Hesaplanan Parametrelerin Hesaplanan Parametrelerin Hassasiyeti ve Güvenirlik Hassasiyeti ve Güvenirlik

BölgesiBölgesi

Güvenirlik BölgesiGüvenirlik Bölgesi

1

2

1

Doğrusal

y = 1 +2x

Doğrusal Olmayan

y = 1 [1-exp(2x)]

2

1 1

b

c d

a

Farklı x değerleri için y değerleri toplanıp, Farklı x değerleri için y değerleri toplanıp, parametreler tayin edildi varsayalım. parametreler tayin edildi varsayalım. Başka bir veri seti oluşturup aynı şeyi Başka bir veri seti oluşturup aynı şeyi yaptığınızda bu sefer aynı x değerleri için yaptığınızda bu sefer aynı x değerleri için farklı y değerleri elde edilecektir. Bunu farklı y değerleri elde edilecektir. Bunu birkaç kez tekrar ettiğimizde ise birçok birkaç kez tekrar ettiğimizde ise birçok parametre çifti oluşacaktır. Oluşan parametre çifti oluşacaktır. Oluşan parametre çiftleri için bir güvenirlik bölgesi parametre çiftleri için bir güvenirlik bölgesi oluşturulur. oluşturulur.

2

1

Güvenirlik Bölgesi

Eğer oluşan alan darsa bu parametrelerin Eğer oluşan alan darsa bu parametrelerin hassasiyetine işaret eder. Ayrıca hangi hassasiyetine işaret eder. Ayrıca hangi parametredeki hassasiyetin daha fazla olduğu parametredeki hassasiyetin daha fazla olduğu da grafikten görülebilir. Örneğin b’de da grafikten görülebilir. Örneğin b’de 22’nin ’nin

hassasiyeti hassasiyeti 11’den daha büyüktür. Genelde ’den daha büyüktür. Genelde

ölçüm sayısı arttıkça güvenilirlik bölgesi daralır.ölçüm sayısı arttıkça güvenilirlik bölgesi daralır. Doğrusal olmayan modeller için ölçümün Doğrusal olmayan modeller için ölçümün

yapıldığı aralık da önemlidir. Örneğin d)’deki gibi yapıldığı aralık da önemlidir. Örneğin d)’deki gibi uzamış uçlar, deneylerin bilgi verici olmayan bir uzamış uçlar, deneylerin bilgi verici olmayan bir aralıkta yapılmasından kaynaklanabilir. aralıkta yapılmasından kaynaklanabilir.

İki Parametreli Doğrusal Modelde İki Parametreli Doğrusal Modelde Parametrelerin Hassasiyetini Parametrelerin Hassasiyetini

HesaplamaHesaplama

22

2

221

22

2

0

10

)(

)(1)ˆ(

)(

1)(

)(

1)(

xx

xx

nyVar

xxVar

xx

x

nVar

xy

i

kk

i

i

2 s2 ile tahmini olarak hesaplanabilir.

2

)ˆ( 222

n

yyS ii

Kalanların karelerinin ortalaması

Parametre sayısı

Parametrelerin Güvenilirlik AralığıParametrelerin Güvenilirlik Aralığı

2/1

222/,11

2/1

22

2

2/,00

)(

1

)(

1

sxx

tb

sxx

x

ntb

i

i

Güvenilir parametre bölgesi eliptiktir. %100(1-a)’lik güvenirlik bölgesinin tam veren elipsin denklemi aşağıdaki gibidir.

,2,222

112

110022

00 2))(())()((2)( nii Fsbxbbxbn

Ortalama Yanıtın Güvenilirlik Ortalama Yanıtın Güvenilirlik Aralığı Aralığı

2/1

22

20

2/,100 )(

)(1)(

sxx

xx

ntxbb

i

Belli bir x0 değerinde hesaplanan ortalama y değerinin güvenilirlik aralığı:

Gelecekte hesaplanacak tek bir x değerine karşılık gelen tahmin edilen y’nin güvenilirlik aralığı ise:

2/1

22

202

2/,10 )(

)(1)(ˆ

sxx

xx

nstxbby

if

Örnek, Doğrusal ModelÖrnek, Doğrusal Model

Bir HPLC cihazına ait kalibrasyon verisi Bir HPLC cihazına ait kalibrasyon verisi aşağıda verilmiştir. Veri y = başağıda verilmiştir. Veri y = b00+b+b11x x modeline uydurulmuş ve ilgili istatistik modeline uydurulmuş ve ilgili istatistik Tablo 26.2’de verilmiştir. Uydurulan Tablo 26.2’de verilmiştir. Uydurulan doğru denklemi y = 0.566 +139.759x. doğru denklemi y = 0.566 +139.759x.

a)a) Parametre bParametre b00 ve b ve b11 için %95’lik güvenirlik için %95’lik güvenirlik aralığını belirtiniz.aralığını belirtiniz.

b)b) Sistemin ortalama yanıtı nSistemin ortalama yanıtı n00 için x için x =0.2’deki güvenirlik aralığı nedir?=0.2’deki güvenirlik aralığı nedir?

c)c) Gelecekteki xGelecekteki xff= 0.2’de kaydedilen tek = 0.2’de kaydedilen tek bir gözlem için güvenirlik aralığı nedir?bir gözlem için güvenirlik aralığı nedir?

Boya Kons Alan0.18 26.6660.35 50.651

0.055 9.6280.022 4.6340.29 40.2060.15 21.369

0.044 5.9480.028 4.2450.044 4.7860.073 11.3210.13 18.456

0.088 12.8650.26 35.1860.16 24.2450.1 14.175

ÖZET ÇIKIŞI

Regresyon İstatistikleriÇoklu R 0.997234R Kare 0.994476Ayarlı R Kare 0.994051Standart Hata 1.092727Gözlem 15

ANOVAdf SS MS F Anlamlılık F

Regresyon 1 2794.309 2794.309 2340.19 4.6E-16Fark 13 15.52268 1.194052Toplam 14 2809.832

KatsayılarStandart Hata t Stat P-değeri Düşük %95Yüksek %95Düşük 95.0%Yüksek 95.0%Kesişim 0.566494 0.473448 1.196528 0.252857 -0.456329 1.589317 -0.456329 1.589317X Değişkeni 1 139.7587 2.889037 48.37551 4.6E-16 133.5173 146 133.5173 146

Excel’de Araçlar/veri çözümleme/regresyon

194.1215

52.15

2

)ˆ( 22

n

yys ii

ÖZET ÇIKIŞI

Regresyon İstatistikleriÇoklu R 0.997234R Kare 0.994476Ayarlı R Kare 0.994051Standart Hata 1.092727

ANOVAdf SS MS F Anlamlılık F

Regresyon 1 2794.309 2794.309 2340.19 4.6E-16Fark 13 15.52268 1.194052Toplam 14 2809.832

Katsayılar t Stat P-değeriKesişim 0.566494 0.473448 1.196528 0.252857 -0.456329 1.589317 -0.456329 1.589317

1

2

3465.8)(

1)(

2241.0)(15

1)(

221

22

2

0

sxx

Var

sxx

xVar

i

i

3 t13,0.025=2.16.

24.6759.139)88.2(16.2759.139)var(16.2759.139

023.1567.0)47.0(16.2567.0)var(16.2567.02/1

11

2/100

b

b

ÖZET ÇIKIŞI

Regresyon İstatistikleriÇoklu R 0.997234R Kare 0.994476Ayarlı R Kare 0.994051Standart Hata 1.092727

df SS MS FRegresyon 1 2794.309 2794.309 2340.19 4.6E-16Fark 13 15.52268 1.194052

KatsayılarStandart Hata t Stat P-değeri Düşük %95Yüksek %95Düşük 95.0%Yüksek 95.0%Kesişim 0.566494 0.473448 1.196528 0.252857 -0.456329 1.589317 -0.456329 1.589317X Değişkeni 1 139.7587 2.889037 48.37551 4.6E-16 133.5173 146 133.5173 146

Güvenirlik Bölgesi ElipsiGüvenirlik Bölgesi Elipsi

8056.3)194.1(2)758.139)(40249.0()758.139)(567.0)(972.1(2)567.0(15 2110

20

F2,13,0.05 = 3.8056

s2 = 1.194

bo = 0.567

b1 = 139.758

xi = 1.972

xi2 = 0.40249

125

130

135

140

145

150

155

-2 -1 0 1 2 3

Tahmin Edilen Değerdeki Tahmin Edilen Değerdeki Güvenirlik AralığıGüvenirlik Aralığı

b) x = 0.2b) x = 0.2

c) xc) xff = 0.2 = 0.2

744.05.28194.11431.0

)1316.02.0(

15

116.2)2.0(158.139567.0(

2/12

0

265.2519.28194.1)(

)2.0(

15

1194.116.2)(ˆ

2/1

2

2

10

xx

xxbby

if

y = 139.76x + 0.5665

R2 = 0.9945

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 0.05 0.1 0.15 0.2

konsantrasyon

alan

Gelecekteki ölçümler için %95’lik güvenirlik aralığı

Ortalama için %95’lik güvenirlik aralığı

Doğrusal Olmayan Model, Doğrusal Olmayan Model, Bakteri Büyüme ModeliBakteri Büyüme Modeli

Monod model veriye uydurulmak isteniyor: Monod model veriye uydurulmak isteniyor:

SSii (mg/l KOİ) (mg/l KOİ) 2828 5555 8383 110110 138138

ii (1/sa) (1/sa) 0.0530.053 0.0600.060 0.1120.112 0.1050.105 0.0990.099

SK

S

s max

S: Substrat konsantrasyonu (mg/lKOİ, BOİ, TOC, vs. S: Substrat konsantrasyonu (mg/lKOİ, BOİ, TOC, vs.

: Mevcut substrat konsantrasyonundaki büyüme hızı: Mevcut substrat konsantrasyonundaki büyüme hızı

maxmax: maksimum büyüme hızı: maksimum büyüme hızı

KKss : Doymuşluk sabiti : Doymuşluk sabiti

Doğrusal Olmayan Model Doğrusal Olmayan Model ParametreleriParametreleri

Parametreler: Parametreler: maxmax ve K ve Kss

Doğrusal olmayan regresyon da yapabilen bir programla veri bu modele uydurulur. SPSS, SYSTAT, MATLAB veya ORIGİN kullanılabilir.

max = 0.153 /sa

Ks = 55.4 mg/l

Origin’deOrigin’de

20 40 60 80 100 120 140

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12Data: Data1_BModel: Hyperbl Chi^2 = 0.00026R^2 = 0.73414 P1 0.15212 ±0.04677P2 54.55623 ±42.75409

S

B

Doğrusal Olmayan ModelDoğrusal Olmayan Modellerler Doğrusal olmayan modeller için parametrelerin hassasiyeti kalanların Doğrusal olmayan modeller için parametrelerin hassasiyeti kalanların

karelerinin toplamı (Skarelerinin toplamı (SRR) yüzeyinde sınırlıdır. Karelerin toplamının kritik ) yüzeyinde sınırlıdır. Karelerin toplamının kritik

değeri: Sdeğeri: Scc==

p hesaplanan parametre sayısı, n gözlem sayısı, n-p serbestlik derecesi p hesaplanan parametre sayısı, n gözlem sayısı, n-p serbestlik derecesi olup solup s22=S=SRR/(n-p) /(n-p) 22’nin tahmini değeri olarak kullanılmaktadır. ’nin tahmini değeri olarak kullanılmaktadır.

Lineer olmayan modeller için genelde kesin güvenilirlik seviyesi Lineer olmayan modeller için genelde kesin güvenilirlik seviyesi

bilinmediğindenbilinmediğinden SScc ile belirlenen ortak güvenilirlik alanı tam olarak 1- ile belirlenen ortak güvenilirlik alanı tam olarak 1-

olmayıp bunun yaklaşık değeridir. olmayıp bunun yaklaşık değeridir.

Çünkü sÇünkü s22=S=SRR/(n-p) artık /(n-p) artık 22’nin yansız tahmini değeri değildir. ’nin yansız tahmini değeri değildir.

2

1

max

n

i is

iiR SK

SS

Doğrusal Olmayan ModelDoğrusal Olmayan Modellerler Örnek veri için SR = 0.00079, n=5, p=2, F2,3,0.05=9.55. Örnek veri için SR = 0.00079, n=5, p=2, F2,3,0.05=9.55.

Bu ortak güvenilirlik bölgesi denmesinin nedeni iki parametrenin de dikkate alınmasıdır. Eğer bu 5 gözlemin yapıldığı bölgede çok geniş sayıda veri toplamış olsaydık tahmin edilen parametre çiftleri bu ortak güvenilirlik bölgesinin içinde yer alacaktı. Bölgenin büyüklüğü parametrelerin ne kadarlık bir hassasiyetle belirlendiğinin ölçüsünü verir. Veriyi iyi bir şekilde yansıtan bir model için bu bölgenin sınırlı ve küçük olmasını bekleriz.

Örnek veri için aşağıda görüldüğü gibi bu güvenilirlik bölgesi aşırı büyük. 2 500’e yaklaştığında bile alan kapanmıyor. Bu da parametrelerin kötü bir şekilde tayin edildiğini gösteriyor.

Sağdaki büyük Sağdaki büyük alanalan hassasiyetin düşük olduğunu gösteriyor. Bu demek hassasiyetin düşük olduğunu gösteriyor. Bu demek ki tahmin edilen değerlere fazla güvenemeyiz.ki tahmin edilen değerlere fazla güvenemeyiz.

Hassasiyet Nasıl Artırılır?Hassasiyet Nasıl Artırılır? Güvenirlik alanının şekli ve büyüklüğü üç faktöre bağlıdır. Güvenirlik alanının şekli ve büyüklüğü üç faktöre bağlıdır.

1. Ölçüm hassasiyetine1. Ölçüm hassasiyetine 2. Yapılan ölçüm sayısına2. Yapılan ölçüm sayısına 3. Bağımsız değişkenin seçildiği aralığa3. Bağımsız değişkenin seçildiği aralığa

2 ve 3’e kıyasla 1 fazla değiştirilemez. 2 Genellikle bağımsız 2 ve 3’e kıyasla 1 fazla değiştirilemez. 2 Genellikle bağımsız değişkenin seçildiği noktalar ile değişkenin seçildiği noktalar ile ölçüm sayısıölçüm sayısı değiştirilebilir. değiştirilebilir.

Monod örneği için yüksek substrat seviyesinde bir kaç ölçüm daha Monod örneği için yüksek substrat seviyesinde bir kaç ölçüm daha yapılarak (n = 7) güvenirlik alanı küçültülebilir. yapılarak (n = 7) güvenirlik alanı küçültülebilir.

Veya n=5 olarak kalır ancak daha yüksek bir S konsantrasyonunda Veya n=5 olarak kalır ancak daha yüksek bir S konsantrasyonunda bir ölçüm yapılarak da parametrelerin hassasiyeti artırılabilir. bir ölçüm yapılarak da parametrelerin hassasiyeti artırılabilir.

5 Orijinal + 2 Yeni Nokta5 Orijinal + 2 Yeni Nokta

Orijinal 5 nokta artı yüksek substrat konsantrasyonlarında 2 nokta Orijinal 5 nokta artı yüksek substrat konsantrasyonlarında 2 nokta dahadaha

4 Orijinal Nokta +1 Yeni4 Orijinal Nokta +1 Yeni

Orijinal 4 Nokta +Yüksek Substratta Orijinal 4 Nokta +Yüksek Substratta yapılan 1 nokta dahayapılan 1 nokta daha

Doğrusal Olmayan ModellerDoğrusal Olmayan Modeller

Parametrelerin hassasiyetinin Parametrelerin hassasiyetinin büyüklüğünün hesabı matlabda: büyüklüğünün hesabı matlabda: