Hoofstuk 17 - Golwe II

•Spoed van klankgolwe•Interferensie van klankgolwe•Klankintensiteit en Klankvlak•Bronne v Musikale klanke•“Beats” of swewing v klank•Die Doppler effek

In hierdie hoofstuk bestudeer ons klankgolwe en ons gaan op die volgende onderwerpe konsentreer:

• Klankgolwe is meganiese longitudinale golwe voortgeplant in vaste stowwe, vloeistowwe en gasse.

• Die figuur toon ‘n vb. van ‘n puntbron van klankgolwe.

• Ons aanvaar dat die omringende medium isotropies is, dws klank plant voort met dieselfde spoed in alle rigtings. • Die klankgolwe sprei uniform uit en die golffronte is sfere met middelpunt die puntbron. • Die enkelpyle toon strale aan. • Die dubbelpyle toon die beweging van die molekules van die medium waarin die klank voortplant.

Die Spoed van Klank• Die spoed van enige meganiese golf, transversaal

of longitudinaal, hang af van beide die traagheidseienskap van die medium (om kinetiese energie te stoor) en die elastiese eienskap van die medium (om potensiële energie te stoor).

• Die vgl. wat die spoed van ‘n transversale golf in ‘n tou voorstel, kan veralgemeen word deur dit as volg te skrywe:

waar (vir transversale golwe) τ die spanning in die tou is en μ die tou se liniêre digtheid is.

• Indien die medium lug is en die golf longitudinaal, kan die traagheidseienskap, wat met μ ooreenstem, die volume digtheid ρ, van die lug wees.

• Wanneer ‘n klankgolf deur die lug beweeg, word die potensiële energie verbind met die periodiese saampersing en uitsetting van die lug elemente.

Bulk modulus• Die eienskap, wat bepaal in watter mate ‘n

element van ‘n medium in volume verander wanneer die druk (krag per eenheidsoppervlakte) daarop verander, word die bulk modulus B genoem en word as volg gedefinieer:

SI-eenheid: pascalNB: Die negatiewe teken dui daarop dat die volume verminder soos die druk toeneem.Plaas B in τ en ρ in μ se plek in vgl.17-1 dan:

• Nota 1: Die bulk modulus, B is kleiner vir meer saampersbare mediums. Sulke mediums het ‘n kleiner spoed vir klank.

• Nota 2: Digter mediums (groter ρ) het ‘n kleiner spoed vir klank.

Bewegende Klankgolf

Verplasing v deeltjies a.g.v ‘n klankgolf• Vir transversale golwe ossilleer die medium se

deeltjies vertikaal (y-as) t.o.v. horisontale (x-as) beweging van die golf.

• Die deeltjies se verplasing is dan in die vorm y(x,t).• Vir longitudinale golwe, soos klankgolwe, vibreer

die medium, bv. lug, se deeltjies parallel tot die golf se bewegingsrigting, maar x(x,t) is verwarrend.

• Dus eerder in die vorm s(x,t):

• Soos die golf beweeg, varieer die lugdruk by enige posisie x sinusiodaal soos gegee deur:

Faseverskil = π/2 of 90˚

Δp = pf - pi < 0 → uitsetting; Δp > 0 → samepersing

Interferensie

• Twee puntbronne S1 en S2 stuur sferiese klankgolwe uit wat in fase is.

• Hulle beweeg deur dieselfde punt P.• In die figuur is die afstand L2 , wat die golf

vanaf S2 aflê, langer as die afstand L1 wat die golf vanaf S1 aflê.

• Die verskil in afstand beteken dat die golwe dalk nie in fase is wanneer hulle P bereik nie.

• Die faseverskil, φ by P hang af van die verskil in hul padlengtes: ΔL = │L2 – L1│

• Om die verband tussen faseverskil φ en die padlengteverskil ΔL aan te dui, word gebruik gemaak van die feit dat ‘n faseverskil van 2π rad ooreenstem met een golflengte.

• Die volgende verhouding kan dus geskryf word:

Interferensie

L

2

(17-20)

Dus volg:

2L (17-21)

Aflei!

Konstruktiewe Interferensie

• Vind plaas as φ = 0, 2π, 4π, 6π, ...• Dus vir φ = m(2π), vir m = 0, 1, 2, ...• Faseverskil = heelgetal veelvoude van 2π• Uit vgl.17-21 volg: m(2π) = (2π)ΔL/λ

m = ΔL/λ = 0, 1, 2, ... (17-23)• Dus padverskil ΔL = 0, λ, 2λ, 3λ, ..., heelgetal

veelvoude van golflengte gee konstruktiewe interferensie!

Aflei

Destruktiewe Interferensie

• Vind plaas as φ = π, 3π, 5π, 7π, ...• Dus vir φ = (2m+1)π, vir m = 0, 1, 2, ... (17-24)• Faseverskil = onewe veelvoude van π• Uit vgl.17-21 volg: (2m + 1)π = (2π)ΔL/λ

ΔL/λ = 0.5, 1.5, 2.5, ... (17-25)

• Dus padverskil ΔL = 0.5 λ, 1.5λ, 2.5λ, ..., halwe heelgetalveelvoude van golflengte gee destruktiewe interferensie!

Aflei

Intensiteit en Klankdruk(of klankvlak)• Die intensiteit I van ‘n klankgolf

by ‘n oppervlakte, is die gemiddelde tempo per eenheidsoppervlakte waarteen energie deur die golf aan die oppervlakte oorgedra word (of deur die oppervlakte beweeg).

• SI-eenheid: W/m2 (J.s-1.m-2)

Verandering in Intensiteit met Afstand• In sekere gevalle kan eggo’s geïgnoreer word en

kan aanvaar word dat die klankbron ‘n puntbron is wat klank isotropies— dws met dieselfde intensiteit in alle rigtings uitstuur.

• Die intensiteit I kan gegee word deur:

waar 4πr2 die area van ‘n sfeer is.

Die vgl. dui aan dat die intensiteit van klank vanaf ‘n isotropiese puntbron afneem met die kwadraat van die afstand r vanaf die bron.

Die Desibelskaal• Die verplasingsamplitude by die menslike oor strek van omtrent

10-5 m vir die hardste uitstaanbare klank tot omtrent 10-11 m vir die sagste hoorbare klank, ‘n verhouding van omtrent 106.

• Die intensiteit van die klank varieer met die kwadraat van sy amplitude, dus is die verhouding van die intensiteite by die twee grense van die mens se gehoor 1012. Die mens se oor kan dus ‘n groot omvang van intensiteite hanteer.

• In plaas daarvan om van die intensiteit I van ‘n klankgolf te praat, is dit geriefliker om die klankdruk (“sound level”) β te gebruik, wat gedefinieer word as:

dB = desibel, die eenheid van klankvlakβ vermeerder met 10 dB elke keer wanneer die klank-intensiteit met ‘n faktor van 10 vermeerder.

10-12W/m2, naby die laagste limiet v/d menslike gehoor

Doen Sample Problems 17-4 & 17-5

Klank Staande Golwe in Pype

Beskou ‘n pyp gevul met lug wat albei kante oop is. Klankgolwe wat ‘n golflengte het wat die spesifieke verhouding met die lengte van die pyp het, laat staande golwe ontstaan met volhoubare amplitudes.

Pype met twee oop enteStaande golwe het antinodusse (maksimum verplasing amplitude) by albei oop ente. Twee antinodusse is altyd geskei deur ‘n nodus (minimum / nulverplasing) en ‘n afstand van λ/2.

Fig. b wys die “fundamentele modus” of “eerste harmonie” van die pyp.Die lengte van die pyp, L = λ/2, dus λ = 2L en f = v/λ = v/2L

2n

Ln

Staande golwe in Pype met Twee Oop Kante

Die volgende drie staande golfpatrone is getoon in fig.a.Die golflengte word gegee deur:

waar n = 1, 2, 3, ....n = harmoniese getal

Ooreenstemmende frekwensies:

Lnvfn 2

(17-39) Aflei!

L = ½(λ/2) = λ/4

Slegs onewe getal harmonieë!

Staande golwe in Pype met Een Oop en Een ToekantFig.b wys die eerste 4 staande golfpatrone. Daar vorm altyd by oop ent ‘n antinodus en by toe ent ‘n nodus.

Die golflengtes vir hierdie staande golwe kan bereken word deur:

Lnvfn 4

nL

n4

en

Vir alle onewe waardes van n(17-41)Aflei!

Doen Sample Problem 17-5&6

“Beats” of Swewinge• As ons luister na twee klanke, ‘n paar minute uitmekaar,

met verskillende frekwensies, bv. 552HZ & 564Hz, is dit moeilik om twee klanke te onderskei.

• Indien klanke gelyktydig ons ore bereik, hoor ons ‘n klank met ‘n frekwensie v 558Hz, die gemiddelde frekwensie v/d kombinerende frekwensies.

• Ons hoor ook ‘n duidelike variasie in die klankintensiteit- dit vermeerder en verminder in stadige ritmiese swewinge wat herhaal teen ‘n frekwensie van 12Hz, die verskil tussen die twee kombinerende frekwensies. Kyk fig.17-18

“Beats” of Swewinge

(17-43)

Laat die tydafhanklike variasie v/d verplasings a.g.v. die twee klankgolwe met gelyke amplitudes sm wees

waar ω1 > ω2. Uit die Superposisie Beginsel, is die resulterende verplasing

Die trigonometrie identiteit

Laat ons toe om die resulterende verplasing te skryf as

Beats(17-44)

Maar omdat ω1 & ω2 amper gelyk is, is ω >> ω’.Dan word Vgl.17-45 ‘n cos funksie met hoekfrekwensie, ω, en amplitude gelyk aan die term in hakies se absolute waarde (wat varieër met hoekfrekwensie, ω’).Amplitude het tweekeer ‘n maks. , waar cosfunksie = -1 of +1.

As ons dan skryf

kan ons vgl.17-43 herskryf as

Aflei

Omdat cos ω’t ‘n hoekfrekwensie ω’ het, is die hoek-frekwensie ωbeat waarteen die swewinge plaasvind

Omdat ω = 2πf, kan ons dit herskryf as

Die Doppler-effek

• Die verskynsel waar ‘n verandering in frekwensie waargeneem word indien ‘n waarnemer en klankbron relatief tot mekaar beweeg.

• Ons gaan kyk na klankgolwe met lug as die medium.• Die spoed van die bron S en die waarnemer D word

gebruik. Daar word aanvaar dat S en D of direk na mekaar toe of weg van mekaar beweeg teen snelhede wat minder as die van klank is.

• Aanvaar dat die frekwensie van die bron gelyk is aan f en die frekwensie wat die waarnemer hoor f’ is.

Indien die waarnemer D of die bron S (of albei) beweeg, is die verband tussen die oorspronklike frekwensie f en die waargenome frekwensie f´ as volg:

• v = die spoed van klank in lug • vD = die waarnemer se spoed (relatief tot die lug)

• vS = die bron se spoed relatief tot die lug.• Die volgende reël kan gebruik word om vas te stel of die

plus of minus tekens gebruik moet word:• NB Wanneer die relatiewe beweging van bron en

waarnemer na mekaar toe is, moet die antwoord ‘n hoër frekwensie gee. Indien die twee weg van mekaar beweeg, moet die antwoord ‘n laer frekwensie wees.

Aflei!

Waarnemer & Bron stilstaandeOns begin eers deur te kyk na beide waarnemer en bron as stilstaande:In tyd t beweeg golffronte ‘n afstand, vtAantal golwe wat in tyd t verby D beweeg is, vt/λ

Frekwensie van golwe waargeneem deur D:

v

tvtf

/

Geen Doppler effek!(17-48)

Waarnemer beweeg, Bron stilstaandeGolf beweeg in tyd t ‘n afstand vt regs, terwyl D ‘n afstand vDt links beweeg. D na BronGolffronte beweeg in dieselfde tyd, t, relatief tot D, met ‘n spoed v + vD en ‘n afstand, vt + vDt.

Aantal golwe verby D: /)( tvvt DDus waargenome frekwensie by D is

DD vv

ttvvtf

/)(' (17-49)

Uit vgl.17-48, volg λ=v/f, dus volg:

vvvf

fvvvf DD

/

' (17-50)f‘ > f

Waarnemer beweeg, Bron stilstaandeIndien D weg van bron beweeg, na regs, ‘n afstand vDt volg:Golffronte beweeg in dieselfde tyd, t, relatief tot D, ‘n afstand, vt - vDt.

Dus waargenome frekwensie by D is

(17-51)

Dus volg:

vvvff D

'

(17-52)

f‘ < f

vvvff D

'

Bron beweeg, Waarnemer stilstaandeWaarnemer D, is stilstaande, en bron S, beweeg na D met spoed vS.

In tyd T, beweeg golffront W1, ‘n afstand vT, terwyl die bron ‘n afstand vST, beweeg.

Spoed van klankgolf relatief tot waarnemer D is dus: v - vS

Afstand van golf afgelê in tyd T,: λ’ = (v - vS )TFrekwensie waargeneem deur D:

fvvv

Tvvvvf

SS /)()(''

Dvvvf

(17-53)f‘ > f

Bron beweeg, Waarnemer stilstaandeWaarnemer D, is stilstaande, en bron S, beweeg weg van D met spoed vS.

Nou is spoed van klankgolf relatief tot waarnemer D: v + vS

Afstand van golf afgelê in tyd T,: λ’ = (v + vS )T

Frekwensie nou waargeneem deur D:

Svvvff

' (17-54)

f‘ < fVgl.17-53 &17-54 saam gee:

Svvvff

' (17-55)

• Hoe gemaak indien beide waarnemer en bron beweeg, maar teen verskillende spoede relatief tot mekaar?

• Kies die rigting van die klankgolwe wat altyd vanaf die bron na die waarnemer beweeg as positief, +.

• Bepaal dienooreenkomstig die rigtings van die bron en waarnemer t.o.v die rigting van die klankgolwe:

• Maklikste manier is om die volgende formule te gebruik:

Beide bron & waarnemer beweeg

S

D

vvvvff

'

vS

vS

vS

vS

vD

vD

vD

vD

D

S

v vf f f fv v

D

S

v vf f f fv v

D

S

v vf fv v

D

S

v vf fv v

D

S

v vf fv v

Doppler effekKlank regs : +

+ -

- +

S

D

vvvvff

'

+ +

- -

Vir alle situasies:

Doen Sample Problems 17-5,17-6 & 17-8