1. INDEKSNI ZAPIS, SKALARI, VEKTORI I TENZORI

1.1 Indeksno zapisivanje

U mehanici i drugim podrujima fizike esto se susreemo s nizom jednadbi koje se mogu dobiti ciklikom permutacijom jedne iz druge. U tom sluaju obino se napiu samo dvije ili tri jednadbe, dok se ostale mogu iz njih rekonstruirati. Ove jednadbe, gotovo uvijek, imaju i vei broj lanova, pa napisane zauzimaju mnogo prostora te postaju nepregledne.

Ovakve jednadbe mogu se vrlo elegantno napisati u saetom obliku u indeksnom zapisu. Ovaj nain zapisivanja ne samo da tedi prostor, energiju i vrijeme kako pisca, tako i itatelja,nego saeto i jasno istie pojedine osobine zakona kojeg izraavaju zapisane jednadbe. Na taj nain bolje se izraavaju i svojstva fizikalnih veliina koje ulaze u jednadbe. Indeksno zapisivanje je vrlo pogodno kad se primjenjuje tenzorski raun, naroito pri transformaciji koordinata, meutim, moe se primijeniti i u drugim podrujima.

1.1.1 Koordinatni sustavi

U indeksnom zapisivanju koordinatne osi oznaavamo s , umjesto s x x x1 2, , 3 x y z, , kako je

prikazano na slici 1.1. Komponente vektora i tenzora imaju tada indekse 1, 2 ili 3, umjesto indeksa x y, ili . Novi ili transformirani koordinatni sustav oznaavamo s z Ox x x1 2 3 (ita se iks

jedan potez, iks dva potez itd.). Komponente vektora ili tenzora, koje se odnose na stari ili poetni koordinatni sustav, oznaavaju se bez poteza, dok se komponente u novom koordinatnom sustavu oznaavaju s potezom, to je ilustrirano na slici 1.2.

Tri nove koordinatne osi x x1 2, i x3 ine sa starim koordinatnim osima i devet

kutova koje oznaavamo s

x x1, 2 x3D D D11 12 33, , ... . Prvi indeks odnosi se na novu os, a drugi na staru os.

Tako je npr. D 11 kut izmeu nove osi x1 i stare osi ,x1 D 23 kut izmeu x2 i ,x3 D 32 kut izmeu

x3 i . Svih devet kutova skraeno oznaavamo s x2 D ij gdje indeksi i i j mogu poprimiti

vrijednosti 1, 2 i 3. Ova se injenica moe izraziti sljedeim izrazom:

D ij i jx x ( , ) , i, j = 1,2,3. (1.1)

Izraz (1.1) zapravo predstavlja devet jednadbi od kojih emo napisati samo neke:

22

DD

D

11 1 112 1 2

33 3 3

( , )( , )

......................

......................( , ).

x xx x

x x

(1.2)

Izraz (1.2) predstavlja istu zakonitost kao i izraz (1.1). Razlika je u tome to je izraz (1.2) napisan u razvijenom obliku, a izraz (1.1) u saetom ili indeksnom zapisu.

Slika 1.1 Poloaj novog koordinatnog sustava Ox x x1 2 3 prema starom .Ox x x1 2 3Nove koordinatne osi ine sa starim devet kutova D ij .

Pri transformaciji vektora i drugih viih fizikalnih veliina obilato se javljaju u jednadbama kosinusi kutova izmeu novih i starih koordinata. Ove kosinuse skraeno emo oznaavati s gdje je aij

aij ij cosD , . (1.3) i j, = , ,1 2 3

I ovaj izraz predstavlja zapravo devet jednadbi, kao i izraz (1.2). Devet kosinusa smjera

tvori kvadratnu matricu > , tj. aij

@ija

> @

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aij . (1.4)

Ova se matrica naziva matrica transformacije. U izrazu (1.1) i (1.3) naznaili smo da indeksi i,jpoprimaju vrijednosti 1,2 i 3. Od sada emo podrazumijevati da indeksi napisani malim latinskim slovima uvijek poprimaju vrijednosti 1,2 i 3, pa to ubudue neemo posebno naglaavati. U dvodimenzijskom sluaju morat emo i dalje posebno navoditi vrijednosti indeksa, tj. pisati i,j = 1,2.

Na slici 1.1 oznaeni su jedinini vektori 321 i,i,iGGG

u koordinatnom sustavu te

jedinini vektori

Ox x x1 2 3

321 i,i,iGGG

u koordinatnom sustavu Ox x x1 2 3 . Sada bilo koji vektor vG moemo

23

prikazati kao linearnu kombinaciju njegovih projekcija na koordinatne osi. Ako upotrijebimo klasini nain pisanja, bit e

kji zyxGGGG vvv v . (1.5)

Napisan na novi nain isti izraz glasi

332211 iiiGGGG vvv v . (1.6)

Ako se umjesto koordinatnim sustavom Ox koristimo sustavom x x1 2, , 3 Ox x x1 2, , 3 , izraz (1.6)

postaje

332211 iiivGGGG vvv . (1.7)

Umjesto oznake sa strelicom, moemo upotrijebiti masna slova. Tada izrazi (1.6) i (1.7) prelaze u

332211332211 iiiiiiv vvvvvv . (1.8)

Vektor moe se prikazati kao trojku ureenih brojeva, tj. v

),,( 321 vvvvi , (1.9)

odnosno

),,( 321 vvvvi . (1.10)

Izrazi (1.9) i (1.10) odgovaraju izrazima (1.6), odnosno (1.7).

Ponekad se vektor kao i tenzori drugog reda prikazuju pomou matrice svojih komponenata. Tako je

> @

3

2

1

vvv

vi , > @

3

2

1

vvv

vi . (1.11)

Kako pisanje jednostupanih matrica zauzima mnogo prostora, ponekad se vektori prikazuju kao jednoredne matrice, ali se tada piu u vitiastim zagradama, tj. ^ `321 ,, vvv , odnosno ^ `321 ,, vvv . Poznato nam je iz kinematike da se rotacija krutog tijela oko nepomine toke moe opisati pomou Eulerovih kutova: kut nutacije - , kut precesije \ i kut rotacije M. Prema tome, poloaj novog koordinatnog sustava, koji je zarotiran oko ishodita O, moemo takoer odrediti pomou tri kuta. Meutim, izrazi (1.1), (1.3), odnosno (1.4) sadre devet veliina, pa meu njima postoji est veza.

Projekcije vektora 1i na koordinatne osi i iznose i . Slino vrijedi i za

jedinine vektore

x x1 2, x3 a a11 12, a13

32 , ii , pa moemo pisati

24

i i i1 1 2 + a a a11 12 13i3 ,

3232221212 + iiii aaa , (1.12)

i i i3 1 2 + a a a31 32 33i3 .

Skalarni produkt bilo kojeg jedininog vektora samim sobom jednak je jedinici, tj.

1=+ 213212

21111 aaa ii ,

1=+ 223222

22122 aaa ii , (1.13)

1=+ 233232

23133 aaa ii .

S druge strane, skalarni umnoak bilo koja dva okomita vektora jednak je nuli, tj.

0+ 23132212211121 aaaaaaii ,

0=+ 33233222312132 aaaaaa ii , (1.14)

0=+ 13331232113113 aaaaaa ii .

Izrazi (1.13) i (1.14) predstavljaju est jednadbi koje povezuju devet kosinusa smjera. Poloaj novog koordinatnog sustava, prema starom, moemo zadati pomou tri kosinusa smjera. Svi zadani kosinusi smjera ne smiju odreivati poloaj samo jedne osi, tj. ne smiju sva tri zadana kosinusa smjera imati jednake prve indekse ili jednake druge indekse. U jednadbama (1.13) i (1.14) javljaju se kvadrati i umnoci nepoznatih kosinusa, pa rjeenje jednadbi nije jednoznano, tj. treba na neki drugi nain osigurati jednoznanost poloaja novog koordinatnog sustava prema starom. Primjerice treba navesti u kojem se oktantu nalazi pozitivna os .1x

1.1.2 Transformacija vektora

Na slici 1.2 prikazane su komponente vektora v u starom i novom koordinatnom sustavu. Izvest emo izraze koji povezuju komponente vektora u novom koordinatnom sustavu 1v i v2 s

komponentama u starom koordinatnom sustavu i . Prema slici 1.2 vrijedi v1 v2

v v1 cos- , v v2 sin- (1.15)

odnosno

M-M-M- sinsincoscos)(cos1 vvvv ,

M-M-M- sincoscossin)(sin2 vvvv . (1.16)

25

Ako (1.15) uvrstimo u (1.16) i sredimo, dobit emo

MM sincos 211 vvv , MM cossin 212 vvv (1.17)

Izraz (1.17) predstavlja zakon transformacije komponenata vektora pri rotaciji koordinatnog sustava. Ovaj izraz moe se napisati u matrinom obliku

2

1

2

1

cossinsincos

vv

vv

MMMM

. (1.18)

Slika 1.2. Komponente vektora v u starom koordinatnom sustavu oznauju se s , , Ox x1 2 v1 v2

a u novom koordinatnom sustavu Ox x1 2 s v1 , v2 .

Kutovi koje osi x1 i 2x ine s osima i prema slici 1.2 iznose: x1 x2 MD 11 , )2/(12 MSD ,

)2/(21 MSD , MD 22 . Prema tome, kosinusi smjera su:

a11 cosM , a12 2 cos( / ) sinS M M ,

a21 2 cos( / ) sinS M M , a22 cosM . (1.19)

Matrica transformacije u ovom sluaju glasi

> @

MMMM

cossinsincos

2221

1211

aaaa

aij . (1.20)

Pomou (1.19) moemo (1.17) napisati u obliku

2121111 vavav ,

v a v a v2 21 1 22 2 . (1.21)

Ovaj se izraz moe krae napisati u obliku

v a v a vi i i 1 1 2 2 , i ili 2. (1.22)= 1

Izraz (1.22) predstavlja dvije jednadbe. Ako uvrstimo i = 1, dobit emo prvu jednadbu (1.21), a ako uvrstimo i = 2, dobit emo drugu jednadbu izraza (1.21). Izraz (1.22) moemo jo saeti u

26

jj

iji vav

2

1, ili 2. (1.23)i = 1

U tenzorskom raunu vrlo esto se sumiranje provodi upravo preko ponovljenih indeksa, pa u tom sluaju nije potrebno pisati znak sume. Dakle, izraz (1.23) moemo napisati u obliku

jiji vav , , (1.24) i j, = 1, 2

gdje se podrazumijeva sumiranje po ponovljenom indeksu j. To je tzv. Einsteinova konvencija o sumiranju. Izraz (1.24) predstavlja zakon transformacije komponenata vektora v u ravnini. Pogledajmo sada kako izgleda zakon transformacije vektora u prostoru. Neka je zadana sila Fije su komponente zadane u starom koordinatnom sustavu Ox . Znamo da je

projekcija rezultante na neku os jednaka algebarskom zbroju projekcija njenih komponenata na tu istu os. Tako je projekcija sile F na os

F F F Fi ( , , )1 2 3 x x1 2 3

x1 jednaka

F F F F1 1 11 2 12 3 13 cos cos cosD D D ,

odnosno

F F a F a F a1 1 11 2 12 3 13 . (1.25)

Na slian nain moemo dobiti izraze i za druge dvije komponente, tj.

F a F a F a F2 21 1 22 2 23 3 , F a F a F a F3 31 1 32 2 33 3 . (1.25)

Izraze (1.25) moemo skraeno zapisati u obliku

F a F a F a Fi i i i 1 1 2 2 3 3 , (1.26)

odnosno, primjenjui Einsteinov dogovor o sumiranju u obliku

F a Fi ij j , (1.27)

gdje se podrazumijeva sumiranje po indeksu j od 1 do 3. Ono to vrijedi za silu, vrijedi i za bilo koji drugi vektor, pa je

v a vi ij j . (1.28)

U izrazu (1.28), za razliku od izraza (1.24), ne navodimo podruje indeksa jer indeksi poprimaju vrijednosti 1,2 i 3, tj. onako kako je dogovoreno. Izraz (1.28) moe se napisati u matrinom obliku kako slijedi

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

vvv

aaaaaaaaa

vvv

. (1.29)

Sada moemo formulirati pravila indeksnog zapisivanja i ona glase:

27

1. Indeksi na koje se odnose ova pravila piu se malim latinskim slovima. Oni poprimaju (uzimaju, dobivaju) vrijednosti 1, 2 ili 3, odnosno i 3 ako drugaije nije naznaeno.Veznik ili odnosi se na slobodne indekse, a veznik i na ponovljene indekse.

2. Indeks koji se pojavio jednom u bilo kojem pribrojniku nekog izraza mora se pojaviti jednom i u svim pribrojnicima tog istog izraza. Ovakav indeks naziva se slobodan(ivi) indeks.

3. Indeks koji se pojavio dvaput u jednom pribrojniku izraza ne mora se pojaviti u ostalim pribrojnicima tog izraza. Ovakav indeks naziva se ponovljeni (nijemi) indeks.Po njemu se vri sumiranje od 1 do 3 ako drugaije nije naznaeno.

4. Slovo kojim je oznaen ponovljeni indeks smije se zamijeniti bilo kojim malim latinskim slovom koje jo nije upotrijebljeno kao slobodni indeks u tom izrazu.

5. Indeks ne smije biti ponovljen tri ili vie puta.

6. Ako elimo da se na neki indeks ne odnose ova pravila, oznaavamo ga na neki drugi nain. Npr. oznaavamo ga grkim slovom, velikim latinskim slovom, indeks stavljamo u zagrade i sl.

1.1.3 Transformacija tenzora drugog reda

Primjenu ovih pravila pokazat emo na primjeru izraza za transformaciju ravninskog naprezanja. U Nauci o vrstoi I >1@ na str. 27 navedeni su izrazi (2.16) i (2.17) za transformaciju komponenata tenzora naprezanja koji malo preureeni glase

.

,sincossincossincos

,cossincossincossin

,sinsincossincoscos

22

22

22

xyyx

yyxxyxxy

yyxxyxy

yyxxyxx

WWMMVMWMWMMVW

MVMMWMMWMVV

MVMMWMMWMVV

(1.30)

Uzevi u obzir (1.19) kao i injenicu da je V V Vx xx 11, V V Vy yy 22 , W V Vxy xy 12 i

W V Vyx yx 21 , moemo (1.30) napisati u obliku

.22222221212212222111212122

22122221112212122111112121

22221221211212221111211112

22121221111212121111111111

,,

,

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

(1.31)

Ovaj izraz moemo napisati skraeno, tj.

V V V V Vij i j i j i j i ja a a a a a a a 1 1 11 1 2 12 2 1 21 2 2 22 ,

odnosno jo krae u obliku

28

V Vij ipqp

jp pqa a

1

2

1

2

, i j, = 1, 2 . (1.32)

Budui da se znak sumiranja u sluaju ponovljenih indeksa moe ispustiti, (1.32) prelazi u

V Vij ip jq pqa a , i j p q, , , = 1,2 . (1.33)

Moemo oekivati da e se komponente naprezanja u prostoru transformirati prema zakonu

V Vij ip jq pqa a , (1.34)

gdje indeksi i,j,p,q poprimaju vrijednosti od 1 do 3, to nije potrebno pisati u skladu s pravilima o indeksnom zapisivanju. Ovaj izraz emo i izvesti u slijedeem poglavlju. Izraz (1.31) prikazan u matrinom zapisu glasi

,2212

2111

2221

1211

2221

1211

2221

1211

aaaa

aaaa

VVVV

VVVV

(1.35)

odnosno skraeno

> @ > @> @> @ ,Tijijijij aa VV (1.35a)

gdje je > transponirana matrica > @.@Tija ija

1.1.4 Indeksni zapis derivacije

Parcijalnu derivaciju po koordinati moemo zapisati na vie naina:xi

a) oznakom w w/ x ,i

b) oznakom w i , gdje je i indeks koordinate po kojoj,

se provodi deriviranje,

c) zarezom iza posljednjeg indeksa. Nakon zareza slijede

indeksi onih koordinata po kojima se provodi deriviranje.

Navest emo nekoliko derivacija koje su napisane na sva tri naina

ww

wvx

v vii

i i i i , ,ww w

w2 v

x xv vi

i kik i i ik , ,

wVw

w V Vijk

k ij ij kx , , (1.36)

2I w I Iii ii, , 4 2 2I I I , i i j j

29

1.2 Skalari, vektori i tenzori Skalari se nazivaju jo i tenzori nultog reda jer je za njihovo opisivanje dovoljno zadati

podatak (u ravnini ). Skalari su npr. masa m, temperatura T, gustoa U itd. Skalari pri transformaciji koordinatnog sustava ostaju nepromijenjeni, tj. vrijedi 30 1 2 10

S S , (1.37)

gdje je S bilo koji skalar.

Vektori su usmjerene veliine kao to su: sila F, moment M, pomak u, jakost magnetskog polja H itd. Vektori kao usmjerene veliine imaju pravac djelovanja, veliinu i smisao. Za opisivanje vektora potrebna su tri podatka. To su najee tri skalarne komponente, ali to mogu biti i druge veliine, npr. apsolutna vrijednost i dva kuta, dvije komponente i apsolutna vrijednost itd. Meutim, svaka usmjerena veliina ne mora biti vektor. Tako je npr. kutni pomak usmjerena veliina: os rotacije jest pravac djelovanja, kut rotacije odreuje veliinu, a smisao se odreuje prema pravilu desne ruke ili desnog vijka kako je prikazano na slici 1.3.

Slika 1.3 Kut rotacije moe se definirati kao usmjerena veliina. Os rotacije jest pravac djelovanja, veliina strelice

proporcionalna je kutu zakreta, a smjer je odreen po pravilu desne ruke.

Kutni pomak, meutim, nije vektor jer pri zbrajanju kutnih pomaka ne vrijedi zakon komutacije (tj. ne vrijedi zakon paralelograma vektora). U to se moemo lako uvjeriti ako knjigu na slici 1.4a okrenemo oko osi za x1 S / 2 , pa zatim oko osi za x2 S / 2 . U tom sluaju dobit emo

poloaj knjige prema slici 1.4b. Suprotno tomu, ako knjigu okrenemo prvo oko za x2 S / 2 , pa

zatim oko za x1 S / 2 , dobit emo poloaj knjige prema slici 1.4c. Ta dva konana poloaja oito

nisu jednaka. To znai da za konane kutne zakrete ne vrijedi zakon komutacije, tj.

1221 MMMMGGGG z . Prema tome, kutni pomaci nisu vektori.

Jedna od moguih matematikih definicija vektora glasi: sustav od tri broja koji se pri rotaciji koordinatnog sustava transformiraju prema izrazu ),,( 321 vvvvi

v a vi ip p , (1.38)

jesu komponente vektora. esto se u literaturi kae pojednostavljeno vektor umjesto

komponente vektora

vivi v . Vektor je tenzor prvog reda i ima komponente. 33

1

30

Tenzor drugog reda ima openito 32 9 komponenata, kao npr. tenzor naprezanja, tenzor tromosti, tenzor deformacije itd. Komponente tenzora drugog reda transformiraju se pomou izraza

T a a Tij ip jq pq . (1.39)

Tenzor etvrtog reda ima 3 komponentu koje se transformiraju po zakonu 814

T a a a a Tijk ip jq kr s pqrsl l . (1.40)

Slika 1.4 Za konane kutne pomake ne vrijedi zakon komutacije, tj. 1221 MMMMGGGG z

Vektor poloaja rG ima komponente , , pa zakljuujemo da se koordinate transformiraju

po zakonu

x1 x2 x3

pipi xax , (1.41)

to u razvijenom obliku glasi

x a x a x a x1 11 1 12 2 13 3 ,

x a x a x a x2 21 1 22 2 23 3 , (1.42)

x a x a x a x3 31 1 32 2 33 3 .

Ovdje su nove koordinate x1 , x2 i x3 eksplicitno izraene pomou starih koordinata , i .

Rjeivi sistem tri jednadbe s tri nepoznanice, moemo eksplicitno izraziti stare koordinate ,

i pomou novih koordinata

x1 x2 x3x1

x2 x3 x1 , x2 i x3 , tj.

31

x a x a x a x1 11 1 21 2 31 3 ,

x a x a x a x2 12 1 22 2 32 3 , (1.43)

x a x a x a x3 13 1 23 2 33 3 .

to skraeno glasi

x a xi pi p . (1.44)

1.2.1 Kroneckerov simbol

Kroneckerov simbol ijG definiran je na sljedei nain

G ijako je i jako je i j

z

10

, (1.45)

pa matrica ovog tenzora glasi

> @

100010001

ijG . (1.46)

Izraze (1.13) i (1.14) moemo pomou Kroneckerova simbola napisati u obliku

a aik jk ij G . (1.47)

Zaista, ako u (1.47) uvrstimo i j= = 1, ili , dobit emo tri jednadbe (1.13). Ako je i z j, tj.

, ili nastaju jednadbe (1.14). Kroneckerov simbol

2 3

i j =12 23 31 G ij jest zapravo jedinini tenzor

drugog reda. On je i izotropan tenzor, tj. u svim koordinatnim sustavima ima istu vrijednost komponenata:

1001

ijij GG . (1.48)

Kroneckerov se tenzor naziva jo i supstituirajui tenzor, jer ima svojstvo da umjesto postojeegindeksa tenzora supstituira drugi. Tako je npr.

G ij j iv v ,

G V Vik ij kj , (1.49)

G Gip jq ijkm pqkmC C .

32

U prvoj jednadbi j je ponovljeni indeks. Jedanput se ponavlja u supstituirajuem tenzoru G ij , a

drugi put u vektoru . Taj se indeks supstituira s drugim indeksom supstituirajueg tenzora,

naime indeksom . U drugoj jednadbi ponovljen je indeks i pa se on zamjenjuje indeksom

v ji k .

U treoj jednadbi ponovljeni indeksi su i j, i oni se zamjenjuju s indeksima p q, .

Pokazat emo ispravnost prve jednadbe (1.49). Ta jednadba u razvijenom obliku glasi

G G G Gij j i i iv v v 1 1 2 2 3 3v ,

i predstavlja tri jednadbe prema tome je li i ili 3 . = 1,2

Ako je i = , onda je 1 G G G Gij jv v v v v 11 1 12 2 13 3 1 .

Ako je i = , onda je 2 G Gij jv v v 22 2 2 .

Ako je i = , onda je 3 G Gij jv v v 33 3 3 ,

to se skraeno moe zapisati u obliku

G ij j iv v .

Na slian se nain moe itatelj sam uvjeriti u ispravnost preostalih dviju jednadbi.

1.2.2 Alternirajui simbol

Alternirajui simbol definiran je na slijedei nain:eijk

ako je i j parna permutacija 1,2,3, 1 ijke k, ,

ako je i j neparna permutacija 1,2,3, (1.50)eijk 1 k, ,

0 ako su bilo koja dva indeksa jednaka. ijke

Alternirajui simbol ujedno je i izotropan tenzor treeg reda koji ima 3 273 komponenata i to:

e e e123 231 312 1 ,

e e e321 213 132 1 , (1.51)

e e e e e e112 113 121 122 332 333 0 .

Pri rotaciji koordinatnog sustava komponente alternirajueg tenzora ne mijenjaju vrijednost,

tj. vrijedi

eijk

e eijk ijk . (1.52)

33

1.2.3 Indeksni zapis skalarnog i vektorskog produkta

Neka su zadani vektori a i b izrazima

a i i i i a a a ak k1 1 2 2 3 3 ,

b i i i i b b b bk k1 1 2 2 3 3 . (1.53)

Njihov skalarni produkt iznosi

a b a b a b a b1 1 2 2 3 3 , (1.54)

odnosno

a b b a a bi i . (1.55)

Znamo iz vektorske algebre da je vektorski produkt dvaju vektora a i b dan izrazom

c a bi i i

b a u u1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a ab b b

,

odnosno

c a b i i i u ( ) ( ) (a b a b a b a b a b a b2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3)

k

. (1.56)

Lako moemo pokazati da su komponente vektorskog produkta zadane izrazom ci

c e a bi ijk j . (1.57)

Naime, ako je i , onda gornji izraz prelazi u = 1

c e a b e a b a b a b1 123 2 3 132 3 2 2 3 3 2 . (1.58)

Iako izraz (1.57) ima na desnoj strani devet pribrojnika, samo su dva razliita od nule i to i jer su e i ee a b123 2 3 e a b132 3 2 123 1 132 1 , i jer su svi ostali eijk 0 budui da su im bar dva

indeksa meusobno jednaka. Na slian nain moemo pokazati da je

c e a b e a b a b a b2 231 3 1 213 1 3 3 1 1 3 ,

c e a b e a b a b a b3 312 1 2 321 2 1 1 2 2 1 . (1.59)

Usporedbom (1.58) i (1.59) s (1.56), vidimo da vrijedi izraz (1.57).

1.3 Eulerovi kutovi i matrica transformacije Znaenje Eulerovih kutova objanjeno je na slici 1.5. Dvije ravnine A i B u poetku su postavljene tako da lee u ravnini starog koordinatnog sustava kako je prikazano na slici

1.5a. Ravnina A je vrsto vezana za stari koordinatni sustav, dok je ravnina B pomina. Neka se

Ox x1 2

34

ravnina B zakrene za kut nutacije - oko osi . Tada se dvije ravnine sijeku u pravcu ON koji se

naziva vorni pravac (nodalna linija). U poetku se vorni pravac podudara s osi .

x1x1

Ako sada ravninu B okrenemo oko osi za kut precesije \, nastaje poloaj prema slici

1.5c. vorni pravac ON ini s osi kut \ i predstavlja os . U ravnini B lei os , dok je os

okomita na i .

x3x1 cx1 x2

"

x3" x1

" x2"

Napokon okretanjem osi i oko osi za kut rotacijex1" x2

" cx3 M dolazimo do konanog

poloaja novog koordinatnog sustava Ox x x1 2 3 kako je prikazano na slici 1.5d. Ne ulazei u sam

izvod navest emo rezultate za lanove matrice transformacije koordinatnog sustava u Ox x x1 2 3Ox x x1 2 3 . Oni su prikazani sljedeim izrazima

a11 cos sin sin cos cos- M \ M \ , a12 cos sin sin cos cos- M \ M \ , a13 sin sin- M .

a21 cos cossin sin cos- \ M \ , a22 cos cos cos sin sin- M \ M \ , a23 sin cos- M . (1.60)

a31 sin sin- \ , a32 sin cosM \ , a33 cos- .

Slika 1.5 Okretanje novog koordinatnog sustava oko starog za kut nutacije -, precesije \ i rotacije M

Ako lanove postavimo u matricu, lako se moemo uvjeriti da je zbroj kvadrata lanova bilo

kojeg retka ili stupca jednak jedinici to izraava izraz (1.13). Takoer je skalarni produkt dva razliita retka ili dva razliita stupca jednak nuli, prema (1.14).

aij

2. NAPREZANJE

2.1 Transformacija naprezanja pri rotaciji koordinatnog sustava Pojam naprezanja upoznali smo u Nauci o vrstoi I. Prisjetit emo se osnovnih injenicao naprezanju i njegovim komponentama. Komponente tenzora naprezanja prikazane su na slici 2.1a, gdje su oznaene oznakama uobiajenim u nauci o vrstoi, odnosno u inenjerskim proraunima. Na slici 2.1b za sve komponente naprezanja upotrijebljena je ista oznaka V, dok su na slici 2.1c upotrijebljene oznake uobiajene u tenzorskom raunu, odnosno indeksnom zapisivanju. Matrica tenzora naprezanja napisana na sva tri naina glasi

> @

333231

232221

131211

VVVVVVVVV

VVVVVVVVV

VWWWVWWWV

V

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij . (2.1)

Slika 2.1 Tri naina oznaavanja komponenata naprezanja

Prvi indeks komponente naprezanja oznaava presjek na kojem djeluje, a drugi smjer u kojem djeluje. Podsjetimo se da presjek ima oznaku osi koja je na njega okomita. Predznak presjeka je pozitivan ako je njegova vanjska normala usmjerena u pravcu pozitivne koordinatne osi, inae je negativan. Predznak komponente naprezanja odreen je ovim pravilima:

a) komponenta naprezanja je pozitivna ako na pozitivnom

presjeku djeluje u pozitivnom smjeru ili ako na negativnom

36

presjeku djeluje u negativnom smjeru,

b) komponenta naprezanja je negativna ako na negativnom

presjeku djeluje u pozitivnom smjeru ili ako na pozitivnom

presjeku djeluje u negativnom smjeru.

Sve komponente naprezanja, prikazane na slici 2.1, pozitivne su. Tenzor naprezanja je simetrian, tj. vrijedi izraz

V V12 21 ,

V V23 32 , (2.2)

V V31 13 .

Izraz (2.2) moe se indeksno napisati ovako:

V Vij ji . (2.3)

Ako uzmemo da je i=1, j=2, izraz (2.3) predstavlja prvu jednadbu izraza (2.2). Uzmemo li da je i=2, j=3, odnosno i=3, j=1, dobit emo drugu i treu jednadbu izraza (2.2).

U mehanici deformabilnih tijela vrlo esto treba odrediti komponente raznih fizikalnih (tenzorskih) veliina u novom ili transformiranom koordinatnom sustavu Ox x x1 2 3 ako su poznate

komponente u starom koordinatnom sustavu Ox . Oba koordinatna sustava prikazana su na slici 2.2.

x x1 2 3

Slika 2.2 Oznake koordinatnih sustava i presjeka na elementarnom tetraedru

Da bismo izveli izraze za transformaciju tenzora naprezanja, isjecimo iz tijela elementarni tetraedar OABC u blizini toke O. Njegove strane OBC, OAC, OAB i ABC stoje okomito na osi

i x x x1 2 3, , x1 kako je prikazano na slici 2.2. Plotine tih strana oznait emo s 321 ,, AA i

A . Presjek emo smatrati pozitivnim ako je vanjska normala usmjerena u pravcu pozitivne

37

koordinatne osi, inae je negativna. Projiciranjem plotine A' na koordinatne ravnine Ox ,

i , dobit emo

x1 2Ox x2 3 Ox x3 1

11111 )(cos aAxxAA ' ' ' ,

12212 )(cos aAxxAA ' ' ' (2.4)

13313 )(cos aAxxAA ' ' ' .

Os x1 probada stranu ABC u toki D. Visina sputena iz toke O na presjek 'A iznosi

, pa je volumen tetraedra 'h OD 3/hAV '' ' .

Slika 2.3 Komponente naprezanja i obujamna sila fG

na elementarnom

tetraedru

Na slici 2.3 prikazan je isti elementarni tetraedar s ucrtanim naprezanjima i silama koje djeluju na njega. Osim ucrtanih povrinskih sila (naprezanja) na element mogu djelovati i volumenska

sila koja ima komponente f f f f fi ( , , )1 2 3 u sustavu , odnosno komponente Ox x x1 2 3),,( 321 ffffi u sustavu Ox x x1 2 3 . Volumenska sila ukljuuje i silu inercije ako se tetraedar

giba nekim ubrzanjem. Pri postavljanju uvjeta ravnotee ili jednadbi gibanja treba naprezanje mnoiti s plotinom presjeka na kojem djeluje, ne vodei pri tome rauna o smjeru u kom djeluje, jer je on obuhvaen predznakom presjeka i predznakom komponente naprezanja. Uvjet kinetostatike ravnotee tetraedra u pravcu osi

f

x1 glasi

F A a a a A

a a a Aa a a A f V

1 11 11 11 12 12 13 13 1

21 11 22 12 23 13 2

31 11 32 12 33 13 3 1 0

V V V V

V V VV V V

' '

'

' '

(

(( .

'

'

'

(2.5)

U prvoj zagradi nalaze se komponente naprezanja koje djeluju na presjeku . Zato imaju prvi

indeks 1. Naprezanja u drugoj zagradi djeluju na presjeku 1A'

2A' , a u treoj zagradi na presjeku

. Sve komponente bez poteza koje imaju drugi indeks 1 paralelne su s osi pa se mnoe s 3A' x1

38

a11 pri projiciranju na os x1 . Komponente koje imaju drugi indeks 2, odnosno drugi indeks 3,

mnoe se s , odnosno pri projiciranju na a12 a13 x1 .

Ako u (2.5) uvrstimo (2.4) i ' ' 'V h A /3 , a zatim podijelimo cijeli izraz s , dobit

emo

'A

V V V VV V VV V V

11 11 11 11 12 12 13 13

12 21 11 22 12 23 13

13 31 11 32 12 33 13 1 3 0

a a a aa a a aa a a a f h

( )( )( )' ' / .

Smanjujui tetraedar tako da , gornji izraz prelazi nakon sreivanja u ' ho 0

V V V VV V VV V V

11 11 11 11 11 12 12 11 13 13

12 11 21 12 12 22 12 13 23

13 11 31 13 12 32 13 13 33

a a a a a aa a a a a aa a a a a a .

(2.6)

Postavimo sada uvjet ravnotee u pravcu osi x2 , pa emo nakon sreivanja, slino kao i u

prethodnom sluaju, dobiti

V V V VV V VV V V

12 11 21 11 11 22 12 11 23 13

12 21 21 12 22 22 12 23 23

13 21 31 13 22 32 13 23 33

a a a a a aa a a a a aa a a a a a .

(2.7)

Na slian nain uvjet ravnotee 6F3 0 daje

V V V VV V VV V V

13 11 31 11 11 32 12 11 33 13

12 31 21 12 32 22 12 33 23

13 31 31 13 32 32 13 33 33

a a a a a aa a a a a aa a a a a a .

(2.8)

Preostalih est izraza za transformaciju komponenata naprezanja moemo dobiti ako na

slici 2.3 os x1 postane x2 , os x2 postane x3 , a os x3 postane x1 . Uvjeti ravnotee6 F1 0 ,

6F2 0 i 6F3 0 dat e nam izraze za transformaciju V 21 , V 22 i V 23 . Jo jednom permutacijom

koordinatnih osi x1 , x2 i x3 i ponavljanjem postupka dobit emo izraze za V 31 , V 32 i V 33 . Svih devet izraza mogu se u indeksnom zapisu prikazati jednim izrazom, tj.

V Vij ip jq pqa a (2.9)

to znai da je naprezanje tenzor drugog reda.

39

2.2 Glavna naprezanja

Vidjeli smo u Nauci o vrstoi I da kod ravninskog naprezanja postoje dva meusobom okomita presjeka na kojima su posmine komponente jednake nuli, a normalne komponente imaju ekstremnu vrijednost. Kod troosnog naprezanja mogu se nai tri meusobno okomita presjeka na kojima su posmine komponente jednake nuli. Normalne komponente imaju ekstremne vrijednosti i nazivaju se glavna naprezanja, a odgovarajui presjeci, glavni presjeci. Glavna naprezanja su

min321max VVVVV tt . (2.10)

Slika 2.4 Na presjeku A' djeluje jedno glavno naprezanje

Na slici 2.4 prikazan je elementarni tetraedar omeen s tri koordinatne ravnine i jednim glavnim presjekom, tj. presjekom na kojem djeluje glavno naprezanje ili ili . Kako unaprijed

ne znamo o kojem se glavnom naprezanju radi, oznait emo ga sa

V1 V 2 V 3V bez indeksa. Uvjeti

ravnotee tetraedra za osi i glase x x1 2, x 3

666

F A A A a AF A A A a AF A A A a A

i

i

i

1 11 1 21 2 31 3 1

2 12 1 22 2 32 3 2

3 13 1 23 2 33 3 3

000

V V V VV V V VV V V V

d d d dd d d dd d d d

,,.

(2.11)

Posljednji lan u svakoj jednadbi jest projekcija naprezanja na osi i pomnoena

s plotinom

V i x x1 2, x 3dA na kojoj djeluje. Uoavamo, nadalje, da u prvoj jednadbi sve komponente

naprezanja imaju drugi indeks 1, jer djeluju paralelno s osi , u drugoj jednadbi sve

komponente naprezanja imaju drugi indeks 2, dok u treoj jednadbi komponente naprezanja imaju drugi indeks 3. Takoer sve komponente naprezanja koje imaju prvi indeks 1, mnoe se s

, one koje imaju prvi indeks 2 ili 3, mnoe se s , odnosno . U skladu s (2.4), moemo

pisati

x1

dA1 dA2 dA3

40

ddAA

ai1 1 ,ddAA

ai2 2 ,ddAA

ai3 3 . (2.12)

Ako izraz (2.11) podijelimo s dA , uzmemo u obzir (2.12) i zatim sredimo, dobit emo

( )V V V V11 1 21 2 31 3 0 i i i ia a a ,

V V V V12 1 22 2 32 3 0a ai i i i ( ) a

, (2.13)

V V V V13 1 23 2 33 3 0a a ai i i i ( ) .

Dobili smo sustav od tri homogene linearne jednadbe s etiri nepoznanice i . No

nepoznanice i ispunjavaju dopunski uvjet (1.13) . Prema tome, sustav

(2.13) ne moe imati trivijalno rjeenje . Da bi sustav (2.13) imao netrivijalno

rjeenje, mora determinanta sustava biti jednaka nuli, tj.

a ai i1 2, , ai3 V

a a11 12, a13 a a ai i i12

22

32 1

a a ai i i1 2 3 0

.0)(

)()(

332313

232212

131211

i

i

i

VVVVVVVVVVVV

(2.14)

Razvijanjem ove determinante dobit emo jednadbu treeg stupnja u V koja glasi

V V VV V V3

12

2 3 0 I I I , (2.15)

gdje su i prva, druga, odnosno trea invarijanta tenzora naprezanja koje su zadane

izrazom

I I1 2V V, I3V

I1 11 22V 33V V V , (2.16)

I2 11 22 22 33 33 11 122

232

312

V V V V V V V V V V ( )

)

,

I3 11 22 33 12 23 31 11 232

22 312

33 1222V V V V V V V V V V V V V ( .

Invarijante i mogu se napisati pomou determinanti I2V I3V

I211 12

12 22

22 23

23 33

11 13

13 33V

V VV V

V VV V

V VV V

(2.17)

I311 12 13

12 22 23

13 23 33

V

V V VV V VV V V

U indeksnom zapisivanju invarijante tenzora naprezanja glase

41

33I jj1 11 22V V V V V ,

I ii jj ij ij2 2V V V V V ( )/

6

, (2.18)

I ii jj kk ij ji kk ij jk ki3 3 2V V V V V V V V V V ( )/ .

Zahvaljujui injenici da je matrica tenzora naprezanja simetrina moe se pokazati da jednadba (2.15) ima uvijek tri realna rjeenja V V V1 2t t 3 . Pravac glavnog naprezanja V 1odreujemo tako da vrijednost V 1 uvrstimo u (2.13). Rjeavajui jednadbe (2.13) moemo

odrediti samo omjere jer su to homogene jednadbe. Meutim, pomou (1.13), tj.

pomou izraza moemo odrediti prave vrijednosti kosinusa smjera

koji odreuju pravac glavnog naprezanja

a a a11 12 13: :

a a a112

122

132 1 a a a11 12 13, ,

V 1 . Na slian nain moemo, ako u (2.13) uvrstimo

vrijednosti V 2 , odnosno V 3 , odrediti kosinuse smjera preostala dva glavna pravca naprezanja.

2.3 Jednadbe ravnotee

Za diferencijalni element d d d , koji je prikazan na slici 2.5, mogue je postaviti est

nezavisnih uvjeta ravnotee: tri jednadbe sila i tri jednadbe momenata. Jednadbe momenata

x y z

6 Mix 0 , 6 Miy 0 , . 6 Miz 0

ve su upotrijebljene i na temelju njih su izvedeni izrazi (2.2), tj. pokazano je da je matrica tenzora naprezanja simetrina. Sada emo primijeniti preostale tri jednadbe. Prvo emo razmatrati ravnoteu sila koje su paralelne osi x . U tu su svrhu na elementu (sl. 2.5) ucrtane samo komponente naprezanja koje su paralelne s osi x . Komponente koje su paralelne osima

i ujedno su okomite na os

y

z x i ne utjeu na ravnoteu u smjeru osi x pa radi jasnoe slike nisu ucrtane na slici. Obujamna sila moe u sebi sadravati i silu inercije fx xaU , odnosno uU , gdje

je komponenta ubrzanja, a . Uvjet ravnotee glasi ax xatuu 22 d/d=

F y zx

x y z x yz

z x y

x zy

y x z f x y z

ix x xx

zx zxzx

yx yxyx

x

V V wVw W WwWw

W WwWw

d d d d d d d + d d d

d d d d d d d d 0. (2.19)

Nakon skraivanja i sreivanja gornji izraz prelazi u

wVw

wWw

wWw

x yx zxxx y z

f+ + 0 (2.19a)

42

Razmatranjem uvjeta ravnotee 6 Fiy 0 , odnosno , moemo dobiti preostala dva

uvjeta ravnotee

6 Fiz 0

wVw

wWw

wWw

y xy zyyy x z

f+ + 0 , (2.19b)

wVw

wWw

wWw

z xz yzzz x y

f+ + 0 . (2.19c)

Slika 2.5 Diferencijalni element s ucrtanim komponentama naprezanja i sila koje su

paralelne s osi x.

Ako se umjesto koordinatnog sustava upotrijebi sustav Ox , moe se (2.19) napisati u obliku Oxyz x x1 2 3

wVw

wVw

wVw

11

1

21

2

31

31 0x x x

f+ + ,

wVw

wVw

wVw

12

1

22

2

32

32 0x x x

f+ + , (2.20)

wVw

wVw

wVw

13

1

23

2

33

33 0x x x

f+ + .

Sve tri gornje jednadbe mogu se zamijeniti jednim izrazom u indeksnom zapisu

wVw

ij

ijx

f 0 , (2.21)

ili jo krae

V ij i jf, 0 . (2.22)

3. DEFORMACIJA

3.1 Definicija pomaka i deformacije

Pod djelovanjem optereenja, promjene temperature i drugih vanjskih utjecaja estice se deformabilnog tijela pomiu, pa se i itavo tijelo giba. Gibanje tijela moe se rastaviti na: translaciju, rotaciju i deformiranje (izoblienje). Pri translaciji sve estice tijela imaju jednake brzine i jednake pomake. Meusoban poloaj estica tijela ostaje nepromijenjen. Pri rotaciji tijela njegove estice imaju razliite brzine i pomake, ali se njihov meusobni poloaj ne mijenja. Pri deformiranju estice imaju razliite pomake, pri tome se njihova meusobnaudaljenost i meusobni poloaj mijenjaju. Ako tijelo izvodi translaciju, ili rotaciju, ili istovremeno translaciju i rotaciju, kaemo da se tijelo giba kao kruto. Takvo gibanje naziva se gibanje krutog tijela. Kako gibanje krutog tijela ne utjee na pojavu deformacije, neemo ga dalje razmatrati.

Vektor koji spaja poetni i konani poloaj estice naziva se vektor pomaka ili

jednostavno pomak. Vektor pomaka estice A na slici 3.1. jest . Pomak GG

o

1AA GG

ima svoje komponente koje u pravcu osi x y z, , oznaavamo s u v w, , , tj. vrijedi

kwjviuGGGG

G , (3.1)

G u v w2 2 2 . (3.2)

Osim oznake GG

upotrebljava se u mehanici kontinuuma oznaka uG koja ima komponente ui

u u u ui ( , , )1 2 3 . (3.3)

Oito je

u u u v u w1 2 3 , , . (3.4)

Pri rotaciji i translaciji pomaci estica tijela u pravilu su veliki, meutim, pri deformiranju tehnikih konstrukcija pomaci su redovno vrlo mali. Iznimke mogu nastati kod vitkih tapova i drugih vitkih dijelova konstrukcija, odnosno kod vrlo podatljivih materijala, kao to je guma, neki polimerni materijali i slino. Kako smo ve spomenuli, pri deformiranju

44

vrstog tijela pomaci njegovih estica meusobno su razliiti, tj. pomak estice ovisi o njenom poloaju unutar tijela. Drugim rijeima, pomaci su funkcije poloaja, pa moemo pisati

u u x y z ( , , ) ,

v v x y z ( , , ) , (3.5)

w w x y z ( , , ) .

Gornji izraz napisan indeksno glasi

u u x x xi i ( , , )1 2 3 . (3.6)

U nauci o vrstoi vidjeli smo da se deformiranje okolia neke toke dade opisati pomouduljinskih i kutnih deformacija. Duljinska deformacija je zapravo relativno produljenje neke elementarne duine. Oznaavamo je oznakom H koja moe imati indeks osi s kojom je duina paralelna. Kutna deformacija je iznos kuta (izraen u radijanima) za koji se promijeni pravi kut izmeu dviju meusobno okomitih elementarnih duina. Kutnu deformaciju oznaavamo oznakom J koja ima indekse koordinatnih osi s kojima su elementarne duine paralelne.

Slika 3.1 Definicija pomaka i deformacije a) nedeformirano tijelo b) deformirano tijelo c) poetni i deformirani triedar d) poloaj nakon iskljuenja translacije i rotacije

Na slici 3.1a prikazano je elastino tijelo i u njemu proizvoljno odabrana toka A . U

blizini toke A odabrane su tri vrlo bliske toke i ,B C D tako da su tri male duine AB AC, i

AD paralelne s pravokutnim koordinatnim osima x y, i . Te su duinice, oito, meusobnoz

45

okomite. Ako se tijelo optereti, kako je prikazano na slici 3.1b, ono e se deformirati pri emu se toka A pomie u novi poloaj , a toke i A1 ,B C D u nove poloaje . Nove

duinice

B C1 1, i D1

A B A C1 1 1 1, i A D1 1 , nisu meu sobom vie okomite, a promijenila se i njihova duljina.

Slika 3.1c prikazuje istovremeno poetni nedeformirani poloaj elementarnog trijedra ABCD i pomaknuti deformirani trijedar Vektor koji spaja poetni i konani poloaj tokeA B C D1 1 1 1 A

jest vektor pomaka . Na slici 3.1d toka deformiranog trijedra vraena je u poetni

poloajAGG

A1A . Prema slici 3.1c komponente deformacije definirane su izrazom

H x B AA B AB

AB

olim 1 1 , J Jxy B A

C AyxABC A B C o

o

lim ( )1 1 1 ,

H y C AAC AC

AC

olim 1 1 , J Jyz C A

D AzyACD A C D o

o

lim ( )1 1 1 , (3.7)

H z D AA D AD

AD

olim 1 1 , J Jzx D A

B AxzADB A D B o

o

lim ( )1 1 1 .

gdje je ABC S / 2 kut izmeu duina AB i AC . Takoer je A B C xy1 1 1 2S J/ kut

izmeu duina A B1 1 i A C1 1 u deformiranom tijelu. Slino vrijedi i za ostale kutove.

3.2 Veza izmeu komponenata pomaka i komponenata deformacije

Radi lakeg razumijevanja i jednostavnijeg izvoenja zadrat emo se u poetku na ravninskim problemima. Na slici 3.2a prikazan je poetni ili nedeformirani oblik ravninskog modela s ucrtanim elementom ABCD . Kad na model djeluju sile, on se deformira. Deformirani model prikazan je na slici 3.2b i na njemu crtkanom linijom poetni nedeformiran element ABCD . Punom linijom prikazan je deformirani element. Vrhovi i nedeformiranog elementa imaju koordinate , , Kad se element deformira,

toke i se pomiu, pa one u deformiranom elementu imaju nove koordinate poloaja

A B, DA x y( , ) B x x y( + d , ) D x y y( , +d ).

A B, D

A x u y u( , ) ,

B x x u ux

x y v vx

x

d d

ww

ww

, d , (3.8)

D x u uy

y y y v vy

y

ww

ww

d d d, .

46

Kako translacija ne utjee na deformaciju, moemo je iskljuiti. Nakon iskljuenja translacije toka elementa podudara se s tokom A1 A nedeformiranog elementa kako je prikazano na slici

3.3b. Ako element zakrenemo u smislu kazaljke na satu za , dobit emo sliku 3.3c. J xy"

Slika 3.2 Poetni a) i deformirani oblik b ravne ploe

Slika 3.3 Veza komponenata pomaka i deformacije

Pri daljnjem razmatranju smatrat emo da su deformacije male. Deformacija je mala ako se njen kvadrat moe zanemariti u usporedbi sa samom deformacijom. Ta pretpostavka je realna kad su u pitanju strojevi i druge uobiajene metalne i mnoge druge tehnike konstrukcije.

47

Maksimalno naprezanje u elinim konstrukcijama je uvijek manje od granice teenja , pa e

i bit manje od , tj.

V THmax HT

H H Vmax T TE.

Kako je za elik i MPa200 TV GPa 200 E , to je . Jasno je da je zanemarivo malo u usporedbi s

Hmax < 0,001 H2

H . Prema slici 3.3b produljenje duine AB iznosi ( / )dw wu x x , pa

je

H

ww w

wx

ux

x

xux

d

d.

Takoer je

H

ww w

wy

vy

y

yvy

d

d.

Kutovi i su vrlo mali, pa je njihov tangens priblino jednak samom kutu, tj. J xy' J xy

"

J J

ww w

wxy xy

uy

y

yuy

' 'tan| d

d,

J J

ww w

wxy xy

vx

dx

dxvx

" "tan| .

Ukupna promjena pravog kuta izmeu elementarnih duina AB i AD iznosi , tj.J J Jxy xy xy ' "

J J J ww

ww

Jxy xy xy yxuy

vx

| ' " .

Lako moemo ovaj izvod proiriti na troosnu deformaciju. U tom sluaju bismo dobili sljedeeizraze

H wwx

ux

, J J ww

wwxy yx

uy

vx

,

H wwy

vy

, J J ww

wwyz zy

vz

wy

, (3.9)

H wwz

wz

, J J ww

wwzx xz

wx

uz

.

48

Ovako definirane komponente deformacije nisu komponente tenzora. Meutim, ako se kutne deformacije podijele s dva, dobivene veliine bit e komponente tenzora deformacije. Matrica tenzora deformacije tada glasi

> @

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

ij

HHHHHHHHH

HJJJHJJJH

H2/

2/2/2/2/

, (3.10)

gdje je H Hx xx{ , J Hxy xy/ 2 , J Hyz yz/ 2 itd. U indeksnom zapisu izraz (3.9) glasi

H11 1 1 u , , H H12 21 1 2 2 1 2 ( , ,u u )/ ,

H 22 2 2 u , , H H23 32 2 3 3 2 2 ( , ,u u )/ , (3.11)

H 33 3 3 u , , H H31 13 3 1 1 3 2 ( ), ,u u / ,

odnosno

H ww

wwij

i

j

j

i

ux

ux

1

2. (3.12)

Taj se izraz moe jo krae napisati u obliku

H ij i j j iu u 12

( , , ) . (3.13)

3.3 Kompatibilnost deformacije

Izraz (3.9) daje nam vezu izmeu devet komponenata deformacije i tri komponente pomaka. Ako su nam zadane komponente pomaka kao funkcije koordinata x y, i , moemo

lako odrediti komponente deformacije. Jedini uvjet koji postavljamo na funkcije u i jest da su derivabilne. Nasuprot tome, ako su nam zadane deformacije ne moemo bez daljnjeg odrediti pomake. Naime tri pomaka i odreujemo integriranjem iz est jednadbi (3.9). Da bismo integriranjem ovih jednadbi mogli dobiti jedinstveno polje pomaka, moraju biti ispunjeni uvjetikompatibilnosti (snoljivosti) deformacije. Ovi uvjeti glase

z

v, w

u v, w

w Hw

w Hw

w Jw w

2

2

2

2

2x y

y x x y xy , w H

ww Hw

w Jw w

2

2

2

2

2z x

x z x z zx

w Hw

w Hw

w Jw w

2

2

2

2

2y z yz

z y y z , (3.14)

49

w Hw w

ww

wJw

wJw

wJw

2 12

x yz zx yx

y z x x y z

,

w Hw w

ww

w Jw

w Jw

w Jw

2 12

y zx xy yz

z x y y z x

, (3.14)

w Hw w

ww

w Jw

w Jw

w Jw

2 12

z xy yz zx

x y z z x y

.

Prvu jednadbu gornjeg izraza dobit emo ako izraz za xH deriviramo dvaput po , a

izraz za

y

yH deriviramo dvaput po x

w Hw

w Hw

ww

ww

ww

ww

ww w

ww w

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2x y

y x yux x

vy

uy x

vx y

. (a)

S druge strane, dvostrukim deriviranjem izraza za J xy jednom po x i jednom po dobivamo y

w Jw w

ww w

ww

ww

ww w

ww w

2 2 3

2

3

2xy

x y x yuy

vx

uy x

vx y

. (b)

Kako su u jednadbama (a) i (b) desne strane jednake, bit e im jednake i lijeve strane. Njihovim izjednaenjem dobit emo prvu jednadbu izraza (3.14). Na slian nain moemo dobiti drugu i treu jednadbu istog izraza.

Da bismo dobili etvrtu jednadbu izraza (3.14), derivirat emo xH po i , pa emo

dobiti

y z

w Hw w

ww w

ww

ww w w

2 2 3x

y z y zux

uy x z

. (c)

Takoer je

12

12

ww

wJw

wJw

wJw

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

wwx x y z x x

vz

wy y

wx

uz z

uy

vx

yz zx xy

odnosno

12

3ww

wJw

wJw

wJw

ww w wx x y z

ux y z

yz zx xy

. (d)

Kako su desne strane jednadbi (c) i (d) jednake, bit e im jednake i lijeve strane. Njihovim izjednaavanjem dobit emo etvrtu jednadbu izraza (3.14). Na slian nain moemo dobiti petu i estu jednadbu. Izraz (3.14) u indeksnom zapisu glasi

H H H11 22 22 11 12 122, , , , H H H H11 23 23 11 13 12 12 13, , , , ,

50

H H H22 33 33 22 23 232, , , , H H H H22 31 31 22 21 23 23 21, , , , , (3.15)

H H H33 11 11 33 13 132, , , , H H H H33 12 12 33 32 31 31 32, , , , .

Taj se izraz moe u saetom obliku napisati kao

H H H Him jn jn im in jm jm in, , , , . (3.16)

Izraz (3.15) sadri est jednadbi, dok izraz (3.16) sadri osamdeset i jednu jednadbu. Meutim, mnoge jednadbe u (3.16) meusobno su jednake, pa se broj nezavisnih jednadbi (3.16) svodi na est. To je tako zbog simetrije deformacije H ij kao i injenice da se redoslijed parcijalnog

deriviranja moe promijeniti, a da to ne utjee na rezultat deriviranja. Tako je npr.

H H H H12 13 21 13 21 31 12 31, , , , .

Slika 3.4 Ilustracija fizikalnog znaenja uvjeta kompatibilnosti a) nedeformirano tijelo b) deformirano tijelo kad je uvjet kompatibilnosti zadovoljen

c) deformirani susjedni elementi kad uvjet kompatibilnosti nije zadovoljen

Ako je uvjet kompatibilnosti zadovoljen i ako je tijelo jednostruko povezano, tijelo enakon deformiranja ostati takoer kontinuirano, tj. u njemu se nee pojaviti pukotine ili preklapanja susjednih deformiranih elemenata. Slika 3.4 prikazuje nedeformirano i deformirano tijelo. Elementi nedeformiranog tijela su pravokutnici koji u procesu deformiranja prelaze u krivolinijske etverokute kako je prikazano na slici 3.4b. Dva susjedna deformirana elementa potpuno pristaju jedan uz drugi. Udubljenje stranice jednog potpuno odgovara izboenju stranice susjednog elementa. Ako uvjet kompatibilnosti ne bi bio zadovoljen, dva susjedna elementa se ne bi potpuno podudarala, tj. dolo bi do pojave pukotina, odnosno preklapanja elemenata, kako je prikazano na slici 3.4c.

51

3.4 Transformacija komponenata deformacije

Izraz (3.12) vrijedi za bilo koji pravokutni koordinatni sustav, pa u sustavu Ox x x1 2 3takoer vrijedi

H ww

wwij

i

j

j

i

ux

ux

1

2. (3.17)

Radi jednostavnosti izvoenja ograniit emo se u poetku, na dvodimenzijski problem, tj. na ravninsku deformaciju. U tom sluaju vrijedi

H ww11

1

1 u

x, H w

w222

2 u

x, H H w

www12 21

1

2

2

1

12

ux

ux

. (3.18)

Budui da su u1 i u2 funkcije x1 i x2 , a x1 i x2 funkcije i , prema lananom pravilu

deriviranja sloenih funkcija vie varijabli, vrijedi

x1 x2

ww

ww

ww

ww

ww

ux

ux

xx

ux

xx

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1 , w

www

ww

ww

ww

ux

ux

xx

ux

xx

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2 . (3.19)

Na temelju (1.44) vidimo da je w wx x a1 1 11/ , w wx x a2 1 1/ 2 , w wx x a1 2/ 21 , w wx x a2 2 22/ , pa je

ww

ww

wwx

ax

ax1

111

122

, ww

ww

wwx

ax

ax2

211

222

. (3.20)

Komponente pomaka u novom koordinatnom sustavu vezane su s komponentama u starom koordinatnom sustavu izrazima

u a u a u1 11 1 12 2 , u a u a u2 21 1 22 2 . (3.21)

Ako (3.20) i (3.21) uvrstimo u (3.19), pa zatim u (3.18), dobit emo

H ww

ww11 11 1

122

11 1 12 2

a

xa

xa u a u( ) ,

H ww

ww22 21 1

222

21 1 22 2

a

xa

xa u a u( ) , (3.22)

H H ww

ww

ww

ww12 21 11 1

122

21 1 22 2 211

222

11 1 12 212

a x

ax

a u a u ax

ax

a u a u( ) ( ) .

Sreivanjem gornji izraz prelazi u

52

H ww

ww

ww

ww11 11 11

1

111 12

2

1

1

212 12

2

2

a a

ux

a a ux

ux

a a ux

. (3.23)

H ww

ww

ww

ww22 21 21

1

121 22

1

2

2

122 22

2

2

a a

ux

a a ux

ux

a a ux

, (3.24)

H H ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

12 21 11 211

111 22

2

112 21

1

212 22

2

2

21 111

121 12

2

122 11

1

112 22

2

1

12

a a ux

a a ux

a a ux

a a ux

a a ux

a a ux

a a ux

a a ux

(3.25)

Uzevi u obzir da je

ww

Hux

u11

1 1 11 , ,ww

Hux

u22

2 2 22 , ,

12

12

1

2

2

11 2 2 1 12 21

ww

ww

H Hux

ux

u u

( ), , ,

moemo (3.23), (3.24) i (3.25) napisati u obliku

H H H11 11 11 11 11 12 12 12 12 222 a a a a a a H ,

H H H12 11 21 11 12 22 12 12 22 222 a a a a a a H , (3.26)

H H H H22 21 21 11 11 22 12 22 22 222 a a a a a a .

Taj se izraz moe saeto napisati u obliku

H Hij ip jq pqa a ,, i, j, p, q = 1,2 (3.27)

U sluaju troosne deformacije posluit emo se obilnije prednostima indeksnog zapisa. Izraz (3.13) napisat emo u obliku

H ww

ww

ww

ww

ww

wwij

i

j

j

i

i

p

p

j

j

p

p

i

ux

ux

ux

xx

ux

xx

1

212

. (3.28)

Prema (1.44) vrijedi

ww

xx

apj

jp ,ww

xx

api

ip . (3.29)

Takoer je

u a ui iq q , qjqj uau . (3.30)

53

Ako uvrstimo (3.29) i (3.30) u (3.28), dobit emo

H ww

wwij jp p

iq q ipp

jq qa xa u a

xa u

12

( ) ( ) .

Koeficijenti i su konstante, pa je aiq a jq

H ij jp iq q p ip jq q pa a u a a u 12

( , ), . (3.31)

Indeksi p i q u gornjem izrazu su ponovljeni indeksi pa se smiju zamijeniti nekim drugim indeksom koji nije jo upotrijebljen. Prema tome moemo pisati

H ij ip jq p q q pa a u u 12

( , , ) . (3.32)

Uzevi u obzir (3.13), bit e

H Hij ip jq pqa a . (3.33)

Vidimo da se komponente deformacije transformiraju kao komponente tenzora drugog reda, pa zakljuujemo da je deformacija tenzor drugog reda.

3.5 Konana (velika) deformacija

Kod male deformacije oblik i veliina deformiranog tijela neznatno se razlikuje od oblika i veliine nedeformiranog tijela, pa se radi jednostavnosti upotrebljavaju u proraunima dimenzije nedeformiranog tijela. Tako se npr. postavljaju uvjeti ravnotee na nedeformiranom tijelu iako znamo da se ravnotea uspostavlja na deformiranom tijelu. Time se uvelike pojednostavljuju jednadbe, a zanemarivo malo gubi na tonosti. Pomaci, brzine i druge veliineodnose se na materijalne estice, a ne na toke prostora, pa bi njih trebalo upotrijebiti kao nezavisne varijable.

Prostorne koordinate , skraeno odnose se na toke prostora. Materijalne

koordinate odnose se na materijalne estice koje moemo najlake oznaiti ili identificirati ako ih oznaimo s prostornim koordinatama u referentnoj konfiguraciji. Kao referentna konfiguracija tijela obino se uzima poetni ili nedeformirani oblik tijela. Materijalne koordinate oznaavamo s , , ili . injenicu da materijalne koordinate odgovaraju prostornim koordinatama u

poetnom poloaju moemo napisati u obliku

x x1 2, x3 xi

y1 y2 y3 yi

y xi i 0 , (3.34)

gdje se gornji indeks 0 odnosi na poetni ili nedeformirani poloaj.

54

Sve mehanike i druge fizikalne veliine mogu biti zadane kao funkcije materijalnih koordinata ili kao funkcije prostornih koordinata . Prvi pristup nazivamo Lagrangeovim, a

drugi Eulerovim pristupom. Tako, npr. polje pomaka moe biti zadano izrazima

yi xi

u u y y yi i ( , , )1 2 3 , (3.35)

u u x x xi i ( , , )1 2 3 . (3.36)

Izraz (3.35) odnosi se na Lagrangeov, a (3.36) na Eulerov pristup. Bez izvoenja navest emo vezu izmeu komponenata pomaka i komponenata konane deformacije ui H ij

H ww

ww

ww

wwij

i

j

j

i

k

i

k

j

uy

uy

uy

uy

1

2, (3.37)

H ww

ww

ww

wwij

i

j

j

i

k

i

k

j

ux

ux

ux

ux

1

2. (3.38)

Kad se radi o malim deformacijama, kvadrate derivacija pomaka po koordinati moemo zanemariti, pa Lagrangeov i Eulerov pristup daju formalno isti oblik tenzora deformacije. Razumije se da su nezavisne koordinate u oba sluaja razliite iako priblino jednake. Ako izraze (3.37) i (3.38) napiemo uobiajenim tehnikim zapisom, dobit emo

H ww

ww

ww

wwx

ux

ux

vx

wx

r

12

2 2 2

,

H ww

ww

ww

wwy

vy

uy

vy

wy

r

12

2 2 2

,

H ww

ww

ww

wwz

wz

uz

vz

wz

r

12

2 2 2

,

J ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

wwxy

uy

vx

ux

uy

vx

vy

wx

wy

r

12

12

, (3.39)

J ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

wwyz

vz

wy

uy

uz

vy

vz

wy

wz

r

12

12

,

J ww

ww

ww

ww

ww

ww

ww

wwzx

wx

uz

uz

ux

vz

vx

wz

wx

r

12

12

.

gdje su u , , komponente pomaka, a v w x , y , nezavisne koordinate. Ako su to materijalne

koordinate, onda je pred uglatim zagradama predznak plus, a ako su to prostorne koordinate, onda je predznak minus.

z

4. KONSTITUTIVNE JEDNADBE

4.1 Uvodne napomene

Problem analize naprezanja u vrstim (deformabilnim) tijelima u sutini je statikineodreen. Naime, tenzor naprezanja ima est nezavisnih komponenata za ije odreivanjeimamo tri linearno nezavisne jednadbe ravnotee (2.19) pa nam nedostaju tri jednadbe da bi sustav bio zatvoren. Dodue, na raspolaganju imamo i tri jednadbe uvjeta kompatibilnosti (3.14). Meutim, uvoenjem uvjeta kompatibilnosti uveli smo jo est nepoznatih komponenata deformacije, pa nam ukupno nedostaje est jednadbi koje povezuju meusobno naprezanja i deformacije. Jednadbe koje nam nedostaju i koje povezuju komponente naprezanja i deformacije moemo uspostaviti eksperimentalno, tj. mjerei meusobnu ovisnost naprezanja i deformacija na epruvetama izraenim od materijala koji razmatramo. Izvedene jednadbe odnose se uvijek na odreeni materijal, odnosno skupinu materijala. To je tzv. fenomenoloki pristup jerrazmatramo samo fenomene ili pojave ne ulazei u sutinu samih pojava.

Vrlo je teko nai ope jednadbe koje bi vrijedile openito za sve vrste vrstih tijela, a jo tee za sve vrste kontinuuma (neprekidnih sredina) kamo osim vrstih tijela spadaju i fluidi(kapljevine i plinovi). Zato je uobiajeno da se vrsta tijela (materijali) prema svojstvima deformabilnosti podjele u skupine i zatim za svaku skupinu posebno odrede jednadbe koje veu meusobno naprezanje, deformaciju, brzinu deformacije i druge parametre. Pokusi pokazuju da naprezanje moe ovisiti o: deformaciji H ij , brzini deformacije tijij /ddHH , temperaturi,

vremenu, prethodnom procesu deformiranja i drugim parametrima. Ta se eksperimentalna injenica izraava jednadbom

iijijijij kTt ,,,,HHVV , (4.1)

gdje je ijH brzina deformacije, T temperatura, t vrijeme, parametri koji odreuju svojstva

materijala, a ovise izmeu ostalog i o tijeku prethodnog deformiranja, odnosno o visini naprezanja.

ki

Izrazi (4.1) nazivaju se konstitutivne ili odredbene jednadbe materijala. U starijoj literaturi susree se naziv fizikalne jednadbe. Ti izrazi vrijede gotovo za sva vrsta tijela. to je izraz sloeniji, vrijedi za vei broj materijala. Openito moemo rei da je utjecaj nekih parametara vei, a nekih manji ovisno o vrsti materijala. Utjecaj pojedinih parametara moe za

56

neke vrste materijala biti zanemarivo mali. Tako se za eline i mnoge druge metalne materijale pri statikom optereenju, konstantnoj temperaturi i srazmjerno niim naprezanjima moe izraz (4.1) svesti na

ijijij HVV . (4.2)

Slika 4.1 Vrste materijala i dijagrama rastezanja a) linearno-elastian materijal b) nelinearno elastian materijal c) neelastian (plastian) materijal c) elastino idealno plastian materijal

Izrazi (4.1), pa i izraz (4.2) mogu imati vrlo sloeni oblik koji je neprikladan pri analitikim proraunima. Zbog toga se ti odnosi esto idealiziraju, tj. stvarni odnosi meu naprezanjima i deformacijama se pojednostavljuju. Time se znatno olakavaju prorauni, a neznatno utjee na tonost rjeenja. Prema tome, koje imbenike uzimamo u obzir, vrsta tijela dijelimo na:

x elastina

x plastina

x viskoelastina

x viskoplastina

Nadalje, ovisno o tome da li svojstva deformabilnosti ovise o smjeru ili ne, vrsta tijela se dijele na:

x anizotropna

x ortotropna

x izotropna

vrsta se tijela mogu podijeliti na linearna i nelinearna ovisno o tome da li su jednadbe koje veu naprezanja i deformacije linearne ili ne.

57

4.2 Elastina tijela

Elastino tijelo se moe definirati na vie naina. Mi navodimo tri:

1. tijelo je elastino ako se nakon rastereenja potpuno vraa u prvobitni oblik i veliinu,

2. u elastinom tijelu meusobna ovisnost naprezanja i deformacija je jednoznana,

3. rad unutarnjih sila po zatvorenom ciklusu jednak je nuli, tj. vrijedi

HV Hd 0 . (4.3)

Moe se pokazati da su sve tri definicije meusobno ekvivalentne. Prva se definicija najeesusree u udbenicima i monografijama primijenjene, odnosno tehnike mehanike. Tijelo je linearno-elastino ako komponente naprezanja linearno ovise o komponentama deformacije i obratno ako komponente deformacije linearno ovise o komponentama naprezanja. Na slici 4.1a prikazan je dijagram rastezanja linearno-elastinog tijela, a na slici 4.1b dijagram rastezanja nelinearno-elastinog tijela.

Mnoga tijela imaju nelinearnu ovisnost V V Hij ij ij ( ) , meutim, ako je naprezanje manje

od neke karakteristine vrijednosti V p , nelinearnost je vrlo slabo izraena, pa se moe to

podruje linearizirati. Takav dijagram je prikazan na slici 4.1c.

Ako se ograniimo na linearno elastina tijela, opa ovisnost naprezanja i deformacije moe se izraziti rijeima: svaka komponenta naprezanja ovisi o svakoj komponenti deformacije i obratno. Ta ovisnost naziva se poopeni (generalizirani) Hookeov zakon i moe se prikazati slijedeim izrazima

V Hij ijkm kmC , (4.4)

kmijkmij S VH . (4.5)

Veliine i tenzori su etvrtog reda. Te se veliine nazivaju tenzor elastinosti,

odnosno tenzor podatljivosti. U razvijenom obliku izraz (4.4) glasi

Cijkm Sijkm

V H H H11 1111 11 1112 12 1113 13 1133 33 C C C C.............. H

33123312121211121112 ................... HHHV CCC

.......................................................................... (4.6)

..........................................................................

V H H33 3311 11 3323 23 3333 33 C C................... HC .

Na slian nain moe se napisati u razvijenom obliku i izraz (4.5). Izrazi (4.4) i (4.5) predstavljaju svaki devet jednadbi. Svaka ta jednadba ima devet pribrojnika na desnoj strani.

58

Znamo da tenzori etvrtog reda imaju 34, odnosno 81 komponentu. Meutim, nisu sve komponente meusobno razliite i nezavisne. Do broja 81 moemo doi imajui u vidu da 9 komponenata deformacije ovisi o svakoj od 9 komponenata naprezanja pa je 9x9=81. Kako su tenzori naprezanja i deformacije simetrini, to jest vrijedi V Vij ji , , to za tenzor

elastinosti vrijede svojstva simetrije

H Hkm mk

C C C Cijkm jikm jimk ijmk . (4.7)

Ta svojstva simetrije smanjuju broj nezavisnih konstanti elastinosti na 6x6=36. Naime, sada est komponenata deformacije ovisi o est komponenata naprezanja.

U Nauci o vrstoi I >1@ str. 239 izveli smo izraz (11.16) za gustou energije deformiranja Uo koji glasi

Uo x x y y z z xy xy yz yz zx zx 12

(V H V H V H W J W J W J ) . (4.8)

Taj izraz moemo zapisati u obliku

).....(21

33332121131312121111 HVHVHVHVHV oU , (4.9)

gdje je H H J12 21 xy , H H J23 32 yz i . Izraz (4.9) zapisan indeksno glasi H H J31 13 zx

Uo ij 12V H ij

. (4.10)

Ako u (4.10) uvrstimo (4.4), dobit emo

U Co ijkm km ij 12

H H. (4.11)

Promijenivi poloaj i H km H ij neemo promijeniti vrijednost U , to znai da je tenzor

simetrian za grupe indeksa ij te km, tj. vrijedi o Cijkm

C Cijkm kmij . (4.12)

Zbog svojstva simetrije (4.12) broj nezavisnih komponenata tenzora smanjuje se na 21. To

moemo zakljuiti slijedeim razmatranjem. Matrica komponenata kvadratna je matrica

veliine 6x6. Ona je simetrina, pa ima 6 dijagonalnih i 15 vandijagonalnih razliitihkomponenata, to ukupno ini 21 razliitu komponentu. Sva svojstva simetrije koja posjeduje tenzor C ima i tenzor .

Cijkm

Cijkm

ijkm Sijkm

4.2.1 Ortotropni materijali

Ortotropni materijali imaju tri meusobno okomite ravnine elastine simetrije koje se nazivaju ravnine ortotropije. Osi ortotropije okomite su na ravnine ortotropije. Najveu primjenu u

59

tehnici imaju tzv. ortotropni laminati. Iz njih se izrauju ploni elementi konstrukcija: ploe i ljuske. U njima vlada redovno ravninsko stanje naprezanja. U tom sluaju se broj nezavisnih konstanti elastinosti smanjuje na 4.

Element ortotropne ploe prikazan je na slici 4.2. Ako u elementu vlada ravninsko stanje naprezanja, poopeni Hookeov zakon glasi

V

V

V

H V V11 1111 11 1112 12 1122 222 S S S ,

H V V12 1211 11 1212 12 1222 222 S S S , (4.13)

H V V22 2211 11 2212 12 2222 222 S S S .

Slika 4.2 Element ortotropne ploe

U ovom izrazu javlja se est razliitih konstanti elastinosti, i to tri dijagonalne i tri vandijagonalne komponente. Meutim, samo su etiri komponente meusobno nezavisne.

Za razliku od izotropnih materijala kod anizotropnih (ortotropnih) materijala normalne komponente naprezanja mogu doprinijeti pojavi kutnih deformacija*. Posmine komponente naprezanja mogu izazvati duljinske deformacije.** Meutim, ako su koordinatne osi i

paralelne s osima ortotropije T i L, izraz (4.13) prelazi u

x1 x2

H V11 11110

11 11220

22 S S V

V

V

,

H12 12120

122 S , (4.14)

H V22 22110

11 22220

22 S S .

Gornji indeks o u (4.14) znai da se radi o glavnim konstantama elastinosti, tj. o konstantama elastinosti koje se odnose na osi ortotropije. Pri isporuci materijala obino se daju vrijednosti

glavnih konstanti elastinosti: , , , . Vrijednosti , itd., koje

vrijede za koordinatni sustav zakrenut za kut

S11110 S2222

0 S S11220

22110 S1212

0 S1111 S1112 ....

M prema osima ortotropije, mogu se odrediti

pomou izraza za transformaciju tenzora etvrtog reda, tj.

60

S a a a a Sijkm ip jq kr ms pqrs 0 . (4.15)

Ovaj izraz je potpuno ekvivalentan izrazu

S a a a a Sijkm ip jq kr ms pqrs , (4.15a)

s tom razlikom to je zamijenjen sa , a Spqrs Spqrs0 Sijkm sa .Sijkm

Konstante S u izrazima (4.13) i (4.14) nemaju odreeno fizikalno znaenje. U

tehnikoj literaturi ti se izrazi piu u obliku ijkm

H VQ

V D Wx xx

yx

xy x xE E

y ,

HV Q

V D Wyy

y

xy

yx y xE E

y , (4.16)

J D V D V Wxy x x y yxy

xyG 1 ,

odnosno

H V Q VxT

xLT

TyE E

1 ,

H V Q VyL

yTL

LxE E

1 , (4.17)

J xyTL

xyG 1 W .

Napisani u matrinom obliku ti izrazi glase

HHJ

QD

QD

D D

VVW

x

y

xy

x

yx

xx

yx

y yy

x yxy

x

y

xy

E E

E E

G

1

1

1

, (4.18)

HHJ

Q

QVVW

x

y

xy

T

LT

T

TL

L L

TL

x

y

xy

E E

E E

G

1 0

1 0

0 0 1

. (4.19)

61

U ovim su izrazima i moduli elastinosti,Ex Ey Q xy i Q yx Poissonovi faktori,

modul sminosti, i G Gxy yx D x D y su normalno-smini koeficijenti. Glavni moduli elastinsoti

su i , glavni Poissonovi faktoriET EL Q LT i Q TL te glavni modul sminosti . Dovoljno je

poznavati samo jedan Poissonov faktor, drugi se moe odrediti pomou izraza

GTL

Q Qxyy

yx

xE E , Q QTL

L

LT

TE E (4.20)

Ako su poznate etiri glavne konstante elastinosti: , , i ET EL GTL Q LT ili Q TL , ostale

moemo odrediti pomou izraza

1 1 24 4 2 2E E E G Ex T T TL

LT

T

cos sin cos sinM M Q M M ,

1 1 24 4 2 2E E E G Ey T T TL

LT

T

sin cos cos sinM M Q M M ,

yxTLT

LT

LTTLxy GGEEEGG1sincos4121111 22

MMQ , (4.21)

Q Q Q Mxyy

TLT LT

T

L

T

TL

EE

EE

EG

1 2 2cos sin M ,

D Q M Q M Mx LTT L TL TL

LT

T LE E G G E E

2

1 2 1 1 12

12sin cos sin ,

D Q M Q My LTT L TL TL

LT

T LE E G G E E

2

1 2 1 1 12

12cos cos sinM ,

gdje je M kut koje koordinatne osi xy ine s osima ortotropije T, L. Sljedei izrazi su korisni pri

izraunavanju konstanti elastinosti:

1 1 2 1 1 2E E E E E Ex y

yx

x T L

LT

T

Q Q ,

1 4 1 4G E G Exy

yx

x TL

LT

T

Q Q , (4.22)

G ETL 45

452 1( )Q,

gdje je modul elastinosti, a Poissonov faktor za os koja s osi T ini kut 45E45 Q 45o.

62

4.2.2 Izotropni materijali

Izotropne elastine materijale razmatrali smo u Nauci o vrstoi I. Tamo smo upoznali etirikonstante elastinosti: modul elastinosti E , modul sminosti G , volumenski modul elastinosti(modul kompresibilnosti) i Poissonov faktor K Q . Samo su dvije od ovih konstanti nezavisne. Naime, meu njima postoje sljedee veze

G E 2 1( )Q

, K E 3 1 2( )Q

. (4.23)

U tablici 4.1. prikazane su meusobne veze svih konstanti elastinosti izotropnih materijala. U njoj se pored navedene etiri konstante elastinosti javlja i Lamova konstanta O . Druga Lamova konstanta P identino je jednaka modulu sminosti, tj.

P G , (4.24)

pa P u tablici 4.1 nije posebno naveden.

Tablica 4.1. Meusobna ovisnost konstanti elastinostiKonstanta E G K Q O

E , G E G EGG E3 3( )

3 22 G

GG G E

E G( )2

3

E , K E 3

9EK

K EK 3

6K E

K 3 3

9K K E

K E( )

E , Q E E

2 1( )QE

3 1 2( ) QQ Q

Q QE

( )(1 1 2 )

E , O E A E* ( ) 34

O A E ( )36O A E ( )O

O4O

G , K 93

KGK G

G K 3 22 3

K GK G( )

3 23

K G

G , Q 2 1G( )Q G 2 13 1 2G( )( )

QQ

Q 21 2

GQQ

G , O GG

( )3 2OO

G 3 23

O G OO2( )G

O

K , Q 3 1 2K( ) Q 3 1 22 1K( )

( )

QQ

K Q 21 2

KQQ

K , O 93K K

K( )OO

32

( )K O K OO3K

O

Q , O O Q QQ

( )(1 1 2 ) O QQ

( )1 22 O Q

Q( )13 Q O

gdje je A E E 2 22 9O O .

Veze izmeu naprezanja i deformacija izraavaju se pomou Hookeovog zakona koji smo upoznali u Nauci o vrstoi I. Hokeov zakon proiren i na sluaj toplinskih deformacija

63

glasi

> @ TE zyxx

' DVVQVH )(1 , J Q Wxy xyE 21 ,

> @ TE xzyy

' DVVQVH )(1 , J Q Wyz yzE 21 , (4.25)

> @ TE yxzz

' DVVQVH )(1 , J Q Wzx zxE 21 ,

gdje je D koeficijent toplinskog irenja, a prirast temperature. Taj izraz u indeksnom

zapisu glasi

'T T To

ijijkkijij TEEGDGVQVQH ' 1 . (4.26)

Ako komponente naprezanja eksplicitno izrazimo preko komponenata deformacije, izraz (4.25) prelazi u

TEE xx '

D

QT

QQH

QV

21211, W

QJxy xy

E 2 1( )

TEE yy '

D

QT

QQH

QV

21211, W

QJyz yz

E 2 1( )

, (4.27)

TEE zz '

D

QT

QQH

QV

21211, W

QJzx zx

E 2 1( )

,

gdje je T H H H x y z obujmna deformacija. Izraz (4.27) u indeksnom zapisu glasi

VQ

H QQH H H

QD11 11 11 22 331 1 2 1 2

E T( ) 'E ,

VQH12 121

E (4.28)

....................................................................................

....................................................................................

VQ

H QQH H H

QD33 33 11 22 331 1 2 1 2

E T( ) 'E ,

odnosno skraeno u obliku

VQH

QQQH D Gij ij kk ij

E E T

1 1 2 1

' . (4.29)

U mehanici kontinuuma taj se izraz pie pomou Lamovih konstanti

TKijijkkij ' DPHGHOV 32 , (4.30)

64

gdje su O, P Lamove konstante. Usporedbom (4.29) i (4.30) dobivamo

O QQ

E( )(1 1 2Q ) ,

PQ

G E2 1( ) . (4.31)

U sluaju ravninskog naprezanja (V W Wz xz yz 0) Hookeov zakon prelazi u

H V QV

xx y

E E , H

VQVy

y x

E E , J

W Q Wxyxy

xyG E 2 1( ) , (4.32)

odnosno

VQ

H QHx xE

1 2

( )y,

VQ

H QHy yE

1 2

( )x ,

WQJxy xy

E 2 1( ) , (4.33)

Ako se radi o ravninskoj deformaciji (H J Jz xz yz 0 ), Hookeov zakon glasi

H Q V QQVx x yE

11

2

,

WJ xy

xy

G

,

H Q V QQVy yE

11

2

x. (4.34)

Uvedemo li oznake

E E* 1 2Q ,

Q QQ

* 1 , G G* , (4.35)

izraz (4.34) prelazi u

H V QV

xx y

E E

**

* ,J

Wxy

xy

G

* , (4.36)

HV

Q Vyy x

E E

**

* ,

odnosno

VQ

H Q Hx x yE

1 2( *)( * )

, W Jxy xyG ,

VQ

H Q Hy yE

1 2( *)( * x )

. (4.37)

Hookeov zakon za ravninsku deformaciju (4.36) i (4.37) potpuno je analogan Hookeovom zakonu za ravninsko naprezanje (4.32) i (4.33) s tom razlikom to se u Hookeovom zakonu za ravninsku deformaciju javljaju konstante E *, G *, Q* umjesto E , G , Q. To ima veliko teorijsko znaenje jer se u mnogim sluajevima rjeenja ravninskog naprezanja mogu primijeniti na probleme ravninske deformacije.