ii 3 turunan fungsi trigonometri logaritmik eksponensial

1/6

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri

Inversi, Logaritmik, Eksponensial

3.1. Turunan Fungsi Trigonometri Jika xy sin= maka

x

xxxxx

x

xxx

dxxd

dxdy

+

=

+

==

sinsincoscossin

sin)sin(sin

Untuk nilai yang kecil, x menuju nol, sinx = x dan cosx = 1. Oleh karena itu x

dxxd

cossin

= (3.1) Jika xy cos= maka

x

xxxxx

x

xxx

dxxd

dxdy

=

+

==

cossinsincoscos

cos)cos(cos

Jik x menuju nol, maka sinx = x dan cosx = 1. Oleh karena itu x

dxxd

sincos = (3.2)

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dxd

dxxd 2

22

2sec

cos

1cos

)sin(sincoscos

sintan==

=

=

xxx

xxx

x

x

dxd

dxxd 2

22

2csc

sin1

sin)(coscossin

sincoscot

=

=

=

=

xxx

x

x

x

xdxd

dxxd

tanseccos

sincos

)sin(0cos

1sec22 ==

=

=

xxx

x

x

x

xdxd

dxxd

cotcscsin

cos

sin)(cos0

sin1csc

22 =

=

=

=

Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. 1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Kita akan melihat

bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 210-6 farad ini. Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dtdvCi CC =

Arus yang melalui kapasitor adalah

( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdtd

dtdvCi CC ===

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah

2/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial


watt800sin16 400sin400cos32400cos16,0400sin200

t

ttttivp CCC=

===

Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.

Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 90o. Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif.

2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai iL = 0,2cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dtdi

Lv LL =

( ) tttdtd

dtdiLv LL 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 ====

Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.

W800sin20 400cos400sin40)400cos2.0(400sin200

t

ttttivp LLL=

===

Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.

Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o. Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

C

C

C

vC

iC

pC

t [detik]

vL

iL

pL L

L

L

t[detik]

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

3/6


3.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

1) xy 1sin = yx sin=

ydydx cos= ydx

dycos

1=

21

1

xdxdy

=

2) xy 1cos= yx cos= ydydx sin=

ydxdy

sin1

= ; 21

1

xdxdy

=

3) xy 1tan= yx tan=

dyy

dx 2cos1

= ydxdy 2cos= ;

211xdx

dy+

=

4) xy 1cot= yx cot=

dyy

dx 2sin1

= ydxdy 2sin= ;

211xdx

dy+

=

yyx

cos

1sec == dy

yxdx 2cos)sin(0

= 5) xy 1sec=

1

1

1

1sin

cos

2

22

2

=

==

xx

x

x

xyy

dxdy

6) xy 1csc= y

yxsin

1csc == dy

yxdx 2sin)(cos0

=

1

1

1

1cos

sin

2

22

2

=

=

=

xx

x

x

xyy

dxdy

x 1

21 x

y

x

1 21 xy

x

1

21 x+y

x 1

21 x+y

1

x 12 xy

1 x

12 x

y



3.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka

dxdv

vdxdv

dvvd

dxvd

cos)(sin)(sin

==

dxdv

vdxdv

dvvd

dxvd

sin)(cos)(cos ==

dxdv

vdxdv

x

xx

v

v

dxd

dxvd 2

2

22sec

cos

sincoscos

sin)(tan=

+=

=

dxdv

vv

v

dxd

dxvd 2csc

sincos)(cot

=

=

dxdv

vvdxdv

v

v

vdxd

dxvd

tanseccos

sin0cos

1)(sec2 =

+=

=

dxdv

vvvdx

ddx

vdcotcsc

sin1)(csc

=

=

Jika w = f(x), maka

dxdw

wdxwd

2

1

1

1)(sin

=

dxdw

wdxwd

2

1

1

1)(cos

=

dxdw

wdxwd

2

1

11)(tan

+=

dxdw

wdxwd

2

1

11)(cot

+=

dxdw

wwdxwd

1

1)(sec2

1

=

dxdw

wwdxwd

1

1)(csc2

1

=

5/6


3.4. Turunan Fungsi Logaritmik Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)

)0( 1ln)(1

>== xdttxxfx

y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.

Gb.3.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.

Kita lihat pula

=

+

+ xx

xdt

txx

xxx 11)ln()ln( (3.3)

Apa yang berada dalam tanda kurung (3.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (x 1/x). Namun jika x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (x 1/x); dan jika x mendekati nol luas tersebut sama dengan (x 1/x). Pada keadaan batas ini (3.3) akan bernilai (1/x). Jadi

xdxxd 1ln

= (3.4)

Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: 43 2 += xv

436)43(

431lnln

2

2

2 +=

+

+==

x

x

dxxd

xdxdv

dvvd

dxvd

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

)ln(ln ; )ln(cos ;22

ln ; )2ln( 2 xyxyx

xyxxy ==

+=+=

3.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk

xey = (3.5)

Persamaan (3.5) berarti xexy == lnln , dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4x

y

1/x

1/t

ln(x+x)lnx

x+x 1/(x+x)



11ln ==dxdy

ydxyd

atau xeydxdy

== (3.6)

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunan-turunan dari xey = adalah

xey = xey = xey = dst.

Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, )(xvv = .

dxdv

edxdv

dvde

dxde vvv

== (3.7)

Kita ambil contoh: xey1tan

=

2

tan1tan

1tan

11

x

e

dxxd

edxdy xx

+==

ii 3 turunan fungsi trigonometri logaritmik eksponensial

Documents