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das paredes. Mobilirio arrastado ou virado; rvores e arbustosagitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala;

VII - Dificuldade das pessoas se manterem em p; Vibrao sentida por condutores deautomveis; Mobilirio partido e danos em cantaria fraca; Runa de chamins pequenas;Runa de ornamentos de arquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas;Ondulao em lagos e deslocamento de areias em dunas.

VIII - A conduo de automveis perturbada pelas vibraes; Danos em alvenaria, comcolapso parcial de alvenaria ordinria e danos leves em alvenaria armada; Runa dechamins, monumentos, torres e depsitos elevados; Deslocamentos nas fundaes dosedifcios e eventualmente assentamentos por compactao do solo. Quebram-se ramos dervores;

IX - Pnico geral; Alvenaria fraca destruda e a alvenaria de boa qualidade seriamentedanificada; As fundaes so seriamente danificadas; Fendilhao generalizada do solo.

X - A maior parte das construes em alvenaria so destrudas juntamente com as suasfundaes; Estruturas de madeira e algumas pontes so destrudas; Danos srios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferrolevemente encurvadas; gua de rios e lagos projectada para fora das margens.

XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipelines destrudos.

XII - Destruio praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do

horizonte distorcida; Objectos projectados pelo ar.


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+Medidas de concepo

+Pormenorizao (detalhe construtivo)


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Princpios de concepo de estruturas de edifcios (EC8)


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Mau Bom Mau Bom

Mau Bom Mau Bom


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O critrio pararegularidade em elevao para um edifcio ser classificado como regular em elevao, dever satisfazer todas as condies alistadas nos seguintes pargrafos.

Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como ncleos, paredesestruturais, ou prticos, correro sem interrupo desde as fundaes ao topo doedifcio ou, se singularidades em alturas esto presentes, ao topo da zona relevante doedifcio para cada uma destas partes;

Tanto rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecero constante ou asua reduo ser realizada gradualmente, sem mudanas bruscas, da base ao topo doedifcio;

Em edifcios porticados a relao da resistncia real de cada piso, em relao requerida pela anlise, no deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes;

Quando singularidades esto presentes, as seguintes condies adicionais aplicam-se: Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em

qualquer piso no ser superior a 20 % da dimenso do piso na direco dasingularidade, conforme figura (a) e (b) abaixo;

Para uma nica singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal,a singularidade no ser maior que 50 % da dimenso do piso, conforme figura (c)abaixo. Neste caso a estrutura da zona de base, dentro do permetro vertical projectado dos pisos superiores, deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a75% das foras de corte horizontais que desenvolveriam nessa zona num edifciosemelhante mas sem alargamento da base;

Se as singularidades no conservam simetria, em cada face a soma dassingularidades de todos os pisos no ser maior que 30 % da dimenso no plano do piso trreo acima da fundao, ou acima do topo de uma base rgida, e as

singularidades individuais podero ser superiores a 10 % da dimenso em planta,conforme a figura (d).


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Consequncias da regularidade estrutural na anlise e dimensionamento ssmico

Regularidade Simplificao permitida Coeficiente deComportamentoPlanta Altura Modelo Anlise elstica e linear (para anlise linear)

Sim Sim Plano Esttica (a) Valor de refernciaSim No Plano Sobreposio Modal Valor reduzido No Sim Espacial (b) Esttica (a) Valor de referncia No No Espacial Sobreposio Modal Valor reduzido

(a) Se o perodo fundamental de vibrao T1 4Tc e T1 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8.(b) Dentro das condies estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usado segundoas duas direces principais horizontais (includo frente).

Assim: Em geral a estrutura pode ser considerada como um nmero de sistemas resistentes

verticais e laterais, ligados por diafragmas horizontais. Quando os pisos do edifcio podem ser tomados como diafragmas rgidos em seus planos, as massas e os momentos de inrcia de cada um destes podem ser referidos aoseu centro de gravidade.

Para edifcios que se adaptam ao critrio de regularidade em planta, ou com ascondies apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a anlise pode ser executada partindode dois modelos de planos, um para cada direco principal (ver seguidamente).


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Notas de concepo de estruturas de beto e mistas de edifcios(EC8)

Em edifcios de beto e em edifcios ao-beto compostos e em edifcios de alvenaria

resistente a rigidez dos elementos que suportam a aco ssmica devia, em geral, levar em conta a avaliao da fissurao. Sobretudo tendo em considerao o efeito no linear dos sismos. Tal rigidez deve corresponder ao incio da cedncia dos vares de ao.

A menos que uma anlise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexoelstica e a rigidez ao corte de elementos de beto e alvenaria pode ser tomadasemelhante a metade da rigidez correspondente aos elementos no fissurados.

As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente rigidez

lateral e resistncia do edifcio, devem ser levada em conta. A deformabilidade da fundao ser levada em conta no modelo, sempre que pode ter

uma influncia total adversa na resposta estrutural As massas sero calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na

combinao de aces. Para explicar incertezas na situao de massas e na variao espacial do movimento

ssmico, o centro calculado de massa em cada piso a ser considerado ter que se deslocar da sua situao nominal, em cada direco, de uma excentricidade acidental: eai =0,05Li, sendo esta excentricidade acidental de massa, do piso i, obtida da sua


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localizao nominal, aplicando na mesma direco em todos os pisos, em que Li adimenso do piso na direco perpendicular aco ssmica.

Os efeitos ssmicos e os efeitos das outras aces podem ser determinados pelocomportamento linear-elstico da estrutura. Assim, o mtodo de referncia paradeterminar os efeitos ssmicos sero aanlise modal por espectro de resposta, usandoum modelo elstico (em termos materiais) elinear (em termos geomtricos) da estruturae o espectro de projecto.

Dependendo das caractersticas estruturais do edifcio, um dos seguiintes dois tipos deanlise elstico e linear podem ser usados:

1) O "mtodo de anlise lateral esttico/fora" para edifcios encontrando ascondies dadas em 4.3.3.2 do EC8 (este tipo de anlise pode ser aplicado aedifcios cuja resposta no afectada significativamente por contribuies demodos de vibrao mais altos que o modo fundamental, em cada direco principal, podendo a frequncia ser determinada pelo Mtodo de Rayleigh, por exemplo);

2) A "anlise modal por espectro de resposta", que aplicvel a todos tipos deedifcios.

Como uma alternativa a um mtodo linear, um mtodo no-linear tambm pode ser usado,

tal como:1) Anlise esttica no-linear (pushover);2) Anlise no-linear com integrao no tempo (dinmica).


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Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rgidos noseu plano condio base para todos os modelos descritos, da a importncia das lajes

macias (de beto armado ou mistas) no projecto em zonas ssmicas.

Notas de concepo de estruturas metlicas de edifcios (EC8)

As recomendaes realizadas para edifcios de beto e mistos mantm-se em tudo que for aplicvel, sendo os edifcios resistentes a sismos fabricados em ao projectados de acordocom um dos seguintes conceitos:

Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipao (de energia ssmica); Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia ssmica).


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Tipos de solo (EC8)


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ZONAMENTO DO TERRITRIO [RSA art. 28]

Considera-se o pas dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de ndice desismicidade, so classificadas e designados por:A, B, C, D. A sua quantificao, em termosde incidncia ssmica, feita a partir do coeficiente de sismicidade, conforme Quando I, doCaptulo VII Aco dos Sismos, do RSA.

Tabela I Valores do Coeficiente de Sismicidade,

Zona Ssmica

ABCD

1,00,70,50,3

A delimitao pormenorizada destas zonas est no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bemcomo mapa que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.


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Zonas Ssmicas (EC8)


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Caractersticas principais (no so independentes): Durao Valores de pico da acelerao Contedo espectral

Durao no RSA dos sismos tipo: Tipo I 10 segundos Tipo II 30 segundos

Espectros de resposta:

Clculo a partir de espectros de potncia;

Clculo a partir de sismogramas.


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Simulao numrica de sismogramas: Compatveis com espectros de potncia; Compatveis com espectros de resposta.

Princpio: Um processo estocstico, estacionrio, ergdico e gaussiano de mdia nula completamente caracterizado pela funo deauto-correlaoou, o que o mesmo,

pela suafuno densidade espectral de potncia:

A caracterizao da estrutura probabilstica pode ser feita atravs de Distribuies de probabilidade conjunta, Funes caractersticas, Momentos estatsticos, ...

Um processo diz-seestacionrio se a sua estrutura probabilstica no depender da origem de t. Um processo diz-seergdico se a sua estrutura probabilstica puder ser obtida de uma nica

realizao. Um processo diz-se gaussiano se puder ser completamente caracterizado pela funo densidade de

probabilidade de Gauss (em forma de sino). Neste caso s existem momentos estatsticos at ordem 2

(mdia e desvio padro).


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Espectros de Resposta do RSA e do EC8:ZZoonnaa AA,, TTeer r r r eennoo ttii p poo II


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QUANTIFICAO DA ACO DOS SISMOS [RSA art. 29]

Definies importantes: Para alm do coeficiente de sismicidade, (Quadro I), relacionado com o local

geogrfico dentro do territrio nacional, tambm, para a definio dos ValoresCaractersticos da aco dos sismos, a natureza do terreno importa. Deste modo, so preconizados trs tipos de terrenos. classificados por: Tipo I, II, III. Sendo:

Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo; Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistncia mdia;

incoerentes compactos; Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.

Valores reduzidos da aco dos sismos so nulos (incluindo o valor raro 0 = 1 = 2 = 0);

Em geral, apenas necessrio considerar direces de actuao da aco dos sismosno plano horizontal, na medida em que na direco vertical s quando as estruturassejam especialmente sensveis a vibraes nesta direco. No que se refere aodisposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo de casos em que dever considerar-se aaco ssmica na direco vertical, podem referir-se as estruturas com modos devibrao caracterizados por frequncias prprias inferiores a cerca de 10 Hz, a quecorrespondam configuraes com deslocamentos significativos na direco vertical(o que, na verdade, no alberga uma quantidade de construes significativa).

Exemplo prtico:

Uma ponte.

A pior situao o esborrachar da ponte, pois ir destruir as cabeas dos pilares ou punoar otabuleiro (se a laje for fungiforme situao rara).


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Ns FIXOS Ns MVEIS

N N

N . = considervel = M adicional N . = no considervel = M desprezvel

F F

NM

NM

NM

NF

NF

NF

Na quantificao da aco dos sismosapenas so tidas em conta asaces vibratriastransmitidas pelo terreno estrutura.

DETERMINAO DOS EFEITOS DA ACO DOS SISMOS [RSA art. 30]

A determinao dos efeitos da aco dos sismos deve ser efectuada por mtodos deanlise dinmica, de acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto,utilizar-se tambm os processos simplificados de anlise estticaapresentados em 30.4 e 30.5(RSA).

Conceito importante:MOBILIDADE Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.

Estas duas figuras do continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aosdeslocamentos horizontais com a sua classificao quanto mobilidade lateral, designando-seestruturas de ns MVEIS, ou de ns FIXOS, conforme os deslocamentos transversais seroconsiderveis ou no para o clculo dos esforos (se so ou no geradas excentricidadessignificativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando efeitos de 2. ordem momentos adicionais: M = Mconvencionais+ N.e).


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Mtodos de anlise dinmica (RSA art. 30.2 e 30.3):

Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinmica Estruturalestuda aco que o sismo provoca nas construes, ao induzir-lhe aceleraes que tem comoresposta o aparecimento de foras inrciais nas massas da estrutura, pois que estas somobilizadas pelo efeito vibratrio ssmico.

De forma ilustrativa, diramos que o sismo movimenta, por agitao, a base dasestruturas, tendo as massas destas (designadamente concentradas ao nvel dos pisos) tendncia para resistirem ao deslocamento que lhe imposto, dado as suas grandes inrcias.

Devem-se ter em conta a quantificao das vibraes ssmicas (artigo 29 do RSA) econsiderar as massas correspondentes ao valor mdio dascargas permanentese aovalor quase permanente das cargas variveisque actuam na estrutura.

Por outro lado, as caractersticas de rigidez e amortecimento a adoptar devemcorresponder a valores mdios das propriedades dos materiais.

Conceito importante:

Eq. Equilbrio Dinmico: K.d + A.v + M.a = F

K , Rigidez (K.d = F) Conceito ESTTICO

A, Amortecimento (A.v = F) Conceito CINEMTICO

M, Massas (M.a = F) Conceito DINMICO

d deslocamento; v velocidade; a - acelerao

O quociente entre o menor dos valores mximos das componentes horizontais da

reaco global da estrutura sobre a fundao, nas diversas direces, e o valor das cargascorrespondentes s massas consideradas, no deve ser menor que04,0 .

Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela

analise dinmica devero ser multiplicados por 04,0 .


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No caso de esse quociente ser superior a 16,0 e a estruturaapresentar uma certa

ductilidade, os resultados daquela anlise podero ser divididos por 16,0 .

Quantificao das massas

Estruturas porticadas e de uma s massa (reservatrios, silos,etc):

3233 Q*+G=m

2222 Q*+G=m

1211 Q*+G=m

Edifcio em Altura Reservatrio Elevado

Um reservatrio de gua

m m/2

Ambas so desfavorveis para os SISMOS

Para o VENTO, a situao mais desfavorvel o depsito vazio.

Esta tambm a situaomais desfavorvel

para fins de clculo deaces gravticas da

estrutura

Esta a situao maisdesfavorvel

para fins de clculo das paredes( )3221 ou

R R R Q)100-0%(+G=m


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Efeitos das singularidades nas estruturas

A figura seguinte mostra-nos uma situao em que a existncia de meia parede no favorvel para a aco dos sismos, pois termomentos mximosno meio do pilar . Ora, muito provavelmente, os clculos de projecto foram realizados com a estrutura sem esteimpedimento deformao desses elementos verticais, surgindo situaes deimprevisibilidade em caso de sismo.

A situao comum, de clculo corresponde figura acima, admitindo os pilares soltos.Todavia, a situao acima descrita poder ficar coberta pelo facto de, em princpio, asarmaduras (de flexo-compresso e esforo transverso) obtidas deste modo, no sereminferiores, pelo que sanar o problema.


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= *lEI12f 3 = *h

EI3f 3

X- Centro de Rigidez- Centro de Massa

Estrutura Regular de 9 Pilares Estrutura Irregular de 8 Pilares

A excentricidade entre CM e CR

provoca a toro da estrutura

Tipos de estruturas (e sua forma de deformao a aces horizontais)

PRTICOS PAREDES

MISTAS

Nas estruturas em que os elementosno estejam dispostos em malha ortogonal, poder

considerar-se que a aco ssmica actua separadamente segundo as direces em que aestrutura se desenvolve, devendo-se ento proceder a umaanlise complementar para ter emconta osefeitos da toro.


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NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a aco ssmica conjunta nas duas direces pode provocar um efeito idntico ao da toro em estruturas irregulares, atendendo adesfasamento nos modos de vibrao. Contudo, esta situao difcil de poder coexistir:idntica magnitude em direces ortogonais.

Conceito importante:

DUCTILIDADE Capacidade do material se deformar sem perder a resistncia.

Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de clculo da aco ssmica ecorrigir os resultados, dividindo-os por coeficientes de comportamento () que dependem do

tipo de estrutura (prtico, mista prtico-parede, parede) e das suas caractersticas deductilidade (ductlidade normal ou ductilidade melhorada).

Normalmente para o clculo das aces ssmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, queos materiais ultrapassam o seu Limite Elstico.

E = Coef. Comportamento para Esforos = Esforos Reais / Esforos Elsticos 1

d = Coef. Comportamento para Deslocamentos = Deslocamentos Reais / Deslocamentos Elsticos 1


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Deformao Elstica de Clculo

Deformao Real Inelstica

Limite Elstico

Real

Limite Elstico

Real

Sistema de 1 grau de liberdade em deslocamento crescente (Fonte: SMEE - DECivil IST)


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f 2

f 2

f 1

f 1

tendo a pretenso de correlacionar o valor mximo da grandeza determinada por modeloslineares (idealizados) e no lineares (reais).

Nota: nosnsque a aco ssmica tem o seu efeito mais assinalvel, dado o valor dosesforos concentrados nessa zona.

Risco ssmico, grau de importncia das estruturas e ductilidade

O risco ssmico, de que depende a definio das aces ssmicas de projecto, est ainda

relacionado com o tipo de estrutura e com a sua importncia para a comunidade.

O tipo de estrutura fundamentalmente definido de acordo com as caractersticas deductilidade dos materiais utilizados e com a prpria geometria da estrutura. No RSA considerado um coeficiente de comportamento () no clculo da aco ssmica, o qualdepende no s da ductilidade e geometria da estrutura mas tambm do grau admitido naexplorao dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da aco dos

sismos obtidos atravs de uma anlise linear e elstica das estruturas, com vista a transform-los em valores que se obteriam por uma anlise no-linear (material e geomtrica).


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Estruturas de beto armado

No caso particular das estruturas de beto armado ou pr-esforado o regulamento nacionalaplicvel o REBAP (at 2010, data em que se prev a entrada em vigor dos Eurocdigos), oqual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade:

Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer s disposies de projecto e disposies construtivas mnimas definidas nos captulos X e XI daqueleregulamento.

Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposies de projecto econstrutivas adicionais definidas no captulo XII do mesmo regulamento.

Para alm das disposies construtivas que constam no captulo X e XI do REBAP, tambm ocaptulo XII (complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposies construtivasimportantes no contexto sismo-resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142 ao176 do REBAP).

O REBAP apresenta valores do coeficiente de acordo com o tipo de estrutura resistente ecom a ductilidade nos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos noquadro abaixo. Neste domnio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, paraalm de fornecer valores para outros tipos de materiais.

No que respeita importncia das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadasde acordo com os danos permitidos em caso de catstrofe ssmica. Um exemplo declassificao poderia ser a seguinte:

Estruturas crticas: Hospitais, esquadras de polcia e quartis de bombeiros, unidadesmilitares, sistemas de comunicaes e rdio, fornecimento de gua, electricidade e gs,centros de proteco civil, grandes barragens ou centrais trmicas, pontes em itinerriosfundamentais.

Estruturas importantes: Hotis e edifcios de escritrios, edifcios pblicos, igrejas,escolas e grandes complexos industriais e comerciais.

Estruturas comuns: Armazns, edifcios agrcolas, moradias unifamiliares.


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Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de beto armado e pr-esforado

Tipo de Estrutura resistenteCoeficiente relativo a esforos

Ductilidade normal / Ductilidade melhoradaEstruturas crticas Outras estruturasEdifcios correntes com estrutura de:

Prticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5 Prticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5 Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0Pontes correntes em que a energia ,fundamentalmente, dissipada por: Deformao de flexo dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0 Idem por esforo transverso 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7 Encontros 1.0 1.2Coeficientes relativos a:

Devem ser tomados iguais a 1.0 Esforos gerados pela vibrao vertical Deformaes

Este tipo de classificao deve ser tido em conta quando da verificao da seguranaestrutural, permitindo, por exemplo, que as estruturas consideradas crticas ou importantestenham mais reservas de resistncia e tenham comportamento dctil na rotura, de forma a poderem dissipar grandes quantidades de energia durante o sismo.

Estruturas metlicas

Segundo o REAE:

Art. 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critrios definidos no RSA para a determinao dos efeitos da aco dos sismos, devem ser convenientemente justificados, tendo em conta o tipo de estrutura e as caractersticas de ductilidade daconstruo. No caso de edifcios correntes, tal como so definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintescoeficientes de comportamento para esforos:

1) Para vibraes nas direces horizontais: Prticos sem elementos de rigidez... 2,5 Prticos com elementos de rigidez (paredes ou trelias)... 1,5 Prticos de tipo misto... 2,0

2) Para vibraes na direco vertical... 0,8


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3) Para o mesmo tipo de edifcios o coeficiente de comportamento relativo adeformaes poder tomar-se igual a 0,7.

Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos daaco dos sismos obtidos por uma anlise linear, de modo a transform-los nos valoresque se obteriam por uma anlise no linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes,alm de serem funo do tipo de estrutura e das suas caractersticas de ductilidade,dependam tambm do efeito em causa e da quantificao dos parmetros utilizados naanlise linear. No presente Regulamento apenas so quantificados os coeficientes decomportamento para edifcios correntes, tendo-se considerado suficiente definir coeficientes relativos aos esforos e s deformaes, sem distinguir o tipo de esforos oude deformaes.

O valor do coeficiente ssmico de referncia, () (ndice 0), definido no artigo 31 doRSA, diz respeito a umamortecimentocom o valor de 5% do amortecimento crtico,enquanto usualmente se admite para asestruturas metlicas um valor da ordem de 2%.

Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados tm, naturalmente, este

facto em conta.

Segundo o EC8 (valores mximos em complemento tabela anterior):


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Lembra-se que por edifcios correntes se entendem aqueles que obedecem s condies para tal especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuiode rigidez aproximadamente uniforme em altura, o que no compatvel com grandesdescontinuidades na distribuio das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de processos de construo que possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante aocorrncia de um sismo.

No caso de edifcios no correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser convenientemente justificados, devendo, porm, considerar-se os valores apresentados noartigo como limites superiores.


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Condies ductilidade melhorada segundo o REBAP

REBAP / Artigo 142 (Generalidades)

Visa aumentar a ductilidade das estruturas face s aces ssmicas, sendo necessrio assegurar que as roturas sejam condicionadas pelas armaduras eno pelo beto, evitando rupturasfrgeis.Por outro lado, o beto confinado suporta tenses mais elevadas do que aquele que no seencontra sob um estado bi ou triaxial de compresso. A sua confinao pode-se obter utilizando boas cintagens, o que tambm conduz a uma segurana adicional relativamente ao

esforo transverso.

Utilizao de boas cintagens. Diminuindo o espao entre os estribos, teremos ummelhoramento da ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tenses no beto ( cdIIIcdIIcdI f


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a f P 1

f

b

2a

P 2

m1 2

h

Vigas ALTAS

e CURTAS

A RIGIDEZ atrai a fora do SISMO!!!

REBAP / Artigo 143 (Vigas de prticos)

Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:

4>h

l Esta condio imposta no sentido de limitar o MXIMO

4h

b da relao hl , pois sabemos que l

EI=k , ou seja, como a

e rigidez de uma viga est directamente relacionada com ocm20 b comprimento (l ) e altura (atravs da inrcia [ I ]), podemos

concluir que asvigas curtas(l pequeno) e altas(h grande)so absorventes da aco dos sismos: A RIGIDEZ atrai a

fora do SISMO!!!

Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os pilares, pode conduzir a que as rtulas plsticas provocadas pela aco ssmica se formemnestes ltimos elementos resistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas.

Exemplos prticos (algumas situaes):

Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que nos NSque aco ssmica mais significativa para uma estrutura. Assim sendo, devemos evitar uma possvel rotura nos pilares e nas vigas,


45/122


45/122

f Viga ALTA f

Rtula no PILAR

Rtula daVIGA

mas se tiver que acontecer, que seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos desegurana (dado que mesmo que estas formem rtulas nos seus extremos, ainda permanecemisostcticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria restritamente local).

Ento, caso tenhamos uma estrutura porticada comviga alta, a resistncia desta ser maior que nos pilares e caso ocorra uma aco ssmica, esta poder causar roturas nacabea/basedos pilarese, consequentemente, o colapso total do edifcio. Outro caso, ser uma estruturacom pilares mais robustosque as vigas (e/ou lajes), que poder conduzir a um possvel

mecanismo das ltimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifcio, devido plastificaodas vigas (mas sem colapso global).

f 1

f 2


46/122


47/122


47/122

f f AsAs As2

1 As21

As As+ As2

1

As = 26 >= 212

f

REBAP /Seco 143.3:

Muitas vezes, as vigas so pormenorizadas com omnimo de 2 vares de 6mm em cada face. Contudo, paraestruturas de ductilidade melhoradadevero ser

construdas no mnimo com 2 vares de 12mm.

A figura anterior mostra-nos uma situao em que se deve ter muita ateno. No centro daviga, os esforos podero variar muito consoante a direco e a intensidade do sismo, por isso

a necessidade de se ter armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e


48/122


48/122

negativas). Nas extremidades, a situao ser semelhante, da a necessidade da armadura ter aextenso mnima2d e no possuir emendas ou interrupes (Seco 143.4).

REBAP / Seco 143.4:

2d 2d

A importncia deno ter emendas ou interrupes no intervalo de2d so variadas para aestrutura de ductilidade melhorada, a principal que se diminui o risco de colocar armadurasem excesso e consequentemente aumenta a segurana de toda a estrutura.

REBAP /Seco 143.5:

f f

finalsdrd V


49/122


49/122

2d

15cm

1 0 c m

2d

cm5

REBAP / Seco 143.6:

Exemplo prtico:

Qual a maior altura (h) que uma viga com6mcomprimento (l ) pode ter para uma estrutura deductilidade melhorada?

m5,1hl

m6=l

REBAP / Artigo 144 (Pilares)

No REBAP / Seco 144.1, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condio:

ccd sd A f N **6,0

Em casos normais teramos0,85 a multiplicar pelo valor de clculo da tenso de rotura compresso do beto e pela rea de seco transversal do pilar, mas como estamos a falar de

estruturas de ductilidade melhorada, temos0,6 , para que o beto no esteja demasiadocomprimido, propiciando roturas frgeis. Tambm houve uma reduo de metade do valor mximo daesbelteza ( ), em de140(artigo64) passou a ser 70.

Alm disso, aumentou amenor dimenso da secotransversal do pilar , que passou a ser de 30cm (contra 20cm das estruturas correntes - artigo 120).


50/122


50/122

V sd M sd (Considerados)

rd (Existentes)

l

J no REBAP / Seco 144.2 mostra-nos queem caso alguma seco total da armaduralongitudinal deve ser inferior a0,8% para o betoA235e 0,6% para oA400e A500.O artigo121 (REBAP) nos dizia a mesma coisa, porm com algumas excepes. Mais uma vez, estacondio justifica-se para que o beto no esteja excessivamente compresso.

REBAP / Seco 144.3, para no fugir as ideias das seces anteriores, mostra-nos que aseco total da armadura longitudinal no deve exceder 6% , sendo que no artigo 121(REBAP) 8%, mesmo em zonas de emenda de vares por sobreposio.

REBAP / Seco 144.4:erior

c Aint Esta medida tambm visa salvaguardar que as

rtulas (caso haja) se situem nas vigas e no nos pilares.

REBAP / Seco 144.5:

)( pilar hM M V A

d rd

erd

sw =


51/122


51/122

h

a

Pilar

b

8//10cm

l v l p

Esta situao possvel, porque caso ocorra um sismo, poder existir traces nos pilares. Setivermos compresses, podemos at considerar favorvel, pois ir aumentar a resistncia equando no muito o beto aguenta bem; enquanto as traces s iro prejudicar.

REBAP / Seco 144.6 e 144.7:

ba

h61

C

Para conferir uma maior

rigidez e, sobretudo,confinamento do beto naszonas extremas do pilar.

No devem ser realizadas emendas ou interrupes nas zonas extremas do pilare sim ameia altura, pois os momentos so menores.

REBAP / Artigo 145 (Ns de Prticos)

REBAP / Seco 145.1:Igual s vigas.

REBAP / Seco 145.2:


52/122


52/122

1 5 c m

Se pv l l e nenhuma viga com altura inferior a43 de altura da viga mais alta, ento pode-se

2 sw A .

REBAP / Artigo 146 (Paredes e Diafragmas):

60


53/122


53/122

Cm

3

2 1

X

Processos simplificados de anlise esttica (RSA art. 30.4 e 30.5):

Centro de massa

( )

=i

xiix

md*m

Cm

1 - 22 15 m KN

mq =

2 - 22 10m

KN m

q =

3 - 22 20 m KN

mq =

[ ] Kgf s

m N

g f mam f

2

* ===

Clculo do Centro de massa:

( ) ( ) ( )[ ] mmm g

mmm g

Cg Cmm

KN

mm xd m

m KN

x x 85,1125*15*2010*35*1015*15*15

5,12*15*25*205*10*35*105,17*15*15*15

2

2

325,710)(11

=++

+

+

==

+=

( ) ( ) ( )[ ] mmm g

mmm g

Cg Cmm

KN

mm yd m

m KN

y y 80,2125*15*2010*35*1015*15*15

5,7*15*25*205,32*10*35*105,42*15*15*15

2

2

325,735)(11

=++

+

+

==

+=

Centro de rigidez

Rigidez L I E

K *

=


54/122


55/122


55/122

( )( )

mCr x 2,118*2

5,4*11*8*216

=+

+=

mCr y 32

6 ==

Exerccio:

Um edifcio de 14 pisos tem f = 1,2 Hz. Classifique-o quanto sua deformabilidade face aoArtigo 30.6 do R.S.A..

Temos quef = 1,2 Hz, em que

==

57,01488

5,0

pisosn

e Hz

f

Ento, de acordo com o R.S.A., podemos dizer queo edifcio no demasiado deformvel.

COEFICIENTES SSMICOS [RSA art. 31]:

Exerccios:

a) Considere um edifcio com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequnciafundamental de acordo com os critrios simplificados do RSA.

Em consonncia com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hz f n

f pisos

1121212 ===

Podemos ainda concluir:Quanto mais alto for o edifcio, menor a sua frequncia, maior a sua deformabilidade.

b) Considere um edifcio com estrutura prtico parede de 12 pisos e diga qual a sua

frequncia fundamental:


56/122


56/122

f

b = 15m

Em conformidade com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hz f n

f pisos

33,1121616 ===

c) Considere um edifcio com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo ediga qual a sua frequncia fundamental:

De acordo com a Seco 31.2, podemos calcular:

Hz f h

b f 5,23*12

15*6*6 ===

OBS.:

pisosn o n de pisos acima do nvel do terreno;

h Altura do edifcio acima do nvel do terreno;

b Dimenso em planta do edifcio segundo a direco dosismo;

f Expresso em Hz.


57/122


57/122

Y

6,0 m

6,0 m

0,300,30

6,0 m

6,0 m

0,30 2,0 m 2,0 m

4,0 m

1m

2

4,0 m

MTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIO DAS FORASESTTICAS) [RSA art. 32] versus ANLISE DINMICA

Exemplo N1 (ANLISE PELO MTODO ESTTICO EQUIVALENTE)

Considere o seguinte edifcio cuja estrutura no de ductilidade melhorada, ou seja, deductilidade normal.

DADOS:

Carga Permanente (incluindo o Peso

Prprio) = 26 m KN ;

Sobrecarga (Edifcio Habitao) =22 m KN ;

2,02 = ;

Tipo de terreno: II; Zona de ssmica: Porto; Estrutura em Beto Armado.

RESOLUO:

Clculo da carga total: 22 4,62*2,06* m KN C SC CP C t t =+=+=


58/122


58/122

Clculo do coeficiente ssmico nas duas direces ( ):

*0=

- Zona de ssmica: Porto 3,0= (R.S.A.- art.29.2, Quadro I);

- Direces:

Direco X:

Temos umaestrutura mista prtico parede de ductilidade normal, logo0,2= (REBAP art.33.2). Ento:

=

===

;4,0:0,4,.

;82

1616

0 f terrenoII T

Hzn

f (R.S.A. art.31.2 - Quadro II)

06,00,23,0*4,0 == x x

Direco Y:

Temos uma estrutura em prtico de ductilidade normal, logo5,2= (REBAP art.33.2). Ento:

==

=

===

048,05,23,0*4,0

;4,0:0,4,.

;62

1212

0

y y

f terrenoII T

Hzn

f

(R.S.A. art.31.2 - Quadro II)

Verificao dos valores:Obtivemos:

048,006,0

==

y

x

Temos ainda conferir a seguinte condio: *16,0*04,0


59/122


59/122

C Y

X

G G

Y

C

OK

KO

y

x x

=

048,0012,0

048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0

048,03,0*16,006,03,0*04,0

OBS.:Se a estrutura apresentar uma certa ductilidadeno necessita ser considerado um valor maior que *16,0 e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em

princpio apresentar essa caracterstica (bastando adoptar as disposies construtivaselementares obrigatrias para uma estrutura de ductilidade melhorada). Ento o coeficientessmico ser igual a0,048 . (R.S.A. art.31.2). Contudo, o valor mnimo de *04,0 ter

sempre de ser respeitado.

Clculo da aco do sismo:

=

ii

iii Ki Gh

GGh f

****

- 1Piso:

[ ] [ ]

;12,222,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

2,6914,6*)6*18(*;0,4;048,0

21

11

22

1

1

KN f f

KN m KN mC AG

mh

GG

x K K

t piso

=+

=

=====

=

.12,222,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

21

1 KN f

GG

y K =+

=

=

S por coincidncia que y K f 1 igual a x K f 1!!!


60/122


60/122

f 2

f 0

f 1

f 3

f 4

f 5

m

m

m

l

l

l

m

m

l

l

l

- 2Piso:

[ ] [ ]

;24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

2,6914,6*)6*18(*;0,8;048,0

21

22

22

2

2

KN f f

KN m

KN mC AGmh

GG

x K K

t piso

=+

=

=====

=

.24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

21

2 KN f

GG

y K =+

=

=

S por coincidncia que y K f 2 igual a x K f 2!!!

22,12 KN

44,24 KN

G1C G2

1m

2m

Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos:


61/122


61/122

9,0 m6,0 m

f 4

1

f 2

f 318,0 m

9,0 m

3,0 m3,0 m

6,0 m

OBS.: importante observar que odiagrama das foras ssmicasaumenta conforme tambmcresce a altura do edifcio em relao ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas detodos pisos forem idnticas, bem como a altura dos mesmos.

Exemplificando para o 1. piso:

Distribuio das foras (atendendoao art.32.2 do RSA: estruturassimtricas na direco consideradae elementos resistentesuniformemente distribudos):

a x6,01+=

)( ar regulament factor Kj

Ki f f

estruturadatotal rigidezdadentroi prticodorelativarigidez

al SsmicaTot i Prtico =

KN KN f f

mm

KN KN f f

mm

estruturadatotal rigidezdadentro prticodorelativarigidez

x P

estruturadatotal rigidezdadentro prticodorelativarigidez

x P

034,01,1031,0][1,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/3,03,0212,22

1,118

3*6,01

33,143,102,11][3,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/0,23,0212,22

3,118

9*6,01

1

33

3

32

2

1

33

3

41

1

==+

==

=+=

==+

==

=+=

De reparar que no caso dos prticos XXs toda a fora ssmica absorvida pelos que possuem paredes resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem pilares. No caso dos prticos em YYs, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a fora ssmica

total pelo seu nmero.


62/122


62/122

KN KN f f m

m

Prtin

y P 38,143,1*212,223,1

63*6,01

cos

211 ====+=

Estes so os valores da distribuio referente aos dois tipos de prticos!!!

TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANLISE:- Processo Simplificado (mtodo esttico equivalente do RSA Aco Ssmica)

PARA DETERMINAR A ACO DO SISMO.

Porm, vejamos agora alguns exemplos prticos deUM MTODO DE CLCULORIGOROSO DA FREQUNCIA POR VALORES E VECTORES PRPRIOS:

Mtodos de Anlise Dinmica


63/122


63/122

4,0 m

4,0 m

1m

2

Exemplo N 2 - CLCULO DA FREQUNCIA POR ANLISE VIBRATRIA

Aproveitando o edifcio do exemplo anterior:

Dados:

[ ] [ ] KN m KN mC AGm KN C

t piso piso

t

2,6914,6*)6*18(*4,6

22

11

2

====

Massa do Piso1:

ton53,70ms8,9 2,691gGM 21 piso

1 piso ===

Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1BetoB25.

Equao de Equilbrio Dinmico:M.a +A.v+ K.d = F

Viso simplista do fenmeno SSMICO:am f *=

massa aceleraoda do

estrutura sismo

Y

6,0 m

6,0 m

0,30

0,30

6,0 m

6,0 m

,30 2,0 m 2,0 m


64/122


64/122

4,0 m

4,0 m2m

m1

1 Passo - Matriz de Massa da estrutura:

[1] [2]

=53,700

053,70M

2 Passo - Matriz de Rigidez (SIMTRICA):

K 122

K 111 K 21

K 22

4 m

4 m

=1

=1

Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) so indeformveis!

m KN

m KN

Paredes Pilares B

E E

l EI K

E

E

pisosl EI K

64,44

122*3,0*4

123,0*3,0*4*29*12

12

67,84

122*3,0*4

123,0*3,0*4*29*12

*22*12

3

339

312

3

2*3,

3

3,0*3,0

3259

311

=

+

==

=

+

==


65/122


65/122

m KN

m KN

E E

pisol EI K

E E

l EI K

64,44

122*3,0*4

123,0*4*29*12

1*12

64,44

122*3,0*4

123,0*4*29*12

12

3

349

322

3

349

321

=

+==

=

+

==

A questo no contabilizar pilares ou prticos, por si, mas sim o nmero de pisos deformado para efectuar o deslocamento pretendido. O que arrasta um nmero de pilares a contabilizar ao nvel do prtico (ou da estrutura se a anlise for do seu conjunto).

)10(*4,44,44,47,8 6

= K

Por serem simtricas, so iguais!!!

Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idnticos (seco e altura) e sendon o seunmero:

~

3

00000000002000000000

20000000020000000

2000000200000

..................

......000 ...200

...20

...2

...2

.12

=

nnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nn nnn

simtriconnnnnn

nn

l EI K

De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o uso,

tambm aproximado e simplificado, da expresso:K = 3EI/H3

com H a altura total do edifcio. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consolaencastrada na fundao e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos no conseguem absorver a rotao queeste elemento, muito mais rgido que os pavimentos, lhe provocam.

3 Passo - Clculo de frequncias da vibrao da estrutura:

[ ] [ ] { }0*Pr Pr

2 =

prioVector prioValor M W K


66/122


66/122

[ ] [ ]( )0.

0. 2

==

A Det M W K Det

66

2

26

10*53,700

053,70104,44,4

4,47,853,700

053,7010*

4,44,44,47,8

=

=

W A

W A

= B

B A

*53,704,44,44,4*53,707,8

em que: 62

10W B=

( ) ( ) ( )== 24,4*53,704,4**53,707,8. B B A Det

==

=+

=+=

.162,0;023,0

092,18*94,923*48,4974

036,19*48,4974*33,310*61,61328,38

2

12

2

B B

B B

B B B

Como: 62

10W B= , ento teremos:

==

===

.49,40210*162,0

;66,15110*023,010*

62

616

srad

srad

W

W BW

E ainda, em acordo com a fsica, temos que: f W **2 = :

.06,64*2

49,402*2

;14,24*2

66,151*2

22

11

HzW f

HzW f

===

===


67/122


68/122


68/122

KN GGGG

KN Gt

160

1604

25,640

4321 ====

=

Assim sendo:

=

ii

iii Ki Gh

GGh f

****

*0=

Temos umaestrutura em prtico de ductilidade normal, logo 5,2= (REBAP art.33.2).

Ento:

==

====

048,05,23,0*4,0

;4,0:0,4f ,terrenoII.T;Hz62

12n

12f

0 (R.S.A. art.31.2 - Quadro II)

Como: *16,0*04,0

OK 048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0

Com 048,0= , iremos calcular aaco da ssmica ao nvel dos prticos (PT1 a PT4)

individualmente(dado que todos tm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm):

1 Piso:

.12,5160*0,6160*0,3 160160*160*0,3*048,0

);..(0,3

2

11

1

KN f f

solodoacimamh

h

K K =++=

=

2 Piso:

.24,10160*0,6160*0,3

160160*160*0,6*048,0

);..(0,6

2

2

KN f

solodoacimamh

K =++=

=

Corte basal = =+=+= KN f f f K K Ki 36,1524,1012,521


69/122


69/122

5,12 KN

10,24 KN

PT1,2,3e4

f i = Gi =160KN

i i 160KN

30

1mf 1= 160KNm1

d1

3,0 m

d2

3030

2

1m

m

30

m23,0 m

2 160KN 2

EI

f

2) ANLISE DINMICA SIMPLIFICADA PELO MTODO DE RAYLEIGH

D-nos a frequncia elementar da estrutura (1 Modo de vibrao), sendo esta a frequnciamais baixa (fundamental) e que representa em princpio situao dominante em termos decomportamento dinmico/vibratrio da estrutura.

Continuando ainda com o exemplo n2, teremos:

So caractersticas fsicas da estrutura REAL.

= *123l EI f


70/122


70/122

Admitindo os pisos como indeformveis, temos que os deslocamentos so (no caso dos pilares do piso terem todos as mesma altura e inrcia, ou seja, a mesma rigidez):

(ao nvel dos pisos)

(de forma independente como se um piso isolado se tratasse)

Em que:

d i - Deslocamento do pisoi em relao ao solo, ou seja, o deslocamento total; i - Piso em estudo; n - N total de pisos; i - Deslocamento de uma haste com as caractersticas do pisoi.

Efectuando os clculos teremos:

a) m

Pilares I qualquer beto

umdoconsideran

0133,0

2*123,0

*1020*12

0,3*160

30*30

4

..

6

3

21 =

==

Se o prtico tivesse 4 pilares, seria 4 e no 2.

( ) 1*1 ++= iii d ind

b) ( )

( ) =++=

=++=

.0399,00266,00133,0*122

;0266,000133,0*112

2

1

md

md

NOTA: Reparar que neste caso todos os pisos tm a mesma carga e pilares iguais, se assimno fosse teramos que efectuar as alteraes necessrias (ver soluo geral mais frente).

( ) 1*1 ++= iii d ind

EI l F ii

i 12* 3=


71/122


71/122

1

0,0399

f 1= 160KN

f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

==0266,00399,0

12

Piso Piso

(Modo de Vibrao Fundamental)

A posio dos pisos no vector indiferente. Apenas temos que ter presente como osdistribumos nesse vector, para no efectuar trocas de nveis nos clculos posteriores.

Admitindo, igualmente, os pisos como indeformveis, mas de forma mais genrica eincluindo a eventual presena de paredes resistentes:

1-.

1

.

133

.

312i

pilaresden paredesden

m

m

k

k

presentedoacima pisosden

i j

i d

H EI

L EI

F d +

+

=

Ou seja, deslocamento de um piso igual ao produto do total das foras aplicadas nesse piso ede todos os que lhe so superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamentotransportado do piso que lhe inferior.

Reparar que esta frmula provm da generalizao de: K.d = F.

Tambm, no caso de existirem cabos, a sua contribuio poderia ser contabilizada pelo

acrscimo da nova parcela frmula anterior, simplificadamente:


72/122


72/122

1-

)(

.

1

.

1

.

133

.

cos312

i

horizontal acomngulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


i j

i d

C EA H EI L EI

F d +

++

=

== =

Como ilustrao do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.

3

3

3

Parede

Cabo

Pilar 9H =

L =

L =

L =

3 0

Se neste exemplo:

F = 1000 kN

Paredes: 1.5 0.2, E = 29E+6

Pilares: 0.3 0.3, E = 29E+6

Cabos: = 16mm, E = 210E+9Surge:

1

23

1

1

3

3

1

1

3

))30sin(/3/()30cos(1)92104/016.0(3

12/3.03.092912

9

12/5.12.0929331000

+

+

=

E E E

E

[ ] m E E E E 0576,031940387003671331000 1 =++=

Se negligenciamos a presena dos cabos:

=

+

=

1

3

1

1

3

3

1

1

3

3

12/3.03.092912

9

12/5.12.0929331000

E E E 0,0649m


73/122


73/122

Como no nosso caso todos os pilares tem a mesma altura, podemos utilizar a formasimplificada, assim:

][0266,00,02*12

3,0*1020*12

3)160160(

30*30

4

..

6

3

1 md


umdoconsideran

=+

+=

][0399,00266,02*12

3,0*1020*12

3)160(

30*30

4

..

6

3

2 md


umdoconsideran

=+

=

c) FRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2):

=i

ii

iii

d F

d F g f 22

1

Continuando os clculos por esta frmula, teremos:

( )=+

+

=

= Hz68,20399,0*1600266,0*160

0399,0*1600266,0*160*8,921f

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

Diminuindo o valor da MASSA, e mantendo a RIGIDEZ da estrutura, aumenta oudiminui a FREQUNCIA da mesma?Simulemos com a mesma estrutura mas metade da massa.Como o deslocamento proporcional massa, dado que o valor desta que surge comoaco horizontal:

( )=+

+==

Hz f OBS d F

d F g f

iii

iii

79,3)20399,0(*2/160)20266,0(*2/16020399,0*2/16020266,0*2/160*8,9

21:.

21

222

.

( )=+

+

=

=

Hz79,3)20399,0()20266,0(20399,020266,0*8,9

21f :.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

A frequncia aumentou!


74/122


74/122

Na verdade, quanto menor for a MASSA mais se tende para o valor da FREQUNCIAFUNDAMENTAL DO MTODO ESTTICO, que de6Hz . Ou seja, com oM. DeRAYLEIGH tem-se um valor mais eficaz da frequncia fundamental ( 2,68Hz < 6Hz ). Oregulamento tendo uma postura conservadora, do lado da segurana, conduz a frequnciasmais elevadas se adoptarmos o Mtodo Esttico, pois que tal atitude faz aumentar asforas ssmicas (veja-se o que sucede com o Coeficiente Ssmico de Referncia0,quando a frequncia aumenta, ou as relaes entre frequncias e aceleraes dos Espectrosde Resposta do anexo III do RSA);

E diminuindo a RIGIDEZ da estrutura e mantendo o valor da MASSA, aumenta oudiminui a FREQUNCIA da mesma?

Simulemos com a mesma massa mas metade da rigidez da anterior estrutura.

Como o deslocamento proporcional rigidez e dado que o valor desta metade:

( )=+

+

=

=

Hz89,1)2*0399,0(*160)2*0266,0(*1602*0399,0*1602*0266,0*160*8,9

21f :.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

( )=+

+

=

=

Hz89,1)2*0399,0()2*0266,0(2*0399,02*0266,0*8,9

21f :.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

A frequncia diminui, pois a estrutura tornou-se mais flexvel!

e) Aplicando de novo o Mtodo Esttico Simplificado:

==

==


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76/122


76/122

%5= (Coef. de amortecimento Est. de Beto);

Tipo de terreno: II; f =2,68Hz.

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtivemos:

e) Aceleraes espectrais (RSA):

==

=.scm235S;scm310S

Hz68,2f 2TipoII

a

2TipoIa

.sm705,0100

3,0*235S

;sm93,0100

3,0*310S

2TipoIIa

2TipoIa

==

==

),f (S*W*M

LY a2ii

ii =

f) Deslocamentos mximos:

===

===

12

)(00197,000295,0

074,0*0266,00399,0

*

1

2)(

00261,0

00391,00981,0*

0266,0

0399,0*

11

11

Piso Piso

mmY Z

Piso

PisommY Z

II II

I I

g) Foras mximas:

/***/**),(*** 2121 W Y mW Z m

f S M Lm f I I a

i

ii si ===

)(54,331,5

5,285,828,13

5,2705,0*918,28*

0266,00399,0

*8,9

1600

08,9160

)(67,475,2

68,1152,17

5,293,0*918,28*

0266,00399,0*

8,91600

08,9160

1

2

1

2

KN f f

KN f f

II

II

I

I

===

===

Recorrendo ao mtodo simplificado do EC8:

a) Se quisssemos obter o corte basal, V b:

074,0705,0*84,16918,29

2 ==TipoII Y

0981,093,0*84,16918,28

2 ==TipoI Y


77/122


78/122


78/122

.KN3,4f ;KN6,8f ;Hz68,2f

1

2

==

=

J pelo MTODO DINMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:

=

=

==

=

.54,3

;31,5

.67,4;7

;68,2

1

2

1

2

KN f

KN f

S

KN f KN f

S

H z f

II

II TipoII

a

I

I TipoI a Ser este o condicionante!

Segundo o EC8:


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79/122

Exerccios propostos para resoluo (saram em teste):

1) Aco dos Sismos [2+4 val]

a) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calculea sua frequncia fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal aonvel do tabuleiro, sendo este admitido como indeformvel e permitindo os apoios extremos dotabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares so todos iguais e com seco 1,0m0,5m, commaior dimenso transversal ao tabuleiro. Esta estrutura fabricada em beto B35 e poder considerar-se de ductilidade normal.

b) Na direco considerada, determine a fora ssmica regulamentar, o deslocamento mximo absoluto dotabuleiro e as reaces no apoio do pilar de 6 metros.


80/122


80/122

8

30

Direco do es tudo

1 1

6

CP = 5 0 k N/ m S C = 3 0 k N/ m

7 7 2) Aco dos Sismos [2+4 val]

Na Figura representa-se uma estrutura em que a dimenso em planta de D metros, destinada a um edifcio de

servios (escritrios), sendo a altura entre o 1. e 3. piso (medida B) o dobro da entre o 1 e 2. piso. Ir ser construdo na zona urbana de Gaia, a 3km da beira-mar e sobre terreno de dureza dura/mdia. No seudesenvolvimento possui 4 prticos idnticos ao apresentando e igualmente afastados. Ser fabricada em aoestrtural (S355), com (coeficiente comportamento) = 3,0 e pilares tubulares ocos, de rea=0,01m2 e inrcia =0,001m4, estimando-se a carga permanente 210 m KN = .

Calcule a aco do sismo na direco indicada, considerando os pisos como diafragmas rgidos no seu plano eadmitindo apenas o modo fundamental de vibrao.


81/122


81/122

EXEMPLO N 3.A - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS TOTAIS DE CADA PISOADMITINDO OS MESMOS COMO DIAFRAGMAS INFINITAMENTE RGIDOS NO SEUPLANO.

Dados:

Seces de ao= 0,001 m4

Eao = 210 GPa EB25 = 29 GPa Seco o pilar: 0,5 x 0,5 m2 Seco da parede 1: 1,0 x 0,1 m2 Seco da parede 2: 1,2 x 0,2 m2 Cabos = 25mm

Resoluo:

Frmula genrica de deslocamento com pisos infinitamente rgidos:

1-

)(

.

1

.

1

.

133

.

cos312

i

horizontal acomngulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


i j

i d

C EA H EI L EI

F d +

++

=

== =

Clculo dos deslocamentos relativos a cada piso (o deslocamento surge da relao entre amassa e a rigidez estrutural do piso):

1 Piso:


82/122


82/122

2 Piso:

3Piso:

4Piso:


83/122


84/122


84/122

(1PISO)

f 1 = 7,12KN

PT2

PT1

Cm

P1 P1

5,0 m

P1 P1

Como: *16,0*04,0

OK 08,002,0 5,0*16,0057,05,0*04,0

Com 057,0= , iremos calcular aaco da ssmica ao nvel dos prticos (PT1 e PT2)

individualmente(dado que todos tm a mesma estrutura: Pilares de 40 * 40cm):

1 Piso:

.12,7250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,3*057,0

);..(0,3

32

11

1

KN f f

solodoacimamh

hh

K K =++++=

=

2 Piso:

.25,14250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,6*057,0

);..(0,6

32

22

2

KN f f

solodoacimamh

hh

K K =++++=

=

3 Piso:

.37,21250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,9*057,0

);..(0,9

32

33

3

KN f f

solodoacimamh

hh

K K =++++=

=

Corte basal = =++=++= KN f f f f K K K Ki 74,4237,2125,1412,7321 .


85/122


85/122

2) CLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORO DO EDIFCIO:

No caso de estrutura simtrica em relao a um plano que contm a direco considerada paraa aco ssmica, e os seus elementos resistentes estarem uniformemente distribudos, pode-seconsiderar que as resultantes das foras estticas que actuam segundo aquele plano de simetriae multiplicar os efeitos assim obtidos por um factor definido por:

Estruturadaura L

PrticodoCoordenada

a x

..arg

..

6,01+= (Art.32.2 do R.S.A.)

Ento:

.68,10237,21

;12,7225,14

;56,3212,7

3

2

cos2

1

KN f

KN f

KN f

K

K

Prti

K

==

==

==

Utilizando a frmula:

.89,135

5,2*6,01*68,10

;26,95

5,2*6,01*12,7

;63,45

5,2*6,01*56,3

3

2

1

KN f

KN f

KN f

=

+=

=

+=

=

+=

f 1 = 4,63 KN

3 = 13,89KN

f 2 =9,26 KN


86/122


86/122

Exemplo N 5 (ANLISE DINMICA SIMPLIFICADA PELO MTODO DERAYLEIGH)

D-nos a frequncia elementar da estrutura (1 Modo de vibrao), sendo esta a frequnciamais baixa (fundamental) e que representa, em princpio, a situao condicionante.

Continuando ainda com o exemplo n 4, teremos:

3

m

d3

d2 2

m

1d1 m

3m

1m

m2

3,0 m

f K3

3,0 m

f K2

3,0 m

f K1

Temos que:( ) 1*1 ++= iii d ind (ao nvel dos pisos)

EI l F ii

i 12* 3= (forma independente)

em que:o d i -Deslocamento do pisoi em relao ao solo;o i - Piso em estudo;o n - N total de pisos;o i - Deslocamento de uma haste com as caractersticas do pisoi.

Efectuando os clculos teremos:

a) m E

Pilares I

B

00455,02*

12

4,0*29*12

0,3*250

40*40

4

25

6

3

21 =

==

Se o prtico tivesse 4 pilares, seria 4 e no 2.


87/122


87/122

b)( )( )( ) =++=

=++==++=

;0274,00228,00455,0*133;0228,00137,00455,0*123

;0137,0000455,0*113

3

2

1

md md

md

=0274,00228,00137,0

(Modo de Vibrao Fundamental)

c) FRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2):

=i

ii

i ii

d F d F g f 22

1

Continuando os clculos por esta frmula, teremos:

( ) Hz f 19,30274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4

0274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4*8,921

222 =++++=

.

d) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte frmula:

),(** 2

f S W M

LY aii

ii =

{ } r d d

mm

M L

RAYLEIGH Mt

i

i

iT i

iT i

i

i === .

21

, referente ao exemplo em questo temos:

82,430274,00228,00137,00274,00228,00137,0

222 =++++==

i

i

M Lr .

Temos ainda: sradi 04,2019,3**2f *2W === .


88/122


88/122

Sabemos que:

5,0= (Zona do Coimbra);

%5= (Coef. De amortecimento Est. de Beto);

f =3,19Hz

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (AnexoIII), obtivemos:(atendendo a que 200 cm/s2 correspondem a 1,3cm no baco regulamentar e o ponto da curvadas aceleraes se encontra, para 3,19 Hz a 0,9 da linha dos 200cm/s2, numa proporo linear temos:)

=

+=

=

+=

= .2313,12,0*200200

;3383,19,0*200200

19,3 2

2

scmS

scmS

Hz f TipoII a

TipoI a

Como TipoI aS o maior, iremos considerar somente este valor:

.69,1100

5,0*338 2 smS TipoI a ==

m f S W M

LY a f

i

ii 18,069,1*

04,20

82,43),(*1* 22**2

82,43

==

e) Deslocamentos mximos (em funo da Coordenada Modal):

===123

)(0025,00041,00049,0

18,0*0137,00228,00274,0

* 11 Piso Piso Piso

mmY Z I I

f) Foras mximos:

==

= /W*Y**m/W*Z*m),f (S

*ML

**mf 2I

1

2I

1

a

i

iisi

)KN(39,731,1279,14

5,369,1*82,43*

0137,00228,00274,0

*

8,925000

08,92500

008,9250

f f f

),f (S*ML**mf

I1

I2

I3

a

i

iisi ===

=

Ou:


89/122


89/122

)KN(39,731,1279,14

5,304,20*

0025,00041,00049,0

*

8,925000

08,92500

008,9250

f f f

/W*Z*mf 2

I1

I2

I3

2I1si ====

3) CONCLUSO:Podemos concluir que pelo MTODO ESTTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aosseguintes resultados:

.12,7;23,14

37,21;4

1

2

3

KN f KN f KN f

Hz f

====

J pelo MTODO DINMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:

===

=

.39,7;31,12

79,14;19,3

1

2

3

KN f KN f

f S

Hz f

I

I

I

TipoI a

Ou seja, podemos verificar que oMTODO DINMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH) no obriga a uma distribuio triangular, o que faz dele um mtodo MAIS RIGOROSO eMAIS ECONMICO que o anterior.


90/122


90/122

K 11

K 21

K 12

K 22

P1PT4

PT3

P1

P1

PT2 P1

5,0 m

P1

5,0 m

P1

5,0 m

PT1 P1 P1 f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

Exemplo N 6 (ANLISE DINMICA PELO MTODO DE SOBREPOSIOMODAL)

DADOS:

P1 = 30*30cm; E = 20 GPa; Tipo de terreno: II; Zona de ssmica: Porto; Estrutura corrente em Beto Armado Combinao Quase Permanente:

(CP+ 2 *SC) KN Gt 25,640= , ou seja, por

prtico: KN GGGG 1604321 ==== .

Equao de Equilbrio Dinmico:K.d + A.v + M.a = FComo s pretendemos os deslocamentos mximos, a componente de amortecimento pode ser eliminada:

K.d + M.a = F

1 Passo - Matriz de Rigidez (tem 1 grau de liberdade por piso):

[ ] ( )mKN12000120001200024000

2*LEI122*

LEI12

2*LEI124*

LEI12

K K K K

K 33

33

2221

1211

=

==


91/122


91/122

.120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;240006000*43

123,0*3,0*20*12

*4/4*12

3

36

322

3

36

321

3

36

312

3

3,0*3,0

3.

6

311

m KN

m KN

m KN

m KN

Pilaresqualquer Beto

E prtico pilares

l EI K

E prtico pilares

l EI K

E prtico pilares

l EI K

E prtico pilares

l EI K

====

====

====

====

2 Passo - Matriz de Massa:

[ ] ( )tonM M M M

M ===33,160

033,16

8,91600

08,9160

2221

1211

3 Passo Resoluo dinmica da estrutura (problema algbrico de valores e vectores

prprios):

[ ] [ ] { }0*Pr Pr

2 =

prioVector prioValor M W K

Trata-se da obteno de valores e vectores prprios deste sistema. Vamos calcular o seguintedeterminante:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )

0A.DetMWK A

0MWK .Det2

2

==

=

=

=

33,160033,16

12000W

1112

12000A

33,160033,16

W1112

12000A

2

2

== B*33,1611 1B*33,16212000/A'A , em que: 12000

2

W B=


92/122


93/122


93/122

-1,618 1

12

1 Modo (f=2,67 Hz):

vibraodeoo para pisodorelativotodeslocamendoValor vibraodeoo para pisodorelativotodeslocamendoValor

mod12mod11

21

11

=+==

0618,00*618,1

00

**33,1611

1*33,162*120002111

2111

21

11

618,01

618,1

0234,0

1

B B

0*618,1 2111 = ; considerando 111 = , teremos:

.618,101*618,1 2121 ==

Hz f 67,2618,10,1

1

1

=

=

2 Modo (f=6,98 Hz):

==

=

0618,10*618,0

00

*

*33,1611

1*33,162*120002212

2212

22

12

618,12

618,0

1603,0

2

B

B

Considerando 122 = , teremos:

.618,10618,1 122212 ==

Hz f 98,60,1618,1

2

2

=

=

1. Modo de Vibrao (f = 2,67Hz) 2 Modo de Vibrao (f = 6,98Hz)

1

1,618

1

2


94/122


94/122

6 Passo Determinao doi L :

{ }unitrioVector

MassasdeMatriz

VibraodeMODOdoVector

T ii m L 1** =

1 Modo:

{ }

75,4233,16*133,16*618,111

*33,160

033,16*1618,11

=+

== L

2 Modo:

{ }

21,633,16*618,033,1611

*33,160

033,16*618,012

=

== L

7 Passo Determinao do iM :

Vibraode

omoddoVector

i

MassasdeMatriz

Vibraode

omoddoVector

Tii *m*M =

1 Modo:

{ }

08,591*33,16*1618,1*33,16*618,11618,1

*33,160

033,16*1618,11

=+

==M

2 Modo:

{ }

57,221*33,16*)618,0()618,0(*33,16*1618,01

*33,160

033,16*618,012

=+

=

=M


95/122


95/122

8 Passo - Clculo das coordenadas modais e deslocamentos mximos:

1 Modo:

( ) ,** 2 iaiiii f S W M LY = em que

)..(

1 .667,2%;5 AS R AnexoIII

Hz f ==

Temos:

( )

( ) ==

==

.sm7,0100

3,0*235%5;Hz667,2S

;sm93,0100

3,0*54,309%5;Hz667,2S

2IIa

2Ia

==mm

S S Y II

a

I a

00202,000268,0

*753,16*08,59

75,42

66,280

21

===

===

.00202,0

;00327,000202,0*

1

618,1*

.00268,0;00434,0

00268,0*1618,1

*

211

111

m

mY Z

mm

Y Z

II

I

OBS.:Logo ser o I Z 1 que condicionar, pois tem osdeslocamentos maiores.

2 Modo:

( ) ,** 2 iaii

ii f S W M

LY = em que

)..(

2 .98,6%;5

AS R AnexoIII

Hz f ==

Temos:

( )

( ) ==

==

.sm68,0100

3,0*230%5;Hz98,6S

;sm2,1100

3,0*400%5;Hz98,6S

2IIa

2Ia

==m

m

S

S Y II a

I a

0001,0

000172,0*

86,43*57,22

21,6

7,1923

22


96/122


96/122

=

==

=

==

mm

Y Z

mm

Y Z

II

I

000062,00001,0

0001,0*618,01

*

000106,0000172,0

000172,0*618,01

*

222

122

9 Passo Clculo das foras ao nvel de andar (pisos) por modo de vibrao:

( )

,*** f S M Lm f a

i

ii si = Estrutura corrente em Beto Armado: 5,2=

1 Modo:

)(4,411,7

5,293,0*

08,5975,42*

1618,1*

33,160033,16

1 KN f s ==

2 Modo:

)(33,1

16,25,22,1*

57,2221,6*

618,01

*33,160

033,162 KN f s

=

=

Podemos ainda calcularmos de outra forma (ALTERNATIVA):

Sabemos que a fora igual a matriz de rigidez a multiplicar pelo deslocamento, ou seja,

Z n

f

d K f *= :

1 Modo:

)KN(4,411,7

5,200268,000434,0

*1112

*12000Z*K f

K

I1

1s =

=

=

2 Modo:

)(34,1

16,25,2

000106,0000172,0

*1112

*12000* 22 KN Z K f

K

I

s =

==


97/122


98/122


98/122

)2.32.(..*6,01 art AS Ra

x+=

=+= )(15*6,0

1 frentem x

Ver Tabela abaixo

PT a/d b/c e/h f/g x 7,5m 2,5m 7,5m 2,5m 1,3 1,1 1,3 1,1

)( KN f s 4,60 4,60 7,43 7,43

)(* KN f F s s = 5,98 5,06 9,66 8,17


99/122


99/122

4,0 mK 1

4,0 mK 1 K 2

4,0 m 4,0 mK 2

PT4PT3PT2PT1

Cr e2ie

Cm

e1i

10,0 m

- Pilares

- NCLEO RESISTENTE(Caixa de escada / Elevador)

4,0 mK 2 K 2

PT6PT5

5,0 m

5,0 m

5,0 m

X

Y

Exemplo N 7 (CLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORO EMEDIFCIO IRREGULAR)

Distribuio das foras ssmicasatendendo excentricidade do centro de rigidez(Cr)face aocentro de massa(Cm), com excentricidades regulamentares (RSA)e1i e e2i.

DADOS: K *2,5K 1 = ;

K *25,0K 2 = . Nota: K a rigidez de referncia, e os valores relativos a K 1 e K 2 j incluem as diferenas de rigidez entrencleos (caixas de escadas e/ou elevadores) e pilares.

CLCULOS:

== iii

K d K Cr *?


100/122


100/122

+++++=

++++++=

)25,0*42,5*2(K )2016128(*K 25,04*K 2,5

K *4K *2)2016128(*K )40(*K Cr

21

21

.05,3 mCr =

.m95,605,310Cr Cm?e ====

di coordenadas do Centro de Corte de cada elemento vertical face a um referencial.K i rigidez do prtico i na direco considerada (x ou y).

De uma forma mais rigorosa:

( ) 20 ./.... Ixy Iy Ix xi Ix yi Ixy Iy xi Ixy yi Iy Ixy x =

[ ] [ ]( )[ ]../.... 20 Ixy Iy Ix yi Iy xi Ixy Ix yi Ixy xi Ix Ixy y +++= Sendo:

x0 e y0 o centro de rigidez do piso; Ixy a inrcia de toro; Ix e Iy a inrcia da seco do elemento em eixos locais; xi e yi a distncia do referencial ao centro de rigidez local do elemento.

Iremos utilizar o R.S.A.- art.32.2:

====+=+=

===

.0,120*05,0*05,0;425,420*05,095,6*5,0*05,0*5,0

;95,6;20

,

2

1425,3

1

21

maemabe

mebma

ee

i

ii

i

ii

+=+=+=

2ii

ii

i

isii2

ii

s

i

isii

iii

s

i

issi d*K

K *d*e1*

K K *f d*K *

d*K e*f

K K *f )d*K (*

d*)d*K (M

K K *f F

Deve-se ter muita ateno ao sinal:- A esquerda doCr NEGATIVO;

- A direita doCr POSITIVO.


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101/122

di distncia do Centro de Rigidez a cada prtico i.

.059,0K 7,192

K 4,11d*K

K ;K 7,192)2016128(*K 25,0)40(*K 2,5d*K

;K 4,11K 25,0*4K 2,5*2K

2ii

i

2222222

ii

i

==

=+++++=

=+=

PT1:

( )

( )+

+

+

+

.059,0*05,3*0,195,61*4,11

2,5*

;059,0*05,3*425,495,61*4,11

2,5*

2

..

2

1

..

1

iee

CRdoesquerda s

i

iee

CRdoesquerda s

i

f e

f e

.

. Este o mais GRAVOSO!

.

PT6:( )

( )++

++

+

+

.059,0*95,16*0,195,61*4,11 25,0*

;059,0*95,16*425,495,61*4,11

25,0*

2

..

2

1

..

1

iee

CRdodireita

si

iee

CRdodireita s

i

I f e

I f e

Temos dois edifcios de malhas ortogonais, um com o centro de gravidade a coincidir com ocentro de rigidez, sofrendo basicamente deslocamentos (y ) na mesma direco da aco

ssmica, enquanto o outro edifcio no coincide os dois centros, sofrendo para alm dosdeslocamentos (y ) uma rotao com um ngulo .

Alternativamente:

)(* x segundotranslaodevidoi prticono ssmica Fora K K f F x

i

xi

xS T

x =

)(* y segundotranslaodevidoi prticono ssmica Fora K K f F y

i

yi

yS T

y =


102/122


102/122

( ) )/(...

22

2

x segundorotaotorodevidoi prticono ssmica Forad K d K

d K M F

yii y xi

i x

yii y

xS R

x +=

( ) )/(...

22

2

x segundorotaotorodevidoi prticono ssmica Forad K d K d K M

F yii y xii x xi

i x

yS R

y +

= Com:

)/(' x segundorotaotorodevidoMomentoe F M x xS xS =)/(' y segundorotaotorodevidoMomentoe F M y yS yS =

Sendo:

)/( x segundotranslaodevidoi prticono final total ssmica Fora F F F R xT xTotal x +=)/( y segundotranslaodevidoi prticono final total ssmica Fora F F F R yT yTotal y +=

Segundo o EC8:


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Exemplo N 8 (ANLISE DINMICA SIMPLIFICADA PELO MTODO DERAYLEIGH)

3

3

3

4 , 7

5

X

Y

0 , 2

5

0,25

Pilares 0,5mx0,8m

Pilares0,5mx0,5m

412 (A500)

Cabos

Piso 1

Piso 2

Piso 3

4 , 7

5

20

1 0

4,755

Piso 2 e 3 (planta)

Piso 1 (base)

Calcule, adoptando as recomendaes constantes no R.S.A., as foras ssmicas que sedesenvolveriam na estrutura em esquema, na direco X, admitindo como suficiente aconsiderao do 1. modo de vibrao ou fundamental. Podem-se tomar as lajes de piso comoinfinitamente rgidas, bem como considerar estes pavimentos indeformveis flexo, por simplicidade.

Distncia entre prticos e pisos sempre igual; Pilares 1. Piso = 5080cm; Pilares 2 e 3. Piso = 5050cm;


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Cabos = 412 (A500); Tipo de terreno: I; Zona de ssmica: Coimbra;

Estrutura em Beto Armado de Ductilidade Melhorada em beto B25; Combinao Quase Permanente: (CP+2 SC) 2t mKN10q = .

Resoluo:

O Mtodo de Rayleigh d-nos a frequncia elementar da estrutura (1 Modo de vibrao),sendo esta a frequncia mais baixa (fundamental) e que representa, em princpio, a situaocondicionante para estruturas regulares.

No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos : Q1/2/3= 10 (20 10) = 2000KN

O deslocamento devido aplicao dessas cargas por piso, dadas as caractersticas de rigidezinfinita dos mesmos, vem:

1.

1

3

1/

12

+=+=

i pilaresn

i

iii

Pisos Forasi d

I E

l F d d i

Em que Fi a fora que se encontra aplicada no prprio piso somada a de todos os que seencontram acima de si.

o d i - Deslocamento do pisoi em relao ao solo;o d i-1 - Deslocamento do pisoi-1 em relao ao solo;o Pisos/Foras

i - Deslocamento de uma haste com as caractersticas do piso i, resultado

da aco de todas as foras aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe sosuperiores (dado que essas foras tambm o empurram).

No caso de todos os pavimentos terem igual massa, podemos usar a frmula directa:

( ) 1iii d1ind ++= ,Em que:

o d i -Deslocamento do pisoi em relao ao solo;o d i-1 - Deslocamento do pisoi-1 em relao ao solo;o i - Piso em estudo;


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ingenieria sismica-revisar

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