hyperfr chap.1
TRANSCRIPT
Hyperfréquences chap 1 1
Hyperfréquences
Chapitre 1:
Guides d’ondes électromagnétiques
H. TOUIR
Académie Internationale Mohammed VI de l’Aviation Civile
Année 2008-
2009
Hyperfréquences chap 1 2
Plan du chapitre Introduction Propagation guidée dans un tube métallique creux Propagation guidée dans un guide rectangulaire
Étude des modes Transverse Électrique (TE) Étude des modes Transverse Magnétique (TM )
Propagation guidée dans un guide cylindrique Étude des modes TE Étude des modes TM
Cavité résonante Fentes rayonnantes
Hyperfréquences chap 1 3
Introduction
De la même manière que les lignes de transmission, les guides d ’ondes sontutiliser pour transférer de l’énergie électromagnétique d ’un point à un autre. Néanmoins, on peut noter les principaux caractéristiques:
Les lignes de transmission sont utilisées souvent pour transférer de l’énergieélectromagnétique en mode TEM (Transverse Électrique Magnétique) dans unelarge gamme d’ondes (du kilométrique au centimétrique (Hyperfréquence)).
Hyperfréquences chap 1 4
Introduction
Pour des fréquences jusqu’à 3 GHz, on utilise principalement le câble coaxial. Audelà de cette fréquence les pertes sont considérables. Cependant de spécialcourt câble coaxial peuvent être utiliser jusqu’à 50 GHz. Quant à la ligne microruban, il sont utilisés dans les circuits intégrés miro-ondes .
Les guides d ’ondes rectangulaires ou cylindriques, sont utilisées souvent pourtransférer de l’énergie électromagnétique en modes TE (Transverse Électrique) ouTEM (Transverse Magnétique) pour des fréquences de l’ordre et supérieures à ladizaine de GHz (hyperfréquences), pour lesquelles on trouve essentiellement desapplications radar ou des télécommunications spatiales.
Les guides d ’ondes électromagnétiques peuvent en effet transporter de fortespuissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrementimportant pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales.
Hyperfréquences chap 1 5
Introduction
Supposant que le guide d'ondes est orienté avec son axe le long du z-axe(direction de la propagation d’onde), le régime de propagation le plus généralqui peut exister dans un guide d’onde est formé des 5 composantes des champs.On distingue deux types d ’ondes :
Guide cylindrique
(1) modes Transverse Électriques (TE) le champ électrique est transversalà la direction de la propagation (aucun composant longitudinal dechamp électrique) tandis que le champ magnétique a les composantstransversaux et longitudinaux [Ez = 0, Hz0] (2) modes Transversal Magnétiques (TM) - le champ magnétique esttransversal à la direction de la propagation (aucun composantlongitudinal de champ magnétique) tandis que le champ électrique ales composants transversaux et longitudinaux [Hz = 0, Ez 0]
z
x
y
Hyperfréquences chap 1 6
Introduction
Avantages des guides d’ondes:
o La possibilité de transporter de fortes puissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrement important pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales;
o L’absence de rayonnement due à sa structure complètement close;
o Les modes principaux ont une polarisation rectiligne et sont donc faciles à exciter et à détecter;
On peut classifier les modes de propagation dans le guide d'ondes selon lesquelsles composants de champ sont présents ou non dans l’onde. Les composants de champ dans la direction de la propagation de l’onde sontdéfinis en tant que composants longitudinaux tandis que les composantsperpendiculaires à la direction de la propagation sont définies en tant quecomposants transversaux.
Hyperfréquences chap 1 7
Introduction
A l’opposition des lignes de transmission, où leurs analyses se fait par leséquations de courants et de tension induits par le champ électromagnétisme, lesguides d ’ondes sont analysés directement par le champ électromagnétique. Eneffet, l’analyse par le champ électromagnétisme est plus facile que celle par leséquations de courants et de tension car les expressions du champélectromagnétique sont assez complexe
Relation entre le champ E et la tension V:
VA(VB) est le potentiel du point A (B)dl est la distance élémentaire de la courbe ABdl= dl t, t est la tangente à dl On choisit le sens positif du parcours de C
ld )r(EVVVB
ABA
dlE
A
B
Hyperfréquences chap 1 8
IntroductionRelation entre le champ H et le courant I: Théorème d’Ampère
est la somme algébrique des courants traversant le contour C
Le signe + est associé aux courants sud-nord et le signe - est associé aux courants nord-sud
Puissance transportée :
* désigne le conjuguée
II ld H n
nC
n
nI
Cdl
In
S
** HERe2
1V.IRe
2
1
H
Hyperfréquences chap 1 9
Guide rectangulaireÉtudions une structure représentée sur la figure ci-dessousLes parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits,l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité et de perméabilité (le coté a est supposé plus grand que le coté b -convention-)
o Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes Ez = 0 et Hz 0. Il n’existe que descomposantes Ex=Ex(x,y) et Ey=Ey(x,y)
o Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes Hz = 0 et Ez 0le champ magnétique ne possède que des composantes transverses à la direction depropagation (Hx=Hx (x,y) et Hy=Hy (x,y) )
Hyperfréquences chap 1 10
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Pour ces modes on a : Ez = 0, Hz 0
L’équation d’onde dans un milieu pour une onde de variation temporelle de
type s’écrit:
(1)
Posons:
Ou encore le nombre d’onde dans unmilieu illimité
Projections la composante transversale sur les directions x et y:
Utilisons la méthode des séparations des variables:
Hεμt
Hεμ H 2
0
2
02
2
z)k-t-j( ze
z2
0z2 Hεμ H
(y)(x).ffy)(x,H yxz
z2
02z
2
2z
2
2z
2
Hωεμz
H
y
H
x
H
2z
20
2 kωεμk
2y
2x
2 kkk
2z
2y
2x
2z
20
220 kkkkkεμωk
0Hkωεμy
H
x
Hz
2z
202
z2
2z
2
Hyperfréquences chap 1 11
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
L’équation (1) devient donc:
Les équations entre parenthèses étant indépendantes, elles doivent être vérifiées
séparément, ce qui donne la solution générale suivante:
où A, B, C et D sont des constantes à déterminer par les conditions aux limites.
On peut montrer que:
0ky
f
f
1k
x
f
f
1 2y2
y2
y
2x2
x2
x
x)B.cos(kx)A.sin(kf xxx y)D.cos(ky)C.sin(kf yyy
0b)(x,E(x,0)E xx 0y)(a,Ey)(0,E yy
y
H
kE z
20
x
-jω
x
H
kE z
20
y
jω
Hyperfréquences chap 1 12
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Ce qui conduit à:
Les conditions aux limites conduisent donc à:
y)D.sin(ky)C.cos(k.x)B.cos(kx)Asin(kkk
E yyxxy20
x -jω
y)D.cos(ky)C.sin(k.x)B.sin(kx)A.cos(kkk
E yyxxx20
y jω
0A 0y)(0,Ey
)0,1,2,....(m mΠak 0y)(a,E xy
0C 0(x,0)Ex
)0,1,2,....(n nΠbk 0b)(x,E yx
Hyperfréquences chap 1 13
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
La composante Hz s’écrit donc
avec B.D = H0
Remarque: pour m=n=0, Hz est constant et par conséquent les champstransverses (Ex, Ey) sont nuls, ce qui exclut ce mode.
Les expressions complètes des composantes transverses des champs sont:
Kc étant le vecteur d ’onde de coupure.
)b
yn)sin(
a
xmcos(H
k
kjωE 02
c
y0x
)b
yn)cos(
a
xmsin(H
k
kjkH 02
c
xzx
)b
yn)cos(
a
xmsin(H
k
kjωE 02
c
x0y
)b
yn)sin(
a
xmcos(H
k
kjkH 02
c
yzy
)b
yn)cos(
a
xmcos(HH 0z
)zk-tj(-0z
z)eb
yn)cos(
a
xmcos(HH
Hyperfréquences chap 1 14
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Ces relations permettent de se faire une représentation schématique deslignes de champ électrique pour les premiers modes TE;
Modes de propagation:Pour chaque couple (m, n) on associé un mode de propagation TEmn
Relation de dispersion:
Pulsation de coupure:La pulsation de coupure c correspond à kz=0, soit:
22
0
c b
n
a
m
εμ
1ω
2z
222
0 kb
n
a
mωεμ
Hyperfréquences chap 1 15
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde kz de propagation:
Pour <c, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).
L ’onde est dans ce cas est évanescente.Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.
Longueur d ’onde guidéeLors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver lamême phase tous les g . C’est à dire que kz g = 2 et donc :
; le vecteur
d ’onde dans un milieu illimité
220z ω..k c
2
20
0
2
20z
g
11
1
εμ
2
k
2
c
c
00 εμ
2
Hyperfréquences chap 1 16
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Vitesse de propagation:
Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité.
Impédance de l ’onde TE:
Où Z0 est l’impédance dans un milieu illimité.
ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.
2
2
02
2
0
1
ω1v
ω1
.
1v ccz
z
k
k
0
2/122
20
0
2/1
2
2
00
x
y
y
x
T
T
TE Zb
n
a
m
εμ
11Z1Z
H
E
H
E
H
E Z
c
zk
Hyperfréquences chap 1 17
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Interprétation géométriqueDans le mode mode TE10 le champ Hz ( )
se met sous la forme de deux termes:
On voit que le champ peut être considéré comme la somme de deux champsqui se propagent dans des directions symétriques par rapport à la direction oz et obliquement dans le plan -x, z et x, z.
Introduisons les vecteurs d ’onde:
zk-tj-0z
z)ea
xcos(HH
zk
ax
tzkax
-t0zk-tj-a
x-
ax
0z
zzz ee
2
Heee
2
HH
jjjj
zx ee
z1 ka
k
zx ee
z2 ka
k
Hyperfréquences chap 1 18
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
de même norme: (relation de dispersion)
Regardant maintenant ce qui se passe à l ’interface diélectrique paroimétallique pour une fréquence inférieure à la fréquence de coupure. L’onderéfléchie est une onde évanescente. En effet, le champ électrique E estatténuée en exp(-z) avec (c
2 - 2))1/2 en absence du phénomène
dissipatif.
2/1
2z
2
0 kk
a
z
x
k1
k2
a
zz
y
Ey(x)y
z
x
Ey(x,z)
Hyperfréquences chap 1 19
Guide rectangulaireÉtude des modes TE
Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEm0 et TE0n
Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEmn
x
y
z
x
y
z
Hyperfréquences chap 1 20
Guide rectangulaireÉtude des modes TM
Le champ magnétique est purement transverse (Hz = 0). En suivant exactement
la même démarche que celle des modes TE, on trouve les expressionscomplètes des composantes des champs:
Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TM.
y)b
nx)sin(
a
msin(EE 0z
)b
yn)sin(
a
xmcos(E
k
kjkE 02
c
zxx
)b
yn)cos(
a
xmsin(E
k
kjkE 02
c
zyy
)b
yn)cos(
a
xmsin(E
k
kjH 02
c
yx
)b
yn)sin(
a
xmcos(E
k
kj-H 02
c
xy
Hyperfréquences chap 1 21
Guide rectangulaireÉtude des modes TM
Remarques:
o pour m=0 ou n=0, Ez =0 ce qui exclut ce mode
o pour les modes TM, la relation de dispersion, la pulsation de coupure,La longueur d ’onde guidée et la vitesse de propagation sont identiquesque celles des modes TE.
Impédance de l’onde
ZTM est appelé l’impédance de l ’onde TMmn.
Remarque :
Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas
limite (a-->) ZTM et ZTE tendent vers Z0
0
2/122
20
02
2
0
x
y
y
x
T
T
TM Zb
n
a
m
εμ
11Z1Z
H
E
H
E
H
E Z
czk
20TETM ZZ Z impédance
Z0ZTM ZTE
Hyperfréquences chap 1 22
Guide rectangulaireExemple
Cherchons les fréquences de coupure des premiers modes d’un guide standard
(désignation WR90) et traçons le diagramme de dispersion k = f (ω). Lesdimensions sont a = 22,9 mm et b = 10,2 mm . La relation de dispersion
donnepour les cinq premiers modes, par ordre de fréquence croissante les valeursindiquées dans le tableau suivant :
Mode Fréquence de coupure (GHz)TE10 6,56TE20 13,10TE01 14,76TE11 16,16TM11 16,16
Exprimons la relation de dispersion en fonction de ω (avec εr = 1 dans l’air):
22
2z
ωk
ccc
2
z 1ω
k
c
c
Hyperfréquences chap 1 23
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
Le diagramme de dispersion kz = f(ω) est représenté ci-dessous :
Fonctionnement mono mode
Fonctionnement multi mode
kz
o Dans la bande fréquences comprise entre 6,56 GHz et 13,10 GHz, seul le mode TE10 peut se propager : le guide est monomode. C’est l’utilisation habituelle d’un guide d’onde
o Par contre, en utilisant la bande de fréquences comprises entre 14,76 GHZ et 16,16 GHz , les trois modes TE10, TE20 et TE01 peuvent se propager simultanément. Le guide est multi mode.
Hyperfréquences chap 1 24
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
Expressions et répartition des champs : Les composantes des champs du mode TE10 dans l’air (εr = 1), sont données
pourm = 1 et n= 0. En exprimant tous les champs par rapport à l’amplitude Eo de
lacomposante Ey, et en revenant aux expressions physiques, on trouve:
Noter le déphasage de /2 de la composante Hz par rapport aux autres
champs.
)zkωt(02
c
x0y
z)a
xsin(H
k
kE
jej
z)k-tj(-0z
z)ea
xcos(HH
0EHE xyz
z)k-tj(-02
c
xzx
z)ea
xsin(H
k
kjkH
Hyperfréquences chap 1 25
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
La figure suivante indique l’allure des variations des composantes des champs
au temps t = 0
o La figure de gauche montre la variation sinusoïdale du champ électrique en fonction de x (le champs est nul sur les parois verticales en x=0 et x=a)
o La figure de droite montre les variations du champ magnétique dans un plan y quelconque (ses composantes ne dépendent pas de y) : On retrouve les boucles caractéristiques du champ magnétique
λG = 2π/k est la longueur d’onde de guide
Hyperfréquences chap 1 26
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
Champ électrique et courant de déplacement
La répartition du champ Ey dans le guide, toujours au temps t = 0. La propagation de ce champ vers les z croissants (terme cos( ωt – kzz)), induit un courant de déplacement proportionnel au taux de variation du champ électrique ( Jd=dE/dt ).
o En z = 0 et z = λG/2, le champ Ey passe par un extremum ainsi que Jdo En z = λG/4, dEy/dt > 0 : le courant est positif de valeur maximum Jdmax
o En z = 3/4λG, dEy/dt < 0 : le courant est négatif, de valeur Jdmin
Hyperfréquences chap 1 27
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
Champ magnétique et courant de conduction
o Les lignes de champ magnétique tournent autour des lignes de courant de déplacement Jd. Elles forment des boucles fermées, centrées en x = a/2 et z = λg/4, z = 3/4λg, … etc (au temps t = 0).
o Le courant superficiel Is, (Is = n×Hs), n étant la normale sortante de la surface) induit par la composante tangentielle du champ magnétique en surface Hs, s’écoule sur la face interne des parois du guide
Hyperfréquences chap 1 28
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
La voleur moyenne dans le temps de la densité de puissance est donné par levecteur de Poynting:
La composante transverse est nulle parce qu ’elle est purement imaginaire.
)H~
E~
Re(2
1)r( *
zxyj eeeej
z)k-tj(*0
z)k-tj(*02
c
xz
)zkωt(02
c
x0
zzz )ea
xcos(H)e
a
xsin(H
k
kjk)
a
xsin(H
k
kRe
2
1
)a
x(sinH
k
k0
0
2
1
)a
x(sinH
k
k0
)a
xcos()
a
xsin(H
k
k
Re2
1
2202
x
z0
2202
x
z0
202
c
x0
j
Hyperfréquences chap 1 29
Guide rectangulaireLe mode dominant TE10
Le flux de ce vecteur à travers à une section droite du guide donne la puissance
moyenne véhiculée par l’OEM du guide.
Cette puissance est souvent exprimée en fonction de l ’amplitude maximum de
E0 du champ électrique. La relation entre E0 et H0 est donnée par:
Pour a=2,29 cm, b=1,02 cm, E0=3 MV/m, r=1(air) , f=10 GHz, on trouve P1MW
a.bHk
k
4)dx
a
Πx(sindyH
k
k
2dxdy)r( P 2
02x
z0b
0
a
0
2202
x
z0
0x
00 H
kE
Hyperfréquences chap 1 30
Guide cylindriqueLes propriétés du guide cylindrique sont très voisines de celles du guide rectangulaire.
Étudions une structure représentée sur la figure ci-dessous. Les parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits, l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité et de perméabilité
Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes Ez = 0 et Hz 0 . Il n’existe que descomposantes Er=Er(r,) et E=E(r,)
Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes Hz = 0 et Ez 0 . Il n’existe que descomposantes Hr=Hr(r,) et H=H(r,)
En désignant par g l’une des composantes longitudinales Ez ou Hz, l’équation de propagation pour une onde de variation temporelle de type s’écrit:
gεμεμ g 202
2
02
t
g
z)k-t-j( ze
Hyperfréquences chap 1 31
Guide cylindriqueExprimons le Laplacien en coordonnées cylindriques:
L’équation d’onde s’écrit, compte tenu du terme de propagation en exp(jkzz)
Posons:
Ou encore k0 étant le nombre d’onde dans un milieu illimité
Utilisons la méthode des séparations des variables:
L’équation devient donc:
2
2
2
2
22 ),(g),(g1
r
)r,(gr
rr
1 g
z
rr
r
0),(gkω εμ),(g1
r
)r,(gr
rr
1 2z
202
2
2
rr
r
2z
20
2z
20
2 kkkε.ωμk
)R(r)F()g(r, Φ
0F1
krr
Rr
R
r2
222
r
2z
220
20 kkωεμk
Hyperfréquences chap 1 32
Guide cylindriqueLe premier terme n’est fonction que de r, alors que le second n’est fonction
quede . La somme ne peut être identiquement nulle que si chaque fonction estégale à une constante.
Fonction angulaireLa fonction F doit être périodique, car les champs doivent retrouver la mêmevaleur pour F et pour F+ 2. Nous obtiendrons une solution périodique enposant :
La solution générale de cette équation s’écrit :
et doit satisfaire à la condition :
Cette condition est satisfaite si est un entier de valeur = m = 0, 1, 2, 3..
22
2
-F1
νsin Dνcos CΦF
2sin D2cos CC2F0F
Hyperfréquences chap 1 33
Guide cylindriqueFonction radialePar conséquent l’équation de propagation devient (équation de Bessel):
La solution générale de cette équation, pour n entier, s’écrit :
Où Jm(kr) est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m (m = 0, 1, 2, …)
Nm(kr) est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre m (ou fonction deNeuman)
La figure ci-dessous montre les variations de Jm(x) (m = 0 à 3) en fonction de x
(x=kr) au voisinage de l’origine et le xmn le nième zéro de la fonction de Bessel depremière espèce d’ordre m
0Rmkrr
Rrr 222
r
(kr)N B (kr)JA R(kr) mm
Hyperfréquences chap 1 34
Guide cylindrique
Ces fonctions sont oscillatoires et gardent une valeur finie au voisinage de x = 0(c’est-à-dire au centre du guide) pour toutes les valeurs de n
Par contre les fonctions Nm(x) (figure ci-dessous) tendent vers l’infini au voisinage
de l’origine, comme le montre la figure ci-dessous.
x02x01 x03x13x12
x22x23
Hyperfréquences chap 1 35
Guide cylindrique
Le champ ne pouvant pas diverger au centre du guide, nous poserons donc B = 0. La composante longitudinale du champ s’écrit finalement :
msin Dmcos C(kr)JA )g(r, m
Hyperfréquences chap 1 36
Guide cylindriqueRemarque 1: Si un autre conducteur métallique est placé proche de l’axe, il
fautalors tenir compte des fonctions du deuxième ordre. Dans ce cas il s’agit d’uncâble coaxial. Le câble coaxial autorise la propagation des modes TE, TM et
TEM.Cependant il est souvent utilisé seulement en modes TEM.
Remarque 2: Les solutions angulaires en cos (m ) et en sin (m ) représentent en
fait une même configuration des champs, mais décalée angulairement de π/2m.
Cette indétermination provient du choix arbitraire de l’orientation de l’axe Ox.Nous ne retiendrons que la solution en cosinus qui ne s’annule pas pour m =
0.
x
yr
Hyperfréquences chap 1 37
Guide cylindriqueLa solution générale de la composante longitudinale du champ est donc :
o La variation radiale est une fonction de Bessel de première espèce.o La variation angulaire est une fonction trigonométrique.
Pour terminer l’étude de l’équation de propagation nous devons maintenantprendre en compte les conditions aux limites sur les parois du guide. Il faut
alorsmaintenant décomposer notre étude en deux parties (mode TE et mode TM)
carles conditions aux limites sont différentes pour ces deux modes
mcos (kr)J CA )g(r, m
Hyperfréquences chap 1 38
Guide cylindrique Étude des modes TM
Pour ces modes on a: Hz = 0 et Ez 0 La composante axiale du champ électrique Ez est donnée par:
avec E0=AC
Sur la surface du guide on a :
Les solutions pour les modes TM correspondent alors aux zéros de lafonction de Bessel de première espèce Jm(kr ) en r= a En r= a on a alors Jm (ka) = 0 et donc on trouve que :
avec xmn qui est le nième zéro de la fonction de Bessel de première espèced’ordre m
zzk-tj-m0z e mcos (kr)J E)(r,E
0)(a,Ez
a
xkk mn
TM
Hyperfréquences chap 1 39
Guide cylindrique Étude des modes TM
La composante Ez du mode TMmn s’écrit donc :
Relation de dispersion:
Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :
De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde kz de propagation:
a
x
εμ
1ω mn
0
c
2z
2
mn0
2 ka
xεμω
zzk-tj-mnm0z e mcos r)
a
x(J E)(r,E
220z ω..k c
Hyperfréquences chap 1 40
Guide cylindrique Étude des modes TM
Pour <c, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).
Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.
On donne dans le tableau suivant les valeurs précises des n = 4, premières racines
xmn, de Jm, pour m≤0: 3
n 1 2 3 4m 0 2,405 5,520 8,654 11,7921 3,832 7,016 10,173 13,3242 5,136 8,417 11,620 14,7963 6,380 9,761 13,015 16,223
On notera que la plus faible racine vaut x01 = 2,405, ce qui fait que le mode TM01
possède la plus faible fréquence de coupure de tous les modes TM.
Hyperfréquences chap 1 41
Guide cylindriqueÉtude des modes TM
Longueur d ’onde guidéeLors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver lamême phase tous les g . C’est à dire que kz g = 2 et donc :
; le vecteur
d ’onde dans un milieu illimité
Vitesse de propagation:
Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité
2
20
0
2
20z
g
11
1
εμ
2
k
2
c
c
00 εμ
2
2
2
02
2
0
1
ω1v
ω1
.
1v ccz
z
k
k
Hyperfréquences chap 1 42
Guide cylindrique Étude des modes TM
En suivant la même démarche du guide rectangulaire, on trouve les expressionscomplètes des composantes des champs sont :
Jm’ désigne la dérivée
Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel depremière espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.
)sin()rk(JEr
m
k
jkE mnc,m02
mnc,
zΦ m
)cos(rkJ'Ek
jkE mnc,m0
mnc,
zr
m
)cos()rk('JEk
j-H mnc,m0
mnc,
m
)sin(rkJEr
m
k
j-H mnc,m02
mnc,r m
)cos(rkJEE mnc,m0z m
Hyperfréquences chap 1 43
Guide cylindriqueÉtude des modes TM
Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignes
de champ électrique pour les premiers modes TM.
Impédance de l ’onde TM:
Où Z0 est l’impédance dans un milieu illimité.
0
2/12
20
02
2
0r
r
T
TTM Z
aεμ
11Z1Z
H
E
H
E
H
E Z
mncz xk
Hyperfréquences chap 1 44
Guide cylindrique Étude des modes TE
Pour ces modes on a: Ez = 0 et Hz 0
La composante axiale du champ électrique Hz est donnée par:
avec H0=AC
Sur la surface du guide on a :
On peut montrer que:
Ce qui conduit à:
En r = a on a alors Jn’(ka)=0 et donc on trouve que :
zzk-tj-m0z e mcos (kr)J H)(r,H
0)(a,EΦ
r
H
k
jωE
20
Φ
zμ
a
xkk
'mn
TE
).cos(mkr)(Jr
Hk
jωE m02
0Φ
μ
Hyperfréquences chap 1 45
Guide cylindrique Étude des modes TE
avec x’m,n qui est le nième racine de la fonction de Bessel de première espècedérivée d’ordre m
La composante Hz du mode TEmn s’écrit donc :
Relation de dispersion:
Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :
De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde kz de propagation:
a
x
εμ
1ω
'nm
0
c
zzk-tj-'mn
m0z e mcos r)a
x(J H)(r,H
2z
2'mn
02 k
a
xεμω
220z ω..k c
Hyperfréquences chap 1 46
Guide cylindrique Étude des modes TE
Pour <c, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).
Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.
On trouve dans le tableau suivant les premières valeurs de x′ mn
n 1 2 3 4m0 3,832 7,016 10,173 13,3241 1,841 5,331 8,536 11,706 2 3,054 6,076 9,969 13,1703 4,201 8,015 11,346 14,585
On note que le mode TE11, qui présente la plus basse fréquence de coupure (x’11
=1,841) de tous les modes TE ou TM, est le mode dominant. Pour les modes TM la
fréquence la plus basse est celle du mode TM01 ( x01 = 2,405)
Les valeurs de cette ligne (m=0) sont identiques à celle de la ligne m=1 des modes TM
Hyperfréquences chap 1 47
Guide cylindriqueÉtude des modes TE
Longueur d ’onde guidéeLors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver lamême phase tous les g . C’est à dire que kz g = 2 et donc :
; le vecteur
d ’onde dans un milieu illimité
Vitesse de propagation:
Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité
2
20
0
2
20z
g
11
1
εμ
2
k
2
c
c
00 εμ
2
2
2
02
2
0
1
ω1v
ω1
.
1v ccz
z
k
k
Hyperfréquences chap 1 48
Guide cylindrique Étude des modes TE
Impédance de l ’onde TE:
Où Z0 est l’impédance dans un milieu illimité.
ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.
De la même manière que le guide rectangulaire on a la propriété:
Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas
limite (a-->) ZTM et ZTE tendent vers Z0
0
2/12
mn2
00
2/1
2
2
00
r
r
T
T
TE Za
x'
εμ
11Z1Z
H
E
H
E
H
E Z
c
zk
20TETM ZZ Z impédance
Z0ZTM ZTE
Hyperfréquences chap 1 49
Guide cylindrique Étude des modes TE
Remarques :
o Les valeurs des constantes de propagation sont différentes pour les modes TEmn et TMmn et donc leurs fréquences de coupures sont différentes ainsi que leurs caractéristiques de dispersion. Les modes TEm,n sont en général non dégénérés sauf dans le cas où x’0n = x 1n (les modes TE0n et TM1n sont dégénérés)
o Si m 0 alors x’mn < x mn Les modes TE apparaissent alors plus tôt (fréquence plus basse) que les modes TM et ils ont des caractéristiques de propagation différentes.
Hyperfréquences chap 1 50
Guide cylindrique Étude des modes TE
Les expressions complètes des composantes des champs sont :
Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel de première espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.
Jm’ désigne la dérivée
Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TE
)cos(rkJHH 'mnc,m0z m
)sin()rk(JHr
m
k
jk-H '
mnc,m02mnc,
'
zΦ m
)cos(rkJ'Hk
jkH '
mnc,m0'mnc,
zr
m
)cos()rk('JHk
jE '
mnc,m0'mnc,
0 m
)sin(rkJHr
m
k
jE '
mnc,m02mnc,
'
0r m
Hyperfréquences chap 1 51
Guide cylindrique Étude des modes TE
La répartition des lignes du champ électrique transverse des modes TE11, TE01 etTE21 est indiquée sur les figures suivantes :
Le mode dominant TE11 présente une répartition des lignes de champ électrique qui rappelle celle du mode TE10 du guide rectangulaire. Pour cette raison, il est courant d’exciter ce mode du guide cylindrique à partir d’un guiderectangulairePour le TE01 (m = 0), le champ est indépendant de . Pour les autres modes, lapériodicité est égale à π/m.
Hyperfréquences chap 1 52
Guide cylindriqueMode dominant TE11
Expressions et répartition des champs : Les composantes des champs du mode TE11 dans l’air (εr = 1), sont données
pourm = 1, n = 1 et x'11 =1,841:
)cos(ra
1,841JHH 10z
e)cos()r
a
1,841('J
a
1,842e)sin(r
a
1,841J
r
1H
1,841
ak j-E 1r102
2z0
TE
Φ1r102
2z
TE e)sin()ra
1,841(J
r
1)cos(r
a
1,841J'
a
1,841H
1,841
ajkH
e
Hyperfréquences chap 1 53
Guide cylindriqueMode dominant TE11
Lignes de champ du mode TE11
Hyperfréquences chap 1 54
Guides d’ondePertes dans un guide
Jusqu’as présent, nous avons supposés des guide sans pertes. En effet un guide
réel présente des pertes qui ont deux origines:
o Pertes électriques au niveau des parois qui ne sont pas parfaitement conductrices
o Pertes diélectriques au niveau du milieu remplissant le guide. Il en résulte une atténuation supposée exponentielles des ondes qui sepropagent:
Où P(0) étant la puissance transmise par la source à l’entrée du guide et est le
cœfficient d’amortissement linéique.
))(2exp().0(P)(P zz
Hyperfréquences chap 1 55
Guides d’ondePertes dans un guide
Le plus souvent, on évalue l’atténuation par: en dB/m
Dans le cas typique où =5.10-3, à 100 MHz, l’atténuation vaut 0,043 dB/m
))(P
)0(Plg(
10A
zz
)( 696,8).(.2.3,2
10)
)(P
)0(Pln(
.3,2
10A z
zzz
Hyperfréquences chap 1 56
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
En hyperfréquence, la cavité résonante peut être utilisée dans de nombreusesapplications: filtrage, mesure des fréquences des OEM, stabilisation desoscillateurs, chauffage (fours micro-onde)Une cavité résonance rectangulaire ou cylindrique est obtenue à partir d’unguide d’ondes délimité par des parois parfaitement conductrices (cas du guiderectangulaire figure ci-dessous). L’addition des parois aux extrémités (en z=0 etz=d introduit) la réflexion de l’OEM dans la direction z.
Cas des modes TM pour un guide rectangulaire La composante Ex est donnée par:
Où le terme en -kzz (resp. kzz ) est l’onde incidente
(resp. réfléchit) d’amplitude complexe A+
(resp. d’amplitude complexe A-)
zjk-
zjk-02
y2x
zxx
zz eAeA)b
yn)sin(
a
xmcos(E
kk
k.jkE
Hyperfréquences chap 1 57
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
La condition aux limites Ex(z=0)=0 impose A+=-A-, soit:
La condition aux limites Ex(z=d)= 0 conduit à:
Ce qui conduit à:
Dans la cavité résonante les modes TM sont donc caractérisés par les entiers m, n et p (TM mnp)
Remarque: p peut prendre la valeur 0 (Ez 0); le mode TM nm0 est autoriséLa relation de dispersion pour une cavité résonante devient:
0d)ksin()b
yn)sin(
a
xmcos(EA2
kk
k.k-E z02
y2x
zxx
)0,1,2,....(p d
pΠk pΠdk zz
z)ksin()b
yn)sin(
a
xmcos(EA2
kk
k.k-E z02
y2x
zxx
2222
0 d
p
b
n
a
mωεμ
Hyperfréquences chap 1 58
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
Remarque: dans le cas des modes TE on obtient la même équation dedispersion que celle des modes TM
Pour un choix donnée de n, m et p on a une seule valeur de qui satisfait larelation de dispersion ci-dessus. C’est la pulsation de résonance de la cavité et
àcette pulsation seulement qu’on a des oscillations libres des champs E et B(interférences constructifs). Pour une pulsation différente à la pulsation derésonance les champs E et B interfèrent destructivement. La pulsation derésonance est donnée par:
Remarque: Le même résultats peut être obtenu par l’analyse des modes TE.
Maisle mode le mode TE nm0 n’est pas autorisé
222
0mnp d
p
b
n
a
m
εμ
1ω
Hyperfréquences chap 1 59
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
Exemple 1:Pour a>b>d, la pulsation la plus faible des modes TE est celle du mode TE101. Elleest donnée par :
La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:
On remarque que:Ey0,Hz 0, Hx 0,
Ez=Hy=0
Configuration des champs dans une cavité, attaquée par une onde TE10
22
0101 daεμ
1ω
yx
z
Hyperfréquences chap 1 60
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
Exemple 2:Pour a>b>d, la pulsation la plus faible est celle du mode TM110. Dans ce cas on a:
et Ez 0,Hx 0, Hy 0, Ex=Ey=0
La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:
22
0110 baεμ
1ω
Hyperfréquences chap 1 61
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
La décomposition de ces champs est montrée ci-dessous.
Pour a = 2 cm, b=1 cm et d=0,5 cm , le mode résonnant TM110 est égale:
Hz 5210
10.3
)10(4
510.32
2
8
22
28
110
f
GHz 8,16110 f
Hyperfréquences chap 1 62
Cavité résonanteCas du guide rectangulaire
L’antenne patch peut être assimilée à une cavité résonnante rectangulaire. Cescavités fonctionnent sur des modes TMmnp (p=0 pour une hauteur de substrat
diélectrique négligeable devant la longueur d’onde λ). Pour le mode TM110 on a:
et Ez 0,Hx 0, Hy 0, Ex=Ey=0
Avec c la célérité de la lumière dans le vide et r le permittivité relative du
substrat diélectrique
h
substrat diélectrique
plan métallique
couche rayonnante
Figure schématique
d’une antenne imprimée
avec couche rayonnante
rectangulaire
22
r110 baε
ω
c
yx
z
Hyperfréquences chap 1 63
Cavité résonanteCas du guide cylindrique
On peut montrer que la pulsation de résonance est donnée par:
Pour les modes TM
Pour les modes TE
Le mode dominant pour les modes TM est TM110
Le mode dominant pour les modes TE est TE111
22mn
0mnp d
p
a
x
εμ
1ω
a
z
d22
mn
0mnp d
p
a
x'
εμ
1ω
Hyperfréquences chap 1 64
Fentes rayonnantesLe prélèvement d ’une partie du signal des guides d’ondes présentent despetites ouvertures sur les parois
Illustration du champs électrique équivalentau niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ électrique normale à la paroi
Le champ électrique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’un dipôle
électrique Pe normale à la paroi (sans ouverture).
E
Hyperfréquences chap 1 65
Fentes rayonnantes
Illustration du champs magnétique équivalentau niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ magnétique tangentiel à la paroi
Le champ magnétique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’undipôle magnétique Pm tangentiel à la paroi (sans ouverture).
B