Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 1

Het multiversum volgens Tegmark

Samenvatting van mijn recensie (gepubliceerd op Amazon.nl) Natuurkundige en kosmoloog Tegmark vat op sublieme wijze samen hoe onze huidige fundamentele

inzichten leiden tot een wiskundig multiversum. Tegmark beargumenteert in zijn boek, dat de kracht

van de wiskunde om tot goede modellen van de werkelijkheid te komen, voortkomt uit

wiskundigheid van die werkelijkheid zelf. Tegmark hoopt daarbij, dat het heelal niet onreduceerbaar

complex is: achter ruis kunnen eenvoudige algoritmes schuilgaan; complexe patronen kunnen

simpele fractale structuren zijn. Tegmark analyseert op heldere wijze hoe het subjectieve begrip

'informatie' een cruciale rol speelt in het kwantummechanisch meetprobleem.

Het blijft volgens mij de vraag of er alleen wiskunde is, of dat wiskunde 'slechts' ons beste

hulpmiddel is om de werkelijkheid te beschrijven. Een oneindig wiskundig multiversum is wellicht

een overdreven extrapolatie; als er oneindig veel wiskundige structuren zijn, is er bovendien het

fundamentele ‘maatprobleem’. Ik heb na het lezen van zijn boek meer vragen dan daarvoor – en dat

is juist zijn verdienste! Hoe verhoudt een wiskundig multiversum zich met Brouwer ’s verwerping

van het bewijs uit het ongerijmde? Hoe correct is het ‘ergodisch’ uitgangspunt, dat alle

microtoestanden van een systeem evenveel kans hebben?

Tegmark zet voortdurend aan tot kritisch nadenken over onze aannames, die vaak aantoonbaar

onjuist zijn. Ik ben blij met zijn sterke drang om goed door te denken over de diepere aard der

dingen; vooral omdat hij zijn ideeën ook voor een niet-wiskundig publiek op een heel

vanzelfsprekende en simpele manier - zonder oversimplificatie - weet uit te leggen. Ik vind het een

zeer geslaagde popularisatie van een voor leken moeilijk te doorgronden vakgebied. Kortom: het is

een uitzonderlijk helder geschreven, zeer aanbevelenswaardig boek!

1) In welk heelal leef ik verder, als ik toevallig dood ga? “Toeval bestaat niet” of “de bal is rond”: welke volkswijsheid klopt? De aanname dat een ronde bal

toeval inhoudt, klopt niet. Als een perfect ronde bal over een perfect bolvormige aarde rolt, is zijn

beweging te voorspellen: het volgt een geodeeti. Toch blijft het de vraag of toeval echt niet bestaat.

Bestaat er wellicht fundamenteel geen perfect ronde bal, namelijk vanwege kwantumtoevalii?

Normaliter zeggen we dat wiskunde de natuur in fysische zin goed beschrijft. Vanuit deze invalshoek

is kwantumtoeval ‘echt’. Twee wiskundig geformuleerde theorieën zijn zeer degelijk getoetst en tot

nu toe op geen enkel punt onjuist bevonden: de algemene relativiteitstheorie ‘verklaart’ de

zwaartekracht en de kwantumtheorie de overige drie fundamentele krachteniii. Ze bijten elkaar niet.

Althans, niet binnen hun toepassingsdomein. Pogingen om tot één fysische theorie te komen die

‘alles’ verklaart, hebben nog niet tot succes geleid. Helaas, want de huidige fundamentele theorie

voorspelt een ‘kosmologische constante’ van 10120 keer de waarde die is waargenomen. We weten

steeds beter hoe de werkelijkheid niet is (zo zijn er geen goden), maar nog lang niet hoe het wel is.

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 2

Natuurkundige en kosmoloog Max Tegmark beargumenteert in zijn boek1, dat de kracht van de

wiskunde om tot goede modellen van de werkelijkheid te komen, voortkomt uit wiskundigheid van

die werkelijkheid zelf. Hij speculeert dat er een wiskundig multiversum is: één geheel aan abstracte

verbanden. Als Tegmark gelijk heeft, is er wél een perfecte ronde bal, namelijk als ‘echt’ heelal.

Volgens de oerknaltheorieiv over ons heelal expandeert een onbegrensde ruimtetijd vanaf tijd nul

vanuit een zeer heet, homogeen en isotroop oerplasma. De kromming van deze ruimtetijd omvat op

globaal niveau de tijdcomponent, zodat het heelal uitdijt en de energiedichtheid voortdurend

afneemt. De totale entropie (het aantal onbepaalde microtoestanden) blijkt steeds toe te nemen.

Kosmische inflatiev is exponentiële volumetoename gedurende het allereerste moment van ons

heelal vanwege de ‘kosmologische constante’, waarbij de dichtheid toch niet afneemt. Kosmische

inflatie verklaart de afwezigheid van magnetische monopolen, de gelijkheid van het oerplasma en de

globale ruimtelijke vlakheid van de ruimtetijd (de lage waarde van de ‘kosmologische constante’).

In het licht van alle fysisch denkbare universa is het ontstaan van ons heelal een extreem

onwaarschijnlijke gebeurtenis. Het is wellicht acceptabeler, als waarschijnlijker mogelijkheden als

gevolg van de kosmische inflatie buiten het door ons waarneembare heelal liggen. Ons heelal heeft

dan oneindig veel parallellen, dus ook herhalingen: het multiversum op niveau 1 volgens Tegmark2.

Het (zwak) antropisch principe zegt, dat ons heelal de heel specifieke begincondities en

natuurwettenvi kent die waarneming van ons heelal mogelijk maakt, omdat anders niets

waargenomen zou worden. Maar oneindig veel fluctuaties van fundamentele aard leiden tevens tot

alle mogelijke begincondities en natuurwetten: het multiversum op niveau 2 volgens Tegmark.

Kwantumtheorie is tot op de hoogste nauwkeurigheid dat er gemeten kan worden precies goed. De

theorie is echter zeer contra-intuïtief en heel verschillend te interpreteren. Bohr waagde zich er

helemaal niet aan, maar Everett legt de takken van het kwantumfysische kansproces uit als steeds

andere universa: het multiversum op niveau 3 volgens Tegmark.

Het valt volgens mij niet uit te sluiten, dat aan ons heelal de eis van uitrekenbaarheid kan worden

gesteld, doch niet aan het geheel; zodat recht wordt gedaan aan de onvolledigheidsstellingen van

Gödel en het eraan verwante stopprobleem van Turing. Maar misschien is er de ‘transcendentie’ dat

zelfs alle wiskundige structuren ‘echte’ universa zijn: het multiversum op niveau 4 volgens Tegmark.

Zijn conclusie dat wiskundige structuur het enige is dat ‘echt’ bestaat, impliceert dat een fysische

wereld slechts bestaat als waarneming (‘qualia’) van een zichzelf ervarende substructuur (zoals de

mens). Merkwaardigheden zoals kwantumverstrengeling zijn volgens Tegmark beter te accepteren,

als men deze subjectiviteit van de fysica onderkent en zo bewust buiten de theorievorming houdt.

Tegmark concludeert, dat als iemand als gevolg van kwantumtoeval doodgaat, de overledene als

exacte kopie doorleeft in een ander heelal – als die persoon ‘geen tijd’ heeft om zijn dood (die

1 Max Tegmark, 2014: “Our Mathematical Universe”, ISBN-13: 978-0307599803

2 Linde – theoretisch grondlegger van kosmische inflatie – en Vanchurin berekenen het aantal onderscheidbare universa op 10^10^10^7,

namelijk door de zelfreproducties van kosmische inflatie niet mee te tellen; een eindig aantal, maar wel veel. Als rekening wordt gehouden met kosmische waarneembaarheid, komt de schatting al een stuk lager uit: 10^10^375. Nog steeds veel – ook in vergelijking met het aantal configuraties dat mogelijk is in menselijke hersenen: 10^10^16. Bron: arxiv.org/abs/0910.1589v3.

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 3

anderen wel zien) waar te nemen. De twee takken van het kwantum-kansproces zijn immers twee

‘echte’ universa. Raar maar waar? De vraag blijft, of de persoon kan weten in welk heelal ‘hij’ is.

Tegmark hoopt dat ons heelal niet onreduceerbaar complexvii is en herinnert ons eraan dat het

mogelijk is, dat een complex systeem minder informatieviii bevat dan de som van haar delen; zelfs

minder dan één van haar delen (√2). Complexe patronen kunnen simpele fractale structuren zijn.

Achter ruis kunnen eenvoudige encryptie-algoritmes schuilgaan; we kennen echter de sleutel niet.

2) Kan ik altijd structuur ontdekken, als ik maar de sleutel weet? De ‘ergodische hypothese’ zegt, dat alle microtoestanden van een systeem evenveel kans hebben

om voor te komen. Deze aanname ligt ten grondslag aan het definiëren van fysische systemen waar

kansberekening een rol speelt. Het is de vraag of ons heelal als ergodisch systeem is op te vatten: uit

louter fundamentele natuurwetten volgt de statistisch-mechanische onomkeerbaarheid niet.

De configuratie van een fysisch systeem vloeit voort uit begincondities en natuurwetten. De vier

natuurwetten die de vier fundamentele krachten beschrijven, voorspellen louter omkeerbare

veranderingen. Fundamentele oorzakelijkheid heeft geen noodzakelijke tijdsrichting: er bestaat

zonder ‘coarse graining’ geen onomkeerbare ‘pijl van de tijd’ (verleden, heden en toekomst).

De opkomst van de computer heeft geleid tot een nieuwe wetenschappelijke benadering. Niet alleen

werd het mogelijk om snel ingewikkelde berekeningen te doen, de computer ging ook model staan

voor de werking van de natuur. Een in veel opzichten zinnige ontwikkeling, daar fundamenteel

gezien de natuur niet doelgericht is. Mensen willen echter wel doel en nuttig resultaat zien.

Ergodisch veronderstelde systemen hebben een voorspelbare output – als de begincondities

‘bekend’ zijn. Volgens het besturingsparadigma zal een computer met voldoende rekenkracht en

geheugen voorspelbaar werken – als gedefinieerde data (input) en processen (rekenregels) ‘bekend’

zijn. Het ‘bekend’ zijn op basis van contextuele informatie is de arbitraire adder onder het gras.

Het begrip ‘informatie’ speelt een cruciale rol in het denken over toeval, maar helaas leidt

onduidelijkheid over de gehanteerde definitie vaak tot verwarring. Sinds Landauer weten we, dat

Shannon’s definitie – onbepaaldheid uitgedrukt in ‘bits’ – is op te vatten als ‘entropie’. Sinds Von

Neumann zeggen we, dat deze entropie bij kwantumsystemen de toestand specificeert in ‘qubits’.

De natuur houdt geen ‘contextuele irrelevanties’ buiten beschouwing. Een fysisch systeem kent

slechts schijnbaar onomkeerbare veranderingen: het zijn de statuswijzigingen in de informatie van

het beschouwde deel van het heelal. Maar overbodige functionaliteit wordt bij elk systeemontwerp

(zoals van een computerprogramma) wel intuïtief buiten beschouwing gelaten.

Intuïtie over de wereld is een noodzakelijk – en vaak goed – hulpmiddel bij menselijke beslissingen.

Mensen hebben ook een heleboel intuïties over de wereld buiten mensen. Bijvoorbeeld: alles dat

niet ergens op steunt, valt. Onvermijdelijk speelt intuïtie in de vorm van onderliggende

vanzelfsprekendheden ook een rol bij het formuleren van wetenschappelijke inzichten.

Wetenschappelijke waarneming leidt soms tot contra-intuïtieve inzichten, die onze oorspronkelijke

intuïties – ook onze formulering van natuurwetten – bijschaven. Intuïties zijn het resultaat van via de

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 4

evolutie en via het leren opgebouwde ervaringen. Naarmate die ervaringen zich verder verwijderen

van de evolutionaire omstandigheden, is het lastiger om nog juiste intuïties te hebben.

Fundamentele natuurkunde gaat over voor de mens exotische regimes van de werkelijkheid en het is

heel lastig daar intuïties voor te ontwikkelen. Maar ook weer niet uitgesloten; we zijn er immers ook

aan gewend geraakt, dat in Australië alles naar boven valt en de mensen er dus niet af vallen; en dat

de aarde met 30 km/s door het heelal vliegt, zonder dat iemand er iets van voelt.

Klassieke informatie heeft een voortplantingssnelheid die begrensd is door de lichtsnelheid.

Gelijktijdigheid bestaat namelijk niet: de Lorentztransformatie uit de speciale relativiteitstheorie

berekent hoeveel tijd er bij beweging minder verstrijkt (tijddilatatie) en hoeveel de afstand in de

bewegingsrichting korter wordt, gezien vanuit het inertiaalsysteem van de ‘stilstaande’ waarnemer.

Kwantuminformatie kan echter instantaan overal aanwezig zijn, zoals aangetoond bij verstrengelde

deeltjes. De lichtsnelheid is eveneens geen maximum voor de snelheid waarmee sterrenstelsels zich

door de uitdijing van het heelal uit elkaar bewegen. Dit zijn fundamentele inzichten, ook al hangt het

van arbitraire definities van ‘tijd’ en ‘afstand’ af, wat men precies met ‘snelheid’ bedoelt.

‘Tijd’ is in de kwantumfysica een coördinaat, waarlangs de golffunctie zich deterministisch

ontwikkelt. Als er bits worden waargenomen, is het verloop in de tijd van de golffunctie van het

waargenomen kwantumsysteem volgens Bohr op te vatten als klassieke causaliteit volgens de klok

van de waarnemer. Ook slechts dán – als er bits worden waargenomen – verstrijkt er tijd.

De correspondentie van de op waarschijnlijkheidsdistributies geënte kwantumfysica met de

klassieke fysica, is echter te begrijpen uit het proces van ‘decoherentie’: het deels of geheel opgaan

van kwantuminformatie in kenbaarheid op basis van klassieke informatie. Door dit mechanisme is de

kwantumonzekerheid van macroscopische objecten in praktische zin geheel verwaarloosbaar.

De Wheeler-DeWitt golffunctie is één kwantumgolffunctie die het multiversum als geheel beschrijft.

Deze golffunctie lijkt onafhankelijk van ontwikkeling in de ‘tijd’; er is dan immers geen sprake van

een externe waarnemer. Het is deze kwantumgolffunctie waarover Tegmark praat, als hij zegt dat er

misschien oneindig veel onafhankelijke wiskundige structuren zonder toeval zijn.

Als achter deze golffunctie inderdaad oneindig veel structuren schuilgaan, is er echter wel het

‘maatprobleem’. Als door oneindigheid niets waar dan ook van afhangt, zijn er zonder arbitrair

voorschrift geen fysisch zinnige uitspraken over het multiversum te doen. Het maatprobleem

ontstaat door verschuiving van het probleem van de onwaarschijnlijkheid van ons heelal.

Het mooie van de door Tegmark subliem samengevatte fundamentele inzichten is, dat ze

blootleggen hoe weinig we nog van de aard van de realiteit begrijpen. Mogelijk dat gevolgen van

alternatieve ‘kansen’ ongekend blijven, louter doordat er op ons ‘adres’ in het multiversum – zoals

Tegmark de begincondities van ons heelal betitelt – geen herinneringen over zijn. We weten het niet.

Tegmark waagt zich eraan om in het laatste hoofdstuk van zijn boek allerlei uitspraken te doen over

een (ethische) rol van de mens in het heelal. Dit hoofdstuk had wellicht beter weggelaten kunnen

worden. Met zijn ethiek is niets mis, maar de uitspraken komen enigszins naïef over en doen een

beetje afbreuk aan de doordachte en knap geformuleerde inhoud van de rest van het boek.

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 5

3) Bestaat niet ‘ik’, maar organiseert abstractievermogen zichzelf? Ik waag me er aan om een (ethische) rol van de mens in het heelal sterk te betwijfelen, maar

misschien had ik er goed aan gedaan deze laatste paragraaf weg te laten. De analyse van Tegmark

hoe ‘informatie’ een cruciale rol in de fysica speelt, deel ik geheel; evenals zijn conclusie dat een

theorie van ‘alles’ wiskundig zal zijn. Toch impliceert dit volgens mij niet, dat wiskunde ‘alles’ is.

Is de aanname van Tegmark juist, dat wiskundige structuren geheel gedefinieerd zijn door hun

eigenschappen? Gödel laat in zijn tweede stelling zien, dat wiskundige consistentie onbewijsbaar is.

Deze onbeslisbaarheid gaat verder dan waarop Hofstadter zijn conclusie baseert, dat we meer inzien

dan formeel te bewijzen is. Het is omgekeerd: domheid houdt voor ons de werkelijkheid verborgen.

Volgens het identiteitsparadigma heeft de zichzelf-bewuste mens ‘vrije wil’, tegenover de wil van het

on(der)bewuste van het dierlijke in de mens. Ik ben het met Tegmark eens, dat dit een gevoel is dat

– net als elk menselijk gevoel – emergeert uit fysische, chemische en biologische processen. Mensen

verabsoluteren ‘vrije wil’ echter als noodzakelijk onderdeel van de verantwoordelijkheidsideologie.

De bij iedereen sterke perceptie van eigen identiteit kan een juist begrip van de realiteit dwarszitten.

De vaak als ‘mysterieus’ betitelde kwantumwerkelijkheid is slechts vreemd, als wij uitgaan van de

eenduidigheid van onszelf en de wereld. We doen er volgens mij goed aan om in te zien, dat een

dergelijke perceptie de feitelijke inconsistentie van het (niet uit te rekenen) multiversum verhult.

Veelal wordt de biologische evolutie opgevat als een ontwikkelingsgang, waaruit ook de mens is

voortgekomen. De evolutie wordt dan beschreven in termen van selectie van diegenen die het best

in staat zijn om te overleven en zich voort te planten (‘survival of the fittest’). Toevallige variaties in

de biosfeer die een hogere overlevingskans hebben, komen in de genen van nakomelingen terecht.

De wat betreft DNA-structuur uniforme genenpool heeft mijns inziens vooral het vermogen om zich

constant aan veranderende omstandigheden aan te passen: ‘homeostase’. Soorten convergeren

bovendien in functie: het vermogen om te vliegen, ontstaat zowel vanuit poten als vinnen. Dit alles

wijst volgens mij op een structurele invulling van ecologische niches door toename van complexiteit.

Homeostase en functieconvergentie emergeren zo zonder ‘ontwikkelingsgang’ uit fundamentele

natuurwetten. Zelf-organiserend complex geheugen lijkt noodzakelijk voor waarneembare

abstracties van het heelal. Dit geheugen hoeft zich echter niet slechts voor te doen op manieren die

wij kennen, zodat het waarnemen van ‘aliens’ en het doorgronden van ‘alles’ lastig kan zijn.

Onze relatief grote hersenen koppelen aan informatie een – via evolutie ontstaan – gevoel van

betekenis en continuïteit. Wij smeden plannen en roddelen, waardoor wij sociale voordelen behalen

en ons beter voortplanten. Ons abstractievermogen lijkt soms indrukwekkend, maar onze hersenen

zijn niet in staat om meer dan subjectieve representaties van de werkelijkheid gewaar te worden.

Vanzelfsprekendheden hebben – zoals door onvolledige informatie alle aannames – een kans onjuist

te zijn. Continuïteit en lokaliteit van de ruimtetijd waren fysische vanzelfsprekendheden – tot de

opkomst van de kwantumtheorie. Het paradigma van ‘unitariteit’ (het deterministisch zijn van de

kwantumgolffunctie) speelt ons mogelijk eveneens parten bij het doorgronden van de wereld.

Het is denkbaar, dat de toepasbaarheid van de ergodische hypothese – en de aanname van een

onafhankelijke steekproef – door haar definitie beperkt wordt. Is deze aanname nog juist, als in één

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 6

heelal alles met alles samenhangt vanwege totale kwantumverstrengeling? Spontane

symmetriebreking in macroscopische objecten suggereert, dat de ergodische hypothese onjuist is.

Stel dat de ergodische hypothese onjuist is, omdat toeval a priori niet bestaat. Stel ook dat er geen

unitariteit is, maar één (‘positieve’?3) geometrie. De idee van een oneindig wiskundig multiversum is

dan niet nodig: een eindig fysisch multiversum volstaat. Een speculatie van mij is, dat ons heelal

emergeert uit de inconsistentie van 21024 recursief-verstrengelde zwarte gaten op de Planckschaal4.

Slechts door onderwerping van ideeën aan de tucht van de wetenschap, boekt het menselijk inzicht

vooruitgang. De meeste ideeën blijken, na waarneming van eruit voortvloeiende voorspellingen,

fout. Mijn speculatie voorspelt niet iets dat waarneembaar is. Helaas geldt dit ook voor de ideeën

van Tegmark, maar ik herken zijn sterke behoefte om toch na te denken over de aard der dingen.

3 http://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

4 http://freddybrugmans.blogspot.nl

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 7

Eindnoten

i De geodeet is een geometrisch extreem pad. In de vlakke, positieve metriek van de Euclidische ruimte is de geodeet een rechte lijn: de kortste afstand tussen twee punten. In de gekromde, positieve metriek van het tweedimensionale boloppervlak is de geodeet een grootcirkel: ook de kortste afstand tussen twee punten. In de vlakke, negatieve metriek van de Minkowski ruimtetijd (de tijd heeft een minteken) is de geodeet volgens de speciale relativiteitstheorie op te vatten als de eenparig-rechtlijnige beweging: een niet-versnelde beweging. Hierbij wordt het pad tussen twee ruimtetijdpunten (‘events’) zodanig gevolgd, dat er zoveel mogelijk tijd verstrijkt (dus een lokale klok op maximale snelheid loopt): de eigentijd van het interval. De eigentijd is invariant, d.w.z. onafhankelijk van de Lorentztransformatie, dus wordt verondersteld absoluut te zijn. Bij het tweemaal lokaal vergelijken van twee klokken, waarvan er één in een inertiaalsysteem blijft en de andere niet, zal de bewegende klok een kleiner tijdsinterval hebben doorlopen dan de stilstaande; namelijk doordat hij in plaats daarvan meer ruimte heeft doorlopen (de tweelingparadox). Versnelling is niet de reden van het tijdsverschil: het gaat louter over het verschil in beweging. De bewegende klok springt tussen minimaal drie inertiaalsystemen: die van (1) de niet-bewegende klok, (2) de beweging er vandaan en (3) de beweging weer terug. Een ‘tragere klok’ is iets wat pas na afloop is vast te stellen, althans zonder dat een definitie over gelijktijdigheid nodig is. Het waarnemen van de relatieve loopsnelheid van klokken die niet op dezelfde plaats zijn, is namelijk afhankelijk van zulke definities over gelijktijdigheid. De algemene relativiteitstheorie zegt, dat in een gekromde, negatieve metriek de geodeet de vrije val is: ook een niet-versnelde beweging. Wat hier niet betekent dat de snelheid niet verandert, maar dat er geen kracht wordt ondervonden. ‘Versnelling’ is namelijk een begrip, dat verschillend gebruikt wordt in algemeen spraakgebruik en in deze theorie. In algemeen spraakgebruik betekent ‘versnelling’ de verandering van de snelheid in een of ander coördinatenstelsel; in deze theorie betekent ‘versnelling’ echter hetzelfde als niet in vrije val verkeren. Valt bijvoorbeeld iets zonder luchtweerstand naar de aarde, dan volgt het een geodeet; ligt iets op de aarde, dan ondervindt het daarvan de gravitatieversnelling en volgt het geen geodeet. ii Kwantumtoeval is een uitdrukking van het feit, dat het product van de onnauwkeurigheden van gelijktijdige

meting aan deeltjes van twee ‘commutatieve’ grootheden – zoals plaats en impuls, tijd en energie – volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een minimale waarde heeft, die is gekwantiseerd met behulp van de constante van Planck. Het fysisch gedrag van deeltjes kan daardoor slechts in statistische termen worden beschreven. Het kwadraat van de amplitude van de kwantumgolffunctie is een maat voor de kans dat een deeltje zich meetbaar op bijvoorbeeld een zekere locatie bevindt, dan wel een bepaalde impuls heeft. De preparatie van een kwantummeting is cruciaal. Een geslaagde preparatie isoleert de mogelijke correlatie van een deeltje met de detector heel nauwkeurig van correlatie met de rest van het heelal. Als we bijvoorbeeld kijken naar de elektromagnetische kracht, dan is er (afgezien van polarisatie-effecten) volgens de kwantumelektrodynamica slechts sprake van interactie tussen bewegende elektronen en fotonen, waarbij nieuwe fotonen uitgezonden of geabsorbeerd worden. Een gemeten fluxdichtheid (kwantumgolfamplitude) representeert ongelijke kansen van fotonen om specifieke richtingen te hebben. Fotonen met ongeveer dezelfde richting versterken elkaar in hun pad. De locatie óf de impuls van het foton is exact bepaald (dus volgens de onzekerheidsrelatie nooit beide tegelijkertijd) als dit een mogelijkheid van de preparatie is, d.w.z. zonder dat constatering ervan door een mens hoeft plaats te vinden. Doch zonder zulke mogelijke detectie is er sprake van ‘superpositie’ van kwantumtoestanden. Een coherente lichtbundel vertoont dan bijvoorbeeld interferentie in overeenstemming met aanwezige optische faseverschillen en de golflengte. De golflengte is omgekeerd evenredig met de golffrequentie: een maat voor het energieniveau van de fotonen. Het golfkarakter van licht vloeit rechtstreeks voort uit de wiskunde van de kwantumgolffunctie. Zowel bij hoge lichtintensiteit als bij fotonen los van elkaar is er interferentie mogelijk. Het verdwijnen van interferentie van licht is het gevolg van het gecorreleerd raken van het kwantumsysteem met de omgeving (zoals een detector of ieder ander macroscopisch object). Een foton verkeert zo in wat men de ‘eigentoestand’ noemt (heeft locatie óf impuls); de ‘superpositie’ (van locatie én impuls) is dan weg. iii Symmetriebrekingen binnen een fractie van een seconde na het begin ons heelal leveren vier fundamentele

krachten op: (1) de zwaartekracht, (2) de sterke kracht (tussen kerndeeltjes), (3) de zwakke kracht (zoals bij radioactief verval) en (4) de elektromagnetische kracht. De sterke, zwakke en elektromagnetische krachten zijn in speciaal-relativistische kwantumveldentheorieën beschreven, wat middels symmetrie-eigenschappen heeft geleid tot het Standaardmodel. Hoewel hierin kwantumvelden fundamenteel zijn, wordt nog vaak gesproken over elementaire deeltjes; een wezenlijk onderscheid hierin is die tussen (a) fermionen: materiedeeltjes

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 8

(leptonen met lading +1, 0 of -1 en quarks in paren met lading +2/3 en -1/3) die krachten ondervinden en (b) bosonen: deeltjes die tussen fermionen worden uitgewisseld om de krachten over te brengen. Het begrip ‘spin’ speelt een belangrijke rol in dit onderscheid. Spin is een intrinsieke eigenschap van deeltjes (het zorgt voor sommige polarisatie-effecten) en staat los van een ruimtelijke draaibeweging. Bosonen zijn deeltjes met heeltallige spin (0, 1 enz.). Identieke bosonen kunnen dezelfde kwantumtoestand hebben en kunnen elkaar versterken. Hun energieverdeling in thermodynamisch evenwicht is volgens de Bose-Einstein statistiek. Voorbeeld van identieke bosonen zijn fotonen, de dragers van de elektromagnetische kracht; zij hebben geen rustmassa en bewegen zich op lichtsnelheid: impuls is hun energie (volgens de golffrequentie) gedeeld door de lichtsnelheid. En dan de materiedeeltjes: fermionen zijn deeltjes met halftallige spin (½, 1½ enz.). Identieke fermionen sluiten elkaar uit volgens het Pauli-principe; ze hebben altijd – via een tegengestelde spin of ander kwantumgetal – een verschillende kwantumtoestand. Hun energieverdeling in thermodynamisch evenwicht is volgens de Fermi-Dirac statistiek. Voorbeeld van identieke fermionen zijn elektronen (spin ± ½), die de elektromagnetische kracht ondervinden via hun negatieve lading; zij hebben als leptonen in tegenstelling tot fotonen wel rustmassa en bewegen zich langzamer dan de lichtsnelheid: impuls is hun rustmassa maal hun snelheid (maal de Lorentzfactor). Trage rustmassa wordt veroorzaakt door het Higgsveld; de equivalente zware massa is geen eigenschap die voortvloeit uit het Standaardmodel, maar is gekoppeld aan de gekromde ruimtetijd en de daaruit voortkomende gravitatie volgens de algemene relativiteitstheorie. Gravitatie is op deeltjesschaal een relatief zwakke kracht, maar is op de Planck-schaal wel sterk (is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand) en in deze situatie voorspelt het Standaardmodel niets. Cruciale aanname bij het Standaardmodel is dat Noether-symmetrieën (d.w.z. behoudswetten) gelden, omdat energie aan het vacuüm kan worden onttrokken via virtuele deeltjes; maar de voorspelling over de grootte van de totale hoeveelheid ‘donkere energie’ is 10

120 te hoog. Ons heelal kent weliswaar exacte behoudswetten, maar toont daarnaast

veel asymmetrieën – ook van onbegrepen aard. Zo is bij de Big Bang veel energie omgezet in materie, waarbij er vanwege symmetrie-overweging evenveel antimaterie moet zijn gevormd; antimaterie is echter zeldzaam. iv De oerknaltheorie beschrijft de expansie van ons heelal vanuit een homogeen en isotroop oerplasma, waarin

via symmetriebreking de fundamentele krachten en daarmee straling en materie ontstaan. De theorie is in overeenstemming met nauwgezet waargenomen sterrenkundige verschijnselen. Door expansie neemt voortdurend de stralingsruimte af in dichtheid. Een ster zoals de zon is vanwege de expansie van de ruimte niet in thermisch evenwicht en zendt door kernfusie constant stralingsenergie uit. Deze conditie resulteert – samen met de geofysische eigenschappen van de aarde – tot de uit sterrenstof afkomstige biosfeer, waarbinnen de entropie kan afnemen: de toename volgens de tweede hoofdwet van de warmteleer vindt dan plaats door dissipatie van warmte aan de omgeving. De entropie van ons heelal blijkt voortdurend toe te nemen (van 10

88 tot thans 10

101), wat wij ervaren als de ‘pijl van de tijd’. Wellicht valt alle afgekoelde materie

op den duur in zwarte gaten, die zelf ook weer verdwijnen. Hun energie neemt namelijk de vorm aan van warmtestraling (met de hoogst mogelijke entropie: 10

120), vanwege de versnelling die nodig is om lokaal de

zwaartekracht te overwinnen tijdens een niet-vrije val (Unruh effect = Hawking-straling). v De kosmische inflatiehypothese beschrijft de exponentiële toename van het volume aan ruimte bij toch

constante dichtheid in de eerste ca. 10-35

sec van ons heelal: de negatieve druk van ‘donkere super-energie’ levert volgens de algemene relativiteitstheorie een anti-zwaartekracht op. Vermoedelijk vormt één kwantumfluctuatie (‘inflaton’) – vanwege tunnelen vanuit een vals vacuüm – ons heelal. Ons heelal is geïsoleerd van een (mogelijk eeuwig) doorgroeiende buitenruimte, waarin (dan oneindig) veel fluctuaties ook universa worden. Fluctuaties binnen ons opgeblazen heelal verscherpen, onder invloed van de zwaartekracht, tot de grootschalige heelalstructuren met sterrenstelsels en ‘donkere materie’. Deze kwantumfluctuaties zijn in de kosmische achtergrondstraling te zien als minieme dichtheidsverschillen op het moment dat ons heelal 400.000 jaar bestond. Inflatie heeft als effect (a) dat de door GUT(h) voorspelde magnetische monopolen in de praktijk niet meer waarneembaar zijn; (b) er binnen de waarnemingshorizon een homogeniteit en isotropie van het oerplasma overblijft; (c) er een in ruimtelijke zin vlakke ruimtetijd ontstaat. Als de algemene relativiteitstheorie wordt toegepast op de waargenomen kritieke waarde (ca. 10

–26 kg/m

3) van de

‘kosmologische constante’ (de ‘donkere energie’ van het vacuüm na inflatie), dan is de globale ruimtetijd in ruimtelijke zin namelijk nagenoeg vlak (Euclidisch). Bij elke andere begindichtheid is de globale ruimtetijd in ruimtelijke zin positief of negatief gekromd. De uitdijing van ons heelal blijkt onder invloed van de ‘kosmologische constante’ – na een eerste periode van vertraging – al zeven miljard jaar te versnellen. Kosmische inflatie verklaart overigens (nog) niet de relatief zeer lage entropie van ons heelal sinds het begin (geschat op 10

12 voor inflatie, 10

88 meteen erna).

Boekbespreking door Freddy Brugmans – 7 september 2014 Pagina 9

vi Belangrijk voorbeeld van op Noether-symmetrie gebaseerde klassieke natuurwet is de wet van behoud van

energie, die zegt dat de hoeveelheid energie van gesloten systeem altijd gelijk blijft; wel kan de vorm van energie veranderen, zoals in massa, warmte etc. Andere voorbeelden van behouden grootheden zijn impuls en impulsmoment. Ook ‘informatie’ in de zin van het aantal dimensies van de faseruimte is een behouden grootheid: het aantal bits van een gesloten systeem is constant. De ‘entropie’ van een gesloten systeem neemt bij een ideaal gas volgens de tweede hoofdwet van de warmteleer nooit af. Entropie is de niet-comprimeerbare informatie en kan toenemen tot de maximale entropie (= het aantal bits) van het gesloten systeem. Als de entropie lager is dan de maximale entropie, dan is een deel van de bits in een comprimeerbare vorm. Ons heelal is geen ideaal gas (er zijn wel wisselwerkingen) en geen gesloten systeem: de maximale entropie neemt sinds de oerknal toe – misschien tot aan haar warmtedood. De temperatuur van het heelal (de hoeveelheid energie per bit bij warmteverandering) neemt daarbij voortdurend af. Een zwart gat is klassiek geheel gedefinieerd door haar massa, elektrische lading en impulsmoment: het heeft dan geen entropie. Doch alles dat ooit bij de waarnemingshorizon van een zwart gat aankomt, levert – volgens Bekenstein – een soort holografische opslag op bij de waarnemingshorizon: bits verdwijnen ook daar niet uit ons heelal. Het kleinste oppervlak dat de waarnemingshorizon kan bevatten is een 'Planck-pixel' (2,56.10

-70 m

2). Het oppervlak van de

waarnemingshorizon uitgedrukt in Planck-pixels bevat alles dat ooit in het zwart gat terecht is gekomen, maar dan in de vorm van qubits. De temperatuur van een zwart gat is gekoppeld aan de Hawking-straling die het bij deze maximale kwantumentropie uitzendt (een zwart gat is zo tevens een zwart lichaam, dat alleen thermische straling uitzendt). Het ‘holografisch principe’ van ’t Hooft zegt, dat kromming van de driedimensionale ruimte rond alle macroscopische, laag-energetische objecten (dus niet alleen bij een zwart gat) is op te vatten als emergentie vanuit een tweedimensionale qubit-structuur. vii

Met complex wordt in algemeen spraakgebruik gedoeld op gecompliceerd (en is dan afhankelijk van de ‘kennis’ bij het subject), maar in de informatietheorie gaat het om de inherente structuur van iets. Deze ‘structurele complexiteit’ wordt gedefinieerd als het minimale aantal bits dat iets volledig beschrijft. ’Kolmogorov complexiteit’ is het kortste algoritme dat een bepaalde reeks bits voortbrengt (hoe langer = hoe hogere complexiteit = hoe minder interne structuur = hoe minder comprimeerbaar). Het is i.t.t. ‘Shannon entropie’ onafhankelijk van een veronderstelde waarschijnlijkheidsdistributie, maar ‘Shannon entropie’ en verwachte ‘Kolmogorov complexiteit’ zijn wel nauw aan elkaar verwant. ‘Kolmogorov complexiteit’ is helaas een onberekenbare functie en maakt geen onderscheid tussen toevallige structurele complexiteit (zoals ruis) en betekenisvolle structurele complexiteit (zoals een geëncrypte boodschap). viii

Het begrip informatie betekent in normaal spraakgebruik inlichtingen (c.q. gegevens) en hangt het af van de ‘kennis’ van het subject (c.q. de interpretatie door een computerprogramma) of ontvangen data deze rol vervullen. Wat de één ruis vindt, ziet de ander immers als informatie. Het meest overeenkomend met algemeen spraakgebruik is de informatietheoretische definitie van Shannon voor ‘wederzijdse informatie’: de afname in onzekerheid over een variabele X vanwege ‘kennis’ van variabele Y. Informatie is dan de mate van redundantie tussen variabelen; zulke patroonrepresentaties vereisen fysisch gezien geen energie (kwantumtheorie verbiedt het klonen), maar geven wel de sociaalpsychologische ‘betekenis’ aan data – en de neurofysiologische verwerking van betekenis vergt soms veel energie. ‘Wederzijdse informatie’ is een uitbreiding van de basisdefinitie van Shannon voor informatie, dat – los van betekenis – op statistische wijze gedefinieerd is. De definitie is wiskundig vergelijkbaar met de ‘Boltzmann entropie’ uit de warmteleer: het aantal microtoestanden dat door één macrotoestand wordt vertegenwoordigd. ‘Shannon informatie’ drukt onbepaaldheid uit in aantal ‘bits’ (één bit = het is ‘waar’ óf ‘niet waar’): het is de mate van onzekerheid vooraf, welke reeks bits waargenomen zal worden. Het gaat uit van een onderliggende waarschijnlijkheidsdistributie van de reeks bits en is het gewogen rekenkundig gemiddelde van mogelijke uitkomsten. Zijn de kansen p van n mogelijke uitkomsten allemaal gelijk (dus p = 1/n), dan heeft de onzekerheid de maximale waarde:

2log n bit.

Von Neumann stelt de onderliggende waarschijnlijkheidsdistributie in het geval van kwantumsystemen gelijk aan de kansdichtheid volgens de kwantumgolffunctie. De ‘Shannon informatie’ is dan het aantal bits dat van iets de kwantumtoestand specificeert: een kwantitatieve maat voor het fundamenteel ontbreken van zekerheid over een kwantumsysteem. Met noemt deze fundamentele onbepaaldheid de ‘Von Neumann entropie’ of ‘kwantuminformatie’ van een systeem dat in superpositie is en spreekt over het aantal ‘qubits’ (één qubit = het is ‘waar’ én ‘niet waar’). Hoe hoger de waarde, hoe meer onzekere uitkomsten de waarschijnlijkheidsdistributie kan genereren.