1

I ) MATEMATİK TEMELLER

A) TANIMLAR VE İŞLEMLER

B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER

C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER

D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ

2

A) TANIMLAR ve İŞLEMLER

1. Vektörler ve Skalarlar

Vektörlerin ne olup, ne olmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve

azar azar öğretilen bir konudur. [ Boy ve yöne sahip nesne ] veya [ Sıralı 3 elemanlı küme ]

veya [ Konum: ( , , )r x y z gibi davranan ifade ] olarak sunulan vektör kavramının gerçek

tanımı ileride, uzay-zaman simetrileri konusunda yapılacaktır. Şimdilik bir vektörün

kartezyen bileşenleri kullanılarak = , ,x y zA A A A biçiminde ifade edildiği ile yetineceğiz.

2. İşlemler

Eşitlik için , , x x y y z zA B A B A B A B olması gerekir; toplama ve

çıkartma ise C , C , C x x x y y y z z zC A B A B A B A B ile

verilir. Çarpma ise üç başlık altında incelenecektir.

i) Bir sayı (skalar) ile çarpılma : , , x x y y z zB k A B k A B k A B k A

ii) Sonucu skalar olduğu için ‘Skalar çarpım’ olarak adlandırılan çarpım :

x x y y z zs A B A B A B A B

Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A olarak tanımlanan, vektörün boyu

veya Norm’udur. ˆ A

AA

da ‘Birim vektör’ olarak adlandırılır. Bu adın gerekçesi

ˆ ˆ 1A A sağlayarak, birim Norm’a sahip oluşudur.

iii) Sonucu vektör olduğu için ‘Vektörel çarpım’ olarak adlandırılan çarpım :

, , x y z z y y z x x z z x y y xC A B C A B A B C A B A B C A B A B

Bu işlemin B A A B özelliği ve dolayısıyla 0A A oluşu dikkat

3

çekmektedir. Genellikten ayrılmadan A vektörü x-yönünde , B vektörü ise x-y

düzleminde olacak şekilde kartezyen koordinat sistemi yeniden yönlendirilerek

, 0 , 0A A ve cos , sin , 0B B B seçimi yapılınca cos A B AB

olduğu görülür. , 0A B için 0A B oluşu cos 0 90 , 270o o

veya A ve B ’nin birbirine dik olduğunun göstergesidir. Aynı yaklaşımla A B

vektörünün boyu sin AB , yönü ise hem A hem de B ’ye dik olmaktadır.

Toplama ve skalar ile çarpılma kuralları uyarınca herhangi bir A vektörünün

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y zA A A A A A A olarak yazılması sonucu kartezyen

birim vektörleri bulunur : ˆ ˆ ˆ 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y z .

3. Geometri

Yukarıda incelenen özellikler bazı geometrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir.

Mesela düzlem polar koordinatlarda 1 tany

x

olarak tanımlanan açı’nın

diferansiyeli 2 2 2 2

2

1

1

x dy y dx x dy y dxd

y x x yx

olarak yazılınca pay’daki

ifadenin r dr , payda’nın ise 2r olduğu görülür. Bu da d ’nin bir vektör olduğuna

ve 2

ˆ = =

r dr r drd

r r

ile verildiğine işaret etmektedir, dolayısıyla

ˆ 2

r dr d dd d

r r r

sağlanır.

Diğer geometrik kavramları da sonsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür :

Uzunluk : d ; Yüzey : 1 2 dS d d

4

Hacım : 1 2 3 dV d d d

ve son olarak da Katı Açı : 2 2 2

ˆ 4

dS dSr dSd

r r r

olarak

tanımlanırlar.

4. Alanlar

Eğer bir skalar belli bir uzay parçasının her noktasında tanımlı ise r olur ve bir

‘Skalar alan’ olarak adlandırılır. Aynı durum W W r olan bir vektör için geçerli ise bu

sefer bir ‘Vektör alanı’ söz konusudur. Bir odadaki sıcaklık dağılımı , ,T x y z , bir skalar

alana, İstanbul boğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v , ,x y z ise bir vektör alana

örnektir.

B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO )

1.

Matematik eğitiminin ilk aşamalarında kolaylık sağlaması açısından bağımsız değişken

sayısının az tutulması, hatta 1 ile sınırlanması doğaldır. Ancak içinde yaşadığımız Uzay-

Zaman, problemlere gerçekçi bir yaklaşım için 3 + 1 = 4 bağımsız değişkeni zorunlu

kılmaktadır. Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir geometrinin , ,r x y z

ile oluşturulması gerekir. Herhangi bir , ,r x y z fonksiyonunun diferansiyeli

d dx dy dzx y z

olarak yazılınca, ilk akla gelen bu ifadeyi biri

, ,dr dx dy dz vektörü olmak üzere, iki vektörün skalar çarpımı olarak yorumlamak

5

olacaktır. Diferansiyel , , , ,d dx dy dzx y z

olarak yazıldığında ortaya

çıkan , , x y z

vektörü sembolü ile gösterilir. Biraz soyutlama

yapılarak “Nabla” diferansiyel operatörü , ,x y z

olarak tanımlanır.

2. A ve A

Elde böyle bir vektör diferansiyel operatör olunca herhangi bir

, , x y zA r A r A r A r vektör alanı ile oluşturulacak

yx z

AA AA

x y z

veya

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

Ax y z

A A A

işlemlerinin de

tanımlanması doğaldır.

3. 2 ve 2 A

Son olarak A ve A işlemlerinin bileşimi olan 2

tanımlanır. Dönmeler altında değişmeyen 2 2 2

2

2 2 2

x y z

, Laplace operatörü

olarak adlandırılır ve geniş uygulama alanı vardır. Bu operatörün sadece skalarlara değil,

2 A Z olarak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir.

4. Vektör DO Çiftleri

, , işlemlerinin iki tanesinin üstüste uygulanmasından sadece beş geçerli ve

anlamlı ifade elde edilir :

6

2 , , , , A A A .

0 , 0A olduğu kolayca gösterilir. Geri kalan üçü ise

aralarında 2 A A A özdeşliğini sağlarlar.

C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO

1. Jacobian

Kartezyen koordinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin yönlerinin konumdan

bağımsız olmasıdır; dolayısıyla herhangi bir noktadaki x ile, bambaşka bir noktadaki y

birim vektörleri ˆ ˆ 0x y , ˆ ˆ ˆ x y z benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak doğanın

simetrileri açısından kartezyen koordinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezyen

koordinatlarda küre denklemi 2 2 2 2 x y z R iken küresel koordinatlarda tek

değişken cinsinden r R olarak yazılır. Kartezyen dışı 1 2 3, ,q q q koordinat sistemleri

oluştururken yeni koordinatların en azından yerel olarak dik olma şartı aranacaktır. Böylece

verilen bir noktada 1 2ˆ ˆ 0q q ,

1 2 3ˆ ˆ ˆ q q q ve benzeri ifadeler geçerliliğini

koruyacaktır. Kartezyen koordinatlar: 1 2 3, , , ,x y z r r r ’ dan yerel dik koordinatlar

1 2 3, ,q q q ’e geçerken başlangıç noktası ; , 1,2,3j j iq q r i j tanımları ve

bunların ters yüz edilmesi sonucu erişilen ; , 1, 2,3i i jr r q i j ifadeleri olacaktır.

Bu aşamada koordinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde

yamulttuğu hesaba katılmalıdır. x-y düzleminde : 3,4 , : 4,3P Q noktalarının

kartezyen koordinatlarda akla getirdiği alan 3 , 4 , 3 , 4x x y y

doğrularının belirlediği 1 birimlik alandır. Öte yandan aynı noktalar polar koordinatlarda

: 5 , 53 , : 5 , 37o oP r Q r olarak ifade edildikleri için 5r eğrisi

ve 53 , 37o o doğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki

7

koordinat sisteminde de PQ uzaklığının 2 olması doğru çözüm yolunu göstermektedir:

koordinat sistemleri değişse bile iki nokta arasındaki uzaklık aynı kalır. Dolayısıyla çıkış

noktası çok yakın iki nokta arasındaki uzaklığın, veya uzaklık karesinin, değişmezliği olacaktır.

1 2 3

1 2 3

x x x

dx dq dq dqq q q

ile dy , dz için yazılacak benzeri ifadeler matris

gösteriminde

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

=

x x xdqdx

q q q

y y ydqdy

q q q

z z zdqdz

q q q

biçiminde özetlenebilir.

Kısmi türevlerden oluşan 3 3 matris “Jacobian” olarak adlandırılır ve J ile gösterilir.

İki nokta arasındaki uzaklığın karesi 1

1 2 3 2

3

dx dq

dx dy dz dy dq dq dq dq

dz dq

J J

olarak yazılırsa, koordinat sisteminin yerel dik olma şartının J J çarpımının pozitif ve

diyagonal bir matris olmasına eşdeğer olduğu anlaşılır.

2. Metrik Fonksiyonları ve Birim Vektörler

Gene pozitif ve diyagonal bir matris olan “Metrik” matrisi G ise 2 iiihG olmak

üzere G J J olarak tanımlanır ve dx

dx dy dz dy

dz

ifadesi de

1 1

1 1 2 2 3 3 2 2

3 3

h dq

h dq h dq h dq h dq

h dq

biçimini alır. Böylece dx dy dz ’nin yerini alacak

uzunluklar i i id h dq olmaktadır. Bu noktada yerel dik koordinat sistemlerinde hacım

elemanının 1 2 3 1 2 3 1 2 3 d d d h h h dq dq dq , alan vektör elemanlarının da

2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2 , , h h dq dq h h dq dq h h dq dq ile verileceği görülmektedir.

8

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ dr dx x dy y dz z d q d q d q ve

31 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

=

xx xdx

qq q

y y ydr dq dq dqdy

q q q

z z zdz

q q q

31 2

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 1

xx x

qq q

y y yd d d

h q h q h q

z z z

q q q

eşitliklerinin

karşılaştırılmasından 1

ˆ

i

i

i i

i

x

q

yq

h q

z

q

olduğu anlaşılır.

Ancak daha kestirme bir yol : sonucun birim vektör olacağı bilindiğine göre Jacobian

matrisinin sütunlarını normalize ederek ˆiq birim vektörlerini bulmak, normalizasyon için

gerekli bölmeyi yaparken kullanılan ifadeyi de ih olarak belirlemektir. Konuya tam hakim

olmadan yapılacak hesaplarda uzun yolu tercih etmek, kestirme yolu ise kontrol için

kullanmak en emniyetli yaklaşımdır.

3. Alternatif Tanım

Kartezyen koordinatlarda tanımlanan diferansiyel operatör işlemlerini yerel dik

koordinatlarda da ifade edebilmek için 31 2

1 2 3

qq q

x x q x q x q

benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir yoldur. Bunun yerine

9

1 2 3

1 2 3

d dr dq dq dqq q q

ile verildiğine ve

1 1 2 2 3 3 , , dr h dq h dq h dq olduğuna göre

1 1 2 2 3 3

1 1 1 , ,

h q h q h q

olarak kolayca yazılır.

4. A ve A Alternatif Tanımları

Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir geometrik yaklaşım benimsenerek

dS kapalı bir yüzey üzerindeki alan elemanı, V de bu kapalı yüzeyin içinde kalan hacım

olmak üzere 0

V

A dSA

VLim

ve dS kapalı bir eğri boyunca yol elemanı,

S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan olmak üzere 0

ˆ S

A dA S

SLim

kullanılır. Uzun ancak basit işlemler sonucu

2 3 1 3 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

h h A h h A h h AA

h h h q q q

ve

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆ

1

h q h q h q

Ah h h q q q

h A h A h A

bulunur.

Karmaşık hesaplarda emniyet açısından başlangıç noktasının

1

2 3

q

h h 2

3 1

q

h h 3

1 2

q

h h

A = 1q

2q

3q

1 1h A 2 2h A

3 3h A

10

olması tavsiye edilir.

5. 2 Alternatif Tanım

Laplace operatörü 2 ise

2 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 3 3

1

h h h h h h

h h h q h q q h q q h q

olmaktadır; ancak bu

operatörün gereğinde vektörlere de etkili olacağı unutulmamalıdır.

6. İki Temel Teorem

0

V

A dSA

VLim

eşitliği 0V koşulundan dolayı yerel bir ifadedir.

Öte yandan komşu iki hacmın ortak duvarlarından birinde pozitif olan A dS , ötekisinde

negatif olacağı için net katkı sıfır olur. Bu işlem ortak duvarı olmayan sınıra kadar

sürdürülerek, yerelden globale bir genelleme sağlanır ve V S

A dV A dS elde

edilir. Aynı mantıkla S

A dS A d olmaktadır.

7. Elektrodinamik İçin Uyarı

Küresel koordinatlarda bir merkez noktasından uzaklığı ifade eden r değişkenini, silindir

koordinatlarda z-ekseninden uzaklığı ifade etmek için de kullanmak karışıklığa yol açar.

Genelde ile gösterilen bu değişken, elektrodinamikte yük yoğunluğu sembolü olarak da

işlev yaptığı için silindir koordinatlarda yerine s kullanmak gerekir.

11

D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ

Kuantum fiziğinin yanısıra elektrodinamik hesaplarda da konum uzayı kadar momentum

uzayına gerek vardır. İki uzay arasında geçişleri sağlayan Fourier dönüşümleri 3 katlı

integraller olarak karşımıza çıkar. Bu yüzden bunlarda yer alan exp i k r teriminin

veya kısaca k r ifadesinin değişik koordinat sistemlerinde yazılışı çok önemlidir.

Kartezyen koordinatlarda , , , , , x y z x y zr x y z k k k k k r k x k y k z

kolayca yazılır. Ancak yerel dik sistemlerde momentum koordinatlarını dikkatle tanımlamak

gerekir. Silindir koordinatlarda cos , sin , r s s z oluşuna paralel olarak

cos , sin , zk k biçiminde tanımlanır ve cos zk r r k z

elde edilir. Küresel koordinatlarda ise sin cos , sin sin , cosr r r r

oluşuna paralel olarak sin cos , sin sin , cosk k k k biçiminde

tanımlanır ve sin sin cos cos cosk r r k elde edilir. İncelenen

problemlerin simetrileri bu karmaşık ifadeleri integral aşamasında basitleştirecek olsa da yola

en genel biçimlerle başlamak, simetrileri kullanarak ifadeleri kademe kademe basitleştirmek

en sağlıklı yoldur. Diğer bir önemli bilgi ise exp i k r ifadesinin küresel koordinatlarda

küresel harmonikler ve hatta Legendre polinomları kullanarak açılımını veren Rayleigh

bağıntısıdır :

*

0

ˆˆexp 4 m m

m

i k r i j kr Y r Y k

0

ˆˆ 2 1 i j kr P r k

.

Bu konuda eğitici ve önemli bir uygulama küresel simetrik bir f r f r

fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. 3

1 2 3 d r d d d hacım elemanı,

k r çarpımı ve f r f r r fonksiyonu birer skalar oldukları için

12

3

32

1 exp

2f k d r ik r f r

sonucu da skalar olacaktır. Dolayısıyla

f k f k sağlar ve , açılarından bağımsız olur. Bu durumda ve

için akılcı değerler seçerek işlemi basitleştirmek gerekir.

sin sin cos cos cos ifadesinde 0 seçimi yaparak

1

2

3 0 12

1 cos exp cos

2f k r dr f r d ikr d

ara sonucu elde edilir.

Çok basitleşen bu ifadeden, Hankel dönüşümü olarak adlandırılan

0

2 1 sin f k r dr kr f r

k

sonucuna kolayca ulaşılır.

PROBLEMLER

P.1 ) 0A olduğunu, dolayısıyla 0B durumunda B A

yazılabileceğini gösterin.

P.2 ) 0 olduğunu, dolayısıyla 0E durumunda E V

yazılabileceğini gösterin.

P.3 ) 2 A A A özdeşliğini ispatlayın.

P.4 ) Bir vektör alanı A r , , , o o o or x y z noktasında , , oA F G H

değerini alıyor. oA vektörünün silindir koordinat bileşenlerini hesaplayın.

13

P.I.5 ) Bir vektör alanı A r , , , o o o or x y z noktasında , , oA F G H

değerini alıyor. oA vektörünün küresel koordinat bileşenlerini hesaplayın.

P.6 ) cos , sin , x s y s z z olarak tanımlanan , , s z

silindir koordinatlar için , , s zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆˆ ˆ , , s z birim

vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin.

P.7 ) sin cos , sin sin , cos x r y r z r

olarak tanımlanan , , r küresel koordinatlar için , , rh h h metrik

fonksiyonlarını , ˆ ˆˆ , , r birim vektörlerini , , A , A , 2

ifadelerini elde edin. 2 ifadesini cos w kullanarak yeniden yazın.

P.8 ) 2 2

, , 2

x y z z

olarak tanımlanan , , z silindir

parabolik koordinatlar için , , zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆ ˆ ˆ , , z birim

vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin.

P.9 ) 2 2

cos , sin , 2

x y z

olarak tanımlanan

, , parabolik koordinatlar için , , h h h metrik fonksiyonlarını ,

ˆ ˆˆ , , birim vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin.

14

P.10 ) 1 1

2 22 2 2 2 , , x y x x y x z z

koordinat sisteminde , , zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆ ˆ ˆ , , z birim

vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin; 2 0

Laplace denklemini exp zZ z ik z özel durumu için Değişkenlere Ayrıştırma

metodu ile çözün.

P.11 ) z x iy kompleks değişkeni kullanarak yazılan 2

* 0

z z

DD 'ini

basitleştirin.

P.12 ) A B ifadesinin açılımını yapın.

P.13 ) ctn ˆ D r

r

için D ifadesini hesaplayın.

P.14 ) a) k V B vektör çarpım ifadesinde, bir x

y

z

V

V

V

vektörüne etki edecek

k işleminin

0

0

0

z y

z x

y x

k k

k k

k k

matrisi ile temsil edilebileceğini gösterin,

b) 1 V B V B k k çözümünün mümkün olmadığını gösterin,

c) k V c skalar çarpım ifadesinde ise k işleminin matris temsilinin

x y zk k k olduğunu gösterin,

15

d) son olarak iki işlemi bir arada ele alıp k V B denkleminin bir bileşenini feda edip,

onun yerine k V c denklemini yerleştirerek elde edilen, mesela 3 0k için

0

0

z y x x

z x y y

x y z z

k k V B

k k V B

k k k V c

matris denkleminden V vektörünü elde edin.

İpucu :

2 2

2 2

2 2 2

2

1 =

x y y z z xx x

y z x x y y z y

z x y z

z y z z x z

k k k k k kV B

V k k k k k k Bk k k k

V ck k k k k

Bu çözüm bir anlamda V ve V verilince, V vektörünün elde

edilebileceğinin, momentum uzayına taşınmış ispatıdır. ( Helmholtz teoremi )

P.15 ) 2-Boyutta Hankel dönüşümü : SO(2) simetrisine sahip bir , f s f s

fonksiyonunun Fourier dönüşümünün 0

of s ds J s f s

olduğunu

gösterin. İpucu : 0

1 cos sinnJ z d n z