5KONUM VEKTÖRÜ

M.Feridun Dengizek

Konum Vektörü

• Uzayda koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık ve yönün tayin edilebilmesi için konum vektörü kullanılır.

• Eğer sadece bir noktanın koordinatı biliniyorsa konum vektörü ordinat (0,0,0) noktasından bu noktaya çizilen vektör ile ifade edilir.

• Konum vektörlerinde yükseklik genellikle z exseninde ifade edilir. (sağ el kuralına uygun)

• Konum vektörlerinin birimi metre (m) dir

KONUM VEKTÖRÜ NOTASYONUEğer uzaydaki noktalardan biri A(x,y,z) olarak

belirlenmiş ise bu noktanın konum vektörü

rA =xA i+yA j+zA k F 5.1

Diğer B noktasının konum vektörü

rB =xB i+yB j+zB k

A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü

rAB=rB-rA

rAB=(xB-xA)i + (yB -yA)j + (zB –zA)k F 5.2

DİKKAT: Her zaman son konumdan bir önceki konum çıkarılır

Konum Vektörü

İKİ KONUM ARASINDAKİ MESAFENİN BULUNMASI

İki konum arası mesafe dik koordinat eksenlerinde ki bileşen farklarının kareleri toplamının kare kökü kadardır

2AB

2AB

2AB )zz()yy()xx(r

Konum vektörünün yönü koordinat eksenlerine olan açıları ile belirlenir

)r

xx(cos

AB

AB1

)r

yy(cos

AB

AB1

)r

zz(cos

AB

AB1

F 5.3

F 5.4

F 5.5

F 5.6

ÖRNEK 5.1

0 noktasından A(-4,3,6) noktasına çizilen konum vektörü rA =-4i+3j+6k

0 noktasından B(8.-5,13) noktasına çizilen konum vektörü

rB=(8i-5j+13k)m

A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü

rAB=rB-rA

rAB=(rBx-rAx)i + (rBy-rAy)j + (rBz –rAz)k

rAB=(8-(-4)i + (-5-3)j + (13-6)k

rAB=12i - 8j +7k

Konum vektörünün skalar büyüklüğü

m89.18r

)7()8()12(r

AB

222AB

2AB

2AB

2ABAB )zz()yy()xx(r

Konum vektörünün yönü

01

AB

AB1 6.50)9.18

12(cos)

r

xx(cos

01

AB

AB1 115)9.18

8(cos)

r

yy(cos

01

AB

AB1 26.68)9.18

7(cos)

r

zz(cos

Birim Vektör

• Birim vektör u kartezyen notasyonu ile yazılmış konum vektörünün skalar büyüklüğüne bölünmesi ile elde edilir.

zkyjxir

222 zyxr

r

ru

222 zyx

zkyjxiu

F 5.7

NOT: Vektörel bir değer skalar bir büyüklük ile çarpılır veya bölünürse sonuç yine vektörel bir değer olur.

Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile çarpılır veya bölünürse sonuç skalar bir büyüklük olur.

Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile toplanır veya çıkarılırsa sonuç yine vektörel bir değer olur.

Konumlanmış Kuvvet vektörü• Bir vektörün doğrultusunu belirleyen iki noktanın

koordinatları biliniyorsa önce bu doğrultu birim vektör olarak tanımlanır.

• Sonra kuvvetin skalar büyüklüğü birim vektör ile çarpılarak bu kuvvetin kartezyen koordinatlara göre yazılmış vektörel değeri elde edilmiş olur

(Not: Buradaki kuvvet vektörünün skalar büyüklüğü daha önceki dersimizde gördüğümüz A noktasında başlayıp B noktasında biten skalar büyüklük değil)

))zz()yy()xx(

k)zz(j)yy(i)xx((FF

2AB

2AB

2AB

BAABAB

222 zyx

zkyjxi*FF

F 5.9

F 5.10

u*FF F 5.8

Problem 5.2• Bir adam 30 metre yüksekteki A

noktasına bağlı ipi B noktası doğrultusunda 70 N büyüklüğünde bir kuvvet ile çekmektedir.

• Bu kuvvetin x,y,z doğrultusundaki bileşenleri ve koordinat eksenlerine göre açılarını bulunuz.

))zz()yy()xx(

k)zz(j)yy(i)xx((FF

2AB

2AB

2AB

BAABAB

))306()08()012(

k)306(j)08(i)012((70F

222

01

AB

AB1 6.64)28

12(cos)

r

xx(cos

01

AB

AB1 6,106)28

8(cos)

r

yy(cos

01

AB

AB1 149)28

24(cos)

r

zz(cos

))24()8(12

k24j8i12(70F

222

)

28

k24j8i12(70F

N)k60j20i30(F

• Bir kapak resimdeki gibi iki halat ile duvara asılı tutulmaktadır.

• Halatlardan birinde FAB =100N

diğerinde ise FAC =120N kuvvet etkin oluyorsa

a) Toplam kuvvetin bileşenlerini b) A noktasına etki eden toplam kuvveti

bulunuz.

Önce koordinatları belirleyelim

A(0,0,4)

B(4,0,0)

C(4,2,0)

66.5r)4(4r

k4i4r

k)40(j)00(i)04(r

AB22

AB

AB

AB

6r)4(24r

k4j2i4r

k)40(j)02(i)04(r

AC222

AC

AC

AC

Problem 5.3

)r

r(FF)u(FFAB

ABABABABABAB

N)k7.70i7.70(FN)66.5

k4i4(100F ABAB

)r

r(FF)u(FFAC

ACACACACACAC

ACABT FFF N))k80j40i80()k7.70i7.70((FT

N))k807.70(j)400(i)807.70((FT

FTx =150N

FTy= 40N

FTz=-150N N9.215F)150(40150F

FFFF

T222

T

2Tz

2Ty

2TxT

N)k7.150j40i7.150(FT

N)k80j40i80(FN)6

k4j2i4(120F ABAC

Problem 5.3 Çözümü

cos*B*ABA

FARKLI DOĞRULTULARDAKİ VEKTÖRLERİN NOKTA ÇARPIMI (DOT PRODUCT)

• Üçüncü dersimizde bir vektörün büyüklük oranında çarpılmasını veya bölünmesini anlatmıştık.

• Bu işlem sonuç olarak aynı doğrultuda fakat farklı büyüklükte bir vektörün oluşmasını sağlar.

• Ancak farklı doğrultularda iki vektörün çarpılması için (özellikle üç boyutlu vektörlerde) kartezyen vektör sistemi uygulanmalıdır.

• Eğer

zzyyxx

zyxzyx

BABABABA

)kBjBiB(*)kAjAiA(BA

ise1800 00

NOKTASAL ÇARPIM KANUNLARI

•Değişme özelliği A*B=B*A

•Çarpma özelliği a(A*B)=(a*A)*B=A*(a*B)

•Dağıtım özelliği A*(B+C)= (A*B)+(A*C)

zzyyxx BABABABA KARTEZYEN VEKTÖR NOKTA ÇARPIM FORMÜLÜ

F 5.11

F 5.12

DİKKAT: Bu çarpım ile skalar büyüklük elde edilir.

VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI BİRİNCİ UYGULAMA ALANI • Vektör çarpımının birinci uygulandığı durum;

İki vektörün eksenel bileşenlerinin biliniyor (kartezyen koordinatlarının) olması durumunda aralarındaki açıyı bulmak için kullanılır.

• Vektörlerin birbiri ile çarpılması sonucunda skalar bir büyüklük elde edilir. Bu büyüklük vektürlerin skalar büyüklükler çarpımına bölünerek aralarındaki açı bulunur.

ÖRNEK PROBLEM 5.4:

Yandaki resimde görülen A ve B vektörleri arasındaki açıyı bulunuz

cos*B*ABA

)k8j3i4(A

)k12j6i8(B 46961832BA

)12*8())6(*3()8*4(BA

43.9834A 222

)B*A

BA(cos 1

zzyyxx BABABABA

62.1512)6(8B 222

)62.15*43.9

46(cos 1 08.71

B*A

BAcos

F 5.14F 5.13

• Uzayda birbiri ile çakışan iki vektör bir düzlemi belirler.• Eğer bu iki vektörden birisi konumlanmış kuvvet vektörü, diğeri

birim vektör ise çarpımdan çıkan sonuç – iki vektör arasındaki düzlemde– birim vektör doğrultusundaKonumlanmış kuvvet vektörünün diğer konum vektörüne iz

düşümü (Fp) skalar bir büyüklük olarak elde edilmiş olur.

ÖRNEK PROBLEM 5.5Boyutları 2X6X3 metre olan bir odanın bir köşesinden diğerine bir boru

uzanmaktadır.Bu boruya B noktasında ve y eksenine paralel ve 300N büyüklüğünde bir

kuvvet etki etmektedir.

• F kuvvetinin boru doğrultusundaki FAB bileşenini• FAB ye dik olan FD bileşke kuvvetini• FAB kuvvetinin normal kartezyen koordinatlardaki bileşenlerini

bulunuz

VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI İKİNCİ UYGULAMA ALANI

F 5.15u*FFp NOT: Konumlanmış kuvvet vektörünü vektörel değer olarak belirten

ile yukarda F 5.15 de belirtilen bileşke vektörünü skalar değer olarak belirten

tanımlar arasındaki farka dikkat ediniz.

u*FF F 5.8

PROBLEM 5.5 ÇÖZÜMÜ

Önce AB borusu ve etki eden kuvvet doğrultusu için birim vektör bulunur.

k43.0j86.0i29.0362

k3j6i2

zyx

zkyjxiu

222222AB

ABAB u*FF

Fu*FF

FAB kuvvetinin normal koordinat sistemindeki bileşenlerini bulmak için FAB kuvveti borunun birim vektörü ile çarpılır.

N)86.0*300(F

)K43.0*j86.0i29.0(*N)j300(F

AB

AB

ABABAB u*FF k111j222i8.74F

)K43.0*j86.0i29.0(*N258F

AB

AB

F kuvvet vektörünün A-B doğrultusundaki bileşenini bulmak için konumlanmış F kuvvet vektörü AB doğrultusu birim vektörü ile çarpılır

Konumlanmış F kuvvet vektörü

F kuvvetinin boruya dik bileşeni FD yi bulmak için pisagor teoreminden yararlanılır. N153F

258300F

FFF

D

22D

2AB

2D

N258FAB

j1uF

F kuvveti y eksenine paralel diğer eksenlere dik olduğu için birim vektörü

N)j300(F)j1(*N300F

F 5.8

F 5. 15

F 5.8

PROBLEM 5.6

Tabanı 3x3 metre olan bir odanın y ekseni üzerindeki kenar çizgisinden 1 metre ileride A noktasından bir boru çıkarak x ekseni üzerinde köşeden 3 metre ileride ve z ekseni üzerinde 1 metre aşağıda (bodrumda) B noktasına kadar uzanmaktadır.

Bu boru B noktasına bağlı bir halat ile oda tabanından x ekseni üzerindeki C noktasından 80 N değerinde bir kuvvet ile çekilmektedir.

a. Boru ile halat arasındaki ϴ açısını bulunuz.

b. F kuvvetinin boru üzerindeki iz düşümünü bulunuz.

c. F kuvvetinin boruya dik olan bileşenini bulunuz

PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ

1. Önce A,B,C noktalarının koordinatları yazılır.

A(x,y,z) A(0,1,0)

B(x,y,z) B(2,3,-1)

C(x,y,z) C(2,0,0)

2. Sonra B den A ya borunun ve

B den C ye kuvvetin (halatın) konum vektörleri yazılır.

rA =0i+1j+ 0k

rB =2i +3j -1k

rC = 2i + 0j + 0k

rBA =rA -rB

rBA=(0-2)i + (1-3)j + (0-(-1))k

rBA=-2i-2j+1k

rBC =rC -rB

rBC=(2-2)i + (0-3)j + (0-(-1))k

rBC=-0i-3j+1k

N3r1)2()2(rzyxr BA222

BA222

N16.3r1)3()0(r BA222

BC

3. Konum vektörlerinin skalar büyüklükleri bulunur.

PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ

a. Çözümü

Boru ile halat arasındaki açı

)r*r

rr(cos

BCBA

BcBA1

CAzBAzBCyBAyBCxBAxBCBA rrrrrrrr

)1*1())3(*2()0*2(rr BCBA

rBA=-2i-2j+1k rBC=-0i-3j+1k

7rr BCBA

0

1

5.42

74.0)16.3*3

7(cos

PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜb. ÇÖZÜMÜ

1. Önce boru doğrultusunu ve halat doğrultuları için birim vektörler yazılır.

u*FF F 5.8

222 zyx

zkyjxiu

F 5.7

k33.0j67.0i67.0u1)2()2(

k1j2i2u BA222BA

3. Boruya paralel etki eden FBA kuvvetini bulmak için konumlanmış F vektörü boru doğrultusundaki birim

vektör ile çarpılarak FBA skalar bir büyüklük olarak bulunur

2. F kuvveti halat doğrultusunda etki ettiği için halat doğrultusu birim vektörü F kuvveti ile çarpılarak konumlanış kuvvet vektörü bulunur

BCu*FF )k32.0j95.0(*N80F

N)k3.25j89.75(F

k32.0j95.0u1)3(

k1j3u BA22BC

NOT: Burada skalar bir büyüklük, vektörel bir değer ile çarpılarak bir başka vektörel değer elde ediliyor

BABA u*FF )k33.0j67.0i67.0(*N)k3.25j89.75(FBA

N)k33.0*k3.25())j67.0(*j89.75((FBA

N))33.0*3.25()67.0(89.75((FBA N59FBA NOT: Burada bir vektörel değer bir başka vektörel değer ile çarpılarak skalar bir büyüklük elde ediliyor

4. Boruya dik duruma etki eden değeri bulmak için dik üçgen denkleminden yararlanılabilir

2D

2BA

2 FFF 2BA

2D FFF

22D 5980F N54FD

F 5.15