struktur diskrit filestruktur diskrit catatan kuliah struktur diskrit program ilmu komputer

Click here to load reader

Post on 04-Nov-2019

42 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Struktur Diskrit

    Catatan kuliah Struktur DiskritProgram Ilmu Komputer

    disusun olehYusuf Hartono

    Fitri Maya Puspita

    UNIVERSITAS SRIWIJAYA2006

  • Kata Pengantar

    Buku ini adalah versi pertama dari catatan kuliah Struktur Diskrit padaProgram Ilmu Komputer Universitas Sriwijaya. Banyak buku yang dapatdijadikan sumber untuk mata kuliah ini dapat ditemui baik di toko bukumaupun di perpustakaan. Penyusunan catatan kuliah ini dimaksudkan un-tuk membantu mahasiswa mengerti materi kuliah ini secara lebih terarah.Namun demikian, catatan kuliah ini bukanlah satu-satunya sumber materiuntuk mata kuliah Struktur Diskrit. Karena itu, diharapkan mahasiswa tidakmenjadikan catatan kulian ini sebagai satu-satunya sumber materi kuliaholeh mahasiswa, tetapi sebagai penuntun kepada isi mata kuliah. Isi catatankuliah ini merupakan kompilasi dari berbagai sumber yang sempat penulisbaca.

    Indralaya, 5 Feburari 2006 Y.H. dan F.M.P.

    iii

  • iv

  • Daftar Isi

    Kata Pengantar iii

    1 Pendahuluan 11.1 Apakah Matematika Diskrit itu? . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mengapa Belajar Matematika Diskrit? . . . . . . . . . . . . . 21.3 Apa Isi Struktur Diskrit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Himpunan 52.1 Notasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Keanggotaan Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Diagram Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Kesamaan Dua Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Himpunan Berhingga dan Kardinalitas . . . . . . . . . . . . . 72.6 Himpunan Bagian dan Himpunan Kuasa . . . . . . . . . . . . 82.7 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Sifat-sifat Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Hasil Kali Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3 Barisan 153.1 Barisan dan Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Fungsi Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Representasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4 Logika 194.1 Pernyataan (Proposisi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Pernyataan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Inversi, Konversi, dan Kontraposisi . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Ekivalensi Logis dan Tautologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Sifat-sifat Operasi Pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Pernyataan Berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Argumentasi Logis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    v

  • vi DAFTAR ISI

    4.8 Operasi Bit pada Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5 Teknik Membilang 355.1 Prinsip Perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Prinsip Sarang Merpati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Permutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Kombinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    6 Fungsi 416.1 Fungsi Kebalikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Komposisi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    7 Relasi 457.1 Representasi Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    8 Pengantar Teori Graf 49

    9 Pohon 51

    10 Bilangan Bulat 5310.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Aksioma Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.3 Sifat-sifat Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.4 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    11 Induksi Matematika 5911.1 Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    12 Matriks 63

    13 Aljabar Bool 65

    Daftar Pustaka 67

  • Bab 1

    Pendahuluan

    1.1 Apakah Matematika Diskrit itu?

    Matematika diskrit adalah bagian dari matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek diskrit diartikan sebagai objek-objek yangberbeda dan saling lepas. Matematika diskrit memiliki aplikasi di hampirsemua bidang kehidupan, seperti ilmu komputer, kimia, botani, zoologi, lin-guistik, geografi, dan bisnis. Masalah-masalah seperti

    • Ada berapa cara membuat password untuk sebuah sistem komputer?

    • Bagaimana mengurutkan sebuah himpunan bilangan bulat dari terkecilhingga terbesar?

    • Berapa besar peluang memenangkan sebuah undian?

    • Bagaimana menemukan lintasan terpendek antara dua kota denganangkutan umum?

    merupakan contoh kajian dalam matematika diskrit. Secara lebih umum,matematika diskrit digunakan untuk

    • menghitung banyak objek

    • mempelajari hubungan antara himpunan-himpunan berhingga

    • menganalisis proses yang melibatkan langkah-langkah yang banyaknyaberhingga

    Lima tema dalam matematika diskrit berikut tujuan masing-masing adalah

    1

  • 2 BAB 1. PENDAHULUAN

    1. Penalaran matematika: memberikan pemahaman tentang penalaranmatematika dalam membaca, memahami, dan membangun argumenmatematika.

    2. Analisis kombinatorial: memberikan keterampilan menghitung banyakobjek sebagai salah satu kemampuan dasar untuk memecahkan masalah.

    3. Struktur diskrit: memberikan pemahaman tentang struktur diskrit se-bagai salah satu struktur matematika abstrak yang digunakan untukmenyajikan objek-objek diskrit dan hubungan di antara objek-objekitu.

    4. Aplikasi dan Pemodelan: memperkenalkan aplikasi matematika diskritdan pemodelan matematika sebagai salah satu kemampuan pemecahanmasalah yang sangat penting.

    5. Berpikir algoritmik: memberikan kemampuan membuat algoritma danverifikasinya serta menganalisis memori komputer dan waktu yang dibu-tuhkan untuk melakukan algoritma itu.

    1.2 Mengapa Belajar Matematika Diskrit?

    Beberapa alasan penting belajar matematika diskrit adalah sebagai berikut:

    1. matematika diskrit memberikan kemampuan membaca, memahami danmembangun argumen matematika.

    2. matematika diskrit merupakan pintu gerbang untuk mempelajari matakuliah lanjutan dalam logika, teori himpunan, teori bilangan, aljabarlinier, aljabar abstrak, kombinatorika, teori graf,dan teori peluang.

    3. matematika diskrit memberikan landasan matematika untuk mata ku-liah ilmu komputer seperti struktur data, algoritma, teori basis data,

    teori automata, keamanan komputer (computer security), dan sistemoperasi.

    4. matematika diskrit memberikan latar belakang matematika yang diper-lukan dalam pemecahan masalah riset operasi (operations research)seperti teknik optimisasi diskrit.

  • 1.3. APA ISI STRUKTUR DISKRIT? 3

    1.3 Apa Isi Struktur Diskrit?

    Struktur diskrit mempelajari struktur matematika yang memiliki objek atauelemen diskrit. Struktur atau sistem matematika didefinisikan sebagai kolek-si objek dengan operasi yang terdefinisi pada objek itu serta sifat-sifatnya.Struktur diskrit berisi pokok bahasan: Himpunan, Barisan, Fungsi, Logika,Teknik Membilang (counting techniques), Relasi, Graf, dan Pohon.

  • 4 BAB 1. PENDAHULUAN

  • Bab 2

    Himpunan

    2.1 Notasi Himpunan

    Himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi dengan jelas; artinya, kitaselalu dapat menentukan apakah sebuah objek termasuk dalam koleksi atautidak.

    Nama himpunan ditulis dengan menggunakan huruf besar

    A,B, H, S, U, . . . ,

    sedangkan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil

    a, b, h, s, u, . . . .

    Contoh 2.1. Beberapa contoh himpunan.

    1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 10.

    2. B adalah himpunan huruf hidup dalam abjad bahasa Indonesia.

    3. C adalah himpunan kuadrat bilangan asli.

    4. K adalah himpunan mahasiswa yang memiliki IPK lebih dari 3.

    5. M adalah himpunan mahasiswa Universitas Sriwijaya.

    2.2 Keanggotaan Himpunan

    Untuk menyatakan bahwa sebuah objek a adalah anggota sebuah himpunanA kita menggunakan notasi

    a ∈ A.

    5

  • 6 BAB 2. HIMPUNAN

    Sedangkan notasia /∈ A

    berarti a bukan anggota himpunan A.

    Contoh 2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan pada Contoh 2.1,maka 2 ∈ A, 10 /∈ A, a /∈ A, b /∈ B, i ∈ B, 3 /∈ B.Himpunan dari semua objek pembicaraan disebut himpunan semesta danbiasanya dilambangkan dengan U . Sedangkan himpunan yang tidak mem-punyai anggota disebut himpunan kosong dengan notasi ∅.Contoh 2.3. U = N, himpunan semua bilangan asli.Contoh 2.4. Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua adalah him-punan kosong.

    Ada dua cara untuk menuliskan anggota sebuah himpunan. Cara pertamaadalah dengan menuliskan atau mendaftarkan semua anggota himpunan itu.

    Contoh 2.5. Himpunan A, B, dan C pada Contoh 2.1 dapat ditulis sebagai

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B = {a, i, u, e, o}C = {1, 4, 9, 16, 25, . . .}

    Perhatikan bahwa pada penulisan ini anggota himpunan dipisahkan oleh ko-ma dan diapit oleh kurung kurawal. Tiga titik dalam himpunan C bolehdibaca dan seterusnya, yang berarti masih banyak anggota lain. Kesulitanakan timbul bila anggota himpunan sangat banyak, seperti himpunan M pa-da Contoh 2.1.

    Cara kedua adalah dengan menggunakan notasi pembangun him-punan, yaitu membuat diskripsi mengenai sifat-sifat anggota himpunanyang bersangkutan.

    Contoh 2.6. Himpunan-himpunan pada Contoh 2.1 dapat ditulis sebagai

    A = {x | x < 10, x ∈ N}B = {x | x adalah huruf hidup dalam abjad bahasa Indonesia}C = {x2 |x ∈ N}K = {x | x adalah mahasiswa yang memiliki IPK lebih dari 3}M = {x | x adalah himpunan mahasiswa Universitas Sriwijaya}

    Dalam bahasa Inggris tanda ”|” dibaca ”where”. Dalam bahasa Indonesiatanda ini bisa dibaca ”di mana” walaupun menurut kaidah bahasa Indonesiahal ini kurang tepat.

  • 2.3. DIAGRAM VENN 7

    2.3 Diagram Venn

    Himpunan dapat digambarkan dengan diagram Venn. Dalam diagram inihimpunan semesta digambarkan sebagai empat persegi panjang sedangkanhimpunan-himpunan di dalamnya digambarkan sebagai lingkaran atau ben-tuk geometri lain. Anggota himpunan biasanya dinyatakan sebagai titik.Gambar 2.1 menyajikan beberapa contoh diagram Venn.

    UA

    .a.b. c

    .d

    UA B

    UA

    B

    C

    Gambar 2.1: Contoh Diagram Venn

    2.4 Kesamaan Dua Himpunan

    Dua himpunan A dan himpuan B dikatakan sama, yaitu

    A = B

    bila kedua himpunan itu memiliki anggota yang persis sama. Dengan katalain, setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah jugaanggota A.

    Contoh 2.7. Misalkan S = {1, 3, 5} dan T = {5, 1, 3}. Meskipun anggotahimpunan S dan T ditulis dalam urutan yang berbeda, S = T .

    2.5 Himpunan Berhingga dan Kardinalitas

    Himpunan dengan anggota yang banyaknya berhingga seperti himpunan Adan B pada Contoh 2.5 disebut himpunan berhingga. Banyak anggotasebuah himpunan berhingga disebut kardinalitas. Notasi n(A) atau |A| di-gunakan untuk menyatakan kardinalitas himpunan A. Pada Contoh 2.5,n(A) = 9 dan n(B) = 5. Sedangkan himpunan dengan anggota yangbanyaknya tak hingga seperti himpunan C pada Contoh 2.5 disebut him-punan tak hingga.

  • 8 BAB 2. HIMPUNAN

    2.6 Himpunan Bagian dan Himpunan Kuasa

    Jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B, maka Adisebut himpunan bagian dari B, ditulis

    A ⊆ B atau B ⊇ A.

    Notasi terakhir dibaca ”B memuat A.” Secara matematis, himpunan bagiandidefinisikan sebagai berikut:

    Definisi 2.1. A ⊆ B jika dan hanya jika x ∈ A berarti x ∈ B.Bila A ⊆ B dan A 6= B, maka A dinamakan himpunan bagian sejati

    dari B dan ditulis dengan notasi A ⊂ B atau B ⊃ A.

    Catatan. Untuk membuktikan bahwa A adalah himpunan bagian dari B,kita ambil sembarang x anggota A dan tunjukkan dengan alasan yang logisbahwa x juga anggota B.

    Contoh 2.8. Misalkan

    H = {x |x adalah huruf dalam abjad bahasa Indonesia}.

    Himpunan B pada Contoh 2.5 adalah himpunan bagian dari H. Jadi, B ⊂ H.Sementara M bukan himpunan bagian dari H, yaitu M 6⊂ H.

    Dengan definisi himpunan bagian kita dapat menulis kembali defini ke-samaan dua himpunan sebagai berikut.

    Definisi 2.2 (Kesamaan Dua Himpunan).

    A = B jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A

    Catatan. Untuk membuktikan kesamaan dua himpunan kita harus me-nunjukkan bahwa himpunan yang satu merupakan himpunan bagian darihimpunan yang lain dan sebaliknya.

    Koleksi dari semua himpunan bagian sebuah himpunan A disebut him-punan kuasa, dan ditulis dengan notasi 2A.

    Contoh 2.9. Untuk himpunan S pada Contoh 2.7,

    2S = {∅, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}} .

  • 2.7. OPERASI HIMPUNAN 9

    Perhatikan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari se-mua himpunan. Untuk membuktikan hal ini kita memerlukan pemahamantentang implikasi, lihat Contoh 4.10. Perhatikan pula pada contoh ini bahwahimpunan kuasa 2S memiliki kardinalitas 8. Secara umum, kita mempunyaiteorema berikut.

    Teorema 2.1 (Kardinalitas Himpunan Kuasa). Untuk sembarang him-punan A, n(2A) = 2n(A).

    Bukti teorema ini akan mudah dipahami setelah kita mempelajari kom-binasi pada Bagian 5.4.

    2.7 Operasi Himpunan

    Seperti bilangan, sebuah himpunan juga dapat dioperasikan dengan him-punan lain. Kalau dalam bilangan kita mengenal operasi kali, bagi, tambah,dan kurang, maka dalam himpunan kita mengenal operasi-operasi berikut:

    1. Selisih A dan B adalah semua anggota A yang bukan anggota B, yaitu

    A \B = {x |x ∈ A dan x /∈ B}.

    2. Gabungan A dan B adalah semua elemen yang ada dalam A ataudalam B atau dalam kedua-duanya, yaitu

    A ∪B = {x |x ∈ A atau x ∈ B}.

    3. Irisan A dan B adalah semua elemen yang ada dalam A dan B secarabersama-sama, yaitu

    A ∩B = {x |x ∈ A dan x ∈ B}.

    4. Komplemen A adalah semua anggota himpunan semesta yang beradadi luar A, yaitu

    Ac = {x |x /∈ A}.

    5. Selisih Simetris A dan B adalah semua eleman yang ada dalam Aatau dalam B tetapi tidak dalam kedua-duanya, yaitu

    A⊕B = {x | (x ∈ A dan x /∈ B) atau (x ∈ B dan x /∈ A)}.

  • 10 BAB 2. HIMPUNAN

    2.8 Sifat-sifat Operasi Himpunan

    Operasi himpunan memiliki sifat-sifat berikut:

    1. Idempoten

    (a) A ∩ A = A(b) A ∪ A = A

    2. Komutatif

    (a) A ∩B = B ∩ A(b) A ∪B = B ∪ A

    3. Asosiatif

    (a) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(b) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

    4. Distributif

    (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)(b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

    5. Sifat Komplemen

    (a) A ∪ Ac = U(b) A ∩ Ac = ∅(c) (Ac)c = A

    (d) U c = ∅ dan ∅c = U6. Sifat Identitas

    (a) A ∪ ∅ = A(b) A ∩ U = A(c) A ∪ U = U(d) A ∩ ∅ = ∅

    7. Hukum de Morgan

    (a) (A ∪B)c = Ac ∩Bc(b) (A ∩B)c = Ac ∪Bc

  • 2.9. HASIL KALI HIMPUNAN 11

    Berikut akan dibuktikan sifat 7(a) sebagai contoh. Untuk bukti sifat-sifatlain lihat Latihan 4 pada bagian akhir bab ini.

    Bukti sifat 7(a). Misalkan x ∈ (A ∪ B)c, maka menurut definisi komple-men x /∈ (A∪B). Ini berarti x bukan anggota A dan juga bukan anggota B,karena kalau tidak demikian x ∈ (A ∪B). Jadi x ∈ Ac dan x ∈ Bc sehinggax ∈ (Ac∩Bc). Dengan ini kita telah menunjukkan bahwa (A∪B)c ⊂ Ac∩Bc.Sebaliknya, misalkan y ∈ Ac ∩ Bc, maka y /∈ A dan y /∈ B. Ini berartiy tidak mungkin berada dalam A ∪ B, yaitu y /∈ (A ∪ B)c. Karena itu,(A ∪B)c ⊂ Ac ∩Bc. Jadi, menurut Definisi 2.2, (A ∪B)c = Ac ∩Bc. 2

    Kadang-kadang kita perlu menyatakan kardinalitas gabungan dua buahhimpunan. Untuk menghitung kardinalitas A∪B, kita dapat menjumlahkankardinalitas A dan kardinalitas B. Dengan cara ini anggota himpunan yangberada di A dan B akan terhitung dua kali. Karena itu kita harus mengu-rangkannya seperti pada teorema berikut ini.

    Teorema 2.2 (Prinsip Penjumlahan). Jika A dan B adalah dua him-punan berhingga, maka

    n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).

    Contoh 2.10. Dari survei di sebuah kelas diketahui bahwa ada 25 siswa yangmenyukai matematika dan 30 yang menyukai bahasa Inggris. Ditemukan pu-la bahwa di kelas itu ada 15 orang yang suka matematika dan bahasa Inggris.Ada berapa siswa dalam kelas itu?

    Umtuk menjawab soal ini, kita misalkan

    A = {x |x adalah siswa yang gemar matematika},B = {x |x adalah siswa yang gemar bahasa Inggris}.

    Dari soal diketahui bahwa n(A) = 25, n(B) = 30, dan n(A ∩ B) = 15.Dengan prinsip penjumlahan kita peroleh n(A ∪ B) = 40. Jadi dalam kelasitu terdapat 40 siswa.

    2.9 Hasil Kali Himpunan

    Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan, maka hasil kali A dan B yangditulis dengan notasi A × B didefinisikan sebagai pasangan berurut yang

  • 12 BAB 2. HIMPUNAN

    posisi pertamanya ditempati oleh elemen A dan posisi kedua oleh elemen B,yaitu

    A×B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.Hasil kali himpunan ini merupakan salah satu cara menyajikan sebuah

    fungsi yang akan kita pelajari pada Bab 6.

    Contoh 2.11. Misalkan B = {a, i, u, e, o} dan S = {1, 2, 3}.

    B × S = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (i, 1), (i, 2), (i, 3), (u, 1), (u, 2), (u, 3),(e, 1), (e, 2), (e, 3), (o, 1), (o, 2), (o, 3)}

    Perhatikan B × S memiliki 15 anggota (mengapa?).

    Latihan

    1. Misalkan U = {1, 2, . . . , 15}, A = {1, 3, 5, 6, 8, 10}, B = {1, 5, 7, 8, 9},dan C = {1, 2, 4, 6, 9, 15}. Tentukan anggota himpunan-himpunanberikut:

    (a) Ac

    (b) A ∪B(c) A ∩B(d) A ∩ (B ∪ C)(e) A ∩B ∩ C(f) B \ A(g) {X |X ⊂ A, n(X) = 3}

    2. Tuliskanlah semua anggota himpunan kuasa dari himpunan B padaContoh 2.5.

    3. Tentukan kardinalitas himpunan-himpunan berikut:

    (a) {x |x adalah himpunan huruf dalam ”matematika”}.(b) {x |x adalah himpunan bagian dari {a,1,g}}.(c) {x |x2 = 4, x ∈ N}.(d) {∅}.(e) ∅.

    4. Buktikan sifat-sifat operasi himpunan berikut:

  • 2.9. HASIL KALI HIMPUNAN 13

    (a) A ∩ A = A.(b) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (B ∩ C).(d) (Ac)c = A.

    (e) (A ∩B)c = Ac ∪Bc.5. Buktikan bahwa

    (a) A \B = A ∩Bc.(b) B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac).(c) A ∪B = A ∪ (B ∩ Ac).

    6. Tunjukkan bahwa A⊕B = (A ∪B) \ (A ∩B).7. Tunjukkan bahwa jika A ⊂ B, maka A ∩B = A dan A ∪B = B.8. Sebuah survei terhadap 500 penonton televisi menemukan bahwa 285

    suka nonton acara olahraga, 195 menyukai sinetron, 115 suka berita,45 suka olahraga dan sinetron, 70 suka olahraga dan berita, 50 sukasinetron dan berita, dan 50 tidak suka ketiga acara tersebut.

    (a) Berapa orang yang suka ketiga acara televisi tersebut?

    (b) Berapa orang yang suka nonton tepat satu di antara tiga acaratersebut?

  • 14 BAB 2. HIMPUNAN

  • Bab 3

    Barisan

    Dalam teori bilangan kita mengenal barisan aritmetika dan barisan geometri.Dua barisan ini adalah contoh dari barisan yang akan kita pelajari dalambab ini. Secara umum, barisan adalah daftar objek terurut. Tidak sepertidalam himpunan, elemen-elemen sebuah barisan, yang disebut juga suku,mempunyai urutan yang tetap dan ditulis dengan huruf kecil yang diberiindeks untuk menyatakan posisinya. Jadi untuk menuliskan barisan kitamenggunakan notasi berikut:

    s1, s2, . . . , si, . . . ,

    dengan si sebagai suku ke-i.

    Berikut beberapa contoh barisan.

    Contoh 3.1. 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1 adalah barisan dengan suku yang beru-lang. Angka nol muncul sebagai suku kedua, kelima, keenam, dan kesembi-lan.

    Contoh 3.2. 2, 6, 10, 14, . . .

    Contoh 3.3. 1, 4, 9, . . .

    Banyaknya suku dalam sebuah barisan disebut panjang barisan itu. Barisandengan panjang berhingga disebut barisan berhingga, sedangkan barisanyang panjangnya tak hingga disebut barisan tak hingga. Barisan padaContoh 3.1 adalah barisan berhingga yang panjangnya 10 dan barisan padaContoh 3.2 dan 3.3 adalah barisan tak hingga. Kita menggunakan ”. . .” un-tuk menyatakan bahwa sebuah barisan terus berlanjut.

    Biasanya suku-suku dalam sebuah barisan dinyatakan dengan rumus.Ada dua macam rumus yang biasa digunakan untuk menyatakan suku-suku

    15

  • 16 BAB 3. BARISAN

    dalam sebuah barisan. Perhatikan suku-suku dalam barisan pada Contoh 3.2.Sebuah suku dapat diperoleh dengan menambahkan 4 pada suku sebelumnya,yaitu

    a1 = 2, an = an−1 + 4, 2 ≤ n < ∞.Rumus ini disebut rumus rekursif. Penggunaan rumus semacam ini selalumelibatka suku pertama.

    Sementara itu, suku-suku dalam barisan pada Contoh 3.3 dapat langsungdiperoleh sesuai posisinya, dalam hal ini

    an = n2, 1 ≤ n < ∞.

    Rumus semacam ini disebut rumus eksplisit.

    Contoh 3.4. Rumus rekursif

    c1 = 5 dan cn = cn−1 + 5, 2 ≤ n ≤ 5memberikan barisan berhingga 5, 10, 15, 20, 25.

    Contoh 3.5. Rumus rekursif

    f1 = f2 = 1 dan fn = fn−1 + fn−2, 3 ≤ n < ∞memberikan barisan tak hingga 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .. Bilangan fn ini dikenalsebagai bilangan Fibonacci.

    Contoh 3.6. Rumus eksplisit

    tn =1

    n, 1 ≤ n < ∞

    memberikan barisan tak hingga

    1,1

    2,1

    3,1

    4, . . . .

    Kata-kata seperti komputer, matematika, menulis dan sebagainya dapat ju-ga dipandang sebagai barisan yang ditulis tanpa koma. Barisan seperti inidikenal dengan nama string.

    Contoh 3.7. Kata matematika dapat dianggap sebagai barisan

    m, a, t, e,m, a, t, i, k, a.

    Dalam ilmu komputer, barisan dikenal dengan nama linear array atau listsekalipun dengan pengertian yang agak berbeda. Array dalam ilmu komputeradalah barisan posisi. Nilai dari posisi ke-n sebuah array ditulis dengannotasi S[n]. Jadi,

    S[1], S[2], S[3], . . .

    adalah barisan nilai sebuah array.

  • 3.1. BARISAN DAN HIMPUNAN 17

    3.1 Barisan dan Himpunan

    Himpunan yang bersesuaian dengan sebuah barisan adalah kumpulan semuasuku dalam barisan itu.

    Contoh 3.8. Himpunan yang bersesuaian dengan barisan pada Contoh 3.1adalah {0, 1}, sedangkan himpunan yang bersesuaian dengan barisan padaContoh 3.7 adalah {m, a, t, e, i, k}.

    3.2 Fungsi Karakteristik

    Walaupun kita akan membicarakan fungsi pada Bab 6, pada bagian ini ki-ta dapat menganggap fungsi pada sebuah himpunan sebagai aturan untukmemberi nilai bagi setiap elemen dalam himpunan itu. Fungsi karakteristikhimpunan A didefinisikan sebagai

    fA(x) =

    1, x ∈ A,

    0, x /∈ A.

    Contoh 3.9. Jika A = {a, i, u, e, o}, maka fA(a) = fA(u) = 1, sedangkanfA(b) = 0 dan fA(r) = 0, tetapi fAc(b) = 1 (mengapa demikian?).

    Kita dapat menggunakan fungsi karakteristik untuk membuktikan sifat-sifat operasi himpunan.

    Contoh 3.10. Kita dapat menunjukkan bahwa fA∩B = fAfB, lihat Latihan 3pada bagian akhir bab ini.

    3.3 Representasi Himpunan

    Dalam komputer sebuah himpunan dinyatakan sebagai barisan 0 dan 1 yangmerupakan nilai fungsi karakteristik himpunan itu. Mula-mula komputerakan memberikan posisi yang tetap pada setiap elemen himpunan semesta.Jika himpunan semesta U memiliki n anggota, maka setiap himpunan didalamnya akan dinyatakan sebagai barisan 0 dan 1 sepanjang n sesuai dengannilai karakteristik himpunan itu. Contoh berikut akan memperjelas situasiini.

    Contoh 3.11. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C = {1, 4, 9}. Karena n(U) = 10, maka setiap himpunan didalam U akan dinyatakan sebagai barisan yang panjangnya 10. Himpunan

  • 18 BAB 3. BARISAN

    A direpresentasikan sebagai barisan 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0; himpunan B olehbarisan 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1; dan himpunan C oleh barisan 1,0,0,1,0,0,0,0,1,0.Bagaimana komputer memilih anggota A∩C dan B∩C? Bandingkan denganContoh 3.10.

    Latihan

    1. Tulislah barisan berikut:

    (a) a1 = 10 dan an = 2an−1, n = 2, 3, . . . , 6.

    (b) b1 = 4 dan bn = bn−1 + 4, n = 2, 3, . . ..

    (c) cn = n2, n = 1, 2, 3, . . ..

    2. Buatlah lima buah barisan dari himpunan B = {a, i, u, e, o}.3. Tunjukkan bahwa fA∩B = fAfB.

    4. Misalkan U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}. Bila himpunan A dinyatakanoleh barisan 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, himpunan B sebagai barisan 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,dan C sebagai barisan 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, tulislah representasi dan anggotahimpunan-himpunan berikut:

    (a) A ∩B(b) B ∩ C(c) A ∪ C(d) A \ C(e) A ∩B ∩ C

    5. Bagaimana representasi himpunan semesta dan himpunan kosong olehkomputer? Dengan menggunakan representasi itu tunjukkan bahwabahwa U ∩ ∅ = ∅ dan U ∪ ∅ = U .

  • Bab 4

    Logika

    Logika adalah studi tentang metode bernalar. Logika memberikan aturanuntuk menentukan kasahihan (validitas) sebuah argumen. Argumentasi lo-gis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teoremanya.Dalam ilmu komputer logika digunakan untuk menguji kebenaran sebuahprogram.

    4.1 Pernyataan (Proposisi)

    Dalam bahasa orang mengenal kalimat sebagai rangkaian kata yang disusunsedemikian rupa sehingga mempunyai arti yang utuh. Salah satu bentukkalimat adalah kalimat deklaratif atau kalimat pernyataan.

    Definisi 4.1. Pernyataan adalah kalimat yang benar atau salah, tetapitidak kedua-duanya.

    Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.

    Contoh 4.1. Kalimat-kalimat berikut adalah pernyataan.

    1. Hari ini hari Sabtu.

    2. Matahari bersinar cerah.

    3. 2 + 3 = 6.

    4. Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

    5. Jika 2 + 2 = 5, maka hari kiamat tiba.

    6. x + 1 > x

    19

  • 20 BAB 4. LOGIKA

    Contoh 4.2. Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan.

    1. x + 2 = 10.

    2. Minumlah sirop ini dua kali sehari.

    3. Alangkah cantiknya gadis itu!

    4. Siapa namamu?

    Kita menggunakan huruf kecil

    p, q, r, . . .

    untuk menamakan pernyataan sama seperti kita menggunakan x, y, . . . dalamkalkulus.

    Contoh 4.3. Kita menamakan pernyataan dengan cara sebagai berikut.

    p : Hari ini hari Sabtu.

    q : Matahari bersinar cerah.

    Dari pernyataan-pernyataan tunggal kita dapat membuat pernyataan maje-muk dengan menggunakan konektor atau operator logika. Penggunaanoperator ini sama dengan penggunaan operator× dan + dalam bilangan atau∩ dan ∪ dalam himpunan. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tergantungpada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggal yang membentuknya.Tabel yang berisi nilai kebenaran pernyataan majemuk berdasarkan semuakombinasi nilai kebenaran pernyataan yang membentuknya disebut tabelkebenaran.

    Negasi atau ingkaran dari pernyataan p ditulis dengan notasi ¬p dan dibaca”tidak p.” Negasi p bernilai salah jika p benar dan bernilai benar jika p salahseperti disajikan pada Tabel 4.1. Sebenarnya ”tidak” bukan sebuah konektorkarena tidak menghubungkan dua pernyataan.

    p ¬pB SS B

    Tabel 4.1: Tabel kebenaran ¬p

  • 4.1. PERNYATAAN (PROPOSISI) 21

    Contoh 4.4. Berikut ini adalah contoh negasi.

    p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.

    ¬p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.atau

    Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

    Di sini ¬p salah karena p benar.

    Dua pernyataan yang dihubungan dengan kata ”dan” disebut konjungsidan ditulis dengan notasi p ∧ q. Tabel kebenaran konjungsi disajikan padaTabel 4.2.

    Contoh 4.5. Berikut ini adalah contoh konjungsi.

    p : Hari ini hari Sabtu.

    q : Matahari bersinar cerah.

    p ∧ q : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar cerah.

    p q p ∧ qB B BB S SS B SS S S

    Tabel 4.2: Tabel kebenaran p ∧ q

    Perhatikan bahwa konjungsi benar hanya jika kedua pernyataan yangmembentuknya benar. Jadi pernyataan ”hari ini hari Sabtu dan mataharibersinar cerah” benar hanya bila matahari bersinar cerah pada hari Sabtu.Pernyataan ini salah bila matahari bersinar cerah tidak pada hari Sabtu atauhari ini hari Sabtu tetapi matahari tidak bersinar cerah, apalagi kalau hariini bukan Sabtu dan matahari tidak bersinar cerah.

    Dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata ”atau” disebut disjungsidan ditulis dengan notasi p ∨ q. Tabel kebenaran disjungsi disajikan padaTabel 4.3.

  • 22 BAB 4. LOGIKA

    p q p ∨ qB B BB S BS B BS S S

    Tabel 4.3: Tabel kebenaran p ∨ q

    Contoh 4.6. Berikut ini adalah contoh disjungsi.

    p : Hari ini hari Sabtu.

    q : Matahari bersinar cerah.

    p ∨ q : Hari ini hari Sabtu atau matahari berinar cerah.Perhatikan bahwa pernyataan ”hari ini hari Sabtu atau matahari bersinar

    cerah” salah hanya jika hari ini bukan Sabtu dan matahari tidak bersinarcerah. Pernyataan ini benar jika matahari bersinar cerah sekalipun tidakpada hari Sabtu atau matahari tidak bersinar cerah pada hari Sabtu, apalagikalau matahari bersinar cerah pada hari Sabtu.

    Contoh 4.7. Berikut ini contoh lain dari disjungsi.

    p : x < 0.

    q : x > 1.

    p ∨ q : x < 0 atau x > 1.Contoh 4.6 dan Contoh 4.7 kadua-duanya memberikan contoh disjungsi.Sekarang perhatikan baik-baik perbedaan antara kedua disjungsi ini. PadaContoh 4.6, terbuka kemungkinan pernyataan p dan q kedua-duanya benar,yaitu ketika matahari bersinar cerah pada hari Sabtu, sedangkan pada Con-toh 4.7, p dan q tidak mungkin kedua-duanya benar secara bersama-samasebab bila x < 0 tidak mungkin x > 1. Dalam hal ini kita benar-benar harusmemilih satu di antara dua. Disjungsi yang terakhir ini disebut disjungsieksklusif. Untuk membedakannya dengan disjungsi biasa kita menggunakannotasi p ⊕ q untuk disjungsi eksklusif. Pernyataan p ⊕ q dibaca ”p atau qtetapi tidak kedua-duanya.” Tabel kebenaran untuk p ⊕ q disajikan padaTabel 4.4.

    4.2 Pernyataan Bersyarat

    Pernyataan ”jika p, maka q” disebut implikasi dan kita menggunakan notasip → q untuk menuliskan implikasi. Pernyataan p disebut hipotesis atau

  • 4.2. PERNYATAAN BERSYARAT 23

    p q p⊕ qB B SB S BS B BS S S

    Tabel 4.4: Tabel kebenaran p⊕ q

    anteseden, sedangkan pernyataan q disebut konklusi atau kesimpulan.Selain dibaca ”jika p maka q,” implikasi p → q dapat juga dibaca sebagai:

    (i) q jika p

    (ii) p hanya jika q

    (iii) p syarat cukup bagi q

    (iv) q syarat perlu bagi p

    Tabel 4.5 menyajikan tabel kebenaran implikasi.

    p q p → qB B BB S SS B BS S B

    Tabel 4.5: Tabel kebenaran p → q

    Contoh 4.8. Berikut ini adalah contoh implikasi.

    p : Hari ini hari Sabtu.

    q : Matahari bersinar cerah.

    p → q : Jika hari ini hari Sabtu, maka matahari berinar cerah.Pernyataan ”jika hari ini hari Sabtu, maka matahari berinar cerah” selalubenar pada hari yang bukan Sabtu tanpa menghiraukan apakah mataharibersinar cerah atau tidak. Pernyataan ini juga benar pada saat mataharibersinar cerah tanpa menghiraukan hari. Pernyataan ini salah hanya bilahari ini hari Sabtu tetapi matahari tidak bersinar cerah. Perlu dicatat di sinibahwa dalam implikasi tidak selalu perlu adanya hubungan sebab akibat.

  • 24 BAB 4. LOGIKA

    Contoh 4.9. Pernyataan ”jika 2+2 = 5, maka 3+3 = 4” adalah pernyataanyang benar sekalipun 3 + 3 = 4 bukan akibat dari 2 + 2 = 5.

    Contoh 4.10. Contoh ini memdemonstrasikan penggunaan implikasi untukmembuktikan bahwa ∅ ⊂ A untuk sembarang himpunan A. Untuk tujuanini, kita harus menunjukkan bahwa jika x ∈ ∅, maka x ∈ A. Tetapi x ∈ ∅adalah pernyataan salah karena himpunan kosong tidak mempnyai anggota.Menurut Tabel 4.5, antiseden yang salah selalu menghasilkan implikasi yangbenar apapun nilai kebenaran konklusinya. Jadi, untuk kasus x ∈ A ataupunx /∈ A, implikasi (x ∈ ∅) → (x ∈ A) bernilai benar.

    Contoh berikut menjelaskan pengertian syarat cukup dan syarat perlu.

    Contoh 4.11. Misalkan

    p : x adalah kambing,

    q : x adalah hewan berkaki empat.

    Pernyataan ”kambing berkaki empat” dapat dipandang sebagai implikasip → q. Kambing adalah syarat cukup untuk hewan berkaki empat sekalipuntidak perlu. Sedangkan berkaki empat adalah syarat perlu untuk kambing,namun tidak cukup.

    4.3 Inversi, Konversi, dan Kontraposisi

    Inversi dari implikasi p → q adalah ¬p → ¬q, sedangkan konversinyaadalah q → p. Selanjutnya, ¬q → ¬p disebut kontraposisi.Contoh 4.12. Misalkan

    p : Minggu depan ada ujian,

    q : Mahasiswa sibuk belajar.

    Maka

    p → q : Jika minggu depan ada ujian,maka mahasiswa sibuk belajar.

    ¬p → ¬q : Jika minggu depan tidak ada ujian,maka mahasiswa tidak sibuk belajar

    q → p : Jika mahasiswa sibuk belajar,maka minggu depan ada ujian.

    ¬q → ¬p : Jika mahasiswa tidak sibuk belajar,maka minggu depan tidak ada ujian.

  • 4.4. EKIVALENSI LOGIS DAN TAUTOLOGI 25

    Tabel 4.6 memperlihatkan bahwa p → q memiliki nilai kebenaran yangsama dengan ¬q → ¬p, sedangkan q → p mempunyai nilai kebenaran yangsama dengan ¬p → ¬q. Pernyataan-pernyataan yang mempunyai nilai kebe-naran selalu sama disebut pernyataan yang ekivalen. Pernyataan semacamini akan dibicarakan pada Bagian 4.4. Jadi pernyataan ”jika minggu depanada ujian, maka mahasiswa sibuk belajar” ekivalen dengan pernyataan ”jikamahasiswa tidak sibuk belajar, maka minggu depan tidak ada ujian”. Halini bisa dijelaskan sebagai berikut. Jika mahasiswa tidak sibuk belajar, pastiminggu depan tidak ada ujian sebab kalau ada mahasiswa akan sibuk belajar.Lain halnya dengan inversi dan konversinya. Jika minggu depan tidak adaujian belum tentu mahasiswa tidak sibuk belajar, sebaliknya jika mahasiswasibuk belajar belum tentu minggu depan ada ujian.

    p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q q → p ¬q → ¬pB B S S B B B BB S S B S B B SS B B S B S S BS S B B B B B B

    Tabel 4.6: Implikasi, Inversi, Konversi, dan Kontraposisi

    4.4 Ekivalensi Logis dan Tautologi

    Dalam argumentasi matematika kadang-kadang kita perlu mengganti sebuahpernyataan dengan pernyataan lain yang mempunyai nilai kebenaran yangsama.

    Dua pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama disebutekivalen secara logis. Kita menggunakan notasi

    p ≡ q

    untuk menyatakan bahwa p ekivalen dengan q.

    Contoh 4.13. Dari Tabel 4.6 kita peroleh

    (p → q) ≡ (¬q → ¬p) dan (q → p) ≡ (¬p → ¬q).

  • 26 BAB 4. LOGIKA

    Ekivalensi logis ini bisa juga ditulis sebagai implikasi dua arah dengannotasi p ↔ q. Implikasi dua arah, p ↔ q, ini dibaca ”p jika dan hanyajika q” atau ”p adalah syarat perlu dan cukup untuk q”. Pernyataan ter-akhir menunjukkan bahwa p ↔ q ekivalen dengan p → q dan q → p, lihatContoh 4.14. Tabel kebenaran p ↔ q diberikan pada Tabel 4.7.

    p q p ↔ qB B BB S SS B SS S B

    Tabel 4.7: Tabel kebenaran p ↔ q

    Perhatikan bahwa implikasi dua arah p ↔ q bernilai nenar hanya jika pdan q memiliki nilai kebenaran yang sama, yaitu kedua-duanya benar ataukedua-duanya salah.

    Selanjutnya, tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kom-binasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang ada di dalamnya. Seba-liknya pernyataan yang selalu salah disebut kontradiksi dan pernyataanyang bukan tautologi ataupun kontradiksi disebut kontingensi. Kita akanmenggunakan notasi T untuk tautologi dan F untuk kontradiksi. Definisiekivalensi dan implikasi dua arah menyarankan bahwa p dan q ekivalen jikap ↔ q merupakan tautologi.Contoh 4.14. Perhatikan tabel kebenaran berikut

    p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → q) p ↔ qB B B B B BB S S B S SS B B S S SS S B B B B

    Dari tabel ini terlihat bahwa (p → q) ∧ (q → q) ekivalen dengan p ↔ q dankita dapat menulisnya sebagai

    (p → q) ∧ (q → q) ≡ p ↔ q.Menggunakan Tabel 4.7 kita dapat juga memperlihatkan bahwa

    ((p → q) ∧ (q → q)) ↔ (p ↔ q)adalah tautologi.

  • 4.5. SIFAT-SIFAT OPERASI PERNYATAAN 27

    4.5 Sifat-sifat Operasi Pernyataan

    Operasi pernyataan memiliki sifat-sifat berikut:

    1. Idempoten

    (a) p ∧ p ≡ p(b) p ∨ p ≡ p

    2. Komutatif

    (a) p ∧ q ≡ q ∧ p(b) p ∨ q ≡ q ∨ p

    3. Asosiatif

    (a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)(b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

    4. Distributif

    (a) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)(b) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

    5. Sifat Negasi

    (a) ¬(¬p) ≡ p6. Sifat Identitas

    (a) p ∨ F ≡ p(b) p ∧ T ≡ p(c) p ∨ T ≡ T(d) p ∧ F ≡ F

    7. Hukum de Morgan

    (a) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q(b) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

    Bukti sifat-sifat ini sengaja ditinggalkan sebagai latihan. Contoh 4.15mendemonstrasikan penggunaan tabel kebenaran untuk membuktikan salahsatu hukum de Morgan.

  • 28 BAB 4. LOGIKA

    Contoh 4.15. Pada contoh ini akan ditunjukkan bahwa ¬(p∨q) ↔ (¬p∧¬q)adalah tautologi. Untuk itu, perhatikan tabel di bawah ini.

    p q ¬p ¬q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)1 2 3 4 5 6 7 8B B S S B S S BB S S B B S S BS B B S B S S BS S B B S B B B

    Untuk melihat ekivalensi ¬(p∨q) dan ¬p∧¬q, perhatikan kolom ke-6 dan ke-7 pada tabel di atas. Kedua kolom ini memiliki nilai kebenaran yang sama.Selain itu kita dapat juga memperhatikan kolom ke-8 yang menunjukkanbahwa ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) adalah tautologi.

    4.6 Pernyataan Berkuantor

    Sekarang mari kita perhatikan kalimat-kalimat seperti

    x + 1 > x dan x + 2 = 10.

    Pada Contoh 4.1 dan Contoh 4.2 telah disebutkan bahwa kalimat pertamaadalah pernyataan, sedangkan kalimat kedua bukan pernyataan. Mengapademikian? Kita dapat melihat dengan mudah bahwa pernyataan pertamaselalu benar untuk semua harga x, sedangkan ,pernyataan kedua bisa benardan bisa salah tergantung pada harga x yang diberikan. Kalimat semacamini kita sebut pernyataan bervariabel karena nilai kebenarannya tergantungpada harga variabel itu. Kita menulisnya seperti berikut ini.

    p(x) : x + 1 > x,

    q(x) : x + 2 = 10.

    pernyataan p(x) benar untuk semua harga x yang diberikan, sedangkanpernyataan q(x) benar untuk harga x tertentu, dalam hal ini q(8) dan salahuntuk harga x yang lain.

    Untuk menyatakan apakah sebuah pernyataan bervariabel benar untuksemua harga variabel atau untuk sebagian harga variabel, kita menggunakandua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

  • 4.6. PERNYATAAN BERKUANTOR 29

    Kuantor universal digunakan untuk menyatakan bahwa p(x) benar untuksemua harga x dalam himpunan semesta. Kita menulisnya dengan notasi

    ∀x, p(x).Notasi ini dibaca ”untuk semua x, p(x) benar” atau ”p(x) berlaku untuksemua x”.

    Contoh 4.16. Pernyataan

    ∀x ∈ R, x2 ≥ 0dibaca ”x2 ≥ 0 berlaku untuk semua bilangan nyata x”.Kuantor eksistensial digunakan untuk menyatakan bahwa p(x) berlaku un-tuk sebagian (paling sedikit satu) harga x dalam himpunan semesta. Kitamenulisnya dengan notasi

    ∃x, p(x).Notasi ini dibaca ”ada harga x yang membuat p(x) benar” atau ”ada (palingsedikit satu) harga x yang memenuhi p(x).”

    Contoh 4.17. Pernyataan

    ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0dibaca ”ada bilangan nyata x sedemikian hingga x2 + 1 = 0”.

    Pernyataan ”semua mahasiswa Unsri tinggal di Indralaya” menjadi salahkalau ada satu saja mahasiswa Unsri yang tidak tinggal di Indralaya. Jadi,ingkaran ∀x, p(x) adalah ∃x,¬p(x), atau secara simbolis

    ¬∀x, p(x) ≡ ∃x,¬p(x).Sebaliknya, untuk menyangkal pernyataan ”ada mahasiswa Unsri yang meng-gunakan narkoba”, kita harus menunjukkan bahwa semua mahasiswa Unsritidak menggunakan narkoba. Jadi, ingkaran ∃x, p(x) adalah ∀x,¬p(x), atausecara simbolis

    ¬∃x, p(x) ≡ ∀x,¬p(x).Contoh 4.18. Ingkaran dari pernyataan ∀x ∈ R, x2 ≥ 0 adalah

    ∃x ∈ R, x2 < 0.Contoh 4.19. Ingkaran dari pernyataan ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0 adalah

    ∀x ∈ R, x2 + 1 6= 0.

  • 30 BAB 4. LOGIKA

    4.7 Argumentasi Logis

    Pada bagian ini kita akan membicarakan beberapa argumentasi yang sahih,yaitu teknik menarik kesimpulan yang benar dari pernyataan-pernyataanbenar yang diketahui premis tanpa menggunakan tabel kebenaran. Dengancara ini kita mengatakan bahwa kesimpulan diturunkan dari premis. Jika kitamempunyai n premis p1, p2 . . . , pn dan kesimpulan q, maka argumentasi

    p1p2...pn∴ q

    disebut sahih jika q benar bilamana semua premis p1, p2, . . . , pn benar. Kare-na itu, kita dapat menunjukkan bahwa p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn → q adalah sebuahtautologi karena bila p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn benar. yaitu pada saat p1, p2, . . . , pnsemuanya benar, q harus benar. Bila terdapat pertentangan (kontradiksi) diantara premis yang ada, maka argumentasi akan benar apapun kesimpulan-nya. Tanda ∴ dibaca ”jadi”.

    Contoh 4.20. Perhatikan argumentasi berikut ini:

    Semua haji beragama Islam.Umar beragama Islam.∴ Umar seorang haji.

    Dalam argumentasi ini kesimpulan tidak diturunkan atau bukan akibat darikedua premis yang ada. Kesimpulan benar hanya jika ternyata Umar adalahseorang haji. Karena itu, argumentasi pada contoh ini tidak sahih.

    Contoh 4.21. Perhatikan argumentasi berikut ini:

    Semua makhluk hidup memerlukan oksigen.Kelapa adalah makhluk hidup.∴ Kelapa memerlukan oksigen.

    Argumentasi ini sahih karena kesimpulan adalah akibat dari dua premis yangdiberikan.

    Berikut adalah beberapa argumentasi logis.

  • 4.7. ARGUMENTASI LOGIS 31

    Modus Ponens

    p → qp∴ q

    Modus Tollens

    p → q¬q∴ ¬p

    Silogisme Disjungtif

    p ∨ q¬p∴ q

    Silogisme Hipotetis

    p → qq → r∴ p → r

    Dilema

    p ∨ qp → rq → r∴ r

    Contoh 4.22. Periksalah apakah argumentasi berikut sahih.

    Jika saya belajar, maka saya akan lulus ujian.Jika saya tidak pacaran, maka saya dapat belajar.Saya tidak lulus ujian.∴ Saya pacaran.

    Dengan mendefinisikan pernyataan-pernyataan

    p : Saya belajar,

    q : Saya pacaran,

    r : Saya lulus ujian,

    kita memeriksa kesahihan argumentasi di atas secara simbolis dengan caraberikut:

  • 32 BAB 4. LOGIKA

    1. p → r2. ¬q → p3. ¬r ∴ q4. ¬r → ¬p 1 kontraposisi5. ¬p 4,3 modus ponens6. q 2,5 modus tollens

    Jadi argumentasi di atas sahih.

    Contoh 4.23. Periksalah apakah argumentasi berikut sahih.

    Jika saya tamat SMA, saya akan kuliah.Jika saya bekerja, saya punya uang.Tidak mungkin saya kuliah dan punya uang.Saya tamat SMA.∴ Saya tidak bekerja.

    Pertama, definisikan pernyataan-pernyataan berikut:

    p : Saya tamat SMA,

    q : Saya kuliah,

    r : Saya bekerja,

    s : Saya punya uang.

    Kemudian, ikuti langkah-langkah berikut:

    1. p → q2. r → s3. ¬(q ∧ s)4. p ∴ ¬r5. q 1,4 modus ponens6. ¬q ∨ ¬s 3 hukum de Morgan7. ¬s 6,5 silogisme disjungtif8. ¬r 2,7 modus tollens

    Jadi argumentasi di atas sahih.

    4.8 Operasi Bit pada Komputer

    Komputer menyimpan informasi dengan menggunakan bit yang memilikidua nilai, yaitu satu dan nol. Kata bit berasal dari binary digit, yaitu angkayang digunakan pada representasi bilangan dalam basis dua. Barisan bitdisebut bit string. Panjang sebuah bit string adalah banyaknya bit dalambarisan itu.

  • 4.8. OPERASI BIT PADA KOMPUTER 33

    Contoh 4.24. 10001101100 adalah bit string yang panjangnya sebelas.

    Operasi bit didefinisikan seperti operasi ∧, ∨, dan ⊕ pada pernyataan.Nilai benar diganti dengan satu dan nilai salah dengan nol. Ada tiga macamoperasi bit, yaitu AND, OR, dan XOR seperti pada Tabel 4.8. Kita meng-operasikan bit string yang sama panjang dengan cara mengoperasikan setiapbit yang bersesuaian.

    AND 0 10 0 01 0 1

    OR 0 10 0 11 1 1

    XOR 0 10 0 11 1 0

    Tabel 4.8: operasi bit

    Contoh 4.25. Berikut ini berturut-turut operasi AND, OR, dan XOR.

    1100011010101010111100 AND01000110100

    1100011010101010111100 OR11010111101

    1100011010101010111100 XOR10010001001

    Contoh 4.26. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Himpunan A = {2, 5, 6} akandisajikan sebagai bit string 011011 dan himpunan B = {2, 3, 4, 5} sebagaibit string 011110 sesuai dengan fungsi karakteristik masing-masing him-punan. Sesuai dengan definisi, irisan himpunan adalah hasil operasi ANDdan gabungan hasil operasi OR. Jadi, A ∩B disajikan sebagai

    010011011110 AND010010

    sedangkan A ∪B sebagai010011011110 OR011111

    Latihan

    1. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa p ⊕ q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).Bandingkah dengan Latihan 6 Bab 2.

    2. Dengan tabel kebenaran tunjukkan bahwa p → q ≡ ¬p ∨ q.

  • 34 BAB 4. LOGIKA

    3. Tanpa tabel kebenaran, buktikan bahwa p → (q → r) ≡ (p∧¬r) → ¬q.4. Buktikan bahwa ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p adalah tautologi.5. Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi konversi, inversi, dan

    kontraposisi.

    (a) Jika a2 + b2 = c2, maka a, b, c adalah sisi segitiga siku-siku.

    (b) Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0.

    6. Buatlah pernyataan yang ekivalen dengan pernyataan berikut:

    (a) Semua makhluk hidup memerlukan oksigen.

    (b) Ada mahasiswa yang malas belajar.

    (c) Tidak ada bilangan nyata yang kuadratnya negatif.

    (d) Semua bilangan prima adalah ganjil.

    7. Periksalah apakah argumentasi berikut sahih.

    Jika kacamataku ada di meja dapur, pasti aku telah melihatnyawaktu sarapan pagi.Aku membaca koran di ruang tamu atau di dapur.Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah aku meletakkankacamataku di meja tamu.Aku tidak melihat kacamataku waktu sarapan pagi.Jika aku membaca koran di dapur, pasti kacamataku adadi meja dapur.∴ Kacamataku ada di meja dapur.

    8. Periksalah kesahihan argumentasi berikut.

    Di kota dia harus bekerja di kantor.Bila tidak ke kota, dia bisa bertani.Dia tidak bekerja di kantor dan tidak bertani.∴ Dia bunuh diri.

    9. Tunjukkan kesahihan argumentasi berikut:

    Orang yang tak pernah menepati janji tak bisa dipercaya.Orang mabuk sangat komunikatif.Orang yang selalu menetapi janji itu jujur.Orang yang tidak mabuk tidak bisa diserahi tugas.Orang yang sangat komunikatif selalu bisa dipercaya.∴ Semua orang yang bisa diserahi tugas jujur.

  • Bab 5

    Teknik Membilang

    Dalam bab ini kita akan membahas beberapa teknik membilang (count-ing techniques). Dalam ilmu komputer teknik-teknik ini berguna khusus-nya dalam menganalisis algoritma. Prinsip penjumlahan sebagai salah satuteknik membilang sudah diberikan oleh Teorema 2.2 pada Bab 2.

    5.1 Prinsip Perkalian

    Jika sebuah pekerjaan dapat dikerjakan dalam n1 cara dan pekerjaan laindalam n2 cara, maka ada n1n2 cara untuk mengerjakan kedua pekerjaantersebut.

    Contoh 5.1. Misalkan ada dua jalan dari kota A ke kota B dan ada tigajalan dari kota B ke kota C. Dengan prinsip perkalian kita dapatkan bahwaterdapat 2× 3 = 6 jalan dari kota A ke kota C.

    Prinsip ini dapat diperluas hingga k pekerjaan. Misalkan terdapat kpekerjaan yang harus diselesaikan secara berurutan. Jika T1 dapat disele-saikan dalam n1 cara, T2 dapat diselesaikan dalam n2 cara, dan seterusnyahingga Tk dalan nk cara, maka terdapat

    k∏i=1

    ni = n1 · n2 · · · · · nk

    cara menyelesaikan pekerjaan T1, T2, . . . , Tk.Prinsip perkalian bisa diperluas hingga k pekerjaan. Jika ada k peker-

    jaan Ti, i = 1, 2, . . . , k yang masing-masing dapat diselesaikan dalam ni, i =1, 2, . . . , k, cara, maka terdapat

    k∏i=1

    ni = n1n2 · · ·nk

    35

  • 36 BAB 5. TEKNIK MEMBILANG

    cara untuk menyelesaikan perkerjaan T1, T2, . . . , Tk secara berurut.

    Contoh 5.2. Ada 410 cara untuk menjawab sepuluh soal pilihan ganda den-gan empat opsi, karena setiap soal dapat dijawab dalam 4 cara.

    Contoh 5.3. Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Telahkita ketahui bahwa himpunan bagian dari A ditentukan oleh fungsi karakter-istiknya. Jadi ada n posisi yang masing-masing dapat diisi dengan 0 atau 1.Karena untuk setiap posisi terdapat dua pilihan, maka seluruhnya terdapat

    2 · 2 · · · · · 2︸ ︷︷ ︸n faktor

    = 2n

    himpunan bagian dari A.

    5.2 Prinsip Sarang Merpati

    Prinsip yang merupakan salah satu teknik pembuktian ini disajikan dalamteorema berikut.

    Teorema 5.1. Jika n merpati ditempatkan dalam m sarang dengan m < n,maka paling sedikit satu sarang yang berisi dua atau lebih merpati.

    Bukti. Burung merpati diberi nomor dari 1 sampai n dan sarangnya diberinomor dari 1 sampai m. Sekarang masukkan masukkan merpati nomor 1 kesarang nomor 1, merpati nomor 2 ke sarang nomor 2, dan seterusnya hinggamerpati nomor m ke sarang nomor m sehingga masih tersisa n−m merpatiyang belum mendapat sarang. Oleh karena itu, pasti ada paling tidak satusarang yang memuat dua atau lebih merpati.

    Contoh 5.4. Di antara delapan orang, pasti ada dua orang yang lahir padahari yang sama.

    Contoh 5.5. Dari delapan bilangan asli yang pertama, ada empat pasangyang jumlahnya sembilan, yaitu

    (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).

    Oleh karena itu, bila lima bilangan dipilih secara sembarang dari delapanbilangan itu pasti akan terambil paling sedikit satu dari keempat pasang diatas sehingga dari lima bilangan yang dipilih itu akan terdapat paling sedikitdua bilangan yang jumlahnya 9.

  • 5.3. PERMUTASI 37

    Perlu dicatat bahwa prinsip sarang merpati ini hanya menjamin keber-adaan sarang yang memuat dua atau lebih merpati, tetapi tidak untukmengetahui sarang yang mana. Pada Contoh 5.4, prinsip sarang merpatihanya menjamin bahwa ada dua orang yang lahir pada hari yang sama, tetapitidak menemukan hari apa. Sedangkan pada Contoh 5.5 terambilnya dua bi-langan yang berjumlah 9 dijamin oleh prinsip ini, tetapi pasangan bilanganmana yang terambil tidak bisa ditentukan dengan menggunakan prinsip ini.

    5.3 Permutasi

    Permutasi adalah susunan berurut dari sekelompok objek. Permutasi dapatdianggap sebagai susunan yang berbeda dari elemen-elemen sebuah him-punan.

    Contoh 5.6. Terdapat 6 cara menuliskan himpunan A = {a, b, c}, yaitu{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

    Misalkan himpunan A memiliki n elemen. Dari n posisi yang tersediauntuk elemen-elemen A, ada n cara mengisi posisi pertama, n−1 cara mengisiposisi kedua, dan seterusnya hingga tersisa satu cara untuk mengisi posisike-n. Jadi, menurut prinsip perkalian, terdapat

    n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 2× 1cara mengisi n posisi yang tersedia untuk elemen-elemen A.

    Untuk menuliskan hasil kali di atas kita menggunakan notasi n! yang dibaca”n faktorial”. Untuk n bilangan bulat positif,

    n! = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 2× 1.Secara khusus, kita mendefinisikan 0! = 1.

    Contoh 5.7. 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120.Teorema 5.2. Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n!.

    Bukti. Kita dapat membuktikan teorema ini dengan prinsip perkalian. Adan objek untuk posisi pertama. Setelah itu tinggal n − 1 objek untuk posisikedua, dan seterusnya hingga tinggal 1 objek untuk posisi ke-n. Jadi terdapat

    n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 2× 1 = n!cara untuk mengisi n posisi.

  • 38 BAB 5. TEKNIK MEMBILANG

    Contoh 5.8. Ada 5! = 120 cara menyusun lima buah buku.

    Selanjutnya misalkan sebuah perusahaan memiliki 3 lowongan kerja yangdilamar oleh 6 pelamar. Tentu saja ada 6 pilihan untuk lowongan pertama, 5pilihan untuk lowongan kedua, dan 4 pilihan untuk lowongan ketiga, sehinggaterdapat 6× 5× 4 = 120 pilihan untuk mengisi ketiga lowongan kerja itu.

    Secara umum, bila terdapat n objek yang akan mengisi r ≤ n posisi,maka ada n objek untuk posisi pertama, n−1 objek untuk posisi kedua, danseterusnya hingga tersisa n− r + 1 objek untuk posisi ke-r. Menurut prinsipperkalian terdapat

    nPr = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × (n− r + 1) (5.1)

    cara untuk mengisi r posisi. Notasi nPr bisa dibaca ”n permutasi r”, artinyapermutasi dari n objek yang berbeda yang setiap kali diambil r.

    Teorema 5.3. Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda yang setiapkalinya diambil r adalah

    nPr =n!

    (n− r)! .

    Bukti. Mengalikan (5.1) dengan (n− r)!/(n− r)! memberikan

    nPr =n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)(n− r) · · · 1

    (n− r) · · · 1 =n!

    (n− r)! .

    Contoh 5.9. Misalkan Bobi mempunyai sebuah rak yang dapat memuat 5buah buku. Jika Bobi memiliki 5 buah buku, maka terdapat 5! = 120 carauntuk menyusun buku itu pada rak tersebut. Seandainya Bobi memiliki 8buah buku, maka terdapat 8P5 = 336 cara untuk menyusun buku pada raktersebut.

    Contoh 5.10. Banyaknya permutasi dari 4 huruf a, b, c, dan d yang diambildua-dua adalah 4!/2! = 12 seperti disajikan di bawah ini.

    ab ac ad bc bd cdba ca da cb db dc

    5.4 Kombinasi

    Pada Contoh 5.10 urutan dianggap penting, artinya pasangan ab dianggapberbeda dari ba, pasangan ac berbeda dari ca, dan seterusnya. Seandainyaurutan dianggap tidak penting, maka pada Contoh 5.10 hanya terdapat 6

  • 5.4. KOMBINASI 39

    pilihan. Dalam hal ini kita menghitung banyak kombinasi yang mungkinketika memilih r objek dari n objek yang berbeda. Kita menggunakan notasi

    (nr

    )atau nCr

    untuk menuliskan kombinasi ini. Notasi ini bisa dibaca ”n kombinasi r”.

    Teorema 5.4. Banyak kombinasi n objek yang berbeda yang setiap kalinyadipilih r adalah

    nCr =n!

    r!(n− r)! . (5.2)

    Bukti. nPr dapat dipandang sebagai cara memilih r objek dari n objek yangberbeda kemudian mempermuasikan r objek itu dalam r! cara. Jadi, denganprinsip perkalian, kita peroleh

    nPr = nCrr! =n!

    (n− r)! .

    Membagi persamaan ini dengan r! memberikan persamaan (5.2).

    Contoh 5.11. Misalkan password sebuah komputer terdiri dari dua hurufyang diikuti oleh 3 angka. Jika pengulangan dibolehkan, maka terdapat26× 26× 10× 10× 10 = 676.000 macam password yang dapat dibuat.

    Contoh 5.12. Himpunan A = {a, b, c, d}memiliki 4C2 = 6 himpunan bagiandengan dua anggota, yaitu {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.

    Latihan

    1. Tiga pasang suami istri makan bersama di sebuah sebuah meja bundar.Hitunglah berapa banyak cara menyusun tempat duduk mereka bila

    (a) setiap orang bebas memilih tempat duduk masing-masing.

    (b) setiap istri harus duduk di samping suaminya.

    (c) mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin.

    2. Sebuah kelas berisi 30 mahasiswa yang terdiri dari 20 puteri dan 10putera. Dari kelas ini akan dibentuk sebuah tim bola voli puteri, sebuahtim bola voli putera dan sebuah tim bola voli campuran. Hitunglahbanyaknya tim yang dapat dibentuk bila

  • 40 BAB 5. TEKNIK MEMBILANG

    (a) pemain tim campuran boleh berasal dari tim putera dan tim puteriyang sudah dibentuk.

    (b) pemain tim campuran tidak boleh berasal dari tim putera dan timputeri yang sudah dibentuk.

    (c) pemain tim campuran harus terdiri dari 2 putera dan 4 puteri dantidak boleh berasal dari tim putera dan tim puteri yang sudahdibentuk.

    3. Tentukan paling sedikit berapa orang yang perlu dikumpulkan supayaada 3 orang yang lahir pada hari yang sama.

    4. Buktikan bahwa bila enam bilangan dipilih secara acak dari himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, pasti ada paling sedikit satu pasang yangberjumlah 11.

    5. Hitunglah berapa banyak cara menyusun 5 buku komputer dan 3 bukumatematika bila

    (a) buku-buku itu disusun menurut kelompoknya.

    (b) buku-buku itu disusun secara acak.

    (c) buku komputer harus diselingi oleh buku matematika.

    6. Misalkan enam buku akan dipajang pada sebuah rak. Misalkan dari8 buku komputer dan 5 buku bahasa Inggris akan dipajang 4 bukukomputer dan 2 buku bahasa Inggris dalam kelompok masing-masing.Hitunglah ada berapa macam susunan yang dapat dibuat.

  • Bab 6

    Fungsi

    Dalam matematika, ilmu komputer, dan banyak aplikasi lain fungsi memainkanperanan penting. Dalam bab ini ktia akam membahas fungsi sebagai bentukkhusus dari relasi. Relasi akan dibahas secara lebih mendalam dalam Bab 7.

    Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B,

    f : A → B,

    dapat dipandang sebagai aturan atau cara memasangkan setiap elemen Adengan tepat satu elemen B. Himpunan A disebut daerah asal (domain)dari f , dan himpunan B dinamakan daerah kawan (codomain) dari f .Kawan (image) dari a ∈ A adalah b = f(a) ∈ B, seperti diagram panahpada Gambar 6.1.

    A

    a .

    B

    b = f(a).

    -f

    Gambar 6.1: Fungsi

    Daerah hasil (range) dari f , dinotasikan sebagai Ran(f), adalah him-punan semua elemen B yang menjadi kawan elemen A. Jadi, Ran(f) ⊆ B.

    41

  • 42 BAB 6. FUNGSI

    Seperti disebut dalam Bab 2, fungsi f : A → B dapat pula pandangsebagai himpunan bagian A×B dan ditulis pasangan berurut (a, f(a)).

    Contoh 6.1. Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka

    f = {(1, a), (2, a), (3, c)}

    adalah fungsi, sedangkan

    g = {(1, a), (1, b), (3, c)}

    bukan fungsi karena g(1) = {a, b}.Perhatikan bahwa dalam contoh ini Ran(f) = {a, c}.

    6.1 Fungsi Kebalikan

    Sebuah fungsi f : A → B dikatakan dapat dibalik bila

    f−1 : B → A

    juga merupakan fungsi.

    A

    f−1(b) = a.

    B

    b = f(a).

    -f

    ¾

    f−1

    Gambar 6.2: Fungsi Kebalikan

    Contoh 6.2. Fungsi f pada Contoh 6.1 tidak dapat dibalik karena f−1(a) ={1, 2}.

  • 6.2. KOMPOSISI FUNGSI 43

    6.2 Komposisi Fungsi

    Misalkan f : A → B dan g : B → C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkanbahwa komposisi dari f dan g, f ◦ g, adalah fungsi dari A ke C. Jika a ∈ Adan b = f(a) ∈ B sedangkan c = g(b) ∈ C, maka

    (f ◦ g)(a) = g(f(a)),

    sehingga (f ◦ g)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Gambar 6.3 menyajikan komposisifungsi dalam bentuk diagram panah

    A

    a .

    B

    b = f(a).

    C

    c = g(b)= g(f(a))

    .

    -f

    -g

    -f ◦ g

    Gambar 6.3: Komposisi Fungsi

    Contoh 6.3. Misalkan f, g : Z → Z dengan f(x) = x + 1 dan g(y) = y2.Tentukanlan f ◦ g dan g ◦ f .Jawab:

    (f ◦ g)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

    dan(g ◦ f)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1.

    Pada umumnya, f ◦ g 6= g ◦ f .

  • 44 BAB 6. FUNGSI

    Latihan

    1. Mengapa persamaan berikut bukan fungsi dari R ke R?

    (a) f(x) = 1x

    (b) f(x) =√

    x

    (c) f(x) = ±√x2 + 12. Dari fungsi f : R → R berikut tentukan fungsi mana yang dapat

    dibalik, lalu tentukan kebalikannya.

    (a) f(x) = x2

    (b) f(x) = x− 2(c) f(x) = x3 − 2

    3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan f, g, h : A → A diberikan oleh pasanganberurut berikut:

    f = {(1, 2), (2, 1), (3, 1), (4, 4)}g = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}h = {(1, 2), (2, 3), (2, 1), (4, 3)}

    (a) Tentukan f−1, g−1, h−1 jika ada.

    (b) Tentukan f ◦ g, g ◦h, g−1 ◦h, g ◦ g, g ◦ f, h◦ g, h◦ f bila mungkin.

  • Bab 7

    Relasi

    Pada bagian akhir Bab 2 telah diperkenalkan hasil kali himpunan sebagaipasangan berurut. Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan, makahasil kali A dan B yang ditulis dengan notasi A × B didefinisikan sebagaipasangan berurut (a, b) yang komponen pertamanya ditempati oleh elemenA dan komponen kedua oleh elemen B, yaitu

    A×B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.Relasi R antara himpunan A dan B didefinisikan sebagai himpunan

    bagian dari hasil kali A × B. Karena melibatkan dua himpunan relasi inisering disebut juga relasi biner. Secara simbolis kita menulisnya sebagai

    R ⊆ A×B.Jika a ∈ A berelasi dengan b ∈ B, maka kita menulisnya sebagai

    a R b,

    sedangkan jika a dan b tidak berelasi, kita menggunakan notasi a 6 R b. Him-punan A disebut daerah asal (domain), dan himpunan B disebut daerahhasil (range) dari relasi R.

    Contoh 7.1. Misalkan A = {Amir, Budi, Cecep} adalah himpunan namamahasiswa dan B = IF221, IF251, IF242, IF323} adalah himpunan kodemata kuliah di jurusan Teknik Informatika. Hasil kali himpunan A danB adalah

    A×B = {(Amir, IF221),(Amir, IF251), (Amir,IF242),(Amir, IF323),(Budi, IF221),(Budi, IF251),(Budi, IF242),(Budi, IF323),

    (Cecep, IF221),(Cecep, IF251),(Cecep,IF242),(Cecep,IF323)}

    45

  • 46 BAB 7. RELASI

    Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil olehmahasiswa pada semester ganjil, yaitu

    R = {(Amir, IF251),(Amir, IF323),(Budi, IF221),(Budi, IF323),(Cecep,IF323)}

    Kita dapat melihat bahwa R ⊆ A × B. Karena (Amir, IF251) ∈ R, kitadapat menuliskan Amir R IF251, tetapi (Amir, IF221) 6∈ R sehingga kitabisa menuliskan Amir 6 R IF221Definisi 7.1. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A× A.Dengan kata lain, relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dariA× A.Contoh 7.2. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefin-isikan oleh (x, y) ∈ R jika x adalah faktor prima dari y. Jadi,

    R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}.

    7.1 Representasi Relasi

    Selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, ada banyak cara lainuntuk mempresentasikan relasi biner. Berikut disajikan empat cara yanglazim digunakan sebagai representasi relasi.

    Diagram Panah

    Relasi pada Contoh 7.1 dapat disajikan sebagai diagram panah berikut.

    Â

    Á

    ¿

    À

    Â

    Á

    ¿

    À

    Amir .

    Budi .

    Cecep .

    - . IF251

    . IF221

    *

    - . IF323

    . IF242

    q

    q

    Gambar 7.1: Diagram Panah

  • 7.1. REPRESENTASI RELASI 47

    Tabel

    Tabel untuk menyajikan sebuah relasi memiliki dua kolom. Kolom pertamamenyatakan daerah asal dan kolom kedua daerah hasil.

    Contoh 7.3. Tabel berikut menyajikan relasi pada Contoh 7.1.

    A BAmir IF251Amir IF323Budi IF221Budi IF323Cecep IF 323

    Matriks

    Misalkan himpunan A = {a1, a2, . . . , am} dan B = {b1, b2, . . . , bn}. Relasi Rdari A ke B dapat disajikan dengan matriks Cm×n = [cij] yang didefinisikansebagai berikut:

    cij =

    1, (ai, bj) ∈ R

    0 (ai, bj) /∈ Runtuk i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n.

    Contoh 7.4. Relasi pada Contoh 7.1 dapat disajikan dengan matriks berikut:

    0 1 0 11 0 0 10 0 0 1

    .

    Graf Berarah

    Berbeda dengan ketiga cara di atas, graf tidak digunakan untuk menyatajikanrelasi dari sebuah himpunan ke himpunan lain, tetapi graf digunakan untukmenyajikan relasi pada sebuah himpunan saja. Kita akan mempelajari grafsecara lebih mendalam pada Bab 8.

    Contoh 7.5. Misalkan

    R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}adalah sebuah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. Relasi ini dapat disajikandengan graf berarah berikut:

  • 48 BAB 7. RELASI

    a.W b.s}

    ª ?c.

    6

    - d.

    Gambar 7.2: Graf Berarah

  • Bab 8

    Pengantar Teori Graf

    +

    49

  • 50 BAB 8. PENGANTAR TEORI GRAF

  • Bab 9

    Pohon

    51

  • 52 BAB 9. POHON

  • Bab 10

    Bilangan Bulat

    10.1 Pendahuluan

    Teori bilangan merupakan salah satu cabang tertua dalam matematika yangmempelahari bilangan bulat. Jenis bilangan yang paling mendasar adalahbilangan asli yang berawal dari mencacah (counting) anggota himpunanberhingga. Kita menggunakan notasi standar

    N = {1, 2, 3, . . .}

    untuk menyatakan himpunan bilangan asli. Huruf N berasal dari kata naturaldalam natural numbers. Sebagian orang memasukkan angka 0 dalam him-punan bilangan asli karena himpunan kosong memiliki 0 anggota. Dalambahasa Inggris himpunan

    C = {0} ∪ Nsering disebut whole numbers. Di Indonesia himpunan ini disebut himpunanbilangan cacah. Kita tidak menggunakan notasi C untuk bilangan cacahkarena notasi ini biasa digunakan untuk complex numbers.

    Selanjutnya, kita dapat menjumlahkan dan mengalikan dua atau lebihbilangan cacah dan mendapat bilangan cacah yang baru. Jadi,

    jika a, b ∈ C, maka a + b ∈ C dan ab ∈ C.

    Tentu saja kita sudah mengenal beberapa sifat kedua operasi ini, sepertia + b = b + a, ab = ba, a1 = 1a = a, 0a = a0 = 0, dan lain-lain. Kita akankembali ke sifat-sifat ini nanti.

    Persamaan seperti 5 + x = 0 tidak mempunyai penyelesaian dalam him-punan bilangan cacah karena kita tidak dapat menemukan bilangan cacah

    53

  • 54 BAB 10. BILANGAN BULAT

    yang bila dijumlahkan dengan 5 menghasilkan 0. Karena itu, orang memper-luas himpunan bilangan cacah menjadi himpunan bilangan bulat. Notasistandar untuk bilangan bulat adalah

    Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}yang berasal dari kata Jerman zahlen walaupun kata Inggris untuk bilanganbulat disebut integers.

    Sebagai tambahan, kita juga mengenal bilangan rasional. Bilangan xdisebut rasional jika dan hanya jika x dapat dinyatakan sebagai rasio dua bi-langan bulat; yaitu, jika dan hanya jika ada bilangan bulat m dan n, n 6= 0,sedemikian hingga x = m/n. Himpunan bilangan rasional biasanya dino-tasikan sebagai

    Q ={m

    n|m,n ∈ Z, n 6= 0

    },

    yang berasal dari kta quotient (hasil bagi). Dengan mudah dapat dilihatbahwa himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunanbilangan rasional, yaitu untuk n = 1. Bilangan yang bukan rasional disebutbilangan irassional. Contoh bilangan irasional adalah

    √2, π, dan bilangan

    Euler e. Bersama himpunan bilangan irasional Q membentuk himpunanbilangan real (bilangan nyata) R.

    Dalam bab ini kita akan membahas sifat-sifat bilangan bulat. Sebelum-nya, akan disajikan terlebih dahulu aksioma-aksioma bilangan bulat terhadapoperasi penjumlahan dan perkalian, yaitu sifat-sifat bilangan bulat yang kitaanggap benar tanpa harus membuktikannya.

    10.2 Aksioma Bilangan Bulat

    Seperti bilangan cacah, sangatlah alamiah bila kita menganggap bahwa jum-lah dan hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat pula. Dengankata lain, himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahandan perkalian. Seperti biasa, kita menggunakan notasi a + b untuk jumlahdan a · b untuk hasil kali. Sesuai konvensi hasil bagi akan ditulis sebagai ab.Berikut adalah aksioma bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan danperkalian.

    1. Tertutup. Bila a, b ∈ Z, maka a + b ∈ Z dan ab ∈ Z.2. Komutatif. a + b = b + a dan ab = ba untuk semua a, b ∈ Z.3. Asosiatif. (a + b) + c = a + (b + c) dan (ab)c = a(bc) untuk semua

    a, b, c ∈ Z.

  • 10.2. AKSIOMA BILANGAN BULAT 55

    4. Distributif. (a + b)c = ab + ac untuk semua a, b, c ∈ Z.5. Elemen identitas. a+0 = a dan a · 1 = a untuk semua a ∈ Z; dalam

    hal ini, 0 disebut elemen identitas penjumlahan dan 1 elemenidentitas perkalian.

    6. Invers penjumlahan. Untuk setiap a ∈ Z ada x ∈ Z sedemikianhingga a + x = 0; di sini x disebut invers penjumlahan dan biasadibulis sebagai −a. Perhatikan bahwa bilangan bulat tidak mempunyaiinvers perkalian.

    7. Hukun Kanselasi Perkalian. Untuk semua a, b, c,∈ Z, jika ac = bcdengan x 6= 0, maka a = b.

    Selanjutnya kita mendefinisikan operasi pengurangan sebagai berikut:

    Definisi 10.1 (Pengurangan). Untuk semua a, b ∈ Z, a− b = a + (−b).Kita tidak mendefinisikan operasi pembagian, tetapi kita akan membahas

    konsep keterbagian secara lebih mendalam dalam Bab ??.

    Urutan bilangan bulat didefinisikan dengan menggunakan himpunan bi-langan bulat positif Z+ = {1, 2, 3, . . .} sebagai berikut:Definisi 10.2 (Urutan Bilangan Bulat). Jika a, b ∈ Z, maka a dikatakankurang dari (bukan lebih kecil dari) b jika dan hanya jika b−a adalah bilanganbulat positif; secara simbolis, a < b jika dan hanya jika b − a ∈ Z+. Jikaa < b, kita juga menulisnya sebagai b > a.

    Di samping definisi di atas, definisi alternatif untuk relasi ”karang dari”adalah seperti berikut:

    Definisi 10.3 (Kurang dari). Jika a dan b adalah bilangan bulat, makaa < b jika dan hanya jika ada c ∈ Z+ sedemikian hingga a + c = b.Perlu dicatat bahwa a adalah bilangan bulat positif jika dan hanya jika a > 0(lihat Latihan 2).

    Berikut adalah sifat dasar yang berkenaan dengan urutan bilangan bulat.

    1. Tertutup untuk bilangan bulat positif. Jika a, b ∈ Z+, makaa + b ∈ Z+ dan ab ∈ Z+. Dalam hal ini kita katakan bahwa him-punan bilangan bulat positif tertutup terhadap operasi penjumlahandan perkalian.

  • 56 BAB 10. BILANGAN BULAT

    2. Hukum Trikotomi. Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a < 0,a = 0, atau a > 0.

    Contoh 10.1 di bawah ini menyajikan pembuktian sifat lain dari urutanbilangan bulat dapat dibuktikan dengan menggunakan aksioma di atas. Un-tuk sifat lain, lihat Latihan 3.

    Contoh 10.1. Misalkan a, b, c ∈ Z dengan a < b dan c > 0. Kita dapatmenunjukkan bahwa ac < bc. Pertama, karena a < b, maka b − a > 0.Kemudian, karena bilangan bulat positif tertutup terhadap operasi perkalian,maka c(b−a) > 0. Akhirnya, sifat distributif dan komutatif melengkapi buktikita.

    Sifat berikut melengkapi aksioma bilangan bulat kita.

    Keterurutan bilangan bulat positif (well-ordering property). Setiap him-punan bilangan bulat positif tak kosong S mempunyai elemen terkecil; yaitu,ada a ∈ S sedemikian hingga a ≤ b untuk semua b ∈ S. Dalam hal ini kitakatakan bahwa himpunan S terurut (well-ordered) terhadap ≤.

    10.3 Sifat-sifat Bilangan Bulat

    Dalam bagian ini akan dibuktikan beberapa sifat lain dari bilangan bulat.

    Contoh 10.2 (Hukum Kanselasi Penjumlahan). Untuk a, b, c ∈ Z, jikaa + c = b + c, maka a = b. Untuk melihat ini, kurangkan c dari kedua ruas,lalu menggunakan sifat asosiatif, kta peroleh a + 0 = b + 0. Karena sifatelemen identitas, a = b.

    Contoh 10.3. Untuk membuktikan bahwa 0a = 0, kita mulai dengan 0 +0 = 0; ini berlaku karena 0 adalah elemen identitas. Mengalikan keduaruas dengan a menghasilkan (0 + 0)a = 0a. Sifat distributif menjadikanruas kiri 0a + 0a. Mengurangkan 0a dari kedua ruas (sama saja denganmenambahkan kedua ruas dengan invers 0a), kita mendapatkan untuk ruaskiri (0a + 0a) − 0a = 0a + (0a − 0a) = 0a + 0 = 0a, sedangkan untuk ruaskanan, 0a− 0a = 0. Jadi, 0a = 0.Proposisi 10.1 (Sifat Archimedes). Jika a dan b adalah bilangan bulat,maka ada bilangan bulat n sedemikian hingga na ≥ b.Bukti. Misalkan a dan b tidak seperti disebutkan dalam proposisi di atas.Dengan kata lain, misalkankan ada bilangan bulat positif a dan b sedemikian

  • 10.4. LATIHAN 57

    hingga na < b untuk semua n ∈ Z. Sekarang kita mendefinisikan himpunanS seperti berikut:

    S = {b− na|n ∈ Z+}yang hanya berisi bilangan bulat positif. Menurut sifat keterurutan, S memi-liki elemen terkecil, sebut saja b − ma untuk m ∈ Z+. Tetapi, bilanganberikutnya, b− (m + 1)a, adalah anggota S dan

    b− (m + 1)a = (b−ma)− a < b−ma.

    Hal ini bertentangan dengan dengan pemisalan bahwa b−ma adalah anggotaS yang terkecil. Jadi, untuk bilangan bulat positif a dan b harus ada bilanganbulat positif n sedemikian hingga na ≥ b. 2.

    10.4 Latihan

    1. Gunakan aksioma bilangan bulat untuk membuktikan bahwa pernyataan-pernyataan di bawah ini benar untuk semua a, b ∈ Z:(a) a(b + c) = ab + ac

    (b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (c) −1a = −a(d) −(ab) = a(−b)(e) (−a)(−b) = ab

    2. Buktikan bahwa a adalah bilangan bulat positif jika dan hanya jikaa > 0.

    3. Tunjukkan bahwa untuk sembarang a, b ∈ Z; jika a < b dan c < 0,maka ac > bx.

    4. Dengan menggunakan definisi urutan bilangan bulat, buktikan bahwajika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a > b dan b > c, makaa > c.

    5. Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif yang kurang dari 1.

  • 58 BAB 10. BILANGAN BULAT

  • Bab 11

    Induksi Matematika

    11.1 Induksi Matematika

    Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dalam matemati-ka. Metode ini banyak dipakai untuk membuktikan pernyataan-pernyataanyang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.

    Teorema 11.1 (Prinsip Induksi Matematika). Misalkan P adalah him-punan bilangan bulat dengan sifat-sifat

    (i) 1 ∈ P , dan

    (ii) bila bilangan bulat n ∈ P , maka n + 1 juga anggota P ,

    maka P adalah himpunan bilangan bulat positif.

    Bukti. Misalkan S adalah himpunan semua bilangan positif yang bukananggota P dan anggaplah S tak kosong. Sifat keterurutan menyatakanbahwa S pasti mempunyai elemen terkecil, sebut saja a. Karena sifat (i),a > 1; akibatnya, 0 < a − 1 < a, dan a − 1 /∈ S. Tetapi, oleh sifat (ii),(a − 1) + 1 = a ∈ P , bertentangan dengan asumsi bahwa a ∈ S. Jadi, Sadalah himpunan kosong dan P adalah himpunan bilangan bulat positif. 2.

    Teorema 11.1 berisi dua langkah untuk membuktikan bahwa sebuah perny-ataan berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Pertama, kita harus mem-perlihatkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan bulat 1. Langkahini disebut langkah dasar. Kedua, kita harus menunjukkan bahwa untuksetiap bilangan bulat n, pernyataan itu berlaku untuk n + 1 bila pernyataanitu berlaku untuk n. Langkah ini disebut langkah induktif.

    59

  • 60 BAB 11. INDUKSI MATEMATIKA

    Ilustrasi penggunaan prinsip induksi matematika diberikan dalam contoh-contoh berikut.

    Contoh 11.1. Kita akan membuktikan bahwa n! ≤ nn untuk semua n ∈ Z+.Untuk langkah dasar, kita dapat dengan mudah melihat bahwa ketidak-samaan ini berlaku untuk n = 1, yaitu 1! = 1 ≤ 11 = 1. Langkah selan-jutnya adalah menganggap bahwa n! ≤ nn; ini disebut hipotesis induktif.Dengan asumsi bahwa hipotesis ini benar, kita harus menunjukkan bahwa(n + 1)! ≤ (n + 1)n+1. Untuk itu, perhatikan bahwa

    (n + 1)! = (n + 1)n!

    ≤ (n + 1)nn< (n + 1)(n + 1)n

    < (n + 1)n+1

    yang melengkapi langkah induktif dan bukti.

    Induksi matematika paling banyak dipakai untuk membuktikan rumuseksplisit untuk jumlah. Tidak jarang kita harus membuat dugaan dari be-berapa suku pertama, lalu menggunakan induksi matematika untuk mem-buktikan dugaan itu, seperti pada contoh berikut ini.

    Contoh 11.2. Memperhatikan bahwa

    1 = 1

    1 + 3 = 4

    1 + 3 + 5 = 9

    1 + 3 + 5 + 7 = 16

    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

    kita dapat memduga bahwa

    n∑j=1

    (2j − 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

    Mari kita coba membuktikan dugaan ini dengan induksi matematika.Langkah dasar jelas benar karena

    1∑j=1

    (2j − 1) = 1 = 12.

  • 11.2. LATIHAN 61

    Untuk langkah induktif, dengan menggunakan asumsi bahwa∑n

    j=1(2j−1) =n2 benar, kita harus menunjukkan bahwa

    ∑n+1j=1 (2j − 1) = (n + 1)2. Tetapi,

    n+1∑j=1

    (2j − 1) =n∑

    j=1

    (2j − 1) + 2(n + 1)− 1

    = n2 + 2(n + 1)− 1= n2 + 2n + 1

    = (n + 1)2

    Dengan selesainya kedua langkah ini, benarlah dugaan kita di atas.

    Teorema 11.2 (Prinsip Kedua Induksi Matematika). Sebuah him-punan bilangan bulat positif yang berisi 1 dan berisi n + 1 bila 1, 2, 3, . . . , nadalah anggota himpunan itu untuk setiap bilangan bulat positif n adalahhimpunan semua bilangan bulat positif.

    Bukti teorema ini tidak jauh berbeda dari bukti Teorema 11.1 dan sengajaditinggalkan sebagai latihan; lihat Latihan 2

    11.2 Latihan

    1. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa

    (a) n < 2n, n ∈ Z+.(b)

    ∑nj=1 2

    n = 2n+1 − 2.(c)

    ∑nj=1 j = n(n + 1)/2.

    (d)∑n

    j=1 j2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

    (e)∑n

    j=1 j3 = (n(n + 1)/2)2.

    (f)∑n

    j=1 1/(j(j + 1)) = n/(n + 1).

    (g)∏n

    k=0 22k = 22

    n+1 − 1.2. Buktikan Teorema 11.2.

    3. Buktikan Teorema ??.

  • 62 BAB 11. INDUKSI MATEMATIKA

  • Bab 12

    Matriks

    63

  • 64 BAB 12. MATRIKS

  • Bab 13

    Aljabar Bool

    65

  • 66 BAB 13. ALJABAR BOOL

  • Daftar Pustaka

    [1] Jong, Jek Siang. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada IlmuKomputer. Yogyakarta: Penerbit Andi.

    [2] Lipschutz, Seymour dan M. L. Lipson. 2001. Matematika Diskrit. Jilid 1.Seri Penyelesaian Soal Schaum. Terjemahan Tim Editor Penerbit SalembaTeknika. Jakarta: Penerbit Salemba Teknika.

    [3] Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Edisi Kedua. Bandung: Pener-bit Informatika.

    [4] Rosen, Kenneth H. 1991. Discrete Mathematics and Its Applications. Sec-ond Edition. New York: McGraw-Hill, Inc.

    67