-
1/6
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri
Inversi, Logaritmik, Eksponensial
3.1. Turunan Fungsi Trigonometri Jika xy sin= maka
x
xxxxx
x
xxx
dxxd
dxdy
+
=
+
==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
Untuk nilai yang kecil, x menuju nol, sinx = x dan cosx = 1. Oleh karena itu x
dxxd
cossin
= (3.1) Jika xy cos= maka
x
xxxxx
x
xxx
dxxd
dxdy
=
+
==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
Jik x menuju nol, maka sinx = x dan cosx = 1. Oleh karena itu x
dxxd
sincos = (3.2)
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dxd
dxxd 2
22
2sec
cos
1cos
)sin(sincoscos
sintan==
=
=
xxx
xxx
x
x
dxd
dxxd 2
22
2csc
sin1
sin)(coscossin
sincoscot
=
=
=
=
xxx
x
x
x
xdxd
dxxd
tanseccos
sincos
)sin(0cos
1sec22 ==
=
=
xxx
x
x
x
xdxd
dxxd
cotcscsin
cos
sin)(cos0
sin1csc
22 =
=
=
=
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. 1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Kita akan melihat
bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 210-6 farad ini. Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dtdvCi CC =
Arus yang melalui kapasitor adalah
( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdtd
dtdvCi CC ===
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah
-
2/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
watt800sin16 400sin400cos32400cos16,0400sin200
t
ttttivp CCC=
===
Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 90o. Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif.
2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai iL = 0,2cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dtdi
Lv LL =
( ) tttdtd
dtdiLv LL 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 ====
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.
W800sin20 400cos400sin40)400cos2.0(400sin200
t
ttttivp LLL=
===
Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o. Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
C
C
C
vC
iC
pC
t [detik]
vL
iL
pL L
L
L
t[detik]
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-
3/6
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
3.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
1) xy 1sin = yx sin=
ydydx cos= ydx
dycos
1=
21
1
xdxdy
=
2) xy 1cos= yx cos= ydydx sin=
ydxdy
sin1
= ; 21
1
xdxdy
=
3) xy 1tan= yx tan=
dyy
dx 2cos1
= ydxdy 2cos= ;
211xdx
dy+
=
4) xy 1cot= yx cot=
dyy
dx 2sin1
= ydxdy 2sin= ;
211xdx
dy+
=
yyx
cos
1sec == dy
yxdx 2cos)sin(0
= 5) xy 1sec=
1
1
1
1sin
cos
2
22
2
=
==
xx
x
x
xyy
dxdy
6) xy 1csc= y
yxsin
1csc == dy
yxdx 2sin)(cos0
=
1
1
1
1cos
sin
2
22
2
=
=
=
xx
x
x
xyy
dxdy
x 1
21 x
y
x
1 21 xy
x
1
21 x+y
x 1
21 x+y
1
x 12 xy
1 x
12 x
y
-
4/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
3.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka
dxdv
vdxdv
dvvd
dxvd
cos)(sin)(sin
==
dxdv
vdxdv
dvvd
dxvd
sin)(cos)(cos ==
dxdv
vdxdv
x
xx
v
v
dxd
dxvd 2
2
22sec
cos
sincoscos
sin)(tan=
+=
=
dxdv
vv
v
dxd
dxvd 2csc
sincos)(cot
=
=
dxdv
vvdxdv
v
v
vdxd
dxvd
tanseccos
sin0cos
1)(sec2 =
+=
=
dxdv
vvvdx
ddx
vdcotcsc
sin1)(csc
=
=
Jika w = f(x), maka
dxdw
wdxwd
2
1
1
1)(sin
=
dxdw
wdxwd
2
1
1
1)(cos
=
dxdw
wdxwd
2
1
11)(tan
+=
dxdw
wdxwd
2
1
11)(cot
+=
dxdw
wwdxwd
1
1)(sec2
1
=
dxdw
wwdxwd
1
1)(csc2
1
=
-
5/6
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
3.4. Turunan Fungsi Logaritmik Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)
)0( 1ln)(1
>== xdttxxfx
y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.
Gb.3.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.
Kita lihat pula
=
+
+ xx
xdt
txx
xxx 11)ln()ln( (3.3)
Apa yang berada dalam tanda kurung (3.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (x 1/x). Namun jika x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (x 1/x); dan jika x mendekati nol luas tersebut sama dengan (x 1/x). Pada keadaan batas ini (3.3) akan bernilai (1/x). Jadi
xdxxd 1ln
= (3.4)
Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: 43 2 += xv
436)43(
431lnln
2
2
2 +=
+
+==
x
x
dxxd
xdxdv
dvvd
dxvd
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
)ln(ln ; )ln(cos ;22
ln ; )2ln( 2 xyxyx
xyxxy ==
+=+=
3.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk
xey = (3.5)
Persamaan (3.5) berarti xexy == lnln , dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4x
y
1/x
1/t
ln(x+x)lnx
x+x 1/(x+x)
-
6/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
11ln ==dxdy
ydxyd
atau xeydxdy
== (3.6)
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunan-turunan dari xey = adalah
xey = xey = xey = dst.
Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, )(xvv = .
dxdv
edxdv
dvde
dxde vvv
== (3.7)
Kita ambil contoh: xey1tan
=
2
tan1tan
1tan
11
x
e
dxxd
edxdy xx
+==