i.m., m.sc., ph.d.descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro...

Dinámica de fluidos

Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Teorema del transporte de Reynolds

Sistema: cantidad de materia de masa fija. Volumen de control (sistema abierto): región en el espacio elegida para su estudio El sistema se usa en la mecánica de solidos, mientras el volumen de control es la aproximación típica de la mecánica de fluidos.


El tamaño y la forma de un sistema pueden cambiar durante un proceso, pero nada de masa cruza sus fronteras. El tamaño y la forma de un volumen de control pueden cambiar en un proceso, pero se permite que masa entre o salga a través de sus limites (superficie de control). También, el volumen de control puede moverse.


a) Sistema b) volumen de control


a) Sistema b) volumen de control

a) Volumen de control (CV) con fronteras reales y imaginarias b) Volumen de control (CV) con fronteras móviles y fijas


La mayoría de las leyes físicas que se refieren a las razones de cambio respecto al tiempo de propiedades extensivas (masa, energía, cantidad de movimiento) se expresan para sistemas En mecánica de fluidos es más conveniente trabajar con volúmenes de control y, por tanto, surge la necesidad de relacionar los cambios en un volumen de control con los cambios en un sistema. La relación entre las razones de cambio respecto al tiempo de una propiedad extensiva para un sistema y para un volumen de control se expresa por el Teorema del Transporte de Reynolds (RTT; Reynolds Transport Theorem)


El RTT proporciona un vinculo entre el enfoque sistema y el de volumen de control.


La razón de cambio respecto al tiempo de la propiedad B (masa, energía, cantidad de movimiento (masa por velocidad)) del sistema es igual a la razón de cambio de B respecto al tiempo del volumen de control más el flujo neto de B hacia afuera de este volumen debido a la masa que cruza la superficie de control.


La rapidez de variación de B dentro del sistema es igual a la rapidez de variación de B dentro del volumen de control más el flujo de B a través de la superficie de control.


La anterior integral sobre la superficie de control (CS) da la cantidad neta de la propiedad que fluye hacia afuera del volumen de control (hacia el volumen de control, si es negativa) por unidad de tiempo. En la integral b representa la propiedad por unidad de masa m


•  El primer termino de la ecuación representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la propiedad B en el sistema.

•  El segundo termino representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la propiedad B dentro del volumen de control (VC).

•  El tercer termino representa el flujo (paso instantáneo) de la propiedad B a través de toda la superficie de control (SC).


•  Remplazar la integral de superficie de la anterior ecuación con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de admisiones y salidas

Gastodemasaatravésdelaadmisiónodelasalidaenrelaciónconlasuperficiedecontrol


•  Remplazar la integral de superficie de la anterior ecuación con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de admisiones y salidas


•  Remplazar la integral de superficie de la anterior ecuación con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de admisiones y salidas. Usando que


El anterior es una ejemplo donde la integral sobre la superficie de control en el RTT se puede escribir en términos de los valores promedios de las propiedades del fluido que cruza cada admisión y cada salida.


Teorema del transporte de Reynolds aplicado a un volumen de control en movimiento a velocidad constante

Vr: Velocidad relativa V: Velocidad del fluido Vcs: Velocidad del volumen de control


Flujo estacionario

Conservación de masa

Paraunvolumendecontrol(VC)elbalancedemasaseexpresaenformaderazóncomorazóndeflujohaciaadentrodelvolumendecontrolrazóndeflujohaciafueradelvolumendecontrol

eslarazóndecambiodelamasadentrodelasfronterasdelvolumendecontrolParalosvolúmenesdecontrol,lamasapuedecruzarfronterasy,sedebeconsiderarlarazóndelamasaqueentrayquesaledelvolumendecontrol

Conservación de masa Paraunvolumendecontrol(VC)elbalancedemasaseexpresaenformaderazóncomo


La anterior ecuación expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa que esta dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de masa a través de la superficie de control es igual a cero

Masa total dentro del volumen de control (VC)

Razón de cambio de la masa dentro del volumen de control (VC)

La razón neta de flujo de masa


La anterior ecuación expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa que esta dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de masa a través de la superficie de control es igual a cero. La relación general de conservación de la masa también se puede expresar como: Si usamos la definición de razón de flujo de masa, la anterior ecuación se puede escribir Vavg: es la velocidad

promedio Ac: es el área de sección transversal normal al flujo

Conservación de masa Selección del VC

La elección apropiada de un volumen de control puede hacer que la resolución de un problema aparentemente complicado sea más bien fácil. Un regla sencilla cuando se selecciona un volumen de control es hacer que la superficie de control sea normal al flujo en todos los lugares en donde se cruce con ese flujo de fluido siempre que sea posible. a)  Superficie de control formando un ángulo con el flujo b)  Superficie de control normal al flujo

Conservación de masa Flujo estacionario

En el transcurso de un proceso de flujo estacionario, la cantidad de masa contenida dentro del volumen de control no cambia con el tiempo. Entonces el principio de conservación de la masa exige que la cantidad total de masa que entra en un volumen de control sea igual a la cantidad de agua que sale de ella por unidad de tiempo. En términos matemáticos significa que el primer termino de la siguiente ecuación se hace 0. Por tanto, el principio de conservación de la masa para un sistema general de flujo estacionario con entradas y salidas múltiples se puede expresar en la forma de razón como La anterior ecuación expresa que la razón total de masa que entra en el volumen de control es igual a la razón total de masa que sale de el.


Principio de la conversación de la masa para un sistema de flujo estacionario con dos entradas y una salida.


Numerosos dispositivos de ingeniería, como toberas, difusores, turbinas, compresores y bombas, forman un sola corriente (solo una entrada y una salida).

Conservación de masa Flujo estacionario e incompresible

La ecuación de conservación de la masa se puede simplificar todavía más cuando el fluido es incompresible. Cancelando la densidad en ambos lados de la igualdad da:

Vavg: es la velocidad promedio en la dirección normal al flujo Ac: es el área de sección transversal normal al flujo


Si usted entiende el principio de conservación del dinero, no debe tener dificultades en aplicar

el principio de conservación de la masa a los sistemas de ingeniería.

Conservación de masa Ejemplo 1

Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego para llenar una cubeta de 10 galo. El diámetro de la manguera es de 10 cm y se reduce hasta 0.8 cm en la salida de la boquilla. Si transcurren 50 s para llenar la cubeta con agua, determine a) las razones de flujo volumétrico y de masa del agua que pasa por la manguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla. Nótese que se descargan 10 gal de agua en 50 s, las razones de flujo volumétrico y de masa son


Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego para llenar una cubeta de 10 galo. El diámetro de la manguera es de 10 cm y se reduce hasta 0.8 cm en la salida de la boquilla. Si transcurren 50 s para llenar la cubeta con agua, determine a) las razones de flujo volumétrico y de masa del agua que pasa por la manguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla. El área de la sección transversal de la salida de la boquilla es: El gasto volumétrico por la manguera y por la boquilla es constante; entonces, la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla queda:


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo.


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. La ecuación de conservación de masa esta dada

por:


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. En el transcurso de este proceso nada de masa

entra al volumen de control, y el flujo másico de descarga se puede expresar como:


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. La masa del agua en el tanque en cualquier

instante es:


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. Sustituyendo, en la primera ecuación se obtiene:


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 in y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. Cuando se cancelan las densidades y otros

términos comunes, y se separan las variables da: Integrando a ambos lados obtenemos


Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior esta abierta a la atmosfera esta al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro se vierte hacia fuera (ver figura). La velocidad promedio del chorro se da por V=(2gh)1/2 , en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero y g es la aceleración de la gravedad. Determine cuando tiempo transcurrirán para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2ft, medido desde el fondo. Al sustituir, se determina que el tiempo de

descarga es:


SielcanalmostradoenlafiguraGeneunanchode3I,determineelvalordeV.


La figura muestra la vista superior de un canal con una profundidad de 1 m por el cual fluye agua. Determine la velocidad máxima v1,max indicada en la figura..


Entre dos secciones de una larga porción recta de una tubería de 4 pulgadas de diámetro interior fluye aire de manera estable como se muestra en la figura. Se dan la temperatura y presión distribuidas uniformemente en cada sección. Si la velocidad media del aire (distribución no uniforme) en la sección (2) es de 1000 ft/s, calcular la velocidad media del aire en la sección (1).

Raire=0.2870kJ/(kgK)T(R)=1.8T(K)12in=1I1psia=6.894757kPa


Una tubería de 150 mm de diámetro conduce 0.072m3/s de agua. La tubería se divide en dos ramales, como se puede apreciar en la figura. Si la velocidad en el ramal de 50 mm de diámetro es de 12m/s, ¿Cuál es la velocidad de la tubería de 100 mm?.


Un lıquido de densidad ρ fluye hacia el interior de un volumen relleno con una esponja con una velocidad de flujo Q1. Sale por un área con un flujo de masa m2 y por una segunda área A3 con una velocidad promedio V3. Escriba una expresión para la velocidad de cambio de la masa de la esponja.

Conservación de momento lineal

Teorema de Transporte de Reynolds aplicado al momento lineal

Conservación de momento lineal Segunda Ley de Newton

Segunda Ley de Newton: La suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es igual a la razón de cambio respecto al tiempo del momento lineal de ese sistema. Combinando la Segunda Ley de Newton y la aplicación del teorema de Reynolds a la cantidad de movimiento obtenemos:

LasumadetodaslasfuerzasexternasactuandosobreelCV

Elflujonetodelmomentolinealhaciafueradelasuperficiedecontrolporelflujodemasa

LarazóndecambiorespectoalGempodelmomentolinealdelcontenidodeCV

= +

Conservación de momento lineal Segunda Ley de Newton

En la mayoría de los sistemas de flujo, las fuerza consta de fuerzas de peso, de presión y de reacción. En este ejemplo se usan presiones manométricas, porque la presión atmosférica se cancela sobre todos los lados de la superficie de control

Conservación de momento lineal Flujo estacionario

En el flujo estacionario la magnitud de la cantidad de movimiento dentro del volumen de control permanece constante y, por lo tanto, la razón de cambio del momento lineal del contenido de ese volumen es cero. La mayoría de los problemas referentes a la cantidad de movimiento que consideraremos en este curso son estacionarios.

Conservación de momento lineal

Aproximación de la integral de superficie como un producto. La anterior aproximación es razonable por ejemplo en: •  La entrada redondeada a un tubo •  El flujo de entrada a la sección de pruebas de un túnel de viento •  Un corte de agua de un chorro en el aire

Factor de corrección del flujo de la

cantidad de movimiento

La velocidad a través de la mayoría de las entradas y salidas no es uniforme, y por tanto no es valida la aproximación de la ecuación anterior. Entonces, se suele usar la siguiente aproximación Donde β es un factor adimensional de corrección, llamado factor del flujo de la cantidad de movimiento. β toma valores de 1.33 para flujo laminar dentro de un tubo β toma valores entre 1.01 hasta 1.04 para flujo turbulento dentro de un tubo

Factor de corrección del flujo de la

cantidad de movimiento

Quedado la ecuación de momento lineal como: En caso de flujo estacionario La anterior ecuación expresa que la fuerza neta que actúa sobre el volumen de control en el curso de flujo estacionario en reposo es igual a la diferencia entre las razones de los flujos entrantes y salientes de la cantidad de movimiento

Conservación del momento lineal

Ejemplo 1

Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba a 30º un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 14 kg/s, mientras acelera al mismo tiempo. El codo descarga el agua hacia la atmosfera. El área de sección transversal del codo es de 113 cm2 a la entrada y de 7 cm2 a la salida. La presión manométrica en el punto 1 es de 202.2 kPa. Se considera que el peso del codo y del agua es despreciable. Determine a) la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar.


Ejemplo 1

Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba a 30º un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 14 kg/s, mientras acelera al mismo tiempo. EL codo descarga el agua hacia la atmosfera. El área de sección transversal del codo es de 113 cm2 a la entrada y de 7 cm2 a la salida. La presión manométrica en el punto 1 es de 202.2 kPa. Se considera que el peso del codo y del agua es despreciable. Determine a) la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. La ecuación de cantidad de movimiento

para el flujo estacionario es:


Ejemplo 1

Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba a 30º un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 14 kg/s, mientras acelera al mismo tiempo. EL codo descarga el agua hacia la atmosfera. El área de sección transversal del codo es de 113 cm2 a la entrada y de 7 cm2 a la salida. La presión manométrica en el punto 1 es de 202.2 kPa. Se considera que el peso del codo y del agua es despreciable. Determine a) la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. Las ecuaciones de la cantidad de

movimiento a lo largo de los ejes x y z quedan


Ejemplo 1

Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba a 30º un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 14 kg/s, mientras acelera al mismo tiempo. EL codo descarga el agua hacia la atmosfera. El área de sección transversal del codo es de 113 cm2 a la entrada y de 7 cm2 a la salida. La presión manométrica en el punto 1 es de 202.2 kPa. Se considera que el peso del codo y del agua es despreciable. Determine a) la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. Despejando FRx y FRy y remplazando valores


Ejemplo 2

El codo deflector del ejemplo anterior se remplaza por uno de inversión, tal que el fluido realiza una vuelta en U de 180º antes de ser descargado, como se muestra en la figura. No obstante, la diferencia de elevación entre los centros de la secciones de entrada y salida es de 0.3 m. Determine la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. V1 = 1.24 m/s, V2 = 20 m/s y P1,man = 202.2 kPa


Ejemplo 2


FRz es 0, y a que no existe otra fuerza ni flujo de cantidad de movimiento en la dirección vertical La componente horizontal FRx de anclaje se determina con base en la ecuación de cantidad de movimiento escrita en la dirección x


Ejemplo 2


Se despeja FRx y se sustituyen los valores conocidos: Por lo tanto, la fuerza horizontal sobre la brida en 2591 N y actúa en la dirección x negativa


Ejemplo 3

Se acelera agua mediante una boquilla hasta alcanzar una magnitud promedio de 20 m/s y choca contra una placa vertical en reposo a razón de 10 kg/s. Después del choque, el chorro de agua se dispersa en todas las direcciones en el plano de la placa. Determine la fuerza necesaria para impedir que la placa se mueva horizontalmente debido al chorro del agua.


Ejemplo 3

Se acelera agua mediante una boquilla hasta alcanzar una magnitud promedio de 20 m/s y choca contra una placa vertical en reposo a razón de 10 kg/s. Después del choque, el chorro de agua se dispersa en todas las direcciones en el plano de la placa. Determine la fuerza necesaria para impedir que la plaza se mueva horizontalmente debido al chorro del agua.

Hipótesis 1.  El flujo del agua a la salida de la boquilla es

estacionario 2.  El agua se dispersa en direcciones normales a la

dirección incidente del chorro de agua 3.  El chorro de agua esta expuesto a la atmosfera y

sobre este chorro y sobre el agua dispersada que sale del volumen de control actúa la presión atmosférica

4.  No se consideran las fuerzas verticales ni los flujos de cantidad de movimiento dado que no tienen efecto sobre la fuerza horizontal de reacción


Ejemplo 3


Análisis Se traza un volumen de control para este problema en tal forma que contenga la placa completa y corte normalmente al chorro de agua y la barra de soporte La ecuación de cantidad de movimiento para el flujo estacionario se da como


Ejemplo 3


Se escribe la ecuación de la cantidad de movimiento para la dirección x: Se sustituyen los valores dados:


Ejemplo 4

Fluye agua a razón de 18.5 gal/min por una llave que esta sujeta mediante una brida que tiene un grifo con válvula de compuerta parcialmente cerrada. El diámetro interior del tubo en la ubicación de la brida es de 0.0650 ft y se mide que la presión en ese lugar es de 13.0 psig. El peso total del conjunto de la llave, más el agua que esta en su interior es de 12.8 lbf. Calcule la fuerza neta sobre la brida.


Ejemplo 4


Aplicando conservación de la masa al volumen de control y


Ejemplo 4


Se aplica la ecuación de la cantidad de movimiento para flujo estacionario Las ecuaciones de la cantidad de movimiento a lo largo de las direcciones x y z quedan:


Ejemplo 4


Despejando para FRx y FRzz y remplazando los valores dados


Ejemplo 5

Se usa un codo de 90º para dirigir hacia arriba un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 25 kg/s. El diámetro del codo en toda su longitud es de 10 cm. Dicho codo descarga agua hacia la atmosfera y, por tanto, la presión a la salida es presión atmosférica local. La diferencia de elevación entre los centros de la salida y de la entrada del codo es de 35 cm. Se considera que el peso de este codo y del agua que esta en él es despreciable. Determine a) La fuerza de anclaje necesaria para sostener a dicho codo en su lugar. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03. La presión manométrica en 1 es de 3.43 kPa


Ejemplo 5


Tomamos el codo como el volumen de control. La ecuación de conservación de la masa para el codo queda: La velocidad media de entrada y de salida de agua queda


Ejemplo 5


La ecuación de la cantidad de movimiento queda: La ecuación de la cantidad de movimiento en las direcciones x y z queda


Ejemplo 5


Despejando FRx y FRz y sustituyendo valores queda como sigue:


Ejemplo 5


La magnitud y dirección de FR queda como sigue:


Ejemplo 6

Se usa un codo reductor para desviar hacia arriba en un ángulo de 45º, respecto de su dirección original., un flujo de agua que viene por un tubo horizontal a razón de 30 kg/s, que acelera al mismo tiempo. El codo descarga el agua hacia la atmosfera. El área de sección transversal del codo es de 150 cm2 a la entrada y de 25 cm2 a la salida. La diferencia de elevación entre los centro de la salida y de la entrada es de 40 cm. La masa del codo y del agua es de 50 kg. Determine la fuerza de anclaje necesaria para sostener el codo en su lugar. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03. La presión manométrica en 1 es 73.9 kPa


Ejemplo 6


Tomamos el codo como el volumen de control. La conservación de masa para el codo queda: De donde se obtiene que la velocidad a la entrada y la salida queda:


Ejemplo 6


La ecuación de la cantidad de movimiento queda: La ecuación de cantidad de movimiento escrita para los ejes x y z


Ejemplo 6


Despejando FRx y FRz y sustituyendo las variables conocidas La magnitud y dirección de la fuerza FR queda:


Ejemplo 7

Unos bomberos sostienen una boquilla en el extremo de una manguera mientras tratan de extinguir el incendio. Si el diámetro de salida de la boquilla es de 6 cm y el flujo de agua es 5m3/min, determine a) la velocidad promedio del agua a la salida y b) la fuerza horizontal que necesitan ejercer los bomberos para sostener la boquilla.


Ejemplo 7


Tomamos la boquilla y la parte horizontal de la manguera como el sistema de manera tal que el agua entra al volumen de control en dirección vertical y sale en dirección horizontal La velocidad promedio de salida y el flujo másico son determinados como sigue:


Ejemplo 7


La ecuación de momentum es: Escribiendo la ecuación de momentum para la dirección x, remplazando valores y despejando FRx


Ejemplo 8

Fluye agua hacia la sección en u de un tubo, como se muestra en la figura. En la brida (1), la presión absoluta es de 200 kPa y al tubo fluyen 30 kg/s. En la brida 2, la presión total es de 150 kPa. En el lugar 3 se descargan 8 kg/s de agua hacia la atmosfera, la cual esta a 100 kPa. Determine las fuerzas x y z totales en las dos bridas que conectan al tubo. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03.


Ejemplo 8

Fluye agua hacia la sección en u de un tubo, como se muestra en la figura. En la brida (1), la presión absoluta es de 200 kPa y al tubo fluyen 30 kg/s. En la brida 2, la presión total es de 150 kPa. En el lugar 3 se descargan 8 kg/s de agua hacia la atmosfera, la cual esta a 100 kPa. Determine las fuerzas x y z totales en las dos bridas que conectan al tubo. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03.

Las velocidades de los 3 flujos son:


Ejemplo 8

Fluye agua hacia la sección en “u” de un tubo, como se muestra en la figura. En la brida (1), la presión absoluta es de 200 kPa y al tubo fluyen 30 kg/s. En la brida 2, la presión total es de 150 kPa. En el lugar 3 se descargan 8 kg/s de agua hacia la atmosfera, la cual esta a 100 kPa. Determine las fuerzas x y z totales en las dos bridas que conectan al tubo. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03.

Tomamos la sección en U del tubo como volumen de control. La ecuación de cantidad de movimiento para el flujo queda como: La ecuación de momentum a lo largo de los ejes x y z queda:


Ejemplo 8

Fluye agua hacia la sección en “u” de un tubo, como se muestra en la figura. En la brida (1), la presión absoluta es de 200 kPa y al tubo fluyen 30 kg/s. En la brida 2, la presión total es de 150 kPa. En el lugar 3 se descargan 8 kg/s de agua hacia la atmosfera, la cual esta a 100 kPa. Determine las fuerzas x y z totales en las dos bridas que conectan al tubo. Tome el factor de corrección de flujo de la cantidad de movimiento como 1.03.

Remplazando los valores conocidos queda como sigue:

Conservación de la energía

Energía Mecánica

La energía mecánica se define como la forma de energía que se puede convertir completa y directamente a trabajo mecánico por medio de un dispositivo mecánico ideal como lo es una turbina ideal. Las formas más comunes de energía mecánica son la energía cinética, energía potencial y el trabajo/energía de flujo (una fuerza de presión que actúa sobre un fluido a lo largo de una distancia). La energía mecánica de un fluido en movimiento se puede expresar por unidad de masa como


Energía Mecánica

La energía mecánica de un fluido en movimiento se puede expresar por unidad de masa como El cambio en la energía de un fluido en el curso de un fluido incompresible queda La anterior ecuación quiere decir que la energía mecánica de un fluido no cambia durante el flujo si su presión, velocidad y elevación permanecen constantes En ausencia de perdidas, el cambio de energía mecánica representa el trabajo mecánico suministrado al fluido o extraído de este.

Conservación de la energía La ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, y es valida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciable (los efectos viscosos son pequeños en comparación con los efectos inerciales, gravitacionales y de la presión). La ecuación de Bernoulli puede escribirse entre dos puntos cualesquiera sobre la misma línea de corriente (trayectoria de una partícula de fluido) como: Los anteriores términos, son energía de flujo, energía cinética y energía potencial por unidad de masa. La ecuación de Bernoulli dice: La suma de la energía cinética, la potencial y de flujo de un partícula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables

Conservación de la energía La ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli es de uso común en la practica, ya que diversos problemas prácticos de flujo de fluidos pueden analizarse con ella, con exactitud razonable Limitaciones de uso de la ecuación de Bernoulli: 1. Flujo estacionario 2. Flujo sin fricción 3. Ningún trabajo en el eje: No se aplica en una sección de flujo en el que intervenga una bomba o turbina, ya que estos aparatos destruyen las líneas de corriente. 4. Flujo incompresible 5. Ninguna transferencia de calor

Ecuación de Bernoulli

Ejemplo 1.

Fluye agua de una manguera que está conectada a una tubería principal que está a 400 kPa de presión manométrica. Un niño coloca su dedo pulgar para cubrir la mayor parte de la salida de la manguera, y hace que salga un chorro delgado de agua a alta velocidad. Si la manguera se sostiene hacia arriba ¿ A qué altura máxima podría llegar el chorro?


Ejemplo 1.


Hipótesis 1.  El flujo que sale hacia el aire es estacionario y

incompresible 2.  La presión del agua en la manguera cerca de la

salida es igual a la de la tubería principal 3.  Los efectos de tensión superficial son

despreciables 4.  La fricción entre el agua y el aire es

despreciable.


Ejemplo 1.


Análisis La velocidad dentro de la manguera es más o menos baja (V1 es próximo a 0) y se toma la salida de ella como el nivel de referencia (z1=0) En la punta de la trayectoria del agua V2=0 y corresponde a la presión atmosférica. Quedando la Ecuación de Bernoulli como sigue:


Ejemplo 1.


Simplificando términos queda como sigue: Despejando z2 y sustituyendo los valores conocidos


Ejemplo 1.


Discusión: El resultado obtenido por medio de Bernoulli representa el limite superior y debe interpretarse como tal. Es decir el agua no puede subir más de 40.8 m y, llegará hasta menos de 40.8 m debido a las perdidas que se despreciaron.


Ejemplo 2.

Un tanque grande esta abierto a las atmosfera y lleno con agua hasta una altura de 5m, proveniente desde la toma de salida. Ahora se abre una toma cercana al fondo del tanque y el agua fluye hacia fuera por la salida lisa y redondeada. Determine la velocidad de salida del agua.


Ejemplo 2.


Hipótesis: 1.  El flujo es incompresible 2.  El agua drena con lentitud suficiente como

para que pueda considerarse aproximadamente estacionario

Análisis: Se toma el punto 1 en la superficie libre del agua, de modo que P1=Patm, V1 es muy pequeña y z1=5 m y z2=0. Asimismo, P2=Patm. Finalmente, la ecuación de Bernoulli queda


Ejemplo 2.


Finalmente, la ecuación de Bernoulli queda Despejando V2 y sustituyendo los valores conocidos


Ejemplo 3.

En un viaje a la playa, a un carro se le acaba la gasolina y es necesario extraer gasolina por acción de un sifón del carro de un buen samaritano. El sifón es una manguera con diámetro pequeño y para iniciar la acción es necesario introducir uno de los extremos en el tanque lleno de gasolina, llenar la manguera de esta mediante succión y, enseguida, poner el otro extremo en una lata que está colocada abajo del nivel del tanque. El punto 2 está ubicado 0.75 m abajo del punto 1, y el 3 está 2 m arriba de 1. El diámetro de la sifón es de 4 mm y deben descartarse las perdidas por fricción en él. Determine. a) el tiempo mínimo para llevar 4L de gasolina del tanque a la lata y b) la presión en el punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3


Ejemplo 3.

En un viaje a la playa, a un carro se le acaba la gasolina y es necesario extraer gasolina por acción de un sifón del carro de un buen samaritano. El sifón es una manguera con diámetro pequeño y para iniciar la acción es necesario introducir uno de los extremos en el tanque lleno de gasolina, llenar la manguera de esta mediante succión y, enseguida, poner el otro extremo en una lata que está colocada abajo del nivel del tanque. El punto2 está ubicado 0.75 m abajo del punto 1, y el 3 está 2 m arriba de 1. El diámetro de la sifón es de 4 mm y deben descartarse las perdidas por fricción en él. Determine. a) el tiempo mínimo para llevar 4L de gasolina del tanque a la lata y b) la presión en el punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3

Hipótesis: 1.  El flujo es estacionario e incompresible 2.  Se empleará la ecuación de Bernoulli para obtener

una estimación para el mejor de los casos. 3.  El cambio de nivel de la superficie de la gasolina en

el interior del tanque es despreciable en comparación con las dimensiones del problema.


Ejemplo 3.


Análisis: Se toma que el punto 1 está en la superficie libre de la gasolina dentro del tanque, de modo que P1=Patm, V1 es muy pequeña y z2=0. Asimismo P2=Patm. Entonces Bernoulli se simplifica a:


Ejemplo 3.


Análisis: Despejando V2 y sustituyendo valores conocidos


Ejemplo 3.


El área de la sección transversal del tubo y el gasto de gasolina son: El tiempo necesario para extraer 4L de gasolina queda:


Ejemplo 3.


Parte b) Se puede determinar la presión en el punto 3 cuando se escribe la ecuación de Bernoulli entre los punto 2 y 3: Nótese que V2=V3 por conservación de masa


Ejemplo 3.


Despejando P3 y sustituyendo valores conocidos:


Ejemplo 4.

Un piezómetro y un tubo de Pitot están fijos a tomas en un tubo horizontal de agua, como se muestra en la figura, con el fin de medir las presiones estática y de estancamiento. Para las alturas indicadas de columnas de agua, determine la velocidad en el centro del tubo.


Ejemplo 4.


Hipótesis: 1.  El flujo es estacionario e incompresible 2.  Los puntos 1 y 2 están lo suficientemente

cerca entre sí para que la perdida irreversible de energía entre ellos ellos sea despreciable (se puede aplicar Bernoulli)


Ejemplo 4.


Análisis Se toman los puntos 1 y 2 a lo largo de la línea central del tubo, teniendo el punto 1 directamente abajo del piezómetro y el punto 2 en la punta del tubo de Pitot Las presiones manométricas en los puntos 1 y 2 pueden expresarse como:


Ejemplo 4.


La aplicación de Bernoulli entre 1 y 2 da: Cuando se sustituyen las expresiones para P1 y P2 da:


Ejemplo 4.


Despejando V1 y sustituyendo los valores conocidos:

Ecuación general de la Energía

Principio de conservación de la energía: La energía no se puede crear no destruir en el transcurso de un proceso: solo puede cambiar de formas. El contenido de energía de una cantidad fija de masa (sistema) se puede cambiar por medio de dos mecanismos: la transferencia de calor Q, y la transferencia de trabajo W. La conservación de la energía para una cantidad fija de masa se puede expresar en la forma de razón como: Donde


La conservación de la energía para una cantidad fija de masa se puede expresar en la forma de razón como: Donde La energía total e consiste en la energía interna, la cinética y la potencial, y se expresa en términos de la unida de masa, como


La conservación de la energía para una cantidad fija de masa se puede expresar en la forma de razón como: Donde Un sistema puede incluir numerosas formas de trabajo y el trabajo total se puede expresar como Wshaft : trabajo transmitido por un eje Wpressure : es el trabajo realizado por las fuerzas de presión sobre la superficie de control


La conservación de la energía para una cantidad fija de masa se puede expresar en la forma de razón como: Un sistema puede incluir numerosas formas de trabajo y el trabajo total se puede expresar como Wshaft : trabajo transmitido por un eje Wpressure : es el trabajo realizado por las fuerzas de presión sobre la superficie de control Entonces la forma de razón de la relación de conservación de energía para un sistema cerrado queda:


Entonces la forma de razón de la relación de conservación de energía para un sistema cerrado queda: Para obtener la ecuación de conservación de energía para un volumen de control, se aplica el teorema de transporte de Reynolds, se remplaza B con la energía total E, y b con la energía total por unidad de masa e Utilizando las dos ecuaciones anteriores, la forma general de la ecuación de conservación de la energía queda:


Remplazando la ecuación para el trabajo de la presión, la ecuación anterior se puede escribir como: La integral de superficie de la anterior ecuación se puede aproximar de la siguiente manera Donde


Flujos estacionarios

Para flujos estacionarios la ecuación de conservación de energía se puede escribir como sigue: Una gran cantidad de problemas prácticos incluyen sólo una entrada y una salida, por tanto la ecuación anterior se puede simplificar Dividiendo la anterior ecuación por el el flujo másico



Usando la definición de entalpia: La anterior ecuación se puede escribir como sigue: Llamando al termino entre paréntesis energía mecánica perdida La ecuación de conservación de energía queda



wshaft, net in se descompone en entrada de trabajo debido a una bomba y salida de trabajo debido a una turbina, la ecuación anterior queda como sigue Multiplicando la ecuación anterior por el flujo másico da: Donde



Dividiendo por la gravedad g y descomponiendo la energía perdida emech,loss , en energía perdida en la bomba, la turbina y la tubería Donde



Diagrama de flujo de la energía mecánica para un sistema de flujo de fluido que contiene una bomba y una turbina.



Factor de corrección de energía cinética: Se utiliza para calcular correctamente la energía cinética del fluido. El factor de corrección de energía cinética es 2.0 para flujo laminar en un tubo y varia entre 1.04 y 1.11 para flujo turbulento en un tubo


Energía Mecánica

La transferencia de energía mecánica suele realizarse cuando se hace girar un eje (trabajo en el eje). Una bomba o un ventilador reciben trabajo en el eje (generalmente de un motor eléctrico) y lo transfieren al fluido como energía mecánica (aumentando la presión, velocidad o la elevación de un fluido). Una turbina convierte la energía mecánica de fluido en trabajo en el eje (impulsando a un generador o cualquier dispositivo rotatorio) Se puede entonces definir la eficiencia de la turbina y la bomba como sigue

Eslarazóndeaumentodelaenergíamecánica


Energía Mecánica

La transferencia de energía mecánica suele realizarse cuando se hace girar un eje (trabajo en el eje). Una bomba o un ventilador reciben trabajo en el eje (generalmente de un motor eléctrico) y lo transfieren al fluido como energía mecánica (aumentando la presión, velocidad o la elevación de un fluido). Una turbina convierte la energía mecánica de fluido en trabajo en el eje (impulsando a un generador o cualquier dispositivo rotatorio) Se puede entonces definir la eficiencia de la turbina y la bomba como sigue

Eslarazóndedisminucióndelaenergíamecánica


Energía Mecánica

También, podemos hablar de la eficiencia del motor y la eficiencia del generador


Energía Mecánica

Suele formarse un acoplamiento de un bomba con su motor y el de una turbina con un generador. Comúnmente, se tiene interés en la eficiencia combinada de las combinaciones bomba-motor y turbogenerador.


Ejemplo 1

Potencia de bombeo Un motor eléctrico de 15 kW cuya eficiencia es de 90% suministra potencia a una bomba de un sistema de distribución de agua. El gasto de agua que pasa por la bomba en 50L/s. Los diámetros de los tubos de admisión y de descarga son iguales y la diferencia de elevación de uno a otro lado de la bomba son despreciables. Se mide que la presión en la admisión y la descarga de la bomba son 100 kPa y 300kPa (absolutos), respectivamente, determine a) la eficiencia mecánica de la bomba


Ejemplo 1


El flujo másico de agua que pasa por la bomba es: La potencia mecánica en el eje que se suministra a la bomba es


Ejemplo 1


Para determinar la eficiencia mecánica de la bomba se necesita conocer el aumento en la energía mecánica del fluido conforme fluye a través de la bomba, el cual es Sustituyendo los valores dados:


Ejemplo 1


Entonces, la eficiencia mecánica de la bomba queda:


Ejemplo 2

Generación de potencia hidroeléctrica En una planta generadora hidroeléctrica, 100m3/s de agua fluyen desde una elevación de 120 m hasta una turbina, en donde se genera potencia eléctrica. Se determina que la perdida total irreversible de carga en el sistema de tuberías, desde el punto 1 hasta el punto 2 (se excluye la unidad de turbina) es de 35 m. Si la eficiencia total del turbogenerador es de 80%, estime la salida de potencia eléctrica


Ejemplo 2


El flujo másico que pasa por la turbina es: La ecuación de la energía pata flujo estacionario e incompresible se reduce a : De donde se obtiene:


Ejemplo 2


La potencia correspondiente a la carga extraída es: Un turbogenerador perfecto generaría 83400kW de electricidad a partir de este recurso. La potencia generada por la unidad real es:


Ejemplo 3

Selección del ventilador para enfriamiento por aire de una computadora Debe seleccionarse un ventilador para enfriar una computadora cuyas dimensiones son 12 cm por 40 cm por 40 cm. Se espera que la mitad del volumen de la computadora este lleno de componentes y que la otra mitad sea espacio de aire. Se cuenta con un agujero de 5 cm de diámetro en la parte posterior de la computadora para la instalación del ventilador que debe remplazar al aire en los espacios vacíos una vez cada segundo. En el mercado se encuentran unidades combinadas ventilador-motor de baja potencia y se estima que su eficiencia es de 30%. Determine a) La potencia de la unidad ventilador-motor que debe comprarse y b) la diferencia de presión de uno al otro lado del ventilador. Tome la densidad del aire como 1.20 kg/m3


Ejemplo 3


Se observa que la mitad del volumen de la computadora está ocupado por los componentes, el volumen de aire en la computadora es:


Ejemplo 3


Por lo tanto, el gasto volumétrico y el de masa de aire que pasan por la computadora son:


Ejemplo 3


El área de sección transversal de la abertura de la computadora y la velocidad promedio del aire a través de la salida son:


Ejemplo 3


La ecuación de la energía se simplifica para quedar: Se despeja


Ejemplo 3


Y se sustituyen valores Entonces se determina que la entrada de potencia eléctrica hacia el ventilador es:


Ejemplo 3


Haciendo un balance de energía entre los puntos 3 y 4, la ecuación de energía se reduce a: Despejando y sustituyendo los valores conocidos La elevación de la presión de uno a otro lado es de 15.8Pa


Ejemplo 4

Perdida de carga y de potencia durante el bombeo de agua Se bombea agua desde un deposito inferior hacia otro más alto mediante una bomba que suministra 20kW de potencia mecánica útil al agua. La superficie libre del deposito esta 45 m más arriba que la superficie inferior. Si se mide el gasto de agua es de 0.03m3/s, determine la perdida en el transcurso de este proceso.


Ejemplo 4


El flujo de masa en el sistema es: La ecuación de conservación de energía para flujo estacionario e incompresible entre el punto 1 y 2 es: Sustituyendo, se determina que la potencia mecánica perdida es:


Ejemplo 4


La perdida irreversible de carga es La bomba podría subir el agua 23 m más si no hubiera perdidas irreversibles de carga en el sistema


Ejemplo 5

Se quiere bombear agua del subsuelo mediante una bomba sumergida de 3kW y con un 70% de eficiencia hasta un estanque cuya superficie libre está 30 m arriba de dicha agua. El diámetro del tubo es de 7 cm en el lado de la admisión y de 5 cm en el lado de la descarga. Determine a) el gasto máximo de agua y b) la diferencia de presión de uno a otro lado de la bomba. Suponga que la diferencia de elevación entre la entrada y la salida de la bomba así como el efecto de los factores de corrección de energía cinética son despreciables.


Ejemplo 5


La potencia mecánica útil entregada al fluido es La ecuación de energía entre los puntos 1 y 2, considerando las perdidas por fricción en la tubería despreciables


Ejemplo 5


Combinando las tres anteriores ecuaciones y remplazando por 0 los términos de presión y velocidad, obtenemos


Ejemplo 5


Despejando el flujo másico, obtenemos


Ejemplo 5


Tomamos el punto 3 y 4 como la entrada y salida de la bomba respectivamente. Las velocidades en los puntos 3 y 4 son Tomamos la bomba como volumen de control, y planteamos la ecuación de energía entre los puntos 3 y 4 como sigue


Ejemplo 5


De donde la diferencia de presión entre 3 y 4 se puede expresar como Remplazando los valores conocidos, se obtiene


Ejemplo 6

Se debe seleccionar un ventilador para renovar el aire de un cuarto de baño cuyas dimensiones son 2 m por 3 m por 3 m. La velocidad del aire no debe sobrepasar 8 m/s para minimizar la vibración y el ruido. La eficiencia combinada de la unidad ventilador-motor que se usará puede tomarse como 50%. Si el ventilador debe remplazar todo el volumen de aire en 10 min, determine a) la potencia de la unidad motor-ventilador que debe comprarse, b) el diámetro del ventilador y c) la diferencia de presión de uno al otro lado de este ultimo. Tome la densidad del aire como 1.25 kg/m3 y descarte el efecto de los factores de corrección de la energía cinética


Ejemplo 6


El volumen de aire en el baño es EL flujo másico y volumétrico a través del ducto es:


Ejemplo 6


La ecuación de energía entre los puntos 1 y 2 queda como Haciendo 0 los términos respectivos queda


Ejemplo 6


Remplazando los valores conocidos Y Se necesita un motor que consuma 2.4 W de potencia eléctrica


Ejemplo 6


El diámetro del ducto del ventilador debe ser


Ejemplo 6


La diferencia de presión entre un punto a la izquierda y un punto a la derecha del ventilador Remplazando valores conocidos


Ejemplo 6

Una bomba de aceite consume 35kW cuando bombea aceite con densidad 860 kg/m3, a razón de 0.1 m3/s. Los diámetros de entrada y salida del tubo son 8 cm y 12 cm, respectivamente. Si se mide que el aumento de presión del aceite en la bomba es de 400 kPa y la eficiencia del motor es de 90%, determine la eficiencia mecánica de la bomba. Tome el factor de corrección de energía como 1.05.


Ejemplo 6


Tomamos como puntos 1 y 2 la entrada y la salida de la bomba respectivamente. La ecuación de energía para la bomba queda Despejando la cabeza útil de la bomba


Ejemplo 6


Necesitamos calcular la velocidad a la entrada y a la salida de la bomba


Ejemplo 6


Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos la cabeza útil de la bomba La potencia en el eje de la bomba y la eficiencia mecánica de la bomba son


Ejemplo 7

Un tanque grande de 2 m de altura esta inicialmente lleno con agua. La superficie del agua en el tanque esta abierta a la atmosfera y un orificio de 10 cm de diámetro con bordes agudos, que está en el fondo del tanque, drena a la atmosfera por un tubo horizontal de 100 m de largo. Si se determina que la perdida irreversible total de carga en el sistema es de 1.5 m, determine la velocidad inicial del agua proveniente del tanque. Descarte el efecto de los factores de corrección de energía cinética


Ejemplo 7

Un tanque grande de 2 m de altura esta inicialmente lleno con agua. La superficie del agua en el tanque esta abierta a la atmosfera y un orificio de 10 cm de diámetro con bordes agudos, que está en el fondo del tanque, drena a la atmosfera por un tubo horizontal de 100 m de largo. Si se determina que la perdida irreversible total de carga en el sistema es de 1.5 m, determine la velocidad inicial del agua proveniente del tanque. Descarte el efecto de los factores de corrección de energía cinética

Tomamos el punto 1 como la superficie libre del fluido y el punto 2 como la salida de la tubería. La conservación de energía entre los dos puntos queda Despejando V2 y sustituyendo los valores conocidos se obtiene

i.m., m.sc., ph.d.descarga que esta cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es 0.5 m y un chorro...

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