inf-104 matematika diskrit - informatika.unsyiah.ac.id · teori bilangan inf-104 matematika diskrit...

Teori Bilangan

INF-104 Matematika DiskritTeori Bilangan

[email protected]

Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah

April 14, 2014

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori Bilangan

Algritma PembagianFaktor Persekutuan TerbesarTeorema Dasar AritmatikaLatihan

Definisi

Jika a, b ∈ Z dan b 6= 0, kita katakan bahwa b membagi a, dandinotasikan dengan b|a, jika terdapat bilangan bulat nsedemikian sehingga a = bn. Bila ini yerjadi kita katakan bahwab adalah pembagi dari a, atau a adalah kelipatan dari b.

Dengan definisi ini kita hanya akan mematasi pembagian dalamZ. Lebih lanjut, bila ab = 0 untuk a, b ∈ Z, maka salah satudipenuhi a = 0 atau b = 0 dan kita katakan Z tidak memilikipembagi sejati dari 0.


Teori Bilangan


Teorema

Untuk semua a, b, c ∈ Z1 1|a dan a|0.

2 [(a|b) ∧ (b|a)]⇒ a = ±b3 [(a|b) ∧ (b|c)]⇒ a|c4 a|b⇒ a|bx untuk semua x ∈ Z5 Jika x = y + z, untuk suatu x, y, z ∈ Z, dan a membagi dua

dari tiga bilangan x, y dan z, maka a membagi bilanganketiganya.

6 [(a|b)∧ (a|c)]⇒ a|(bx+ cy), untuk semua x, y ∈ Z. (bx+ cydisebut kombinasi linier (linear combination) dari b dan c.)

7 Untuk 1 ≤ i ≤ n, misalkan ci ∈ Z. Jika a membagi ci, makaa|(c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn), dimana xi ∈ Z untuk semuax, y ∈ Z.


Teori Bilangan


Contoh

Misal a, b ∈ Z sehingga 2a + 3b adalah kelipatan dari 17.(Sebagai contoh, jika a = 1 dan b = 5 atau jika a = 4, b = 3.)Buktikan bahwa 17 membagi 9a + 5b.Bukti:Perhatikan bahwa 17|(2a + 3b)⇒ 17|(−4)(2a + 3b)(Teorema(4)). Selanjutnya karena 17|17, menurut Teorema (6) maka17|(17a + 17b). Jadi 17|[(17a + 17b) + (−4)(2a + 3b)] (Teorema(5). Akibatnya[(17a+ 17b) + (−4)(2a+ 3b)] = [(17−8)a+ (17−12)b] = 9a+ 5b,sehingga kita peroleh 17|(9a + 5b).


Teori Bilangan


Untuk semua n ∈ Z+, bilangan bulat n memilikisekurang-kurangnya dua pembagi positif, yaitu 1 dan n itusendiri. Bilangan-bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan 17 memilikitepat dua pembagi positif. Bilangan-bilangan seperti ini disebutbilangan prima (prime). Semua bilangan bulat positif yanglebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangankomposit (composite).

Lemma

Jika n ∈ Z+ dan n bilangan komposit maka terdapat bilanganprima p sedemikian sehingga p|n.


Teori Bilangan


Jika kita mendaftarkan bilangan prima kita akan menemukantakhingga banyaknya bilangan tersebut. Pernyataan tersebutdinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema (Euclid)

Ada takhingga banyaknya bilangan prima.

Teorema (Algoritma Pembagian)

Jika b ∈ Z, dengan b > 0 maka terdapat bilangan unik q, r ∈ Zdengan a = qb + r, 0 ≤ r < b.

Pada teorema Algoritma Pembagian, bilangan q disebuthasilbagi (quotient) dan r adalah sisa (remainder) pembagian.Bilangan bulat b disebut pembagi atau faktor dari a bilamanabilangan a habis dibagi oleh b (r = 0).


Teori Bilangan


Contoh.

1 Bila a = 170 dan b = 11 pada algoritma pembagian, kitadapatkan bahwa 170 = 15 · 11 + 5, dimana 0 ≤ 5 < 11. Jadibila 170 dibagi oleh 11, hasilbaginya adalah 15 dan sisanyaadalah 5.

2 Jika bilangan yang dibagi 98 dan pembaginya adalah 7,maka kita dapatkan 98 = 14 · 7. Jadi dalam kasus inihasilbaginya adalah 14 dan sisanya adalah 0 dan 7 adalahfaktor atau pembagi dari 98.

3 Untuk kasus a = −45 dan b = 8 kita dapatkan−45 = (−6)8 + 3, dimana 0 ≤ 3 < 8. Akibatnya,hasilbaginya adalah -6 dan sisanya adalah 3.

4 Jika a = qb untuk suatu q ∈ Z+, maka a = (−q)b. Jadi,bilaa(< 0) dibagi oleh b(> 0) hasilbaginya adalah q(< 0) dansisanya adalah 0.


Teori Bilangan


Definisi

Untuk a, b ∈ Z, suatu bilangan bulat positif c disebut faktorpersekutuan (common divisor) dari a dan b jika c|a dan c|b.

Contoh.

Faktor persekutuan dari 42 dan 70 adalah 1, 2, 7 dan 14, dan14 adalah faktor persekutuan terbesar.

Definisi

Misalkan a, b ∈ Z, dimana a 6= 0 atau b 6= 0. Maka c ∈ Z+

disebut faktor persekutuan terbesar (greatest commondivisor) dari a dan b jika

1 c|a dan c|b (yaitu c adalah faktor persekutuan dari a dan b)

2 untuk sebarang faktor persekutuan d dari a dan b, kitaperoleh d|c.


Teori Bilangan


Teorema

Untuk semua a, b ∈ Z+, terdapat suatu bilangan unik c ∈ Z+

yang merupakan faktor persekutuan terbesar dari a dan b.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b akan dinotasikanoleh FPB(a, b).

FPB(a, b) = FPB(b, a).

Untuk setiap a ∈ Z, jika a 6= 0 maka FPB(a, 0) = |a|.Jika a, b ∈ Z+, kita perolehFPB(−a, b) = FPB(a,−b) = FPB(−a,−b) = FPB(a, b).

FPB(0, 0) tidak terdefinisi.


Teori Bilangan


FPB(a, b) juga menyatakan bilangan bulat positif terkecil yangdapat ditulis sebagai kombinasi linier dari a dan b. Jadi jikaa, b, c ∈ Z+ dan c = ax + by untuk suatu x.y ∈ Z. Bilanganbulat a dan b disebut prima relatif (relatively prime) jikaFPB(a, b) = 1 atau terdapat x.y ∈ Z dan ax + by = 1.

Contoh.

Karena FPB(42, 70) = 14, kita dapat menemukan x, y ∈ Zdengan 42x + 70y = 14, atau 3x + 5y = 1. Perhatikan bahwax = 2, y = −1 adalah solusi, karena 3(2) + 5(−1) = 1.Selanjutnya, untuk k ∈ Z, 1 = 3(2− 5k) + 5(−1 + 3k), sehingga14 = 42(2− 5k) + 70(−1 + 3k). Jadi solusi untuk x, y tidak unik.


Teori Bilangan


Teorema (Algoritma Euclidean)

Misalkan a, b ∈ Z+. Set r0 = a dan r1 = b dan terapkanalgoritma pembagian n kali sebagai berikut:

r0 = q1r1 + r2 0 < r2 < r1r1 = q2r2 + r3 0 < r3 < r2r2 = q3r3 + r4 0 < r4 < r3· · · · · · · · · · · · · · · · · ·ri = qi+1ri+1 + ri+2 0 < ri+2 < ri+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·rn−2 = qn−1rn−1 + rn 0 < rn < rn−1

rn−1 = qnrn

Maka rn, sisa taknol terakhir adalah FPB(a, b).


Teori Bilangan


Contoh.

Cari faktor perssekutuan terbesar dari 250 dan 111, dannyatakan hasilnya sebagai kombinasi linier dari kedua bilangantersebut.

250 = 2(111) + 28, 0 < 28 < 111111 = 3(28) + 27, 0 < 27 < 2828 = 1(27) + 1, 0 < 1 < 2727 = 27(1) + 0.

Jadi 1 adalah sisa taknol terakhir sehingga FPB(250, 111) = 1.Kita juga dapatkan bahwa 250 dan 111 adalah prima relatif.Perhatikan bahwa1 = 28− 1(27) = 28− 1[111− 3(28)] = (1)(111) + 4(28)

= (−1)(111) + 4[250− 2(111)] = 4(250)− 9(111)= 250(4) + 111(−9),

merupakan kombinasi linier dari 250 dan 111.


Teori Bilangan


Contoh.

Untuk sebarang n ∈ Z+, buktikan bahwa bilangan bulat 8n + 3dan 5n + 2 adalah prima relatif.Bukti:Untuk n = 1 kita dapatkan

FPB(8n + 3, 5n + 2) = FPB(11, 7) = 1.

Untuk n > 2 kita peroleh 8n + 3 > 5n + 2, sehingga denganalgoritma pembagian kita dapat tuliskan

8n + 3 = 1(5n + 2) + (3n + 1), 0 < 3n + 1 < 5n + 25n + 2 = 1(3n + 1) + (2n + 1), 0 < 2n + 1 < 3n + 13n + 1 = 1(2n + 1) + n, 0 < n < 2n + 12n + 1 = 2(n) + 1, 0 < 1 < nn = n(1) + 0.


Teori Bilangan


Contoh.

Karena sisa taknol terakhir adalah 1 maka dapat disimpulkanFPB(8n + 3, 5n + 2) = 1 untuk semua n > 1.Selain itu kita juga dapat perlihatkan bahwa

(8n + 3)(−5) + (5n + 2)(8) = −15 + 16 = 1.

Teorema (Persamaan Diophantine)

Jika a, b, c ∈ Z+, persamaan Diophantine ax + by = c memilikisolusi bilangan bulat x = x0, y = y0 jika dan hanya jikaFPB(a, b) membagi c.


Teori Bilangan


Contoh.

Seorang pekerja pada toko kue dapat membuat kue jenis xdalam 6 menit dan kue jenis y dalam 10 menit. Jika pekerjatersebut bekerja selama 104 menit dan tanpa membuang waktu,berapa banyak kue masing-masing jenis yang bisa dibuat?Jawab.Dalam kasentunya x, y > 0, dimana 6x + lOy = 104, atau3x + 5y = 52. Kita peroleh FPB(3, 5) = 1, sehingga kita dapattuliskan 1 = 3(2) + 5(−1). Jadi52 = 3(104) + 5(−52) = 3(104− 5k) + 5(−52 + 3k), k ∈ Z.Untuk mendapatkan 0 ≤ x = 104− 5k dan 0 ≤ y = −52 + 3k,kita harus punya (52/3) ≤ k ≤ (104/5). Jadi k = 18, 19, 20 danada tiga kemungkinan solusi:(k = 18) : x = 14, y = 2(k = 19) : x = 9, y = 5(k = 20) : x = 4, y = 8


Teori Bilangan


Definisi

Untuk a, b, c ∈ Z+, c disebut kelipatan persekutuan(common multiple) dari a, b jika c adalah kelipatan dari a dan b.Selanjutnya c adalah kelipatan persekutuan terkecil (leastcommon multiple) dari a, b jika c adalah bilangan bulat positifterkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari a, b. Kitanotasikan c oleh KPK(a, b).

Teorema

Misalkan a, b, c ∈ Z+, dengan c = KPK(a, b). Jika d adalahkelipatan persekutuan dari a dan b maka c|d.


Teori Bilangan


Contoh.

1 Karena 12 = 3 · 4 dan tidak ada bilangan bulat positifterkecil lainnya yang merupakan kelipatan 3 dan 4, kitaperoleh KPK(3, 4) = 12 = KPK(4, 3). Perhatikan bahwaKPK(6, 15) 6= 90 walaupun 90 adalah kelipatan dari 6 dan15, karena ada kelipatan yang lebih kecil yaitu 30. Dankarena tidak ada bilangan bulat positif terkecil lainnyayang merupakan kelipatan 6 dan 15 yang lebih kecil dari30, maka KPK(6, 15) = 30.

2 Untuk semua n ∈ Z+, kita peroleh bahwaKPK(1, n) = KPK(n, 1) = n.

3 Bila a, n ∈ Z+, kita peroleh bahwa KPK(a, na) = na.

4 Jika a,m, n ∈ Z+ dengan m ≤ n maka KPK(am, an) = an.Untuk kasus FPB(am, an) = am.


Teori Bilangan


Teorema

Untuk semua a, b ∈ Z+, ab = KPK(a, b) · FPB(a, b).

Contoh.

1 Untuk semua a, b, c ∈ Z+, jika a, b prima relatif makaKPK(a, b) = ab.

2 Jika diketahui FPB(168, 456) = 24 maka KPK(168, 456)dapat dihitung dengan

KPK(168, 456) =(168)(456)

24= 3192


Teori Bilangan


Untuk setiap n ∈ Z+, n > 1, n adalah prima atau n dapatditulis sebagai hasilkali bilangan-bilangan prima,dimanarepresentasinya unik menurut urutannya. Pernyataan inidikenal sebagai Teorema Dasar Aritmatika. (Pernyataan yangsepadan ditemukan pada Buku IX dari Elements karya Euclid.)

Lemma

Jika a, b ∈ Z+ dan p bilangan prima, maka p|ab⇒ p|a atau p|b.

Lemma

Jika ai ∈ Z+ untuk semua 1 ≤ i ≤ n. Jika p bilangan prima danp|a1a2 · · · an maka p|ai untuk suatu 1 ≤ i ≤ n.

Teorema

Setiap bilangan bulat n > 1 dapat ditulis sebagai hasilkalibilangan prima secara unik.


Teori Bilangan


Contoh

Tentukan faktor prima dari 980220.Jawab:

980220 = 21(490110)= 22(245055)= 22 · 31(81685)= 22 · 31 · 51(16337)= 22 · 31 · 51 · 171(961)= 22 · 3 · 5 · 17 · 312


Teori Bilangan


FPB dan KPK

Jika m,n ∈ Z+, misalkan m = pe11 pe22 · · · pett dan

n = pf11 pf22 · · · pftt , dimana pi bilangan prima dan 0 ≤ ei dan

0 ≤ fi untuk semua 1 ≤ i ≤ t. Maka jika ai = min{ei, fi} yaituminimum dari ei dan fi, dan bi = max{ei, fi} yaitu maksimumdari ei dan fi untuk semua 1 ≤ i ≤ t, maka diperoleh

FPK(m,n) = pa11 pa22 · · · patt dan KPK(m,n) = pb11 pb22 · · · p

btt


Teori Bilangan


Contoh

Misal m = 491891400 dan n = 1138845708. TentukanFPB(m,n) dan KPK(m,n).Jawab:m = 491891400 = 23335272111132 dann = 1138845708 = 223271112133171, maka diperolehp1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13 dan p7 = 17.Juga a1 = 2, a2 = 2, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 1, a6 = 2 dan a7 = 0,serta b1 = 3, b2 = 3, b3 = 2, b4 = 2, b5 = 2, b6 = 3 dan b7 = 1.Sehingga

FPB(m,n) = 22325071111132170 = 468468,

dan

KPK(m,n) = 23335272112133171 = 1195787993400.


Teori Bilangan


Pembagi positif

Jika n ∈ Z+, n.1, maka n dapat ditulis sebagai n = pe11 pe22 · · · pekk

dimana 1 ≤ i ≤ k , pi bilangan prima dan ei > 0. Jika m|n maka

m = pf11 pf22 · · · pfkk dimana 0 ≤ fi ≤ ei untuk semua 1 ≤ i ≤ k.

Dengan aturan hasilkali, jumlah pembagi positif dari n adalah

(e1 + 1)(e2 + 1) · · · (ek + 1).

Contoh

Tentukan berapa banyak pembagi positif dari 29338848000.Jawab:29338848000 dapat ditulis sebagai 29338848000 = 2835537311.Sehingga banyak pembagi positif adalah

(8 + 1)(5 + 1)(3 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = (9)(6)(4)(4)(2) = 1728.


Teori Bilangan


Soal 1.

Misalkan a, b, c, d ∈ Z+, buktikan bahwa:

1 [(a|b) ∧ (c|d)]⇒ ac|bd2 a|b⇒ ac|bc3 ac|bc⇒ a|b

Jawab 1.

1 a|b⇒ ax = b untuk suatu x ∈ Z+; c|d ∧ cy = d untuk suatuy ∈ Z+; Maka diperoleh (ac)(xy) = bd, sehingga ac|bd.

2 a|b⇒ ax = b untuk suatu x ∈ Z+; Selanjutnya(ax)c = (ac)x = bc. Jadi diperoleh ac|bc.

3 ac|bc⇒ acx = bc untuk suatu x ∈ Z+. ⇒ (ax− b)c = 0.Karena c > 0 diperoleh ax− b = 0. Selanjutnya ax = bsehingga a|b.


Teori Bilangan


Soal 2.

Tentukan hasilbagi q dan sisa r untuk setiap pasangan berikut,dimana a adalah bilangan yang dibagi dan b adalah pembagi.

1 a = 23, b = 7.

2 a = −115, b = 12.

3 a = 0, b = 42.

4 a = 434, b = 31.

Jawab 2.

1 23 = 3 · 7 + 2, q = 3, r = 2.

2 −115 = −10 · 12 + 5, q = −10, r = 5.

3 0 = 0 · 42 + 0, q = 0, r = 0.

4 434 = 14 · 31 + 0, q = 14, r = 0.


Teori Bilangan


Soal 3.

Jika n ∈ Z+ dan n adalah ganjil, buktikan bahwa 8|(n2 − 1).

Jawab 3.

Misalkan n = 2k + 1, k ≥ 0. Selanjutnyan2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = 4k2 + 4k = 4k(k + 1). Karena k ganjilmaka k + 1 haruslah genap sehingga 8|(n2 − 1).


Teori Bilangan


Soal 4.

Untuk setiap pasangan bilangan a, b ∈ Z+ berikut ini, tentukanFPB(a, b) dan nyatakan sebagai kombinasi linier.

1 a = 231, b = 1820

2 a = 1369, b = 2597

3 a = 2689, b = 4001

Jawab 4.

1 Dengan algoritma pembagian,1820 = 7(231) + 203231 = 1(203) + 28203 = 7(28) + 728 = 7(4)

Sehingga FPB(231, 1820) = 7.


Teori Bilangan


Jawab 4. Lanjutan

1 Kombinasi linier7 = 203− 7(28) = 203− 7[231− 203]

= (−7)(231) + 8(203)= (−7)(231) + 8[1820− 7(231)]= 8(1820) + (−63)(231)

2 FPB(1369, 2597) = 1 dan 1 = 2597(534) + 1369(−1013).

3 FPB(2689, 4001) = 1 dan 1 = 4001(−1117) + 2689(1662).


Teori Bilangan


Soal 5.

Misalkan m = pe11 pe22 pe33 pe44 dan n = pf11 pf22 pf33 pf44 pf55 , dimanap1, p2, p3, p4, p5 adalah bilangan prima berbeda dane1, e2, e3, e4, f1, f2, f3, f4, f5 ∈ Z+. Berapa banyak faktorpersekutuan untuk m dan n.

Jawab 5.

Faktor persukutuan untuk m dan n akan memiliki bentukpr11 pr22 pr33 dimana 0 ≤ ri ≤ min{ei, fi} untuk semua 1 ≤ i ≤ 3.Misalkan mi = min{ei, fi}, 1 ≤ i ≤ 3 maka jumlah faktorpersekutuan untuk m dan n adalah (m1 + 1)(m2 + 1)(m3 + 1)


inf-104 matematika diskrit - informatika.unsyiah.ac.id · teori bilangan inf-104 matematika diskrit...

Documents