[ieee 2008 30th international conference on information technology interfaces (iti) -...
TRANSCRIPT
� ������������� ����� � � � ������ �� �� �����
�������� ����� �� � �� � ���������
�� ������ ����
������������ �� ����� �������� �� �������� (����)� ��������� ��� ���� �� ����� ������� � �!"#�� ����� ���$�%��
�"����& ���$$�'%����()�'��'�$
�� � ���� ��� ���� ���
���� ��� ���$�$�$� ����$*����� �� +����
�"����& �%��',����%���(���'��$$'��$'�$
���� ���� ��
����
�"����& -�%�)���������(���'�$
� � ������
������������ �� ����� �������� �� �������� (����)� �����"����& �����'���$���()�'��'�$
��������� �� ���� ���� � �� ���������
�� ��� ������� � � ��� ������ ��� ���
������������ ��������� ��� � ������ � �
�������������� ������� �� ������� � �
������� ��� �� �� ������� β� �������
����� � ��� � ���������� � �� ���������
������� ���� �������� � �� � ��� ����
��� ����� � ��� �������� ������� � � ���
������ ������ ����� � � �� ���� �� ���
��������� ������������� ���� ����� �������
�� � �� ��� �� � ��� ����������� �������� �
� ��� ���� ������ ���� ��������� ��� ���
�������� � ������ ���� �� �������
��������� ���������� �� �������
���� ������ ������������ �������������
����������� ������������� ���� ����������
� ����� �����
������������ ������ ����� ����� ��
������� �� ����� ���� �����������������
����� ��������� ������ ��� ��������������
���� ����� ��� �� � � ����� ������
����������� ��� � � ���� � ��� �� �������!�
������������ ��� ���� ������� � ���
������� ��� �� ���� �������� � �������
�� ��������� ��� ������� ��� ��� ��������
�������� ���������� �� ����� ����� " �����
F �� ���� �� �� ����������� � ����� � �
�� � ���� ������ �� F := 1 − F � �� � �������
������ �������� ��� � �������� ���� ��
����� �������� �#��� �� −1/γ� ����� ��
���� x > 0�
limt→∞
1 − F (tx)1 − F (t)
= x−1/γ , γ > 0.
$ �� �� ���� F ∈ DM(EVγ>0)� �������
� �� �� �� �� � � ������ �� ��������� ��
����� �� �� ������ ����� ����������� �����
���� %����&�
EVγ(x) = exp(−(1 + γx)−1/γ), x ≥ −1/γ.
$ � ������� γ �� � � ���� ������ ��� ��
� � ����� �������� �� ����� �������
��� � � ����� �� �� � �������� �� �����
������ ���� �� #�������� ��� ������������ ��
��������� �� �� � �� ���� %��� �� ����
��� '����� ())*&�
+� ���������� � ������� ��� � �����
������� ��� ����������� ������� ����� ���
� �������� ���� ���� γ� � � ��������� �������
�� �� γ �� � � ���� �������� %����� ,-./&� � �
������ �� � � �����������
Vik
:= lnXn−i+1:n − lnXn−k:n, %,&
�� 1 ≤ i ≤ k < n� � �� Xi:n ��������
�� ������ � � i�� ��������� ��� ����������
1 ≤ i ≤ n� ���������� �� � ����� ������
329Proceedings of the ITI 2008 30th Int. Conf. on Information Technology Interfaces, June 23-26, 2008, Cavtat, Croatia
(X1, X2, · · · , Xn)� �� ���� ���� ��� ���
��� ��������� � ��� ���� �������� γ�
Hk,n :=1k
k∑
i=1
Vik
, ���
� ��������� �������� γ �� ��� ���� �
���� ��������� F ∈ DM(EVγ>0) ����������� k = kn �� � �������� ������������ ��
������� �����
k = kn → ∞ ���k
n→ 0, �� n → ∞. ���
�������� ��� ������������� ���� ��� �����
����� F ∈ DM(EVγ>0)� �� ����� ��
���� �������� ��� ����� ���� �� ��� ��
��� �� ���� ����� ����� ����� ���� ���������
F (x) = 1 − F (x)� ��� ����
( x
C
)−1/γ(1 +
β
ρ
( x
C
)ρ/γ+ o
(xρ/γ
)), �!�
�� x → ∞� ���� C > 0� β �= 0� ρ < 0 �����
��� ������ "#$%�� &���� ��� ������ ������
������ � ��� ��������� γ ������ Hk,n
�� ���� �� ��� ����� ������� ���� �������
����� �� ����� '�
kH0 ≡ kH
0 (n; β, ρ)=((1 − ρ)n−ρ
β√−2ρ
)2/(1−2ρ).
�%�
����� �� (��� ���� � �������� β ��� ρ ���
�������� �� ���� � �������� kH0 �� �%�� )��
��� ���� �������� ��� ������� � ���� *��� ��+
���� ������� ���� ���������� �� � ������
k� ��� ������ ������� �� ��� ��������� kH0
��� ������ ����� ��(����� ��������� �����
���� ���� HkH0 ,n� ,�������� ����������� ����
���� �������� '��� �������� ���� ����������
� ���� ����� ������� '��� ���������� �
��� ��������� � ������� γ� -� � ������
������ .���� �� ���� ��� ��������� ,
������� ��//$� ���� ������� � ���������
'��� �� ��� �� �������� �� �"�� &��� ���� ����
��� � ��� ���� ����� ��������
WLEk,n,β,ρ :=1k
k∑
i=1
e−β (n/k)ρ ψik
(ρ) Vik
,
�0�
� ������� ���� ����� γ� ����� (β, ρ) �� ������������ �������� ��� ����� �����
���� ���������� (β, ρ) �� �!�� ���
ψik
(ρ) ≡ ψik
= −(i/k)−ρ − 1ρ ln(i/k)
, 1 ≤ i ≤ k,
�1�
������� �� ��� �'�� �������� ������ ��
���� �� �� ���� ������ ������� ���� �������
'��� ���� ����� ��������� '���� � �������
��� �� �������� Vik
�� �"�� ������� ���
��������� ρ �� ������� ��� � ��� '����
������ ��� �� ��������� ��� ���������
β ��� '��� ��� � ��� '���� ������
���� ����������� ��� ������ �� ���������
Ui := i {lnXn−i+1:n − lnXn−i:n}� 1 ≤ i ≤ k,������ �� �������� ��������� �� .���
��� 2������ ��//��� -� ���� ����� ��
����� �������� � ��� β �������� '���� �
������ ���������� �������� ������� ����
��� �� �������� Vik
�� �"�� &�� ���������
'������� ���� �� �������� ���� '�
�������� �� ����� ��� ����� ��� (���� ������
��������� ������ � ����� ����� ����������
�� �� ������� � β ��� � ��������������
����� ��� ��� ���� ����� ����������
�� � ��� �� �� �0�� ��� ������ ��'�������
��� �� ��������� �� �� �����'�� � ������� ��
������� � ��� ��������� β� '���� ���
� ��� �� ��������� Vik
, 1 ≤ i ≤ k, �� �"�� -�
.��� � ��� ��//$�� ��� ���� Ei� 1 ≤ i ≤ k������� � ������ k �������� ����������
����� �����'���� ��� �����������
Vik
≈ γeβ (n/k)ρ ψik
(ρ) Ek−i+1:k,
���� ψik����� �� �1�� ��� '��� ��������� ���
3����(��� &���� ��� �� �� ����� ���������
� ��� k �� ��������� Vik� 1 ≤ i ≤ k� ��� �� �
�� �������� �������� ���� ����������� '�
− k ln γ − β(n
k
)ρk∑
i=1
ψik
− 1γ
k∑
i=1
Vik
e−β (n/k)ρ ψik . �$�
&�� ���������� ��� �� �� ����� �$� ��
���� � β ����� � ��� ������� �� �����
330
��������
1k
k∑
i=1
ψik Vik
e−β (n/k)ρ ψik − γ
k
k∑
i=1
ψik = 0.
��� �� �������� ��� ��� ���� �� ����
���� �������� �� β� �� ��� �� ��� �������
����� �� A(1)k − γ sk� ����
sk :=1k
k∑
i=1
ψik
,
���� ��� ��� j ≥ 0�
A(j)k :=
1k
k∑
i=1
ψjik
e−β (n/k)ρψik V
ik,
������� �� γ (1/(1 − ρ) + ln(1 − ρ)/ρ) �= 0�� k → ∞� �� ����� �� ��� �������� � �� ��� ��� ����� �� �� �� � ��� ��� ψik ��
ψ∗ik = −ψik ln(i/k) =
(i/k)−ρ − 1ρ
, 1 ≤ i ≤ k,
������� ��� �� ��������
s∗k :=1k
k∑
i=1
ψ∗ik
. ���
� !�������"���� ��#������$ ��������� �� ������� �� �� ����� �� ���������
1k
k∑
i=1
ψik e−β (n/k)ρ ψik Vik−
(1k
k∑
i=1
ψ∗ik
)
×(1
k
k∑
i=1
e−β (n/k)ρ ψik Vik
)
=: A(1)k − s∗k A
(0)k = 0. �%��
&�� � ������ ������� � �� ��������'
B(j)k :=
1k
k∑
i=1
ψjik
Vik
, j ≥ 0. �%%�
(�� �� ������ �������� ��� B(j)k � j ≥ 0�
��� s∗k ��� B(j)k ����� �� ��� ��� �%%�� ���
�� ������� �� �� �� �� �%�� � ��� ����� ���
���"������� ��� ex ≈ 1 + x, � x → 0� �� ��� �� �� �"��� �� β���������'
βk;ρ|V =(
k
n
)ρ s∗k B(0)k − B
(1)k
s∗k B(1)k − B
(2)k
, �%)�
��� � ��� ������ ���� ��� � ���� ��� ����
�� ��� �� �� β��������� �� *��� ��� +������ �)��)�� ������� �� βk;ρ|U � ����� ���������� ���#���� ψ
ik��� V
ik��� ����� �� �� �%)�
�� (i/k)−ρ ��� �� ���� ������ ��� Ui� ���
�� ������� ��� ��� 1 ≤ i ≤ k�
,�������� �� �� ������ �� *��� �� ���
�)��-�� ������� ��� �� �������� βk;ρ|U � ����� ��� ����� ������ ������ �� ���������
����� ��� �� β��������� βk;ρ|V �� �%)�'
������� �� ��� ���� �� �.� �� ρ � ���
�������� �������� �� ρ �� k = kn � �
������� �� ����������� ������� ���� �/�
��� �� �� ���� A(t) = tρ �� ������� ����
limn→∞√
k A(n/k) = ∞, ���� βk;ρ|V �� �%)�
�������� �� ����������� ����� β � n → ∞�
���� �� ����� �������� �� ρ �� ��� ����
ρ − ρ = op(1/ lnn) �� �� ����� ��������
�� ��� ���� o(xρ/γ) �� �.� ����� ���� ��
�� ��� ���� �� x2ρ/γ �� ��� ������� �������
��� ��� ��������� ��������� �� βk;ρ|V �����
����√
k A2(n/k) → λ ����� � n → ∞�
��� ��������� ����� �������� �� βk;ρ|V� ���� ���� ��
σβV=
γ |β|√
σ21 − a2
1
a21 − a2
, �%/�
����
aj :=(−1)j−1
ρj
∫ 1
0
(v−ρ − 1)j
lnj−1 vdv, �%.�
j = 1, 2 ����� σ21 ����� ��
2ρ2
∫∫
0≤u<v≤1
u−ρ − 1lnu
v−ρ − 1ln v
1 − v
vdu dv,
������ ����� ��� ���� �� �����������
�� βk;ρ(k)|V ����� β � �� ��� ���� ��
ln(n/k)/(√
k A(n/k))�
���� �� ��� �������� �� �%.� ���� ���
������ �������� ��� j = 1, 2 ����� ��
a1 =1
1 − ρ, a2 = − ln(1 − 2ρ) − 2 ln(1 − ρ)
ρ2.
0���� �� ��� �������� � ������ ��
����� %� �� β��������� βk;ρ|U � �� *���
331
��� ������� ��� �� �� ���������� �����
���� ��������� ����� ��
σβU
=γ |β|(1 − ρ)
√1 − 2ρ
|ρ| . ����
���� �� ��������� ��� �� ����� �� ������
��� ����� ���
������ �� ��� ��� ������� ������ σβV
� ��!� � σβU� ����� ��� ������ ��
0.1 12.05 13.20
0.2 7.10 7.40
0.3 5.48 5.63
0.4 4.70 4.80
0.5 4.24 4.32
1.0 3.46 3.55
1.5 3.33 3.44
2.0 3.35 3.50
2.5 3.43 3.62
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
��U
��V
|� |
|� | ��V
��U
"�#��� �$ �������� � �� �� ����� ������� ���
������� � βk;ρ|U ��� βk;ρ|V� �� γ = β = 1�
����� �� � ����� �� ��� ���� ������ ����
����� ������ ��� �������� � �� �� ��
βk;ρ|U � � ��� � ��� � ��� ������ ���� �
βk;ρ|V � � ��� � ��� ������������ ��� ���
������� �� �� � �� ����� � � �� ����
� ��� ��� ����� ���� ������� �� �� ��� ���
� �� ������� ��� ������ ��� � ��� ����� �
���� � ���� ��� ��� ����� ��� � ��� �� ����
��� �� � ��� ���� �� � �� �� � ��� �� ��� �
��� � �� ���� �� �� ������� ��� ����������� �
���� �������� βk;ρ|V � ��� �������� ����
��� �� ���� �� � �� ��� ����� ��� βk;ρ|U� ����� � � ���� (2002)� � �� ���
� ���� !�
��� ��� ����� � � ��� �������� �
��� ��� � ���� ��������� ρ
%� ������� � � �����&��# �� �����
������ ��� '������� (� ��� �� ����������
�� ρ� ����� �� � � ���������� �� β � ���# � �
��������� �� ��� ) � ���������� �� ρ �� ����
�� � � ����� �� � � ����� �� ���������� �� "��#�
������ ����� ��� �� *��� �!�
� ����� � ������ (X1, X2, · · · , Xn)� �����
��� τ = 0 ��� τ = 1� � � ���������
ρk,τ := min{
0,3(T (τ)
k,n − 1)
T(τ)k,n − 3
}, ����
& ���� &��
M(j)k,n :=
1k
k∑
i=1
{ln
Xn−i+1:n
Xn−k:n
}j
,
j = 1, 2, 3� ��� � � �������� abτ = b ln a& ������ τ = 0�
T(τ)k,n :=
(M
(1)k,n
)τ −(M
(2)k,n/2
)τ/2
(M
(2)k,n/2
)τ/2 −(M
(3)k,n/6
)τ/3,
��� ��� τ ∈
�������� {ρk,τ}k∈K� ��� ���#� k� ���
k ∈ K =([
n0.995],
[n0.999
])� ��� ����
���� � ��� ������� ������� ρτ +�,�
� ���� � � ���� � � ����� τ0 :=arg minτ
∑k∈K (ρk,τ − ρτ )
2� ��� &��-
&�� ρ0 := ρk1,τ0 � &��
k1 =[n0.995
]��(�
��� ρk,τ #���� �� ����
) � � ���� �� � � ����� k1 �� ��(� �� ��� ����
���� %� ������ � ���� �������� ��� �������
���� ���#� ����� �� k �� � � ����� �� n1−ε
��� ����� ε� ��� �� � � �# ��������� �� ρk,τ0
������ � � ���#�� ρ ��� ���#� ������ k ��� ���
� ���#� ����� �� ������
�� ����� ��� �� ������
%� ��� ��������� � ���#������� �����
����� ���������� ��� � ���#� ������� �� ���
�������# ������� %� � ��� ��� ��������
���� ���������# ���� ������� &�� ��# � ����
��������
F (x) = (1 + x−ρ/γ)1/ρ, x ≥ 0, γ > 0, ρ < 0.
"�� � ��� ������� &� #�� β = 1 �� �.�
"�� ��� ����� �� n = 100� � �� ��
� � ��� �� ��� ��� ����� ���
��� � � �������� ρ0 �� ρ ��##����� ������ ��
������ ��-� ����� ��� '������ �(� ���
����� �� �� �/�� ��� �-��� �� �� � � ���
#���� � �� 0������ �� &� ��� ��������� � �
���� ������ ��� � � ���� �1����� ������ ��
��� β������������ � � ��& ��������� βk;ρ|V�� ��� ��� � � ��������� βk;ρ|U �� ����� ���
332
������� ���� � ��� � �� ������ � ��
� �� ���� � ��� �� � �� ����� � ����� ��
������� � � ��� �� �� �� �� � � �� k0 ���� ����
���� �� � �� ����� � ���� �� �� �������
���� ��� � ����� � ��� ���� ������ � �� �
��� ������� ������� �� �� � � � k1 �� ���� �
�� ������������� ! ������ �� "�#�� � �� $ ���
%� ��� ��� �����# &��� ��� �� !��� γ = 1 ���ρ = −0.5,−1 ��� −2� � �� ���� �� ���� !��� �� ���� ��� � ����� � � β = 1� �� � �� ����� � �� β0|U := βk1 ;ρ0|U ��� β0|V := βk1 ;ρ0|V ���� �� �'�� � ����� � ���� � �� n� (� � � ����� ! � '�� � �� ����������� �������
����� �� ��� 1000 × 10�
0.95
1.00
1.05
0 2000 4000 6000 8000 10000
E �0 |U[ ]
n
E �0 |V[ ]
"�#�� �) ���� ������ � β0|U �� β0|V� �� ���
������� ���� (γ, ρ) = (1,−0.5)�
0.95
1.00
1.05
0 2000 4000 6000 8000 10000
E �0 |U[ ]
E �0 |V[ ]
n
"�#�� $) ���� ������ � β0|U �� β0|V� �� ���
������� ���� (γ, ρ) = (1,−1)�
*� �� �� �� ���� "�#�� � �� $ ��� % ���� � �
#�����# � �� ���� � ���� ���� �� ���� '���
�� β� �������� '�� � �� �� ��#� �� �� ��
�� �� �� �������� βk;ρ|V �� ���� ������ � ' ��
0.95
1.00
1.05
0 2000 4000 6000 8000 10000
E �0 |U[ ]
E �0 |V[ ]
n
"�#�� %) ���� ������ � β0|U �� β0|V� �� ���
������� ���� (γ, ρ) = (1,−2)�
� � � ����� ���� �� �������� βk;ρ|U �� +�� ���� ������� ���� ��� �� ρ �� ���� ���� �� ��� n ������ , #�����# � �� ����� � ��������� � ���� �� �� ���#���� ��#� � ����������
�������� � ������� �� �� �������� �� ����
���������� �� !��� �� �������� βk;ρ|U ��
"�#�� �� �� � ! �������� �� ����� �'� ��
�� ����� �� ������� �� ��� ���# n� �� ��� ' ��� �� � ���� "�#�� -� � ��� � !��� �� ' �
������ �� �� β� ��������� ��� � �������������� &��� ��� ��� !��� γ = 1 ��� ρ = −0.5�
0.0000
0.0001
0 2000 4000 6000 8000 10000
MSE �0 |U[ ]
MSE �0 |V[ ]
n
"�#�� -) ���� ������ ������ � β0|U �� β0|V�
�� ��� ������� ���� γ = 1 �� ρ = −0.5�
(� � ! �������� β0|V �� ��� .�� ��
���� β0|U ��� ����� ��� � n ≤ n0(ρ) ���ρ ����� �n0(ρ) = 3000 ��� ρ = −2� ��! �� �� ��� n ≥ n1(ρ) ��� ρ ���� �� � ��
�n1(ρ) = 6000 ��� ρ = −0.5� � � ����� �' ��� � �� ���� ��� � ����# � ���� �� ��
� ! β� �������� �� ��� �� ��� ����� '��� ��������� � � ��� � � ��� ���� � �� ρ ���� ��
333
�� �������� � � �� ��� ���� n �� ���� � ���� �� ������ � �� ������ ��� ��� ���� �� ρ� � ����� k1 �� ���������� �� ����������� ��� ��� ��� �� �� ���� ���������� ��� � ��� ������ β ���� � ��� ��� ��� βk;ρ|V �� �����
�� ����� �����
� ����� ����������� �� ���������� �� � ��� ���� � ����� ��� ����� �� ��!������� ������ �� �� ����� ���������� � ����� ����������� �� "������������ ��� �� � ���� �� ��� ���#������� $����� � �� � ��������� �%��� �� ��� ������ �� �� ��� �� � �� ��� ��������� � ��� ��� �������� &� �������� ��� ������� �� � ����� ���������� �����������'�(���� ��� ���� �� � ��� ���� �� ������� �� � ����� �������� ������ �
"� � �������� � ������� �� �� ��!��� ���� ��� ������ �� ����������� �� � !�� � ������ ��������� ��� ��� �� �������� ��� ��� ��� � ������ ����� ������� ��� �� ���� �� � ������������ $� ���� �� ������������� � �� ���� ��(��� � ����� � ���� ����� ������������ )� ���� �������� ���� ��� � ������ ��� � ���� �� ���!���� ������ �� �� ��� �������� ���� � ���!���� � ������� �������� ��� ����#� ��� ��� ��� �� �� �� ��������
*����� �� ��� ����� � ������� ���������� � ��� �� ��� ���� ������� � �������� ����� ��� ����# � ��� ����� � ������&� ������ �� � ���� ��� � � �� ���� � ���� ��� �� ���� �� ������� ��� ����� ���� �� � �� ���� �������������� ������ ����� ������� ��� � �� �� ��!��� ������� �������� �� � ������� ������ ���� ���� �� � ��� ���� ��� ��� �� ������� �� �� ���� �� ����������� �� � ���!��� �� � ���� �
+� ���� �� �������� �� �� � �������� � ���� ��� �� � ���� �� � �� � ��!��� �������� ��� ����������� �� �� � ��� ������� �������� �� � ���� �� � ���!�� ����������� *������� ���� �� � � !�� � ����� ���� ��� ��� γ ∈ R ��� �� ����� ���� ���� �� � ������� ��� � ���!
����� ����� ��� ���� ���� �� � �� ��� � !�� ��� ���� ��� �� � �� ���� γ > 1
2 � ����,��� ������ ���� �� ���� �� ��,��� ���!��� �� �������� ���� ��� �� � �� ���� γ ∈ [0, 1
2 ] ��� �� � ��� �� ��� �� ��������� � �������� ���� &�� ��������� �� ��������� ��� �� ��� ���� ����� � ���� �������� ����� ������� ������� ������ �� � !�� ������ �� ��������� � ��� �� ������!������ ��� ������� � �� ��� ���� ������� ���,����� ���� ��� � �������� ����� !� ����� -�� ������ �� � ��� ���� �� ���� ���� ��� �� ������ ������� �� ������!����� �� ������ �
�����
.�/ )������ 0� ��� 1� ��� 2�$� � ��� ������� ��� ���� �� � 3�����4 ������ ����� ��!�� ���� 5 �� �� ���67 89 �8:!���� �����
.�/ 0���� ������ 2� $�� 1� �� 2� $� ��� ��*���� ;� � ��� ����� �� �� �!���� ������� ���� �� � ������ ����� ���� ����<��������� 2�� ���� ���:7 =��� 6��>�� �9 �8?!��:�
.:/ 1� ��� 2�$�� �� *���� ;� ��� *����@���A��������� ;� &��� $��� ��� ���� �������!����� �����9 ���� ������ ������ �� ������ ���!� ������� B� A������������ ������ ���C7 "��� $���� �9 :�!D��
.?/ 1� ��� 2�$� ��� 2������ 2�B� 3��� �!������� ��������4 ��� ���� �� � ������� ����� �� � ����� ��� ���� �� ������� ����� ���� ���� 5 �� �� ����7D9 �!:���
.D/ 1� ��� 2�$� ��� <������ +� � ����� ��!����� ���� � �� � @������ �=�A� ��� �!��� B� � ��� ����� ������ ����7 =������� >�� ?��9 �C�!�8��
.6/ �� *���� ;� ��� 0�������� �� 5 �� �=���� &����9 �� $���������� ��������7���6�
.�/ *���� <� ��� E���� ��*� �������� ���! ��� �� ���� ���� �� ������� ������������� ����� �8CD7 �:9 ::�!:?��
.C/ *���� "� � �� ��� ������� ������� � �����!���� ���� � ��� �� � ����������� ��������� �8�D7 =��� :� >�� D9 ��6:!���?�
334