probabilitas diskrit
DESCRIPTION
Statistik 2TRANSCRIPT
11/10/2011
1
50
Ciri-ciri Percobaan Bernouli:
• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.
• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.
• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.
• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.
a. Distribusi BINOMIAL
51
Distribusi bernoulli yang diulang n kali merupakan distribusiBINOMIAL
Rumus Distribusi Binomial :
b (x / n , p) = P (X = x)= n C x px . qn-x ;
x = 0,1,…n, q = 1 – p
Dimana : - b ( x / n , p ) ≥ 0
- Σ b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1
Rata – rata ( Mean ) = µx = n . p
Varians ( x ) = σx2 = n . p . q
Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusibinomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.
52
Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syaratsebagai berikut :
}Jumlah percobaan harus tetap, n kali
}Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatifyaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaanBinomial.
}Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yangsama untuk sukses.
}Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu samalain.
53
Latihan Soal
1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa:a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar
b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar
Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½
b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ )5 . ( ½ )6-5
= 6! (½)5 . (½)1 = 3/32
5!.1!
b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2
b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ )6 . ( ½ )6-6
= 6 ! ( ½ )6 . ( ½ )0 = 1/64
6!0!
Probabilitas memperoleh ≥ 5 sisi gambar adalah :
b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64
54
2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa :
a. Rata – rata dari x
b. Varians (x)
Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6
E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3
b. Var ( x ) = σx2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36
= 5/9
3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E ( x ) nya ?
Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4
55
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
11/10/2011
2
B. Distribusi Poisson
Ciri-ciri Distribusi PoissonDigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinyakejadian menurut satuan waktu atau ruang.DistribusiPoisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusibinomial.
Rumus Distribusi Poissonf ( x ) = µx . e-µ = p ( x/n , p )
x!Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828…
Rata – rata = µx = n . pVarians (x) = σx
2 = n . pDalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya
adalah sama
56
Latihan soal !
1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapaprobabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5kali ?Jawab:probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 kepinguang logam sebanyak satu kali adalah :p = 1.( ½ )5 = 1/32Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angkadari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :f( x ) = 64 1/32 x 31 / 32 64-x
x
57
Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, makadiambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :
f ( x ) = µx . e-µ = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
x ! x ! e-2 = 0 ,1353
x 0 1 2 3 4 5
f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036
58
2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4berapa :
a. Rata – rata x
b. Varians (x)
jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4
b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4
3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar,berapa E (x) ?
Jawab : n = 6 ; p = ½
E (x) = n.p = 6.1/2 = 3
59
X 8 12 16 20 24
P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/8
Latihan soal:
1. Dari tabel diatas tentukan:
a. mean X;
b. standar deviasi X;
c. E(2X – 3 )2
2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan
E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan simpangan baku X.
60
3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh:
a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka
4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah:
a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;
b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3!
5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)!
6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali, hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!
61
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
11/10/2011
3
62
C. Distribusi Hipergeometrik
Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial
terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini
hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial
diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,
sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan
pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi
hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada
sampling tanpa pengembalian.
Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:
1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N
benda.
2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k
diberi nama gagal.62
63
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan
ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k
gagal dinyatakan sebagai:
0 1 2
k N k
x n x
N
n
h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n
− −
= =
Contoh (5.8)
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5
fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang
duduk dalam panitia.
Jawab:
63
64
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus
;
;
Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik
( )( )( )
3 50 5 1
5685
0 0 8 5 3x h( ; , , )= → = =
( )( )( )
3 51 4 15
5685
1 1 8 5 3x h( ; , , )= → = =
( )( )( )
3 52 3 30
5685
2 2 8 5 3x h( ; , , )= → = =
( )( )( )
3 53 2 10
5685
3 3 8 5 3x h( ; , , )= → = =
x 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 156
1556
3056
1056
( )( )( )
3 55
85
8 5 3 0 1 2 3x x
h(x; , , ) ; x , , ,−
= =
64
65
Teorema(5.3)Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan
variansi sbb:dan nk
Nµ =
21
1N n k kN n n
(n)( )( )σ −−
= −
Contoh (5.9)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2µ σ±
Jawab:
Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh dan
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491
5 3 340 8
0 375( )( )
,µ = = = ( ) ( ) ( )2 40 5 3 339 40 40
5 1 0 3113( ) ,σ −= − =
2µ σ±
2 1 491 2 0 741, dan ,µ σ µ σ+ = − = −
65
6666
Contoh_ hipergeometrik:
Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak
5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada
seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa
probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.
Jawab:
Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya
dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas
mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:
3 2
0 0
3 5000 10 1000 3 10 0 2
10 0 2 10 0 2
0 8791 0 6778
0 2013
x x
h( ; , , ) b( ; , . )
b(x; , . ) b(x; , . )
, ,
,
= =
=
= −
= −
=
∑ ∑
66
Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan
binomial :
} Binomial → untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
} Hipergeometrik → untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
67
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
11/10/2011
4
C C
C22
23
45
1 3
5
3
50 60
×=
×= = .
68
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Birudan 1 buah Putih. Berapa peluang
a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak dengan pemulihan?
b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak tanpa pemulihan?
Soal a diselesaikan dengan DistribusiPeluang binomial :p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan DistribusiPeluang HipergeometrikN = 5 n = 4 k = 2 x = 2N-k = 3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.