IMPLEMENTACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN EN LA ENSEÑANZA Y

APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.

JORGE DIDIER OBANDO MONTOYA

ROBINSON OCTAVIO GUISAO GAMBOA

GLORIA AMPARO LONDOÑO SALAS

AMZOLICREYTH GALARCIO ARBOLEDA

INTRODUCCIÓN.

En la actualidad observamos en el desarrollo de las clases desde el área de matemáticas, la necesidad

de utilizar las tecnologías de la información, con la intensión de proveer a los estudiantes de nuevas

herramientas para su aprendizaje, que posibiliten servir de apoyo para suplir sus dificultades dentro de los

procesos matemáticos.

Consideramos que una enseñanza y aprendizaje donde los estudiantes puedan implementar

herramientas dinámicas e interactivas que las provean las tecnologías de información, pueden

complementar el aprendizaje con lápiz y papel, además de conllevar a desarrollar la creatividad y

motivación de los estudiantes por el aprendizaje y solución de situaciones problema a través de la

matemática que se relacionan con situaciones del contexto de los estudiantes.

Según (Barrera & Santos,2001):

“El uso de la tecnología puede llegar a ser una poderosa herramienta para que los estudiantes logren

crear diferentes representaciones de ciertas tareas y sirve como un medio para que formulen sus propias

preguntas o problemas, lo que constituye un importante aspecto en el aprendizaje de las matemáticas”.

De esta forma a través de este proyecto buscamos herramientas tecnológicas que posibiliten suplir

dificultades de los procesos matemáticos realizados por los estudiantes en clase de matemática, además que

nos pueda servir de una nueva herramienta que posibilite una mayor motivación.

JUSTIFICACIÓN.

Desde la experiencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, observamos la

necesidad de implementar nuevas herramientas interactivas que les permita a los estudiantes observar sus

procesos, interpretaciones y conclusiones a través de medios gráficos, audiovisuales apoyados en las

tecnologías de la información.

Observamos que la construcción de procesos matemáticos acompañados de nuevas tecnologías,

donde los estudiantes puedan interactuar con herramientas audiovisuales, graficas puede ayudar a

contrarrestar dificultades dentro del proceso matemático.

Consideramos que dicho proceso matemático donde interviene las tecnologías de la información

como un apoyo en la enseñanza y aprendizaje de la matemática constituye además un nuevo eslabón que

merece ser apropiado dentro de las clases gracias a su versatilidad, dinamismo y cercanía a los estudiantes

dentro de sus vidas.

1. ANTECEDENTES.

1.1 Descripción del problema.

A nuestros estudiantes de la institución educativa Luis Eduardo Arias Reinel del municipio

de Barbosa - Antioquia se les dificulta representar una situación problema a través de las funciones

lineales, y darle su respectiva solución ya sea desde lo gráfico para obtener la ecuación o viceversa.

Se destacan dificultades debidas al tratamiento didáctico y metodológico inadecuado que

habitualmente se le da a la interpretación de una función dentro de las situaciones de la vida

cotidiana. Hay que resaltar que la ruta pedagógica que siguen muchos maestros con respecto al

proceso del aprendizaje significativo carece de innovación, llevando al educando a la apatía y al poco

interés por desarrollar habilidades para la interpretación, el análisis y el planteamie nto de una

situación problema que se puede modelar a través de una función lineal, haciendo uso de las tics

como una estrategia didáctica.

1.2 Las tecnologías de la información en el aprendizaje de las matemáticas.

Las nuevas tecnologías, especialmente la calculadora y el computador, son instrumentos útiles para un

aprendizaje donde el estudiante relacione los elementos matemáticos aprendidos en clase con situaciones del

contexto. En el mismo orden de ideas, Islas y Martínez (2008), hacen una reflexión sobre el uso de las

tecnologías de la información, las cuales permiten una mejor interacción entre docentes y alumnos,

facilitando la capacidad de adquirir nuevos conocimientos y enriqueciendo el proceso de enseñanza

aprendizaje con el uso de imágenes, videos, audio y otros elementos de multimedia. (Islas, Martínez 2008).

Hoy en día, el MEN (Ministerio de Educación Nacional) ha permitido una flexibilidad en la construcción de

los planes de estudio inmersos en el currículo para facilitar procesos de aprendizaje donde se relacione el

contexto escolar con el extraescolar, es por eso que hoy se habla demasiado de educación por competencias;

es decir, un currículo que potencie el ser con el conocer y hacer en cualquier contexto, y al mismo tiempo

permitiendo que el alumno asuma una posición crítica para la toma de decisiones. Los lineamientos

curriculares del MEN enfatizan en que la resolución de problemas en un amplio sentido se considera siempre

en conexión con las aplicaciones y con la modelación. (MEN 2004).

Podemos implementar en este proyecto la modelación de funciones lineales a través de situaciones problema

que sean de interés para los estudiantes posibilitándose acercarse más a los elementos matemáticos

enseñados en clase como un medio de disminuir si así se puede decir el déficit que tienen los estudiantes de

representar gráficamente y a través de formulas una situación problematizadora.

De esta forma podemos decir que esta propuesta de proyecto pretende que el alumno de la Institución

Educativa Luis Eduardo Arias Reinel de Básica secundaria, aprenda a interpretar y comprender una situación

problema que se ajuste a una función lineal, de tal forma que construya el modelo matemático para luego

proceder a su solución, utilizando las TIC como estrategia didáctica.

1.3 Objetivo

Implementar una estrategia didáctica para la enseñanza-aprendizaje de la función lineal modelando

situaciones problema a través de las TIC en el grado noveno de la Institución Educativa Luis Eduardo Arias

Reinel en el municipio de Barbosa - Antioquia.

1.3 Pregunta

¿Cómo los estudiantes de grado noveno construyen funciones lineales de situaciones del contexto

implementando las tecnologías de la información?

2. REFERENTES TEÓRICOS.

Dada la necesidad que los estudiantes se acerquen a los números, interpretación de procesos y sus

resultados como una estrategia didáctica que le permita acercarse a los elementos matemáticos enseñados en

clase al darle solución a situaciones de la vida cotidiana apoyados en las tecnologías de la información, nos

surge el planteamiento de realizar un proyecto que familiarice los estudiantes con la temática función lineal

y su relación con las situaciones de la vida cotidiana.

Observamos desde la experiencia que las tecnologías de la información pueden convertirse en

herramientas fundamentales relacionar los elementos matemáticos enseñados en clase con situaciones del

contexto, posibilitándonos cerrar un poco la brecha que surge en los estudiantes cuando se observa la

dificultad para esquematizar, graficas, interpretar y reconstruir una ecuación que represente la situación.

Según (Aczel, 2009, p. 67), “…la matemática está íntimamente ligada con la cultura”. De esta forma

es necesario además de relacionar a los estudiantes con situaciones del contexto, contiene importancia que

dicha motivación de apropiarse de las tecnologías de la información para relacionar situaciones del contexto

escolar con el contexto extraescolar sean de situaciones cercanas a los estudiantes que contengan relevancia

todo esto dentro del marco de la escuela y su relación con las tecnología de la educación.

3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA.

En el presente proyecto buscamos relacionar los elementos aprendidos por los estudiantes en el aula de clase

con el contexto extraescolar con el fin de cerrar un poco la brecha que se presenta cuando desde la

experiencia observamos dificultades para representar gráficamente o construir una fórmula que describa la

situación problema. Con esta finalidad nos centramos en la temática de función lineal y de forma particular

en el grado noveno porque consideramos que es allí donde se cimenta una base primordial en el aprendizaje

de dichos elementos matemáticos, tanto como su representación grafica y construcción de la ecuación que

represente la situación particular relevante para el estudiante. Para llevar a cabo dicho propósito buscamos

implementar la estrategia de trabajo colaborativo con la finalidad que los estudiantes conformen grupos

donde compartan con el docente orientador su aprendizaje sobre la temática particular y su representación

grafica o simbólica apoyada en las tecnologías de la información, en este caso implementaremos para dicho

fin el software Curve Expert 1.4 y Geogebra.

3.1APRENDIZAJE COLABORATIVO.

Esta perspectiva considera que la cualidad característica de la especie humana no es la capacidad de

comprender la organización del mundo, sino la constante interpretación del contenido de la mente de los demás,

manifestada de diferentes formas: palabras, acciones, producciones. Esta capacidad nos permite aprender de

otros y comprender nuestra propia mente. Tal es el sentido del concepto de comprensión: "comprender una

mente ajena y comprenderse a sí mismo en el interior de esa capacidad" (García Carrasco, 1999).

Esta consideración es coherente con la afirmación de que la esencia educativa, la esencia del desarrollo de la

capacidad mental de los seres humanos, es el proceso de socialización. Por lo tanto, entendemos la socialización

como un proceso de desarrollo de la persona en formación que se da en grupo.

3.2 ENTENDIENDO EL APRENDIZAJE COLABORATIVO

Los alumnos forman "pequeños equipos" después de haber recibido instrucciones del profesor. Dentro de

cada equipo los estudiantes intercambian información y trabajan en una tarea hasta que todos sus miembros la

han entendido y terminado, aprendiendo a través de la colaboración. Comparando los resultados de esta forma

de trabajo, con modelos de aprendizaje tradicionales, se ha encontrado que los estudiantes aprenden más cuando

utilizan el AC, recuerdan por más tiempo el contenido, desarrollan habilidades de razonamiento superior y de

pensamiento crítico y se sienten más confiados y aceptados por ellos mismos y por los demás (Millis,1996).

3.2.1 la transformación en el aula a partir de ac.

En los salones de clase de AC, las actividades están estructuradas de manera que los

estudiantes se expliquen mutuamente lo que aprenden. Algunas veces a un estudiante se le asigna un rol

específico dentro del equipo. De esta manera ellos pueden aprender de sus puntos de vista, dar y recibir ayuda

de sus compañeros de clase y ayudarse mutuamente para investigar de manera más profunda acerca de lo que

están aprendiendo.

Términos tales como: pasivo, memorización, individual y competitivo, son elementos que no están asociados

con AC (Johnson y Johnson, 1997).

3.3ELEMENTOS QUE SIEMPRE ESTAN PRESENTES EN ESTE TIPO DE APRENDIZAJE.

Cooperación: Los estudiantes se apoyan mutuamente para cumplir con un doble

objetivo: lograr ser expertos en el conocimiento del contenido, además de desarrollar

habilidades de trabajo en equipo. Los estudiantes comparten metas, recursos, logros y

entendimiento del rol de cada uno. Un estudiante no puede tener éxito a menos que

todos en el equipo tengan éxito.

Responsabilidad: Los estudiantes son responsables de manera individual de la parte de tarea que les

corresponde. Al mismo tiempo, todos en el equipo deben comprender

todas las tareas que les corresponden a los compañeros.

Comunicación: Los miembros del equipo intercambian información importante y

materiales, se ayudan mutuamente de forma eficiente y efectiva, ofrecen

retroalimentación para mejorar su desempeño en el futuro y analizan las conclusiones y

reflexiones de cada uno para lograr pensamientos y resultados de mayor calidad.

Trabajo en equipo: Los estudiantes aprenden a resolver juntos los problemas,

desarrollando las habilidades de liderazgo, comunicación, confianza, toma de

decisiones y solución de conflictos.

Autoevaluación: Los equipos deben evaluar cuáles acciones han sido útiles y cuáles

no. Los miembros de los equipos establecen las metas, evalúan periódicamente sus

actividades e identifican los cambios que deben realizarse para mejorar su trabajo en el

futuro.

3.4 FORMANDO EQUIPOS EN AC.

Para ser efectivos, los equipos deben crearse en ambientes abiertos y de confianza, de forma que los

estudiantes se vean motivados a especular, innovar, preguntar y comparar ideas conforme resuelven los

problemas.

Además de desarrollar habilidades sociales y de trabajo en equipo, los grupos pequeños

deben cumplir con actividades académicas asociadas a la solución de problemas, lo que

incluye: hacer análisis, comprobar el nivel de comprensión, construir diagramas de flujo y organizadores

gráficos, hacer estimaciones, explicar materiales escritos, formular y generar preguntas, hacer listados y

predicciones, presentar información, hacer razonamientos, consignar referencias a materiales revisados con

anterioridad, resolver cuestionamientos, resumir y pensar creativamente.

¿Cómo se forman los profesores los pequeños equipos?

Para organizar a los estudiantes en grupos, los profesores deben decidir:

El tamaño de los equipos.

La duración de los equipos.

La forma de asignación de los estudiantes a los equipos (Johnson y Johnson, 1999).

Los que han participado en actividades de AC concuerdan en que los equipos más efectivos son

heterogéneos y formados por el profesor y no por los mismos estudiantes.

Otros métodos creativos son (Johnson y Johnson 1999):

Un tamaño común de equipo es de tres a cinco estudiantes. En parejas un estudiante puede dominar. En

grupos grandes es muy difícil que todos los estudiantes tengan la oportunidad de participar equitativamente. Los

grupos de cuatro tienden a crear balance, permitiendo una distribución similar de roles. Generalmente, e l

tamaño de los equipos puede ser determinado por la cantidad de miembros necesarios para cumplir con la tarea.

El profesor puede caer en el error de romper y formar nuevos grupos constantemente. Los grupos necesitan

tiempo para trabajar los conflictos y aprender de cada uno. Los grupos deben permanecer juntos el tiempo

suficiente para que los estudiantes sean productivos, pero cada estudiante debe tener también la oportunidad de

trabajar con los demás alumnos durante el curso.

Todos los miembros del equipo deben dar una lista de expectativas de participación y

comportamiento en el grupo. Los estudiantes:

Deben generar ideas acerca del comportamiento que pueda interferir en el trabajo en

equipo.

Pueden crear un código de comportamiento para todos los miembros.

Definir un comportamiento de grupo aceptable.

Listar los comportamientos que esperan de cada una de las personas, pareja, grupo o de la clase en general.

Ayudar a que el instructor y los estudiantes muestren comportamientos específicos

haciendo que todos se sientan incluidos, expresando, por ejemplo, desacuerdo de

manera constructiva, ofreciendo apoyo y soporte, pidiendo aclaraciones, evitando

comentarios negativos.

Los instructores deben monitorear constantemente las actividades de grupo realizadas en el salón, anotando

quiénes contribuyen mucho o muy poco. Es aceptable citar a los miembros del equipo en privado para que el

profesor les comunique sus observaciones. Estas pláticas deben ser de forma amistosa y deben ofrecer apoyo

mostrando estrategias específicas para la solución del problema.

El profesor debe intervenir en el proceso ocasionalmente si las tareas no han

logrado unir a las personas en el equipo (Emerson et al., 1997).

El mejor consejo es dirigir al equipo y permitirle resolver sus diferencias

independientemente. La intervención directa requiere de una junta privada con el estudiante en la que el

profesor describe el comportamiento que ha observado y le pide ayuda para hacer algunos cambios. El profesor

puede invitar también al equipo a su oficina para discutir acerca de la situación y generar soluciones. Sólo en

casos extremos se debe reasignar a la persona a otro equipo. Parte de las dinámicas de grupo exitosas es

aprender a resolver conflictos dentro del grupo. Cambiar a los miembros del equipo no es una estrategia que

ayude mucho y puede generar ruptura del balance del equipo. En casos en que los alumnos insisten en

cambiarse, los profesores advierten que ocurrirá un “despido” o “divorcio” en el que los miembros del equipo

discuten formalmente las razones de la división con la persona. El estudiante es responsable de reasignarse a

otro equipo.

Pregunta: ¿cómo puedo saber si a mis estudiantes les gusta su equipo?

Respuesta: una estrategia es pedirles que contesten, de manera anónima, un cuestionario en el que se les

pregunte lo que les gusta acerca de AC, lo que quisieran cambiar y algunas sugerencias que ayuden a mejorar

las actividades de aprendizaje. Los profesores pueden también someter las preguntas a discusión en clase.

3.4.1 Roles y responsabilidades de profesores y estudiantes.

El profesor de AC es considerado como facilitador o entrenador, un colega o mentor, una guía y un

co-investigador.

En las actividades en el salón de AC, el profesor debe moverse de equipo a equipo,

observando las interacciones, escuchando conversaciones e interviniendo cuando sea

apropiado. El profesor está continuamente observando los equipos y haciendo sugerencias acerca de cómo

proceder o dónde encontrar información. Para supervisar a los equipos, los profesores pueden seguir los

siguientes pasos (Johnson y Johnson, 1999) :

Planear una ruta por el salón y el tiempo necesario para observar a cada equipo para

garantizar que todos los equipos sean supervisados durante la sesión.

Utilizar un registro formal de observación de comportamientos apropiados.

Al principio, no tratar de contabilizar demasiados tipos de comportamientos. Podría

enfocarse en algunas habilidades en particular o simplemente llevar un registro de las

personas que hablan.

Agregar a estos registros, notas acerca de acciones específicas de los estudiantes.

Guiar a los estudiantes a través del proceso de AC, requiere que el profesor tome muchas responsabilidades.

El profesor Domínguez Hills y la investigadora de AC Susan Prescott, (1997), de la Universidad de California,

citan las siguientes:

MOTIVAR a los estudiantes, despertando su atención e interés antes de introducir un

nuevo concepto o habilidad. Algunas estrategias de motivación pueden ser: pedir a

los estudiantes que expliquen un escenario de crucigrama, compartir las respuestas

personales relacionadas con el tema, utilizar un estímulo visual o auditivo, adivinar

las respuestas a preguntas que serán nuevamente formuladas final de la sesión.

PROPORCIONAR a los estudiantes una experiencia concreta antes de iniciar la

explicación de una idea abstracta o procedimiento, se puede hacer una

demostración, exhibir un vídeo o cinta de audio, se pueden traer materiales y

objetos físicos a la clase, analizar datos, registrar observaciones, inferir las

diferencias críticas entre los datos de la columna “eficaz vs. ineficaz” o “correcto vs.

incorrecto”, etc.

VERIFICAR que se haya entendido y que se escuche activamente durante las

explicaciones y demostraciones. Pida a los estudiantes que demuestren, hablen o

pregunten acerca de lo que entendieron. Las estrategias de escucha activa en una

presentación son: completar una frase, encontrar un error interno, pensar una

pregunta, generar un ejemplo, buscar notas con evidencias que respalden o

contradigan lo que se presenta en clase.

OFRECER a los estudiantes la oportunidad de reflexionar o practicar la nueva

información, conceptos o habilidades. Estas sesiones pueden incluir la construcción

de argumentos a favor o en contra, escribir resúmenes, analizar datos, escribir una

crítica, explicar eventos, denotar acuerdo o desacuerdo con los argumentos

presentados o resolver problemas.

REVISAR el material antes del examen. Ceda esta responsabilidad a los estudiantes

pidiéndoles que hagan preguntas de examen, se especialicen en el tema y se

pregunten mutuamente. Pueden también diseñar un repaso en clase o elaborar

resúmenes de información importantes para usarse durante el examen.

CUBRIR eficientemente información textual de manera extensa. Los estudiantes

pueden ayudarse mutuamente mediante lecturas presentando resúmenes que

contengan respuestas que los demás compañeros puedan completar.

PEDIR UN RESUMEN después del examen, asegurando que los estudiantes han

aprendido de su examen o proyecto. Dirija sesiones de repaso para después del

examen y pedir a los alumnos que se ayuden mutuamente en la comprensión de

respuestas alternativas. La principal responsabilidad de cada estudiante es ayudar a

sus compañeros a aprender.

Para asegurar una participación activa y equitativa en la que cada uno tenga la oportunidad de participar, los

estudiantes pueden jugar roles dentro del grupo. Cualquier cantidad de roles, en cualquier combinación puede

ser utilizada para una gran variedad de actividades, dependiendo del tamaño del grupo y de la tarea. Algunos

roles pueden ser los siguientes:

SUPERVISOR: monitorea a los miembros del equipo en la comprensión del tema de discusión y detiene el

trabajo cuando algún miembro del equipo requiere aclarar dudas. Esta persona lleva al consenso preguntando:

“¿todos de acuerdo?”, “¿ésta es la respuesta correcta?”, “¿dices que no debemos seguir con el proyecto?”,

“¿estamos haciendo alguna diferencia entre estas dos categorías?” y “¿desean agregar algo más?”.

ABOGADO DEL DIABLO: cuestiona sobre ideas y conclusiones ofreciendo alternativas. Dice por ejemplo:

“¿estás seguro que ese tema es importante?”, “¿confías en que realmente funcione?”

MOTIVADOR: se asegura de que todos tengan la oportunidad de participar en el trabajo en equipo y elogia a

los miembros por sus contribuciones. Este estudiante dice: “no sabíamos nada de ti”, “gracias por tu

aportación”, “esa es una excelente respuesta”, “¿podemos pedir otra opinión?”

ADMINISTRADOR DE MATERIALES : provee y organiza el material necesario para las tareas y proyectos. Este

estudiante dice: “¿alguien necesita un proyector para la siguiente junta?” , “los plumones están al lado de la

mesa, por si los necesitas”.

OBSERVADOR: monitorea y registra el comportamiento del grupo con base en la lista de comportamientos

acordada. Este estudiante emite observaciones acerca del comportamiento del grupo y dice: “ Me di cuenta de

que el nivel de tensión disminuyó” y “esto parece ser un gran tema que podemos investigar, ¿podemos

ponerlo en la agenda para la próxima junta?”

SECRETARIO: toma notas durante las discusiones de grupo y prepara una presentación para toda la clase.

Este estudiante dice: “¿debemos decirlo de esta forma?”, “les voy a leer otra vez esto, para asegurarnos que

sea correcto”.

REPORTERO: resume la información y la presenta a toda la clase. Este estudiante dice: “les presentaré lo

que hemos decidido” y “esto es lo que hemos logrado hasta el momento”.

CONTROLADOR DEL TIEMPO: monitorea el progreso y eficiencia del grupo. Dice: “retomemos el punto

central”, “considero que debemos seguir con el siguiente punto”, “tenemos tres minutos para terminar el

trabajo” y “estamos a tiempo”.

4. GUIAS PARA EL TRABAJO CON LOS ESTUDINATES.

AREA: MATEMÁTICAS GRADO: Noveno FECHA:

NOMBRE DEL(A) DOCENTE:

NOMBRE DEL(A) ESTUDIANTE:

TEMA: LÍNEA RECTA

ELABORADO POR:, Jorge Didier Obando M.

PROPÓSITO: Implementar una estrategia didáctica para la enseñanza-aprendizaje de la función

lineal modelando situaciones problema a través de las TIC en el grado noveno de la Institución

Educativa Luis Eduardo Arias Reinel en el municipio de Barbosa - Antioquia.

COMPETENCIAS: Razonamiento, Resolución de problemas y Comunicación. COMPONENTES: Numérico-Variacional, Geométrico-Métrico

GEOMETRIA ANALÍTICA

RESEÑA HISTÓRICA: RENÉ DESCARTES

Fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacado de la revolución científica. Nació en La Haye (Turaine; Francia) el 31 de Marzo de 1.596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1.650 a causa de una afección pulmonar. Simplifico la notación algebraica y crea la geometría analítica, fundamental en disciplinas como la economía, ya que de ahí surgen los ejes cartesianos 𝒙 e 𝒚. CONCEPTUALIZACIÓN: LA LÍNEA RECTA Y LAS FORMAS DE SU ECUACIÓN

La línea recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical u oblicua (inclinada a la izquierda o a la derecha). Analíticamente, una recta se puede representar por una ecuación de primer grado con dos variables (la variable 𝒙 y la variable 𝒚), recíprocamente. Una recta que determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos o un punto y su pendiente. Cada punto (𝒙, 𝒚) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema

cartesiano de coordenadas, siendo 𝒙 el valor de la abscisa e 𝒚 el valor de la ordenada, así, (𝒙, 𝒚) = (𝑨𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒂 , 𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂).

Ejemplo: El punto (– 𝟑, 𝟓) tiene por abscisa – 𝟑 y por ordenada 𝟓.

Si un punto de coordenadas (𝒙, 𝒚) pertenece a la recta, se dice que dicho satisface su ecuación. Ahora bien,

la pendiente de una recta suele estar representada por la letra 𝒎 y en un sistema de representación

rectangular (plano cartesiano) está definida como la diferencia entre las ordenas de dos puntos distintos de la recta, (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2), dividido por la diferencia entre las abscisas correspondientes de estos puntos. Lo

anterior se describe en la siguiente ecuación:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Formas de la ecuación de la recta

Ecuación general:

𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Donde 𝑨,𝑩 y 𝑪 son números reales cualesquiera.

Ecuación canónica o Ecuación pendiente – intercepto con el eje 𝒚:

𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒃

Donde 𝒎 es la pendiente y 𝒃 es el valor en el cual la recta corta al eje 𝒚.

Ecuación punto - pendiente

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 ( 𝒙 − 𝒙𝟏)

Donde 𝒎 es la pendiente y el punto coordenado (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) pertenece a la recta.

Ecuación simétrica 𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏

Donde 𝒂 y 𝒃 son los valores en los que la recta corta el eje 𝒙 y el eje 𝒚, respectivamente.

Posición relativa entre rectas

Dos rectas 𝐿1 y 𝐿2 en el plano cartesiano poseen dos posiciones relativas entre ellas, que son paralelas o

secantes. En particular se estudiaran las rectas que son paralelas y las rectas secantes que son mutuamente perpendiculares.

Rectas paralelas

Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 serán paralelas sí y solo sí sus pendientes son iguales, es decir,

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

Donde 𝒎𝟏 es la pendiente de la recta 𝑳𝟏 y 𝒎𝟐 es la pendiente de la recta 𝑳𝟐.

Rectas perpendiculares

Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 serán paralelas sí y solo sí se cumple la siguiente relación entre sus pendientes

𝒎𝟐 =−𝟏

𝒎𝟏

Donde 𝒎𝟏 es la pendiente de la recta 𝑳𝟏 y 𝒎𝟐 es la pendiente de la recta 𝑳𝟐.

Ejemplos:

1. La ecuación 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 tiene pendiente 3 y corta el eje 𝒚 en 5, lo cual indica que el punto de intersección con el eje es (𝟎, 𝟓).

2. Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por el punto (𝟑, 𝟐) y tiene pendiente 𝒎 = – 𝟓.

Para hallar la ecuación canónica de la recta, primero se debe hallar la ecuación punto – pendiente y luego transfórmala a la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 mediante operaciones algebraicas.

Sustituimos los datos en la ecuación 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 ( 𝒙 − 𝒙𝟏), con lo cual se obtiene

𝒚 − 𝟑 = − 𝟓(𝒙 − 𝟐)

Luego se aplica la propiedad distributiva en lado derecho de la ecuación y finalmente se despeja la variable 𝒚 para obtener:

𝒚 = − 𝟓𝒙 + 𝟏

Actividad N°1

Construcción de un plano cartesiano. Materiales

Lamina de Icopor de 30cm x 30cm. Hoja de papel de 28cm x 28cm.

Tijeras Regla o escuadra. Lápiz o bolígrafo Pegante Chiches de colores o alfileres Hilo o lana Metodología Conformar equipos de 4 estudiantes. Cada equipo deberá construir el plano cartesiano con los siguientes pasos: Recortar una hoja de papel que mida 28 cm de largo por 28 cm de ancho. Dividir la hoja de papel en una cuadricula de a 1centímetro utilizando la regla y el lápiz. Trazar un eje vetical y un eje horizontal por la mitad de la hoja (Ejes coordenados). Pegar la hoja de papel sobre la lámina de Icopor. Los chinches (o alfileres) servirán para ubicar puntos coordenados en el plano, y el hilo (o lana) servirá para unir putos de plano y representar una línea recta, para ello se necesitará amarrar un extremo del hilo a un chinche (punto coordenado) y el otro extremo del hilo a otro chinche (punto coordenado). 1. Ubique los puntos (1,4) y (-3,-4) con alfileres en el plano cartesiano y únalos con hilo.

a. ¿Cual es el punto donde la recta corta el eje x? b. ¿Cuál es el punto donde la recta corta el eje y? c. ¿Cuánto vale la pendiente de la recta? d. Escriba la ecuación canónica de la recta

2. Arme otra recta (sin desarmar la recta del paso 1) en el plano cartesiano que posea una pendiente 𝑚 = −1/2 y pasa por el punto (0, 21/2).

a. ¿Cuál es el punto donde la recta corta el eje x?

b. Si la abscisa de un punto de la recta vale −6 ¿cuál es su ordenada?

3. A partir de las rectas armadas en el plano cartesiano. a. ¿Son las rectas paralelas o perpendiculares? Justifique. b. Si se cortan ¿cuál es el punto de intersección?

Actividad N°2

Trabaja tus competencias:

1. Determina cuáles de las siguientes rectas tienen las mismas pendientes

Ecuación general Forma canónica: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 Pendiente

𝑦 + 𝑥 − 12 = 0

3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

2𝑦 − 4𝑥 − 1 = 0

𝑦 + 𝑥 − 16 = 0

3𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0

2𝑦 − 4𝑦 + 3 = 0

2. Halla la ecuación punto - pendiente de la recta que:

a. Pasa por los puntos (1,4) y (6,2) b. Pasa por los puntos (0,3) y (1,0) c. Tiene pendiente 𝑚 = 3 y punto (−3,2) d. Tiene pendiente 𝑚 = −1 y punto (5,10) e. Tiene pendiente 𝑚 = 5 y punto (−3,6) f. Es paralela a la recta 𝑦 = − 5𝑥 − 4 y pasa por el punto (−5, −4) g. Es perpendicular a la recta 𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0 y pasa por el punto (1, −1)

Aplicaciones de la línea recta

Importante: Para resolver este tipo de problemas donde nos piden hallar el valor por unidad consumida y la cuota fija usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta (𝒎) es siempre el valor por unidad consumida y (𝒃) la cuota fija.

3. Una fábrica gasta $ 850 por helado elaborado, si tienen un costo fijo de $240 por día, ¿Cuánto gastará si se producen 55, 100, 320 helados? .El criterio de formación de la ecuación es: 𝑦 = 850 𝑥 + 240

4. El pasaje de transporte en un integrado metro es de $ 2100, la relación que vincula el número de viajes integrados con el dinero gastado en pasajes es 𝑦 = 2100𝑥

a. Si un usuario realiza 12 viajes ¿Cuánto debe pagar? b. Si un usuario compra 15 pasajes y paga con un billete de $50.000. ¿Cuánto le devuelven?

5. Una empresa de gas tiene una cuota fija por el servicio, además cobra cierto valor por metro cúbico consumido. Si por 21 m3 cobran $ 24.000, y por 35 m3 $40.800. Encontremos el valor de metro cúbico.

6. El valor total del servicio de una empresa de celulares está dado por la ecuación general −264𝑥 + 2𝑦 – 152 = 0 donde 𝒙 representa el número de minutos de una llamada e 𝒚 representa el valor total del servicio. Encontremos el valor del minuto y la cuota fija.

7. La ecuación 𝐿 = 1,53 𝑡 − 6,7 es utilizada para determinar el crecimiento de un feto normal de más de

doce semanas de gestación, donde 𝐿 es la longitud en cm del feto y 𝑡 el tiempo en semanas a. Calcula la edad de un feto cuya longitud es 18 cm b. Calcula la longitud de un feto de 14 semanas

8. Por el alquiler de un auto se cobra una cuota fija de $ 20.000 y adicionalmente $3.500 por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica de la recta que representa esta situación. ¿Cuánto debe pagar por hacer un recorrido de 350 km? Si se paga un valor de $492.500, ¿Cuántos km recorrí?

4. CONCLUSIONES.

5. REFERENTES BIBLIOGRAFICOS.