hata kuramı ve parametre kestirimigalileo.selcuk.edu.tr/~aydin/docs/matrisler.pdfgiri¸s matris...

GirisMatris HesabıHata Kuramı

Hata Kuramı ve Parametre KestirimiLisans Ders Notları

Doc. Dr. Aydın USTUNSelcuk Universitesi

e-posta: [email protected]

24.09.2012

Aydın USTUN (Selcuk Universitesi) Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.24.09.12)


Icerik

1 GirisTemel kavramlarKonu ve kapsamTarihce

2 Matris HesabıMatris ozellikleriMatris hesabı

3 Hata KuramıHata turleri ve hata kuramıHata yayılma kurallarıStandart sapma hesabı



Temel kavramlarKonu ve kapsamTarihce

Bilinmesi gereken gercekler

Olcme uzunluk, agırlık, zaman vb. fiziksel bir niceliginbuyuklugunun belirlenmesi icin yapılan islemdir.

Dogada, bu niceliklerden her hangi birinin “kesin” ya da“gercek” degerini veren olcme teknigi yoktur.

Bir olcme islemi sonucunda elde edilen gozlem degeri mutlakahatalarla yukludur.

Gozlem degerlerinin gercek degerden ne kadar saptıgı kesinolarak bilinmez.




Tanımlar

Hata kuramı

Bir ya da birden fazla hata kaynagının olculmus veya hesaplanmısbir buyukluk uzerindeki etkisini incelemek ve hata buyuklugu ilemeydana gelme olasılıgı arasındaki iliskiyi acıklamak icin kullanılanbir kavramdır.

Parametre kestirimi

Deneysel yollarla elde edilmis ve belirli bir dagılım kumesinden(ornegin normal) cıktıgı varsayılan verilerden bilinmeyenparametrelerin veya fonksiyonlarının belirlenmesini ifade eder.




Dengeleme hesabının amacı

Bir olcme isleminde, gereginden fazla olcu arasındakitutarsızlıkları (olcme sırasında ortaya cıkan hatalardankaynaklı) gidermek

Dengeleme hesabı oncesi, yapılan olculerin onsel (a priori)hatalarını onceden tahmin etmek

Dengeleme hesabı sonrası, hataların kestirilen parametreleruzerindeki yayılma etkilerini, baska bir deyisle sonsal (aposteriori) hatalarını hesaplamak




Dersin amacı

Olcu ve hata kavramlarını tanımlama ve aralarındaki iliskiyiacıklama,

Gereginden fazla yapılmıs olculeri kullanarak bilinmeyenparametrelerin en uygun degerlerini belirleme,

Jeodezik uygulamalar icin en kucuk kareler yonteminikullanma,

Kestirilmis parametreler icin duyarlık ve guven olcutlerinihesaplama




Ders notu ve diger kaynaklar

Demirel, H. (2005) Dengeleme Hesabı, 2. Baskı, YTUBasım-Yayın Merkezi, Istanbul.

Ozturk, E. (1987) Dengeleme Hesabı, Cilt I, KTU Basımevi,Trabzon.

Ozturk, E., Serbetci, M. (1989) Dengeleme Hesabı, Cilt II,KTU Basımevi, Trabzon.

Koch, K. R. (1999) Parameter Estimation and Hypothesis

Testing in Linear Models, Springer-Verlag, Berlin.

Ghilani, C. D. ve Wolf, P. R. (2006) Adjustment

Computations: Spatial Data Analysis, John Wiley & Sons,Hoboken, New Jersey.




En Kucuk Kareler (EKK) yonteminin gelisimi

1800 1810 1820 1830 1840 1850

A. M. Legendre,EKK konusunda ilkkitabını yayımladı

1806

C. F. Gauss, EKKyonteminin ilk basa-rılı sonucunu aldı

1802

Gauss, EKK ile il-gili bir dizi makaleyayımladı

1823

L. Gerling, “Uygu-lamalı GeometrideEKK” adlı kitabınıyayımladı

1843

Rheiner, EKK’yi I.derece nirengi agıdengelemesinde kul-landı

18501809

1821 1826




En Kucuk Kareler (EKK) yonteminin gelisimi (devam)

1900 1910 1920 1930 1940 1950

F. G. Gauss, EKK’yiII. ve dusuk dereceliaglarına uygulanmasıkonusundaki kitabınıyayımladı

19.yy sonu

F. R. Helmert,EKK yontemini ge-listirilmis bicimiyleyayımladı

1907

Helmert, korelasyonlugozlemler icin “EKKYontemine GoreDengeleme Hesabı”nıyayımladı

1924

J. M. Tienstra,“Normal DagılmısGozlemlerle Den-geleme Kuramı”nıyayımladı

1956

E. Gotthard, “Den-geleme HesabıBagıntılarının Mat-ris Gosterimi”niyayımladı

1952



Matris ozellikleriMatris hesabı

Matris

A = Am,n

=

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

......

.... . .

...

am1 am2 am3 . . . amn

Sutun sayısı=n

Satır

sayısı=m

Matris elemanı:italik, kucuk harf

Matris gosterimi:kalın, buyuk harf




Vektor

Vektor gosterimi:kalın, kucuk harf

am,1

=

a1

a2...

am

b1,n

=(

b1 b2 . . . bn

)

Sutun vektor (n = 1) Satır vektor (m = 1)




Matris turleri

Dikdortgen matris (m 6= n)

A3,4

=

−1 0 5 −22 1 0 13 4 −1 −3

Kosegen matris (ci ∈ R)

Cn,n

=

c1 0 . . . 00 c2 . . . 0...

.... . . 0

0 0 0 cm

Kare matris (m = n)

B3,3

=

−3 −1 25 4 −13 −2 3

Skaler matris (d 6= 0)

Dn,n

=

d 0 . . . 00 d . . . 0...

.... . . 0

0 0 0 d




Matris turleri (devam)

Alt ucgen matris

Ln,n

=

l11 0 . . . 0l21 l22 . . . 0...

.... . .

...ln1 ln2 . . . lnn

Birim matris

En,n

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . . 0

0 0 0 1

Ust ucgen matris

Un,n

=

u11 u12 . . . u1n

0 u22 . . . u2n...

.... . .

...0 0 . . . unn

Sıfır matris

0n,n

=

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . . 0

0 0 0 0




Matris turleri (devam)

Simetrik matris(aij = aji)

B3,3

=

−3 −1 2−1 4 −1

2 −1 3

Ters simetrik matris(aij = −aji , aii = 0)

B3,3

=

0 −1 21 0 3

−2 −3 0

A11 A12

A21 A22

Blok matris

A =

(

A11 A12

A21 A22

)

=

1 4 −3 0 13 2 2 1 00 1 −8 0 5

−1 3 7 −1 −6

−2 0 −3 7 55 −1 −6 4 3




Ozel vektorler

Sıfır vektoru

0 =

00...0

Bir vektoru

1 =

11...1

Birim vektor: elemanlarından sadece biri bire esit, digerleri sıfır

e1 =

1000

, e2 =

0100

, e3 =

0010

, e4 =

0001




Determinant

n × n boyutlu kare matrisin determinantı,

detA = |A| = det

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 am2 . . . ann

biciminde gosterilir ve i . satır elemanları icin yazılan,

det A = |A| =n∑

k=1

(−1)i+kaik |Aik | =n∑

k=1

aikcik

esitligi ile hesaplanır. Burada |Aik |, aik elemanının minoru;cik = (−1)i+k |Aik | ise kofaktorudur. |Aik |, A’nın i . satır ve k.

sutun elemanları cizilerek elde edilen alt matristir (n − 1 boyutlu).




Determinant (devam)

Kofaktor kuralına gore 3 boyutlu bir matrisin determinantı,

|A| = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11

∣

∣

∣

∣

a22 a23

a32 a33

∣

∣

∣

∣

− a12

∣

∣

∣

∣

a21 a23

a31 a33

∣

∣

∣

∣

+ a13

∣

∣

∣

∣

a21 a22

a31 a32

∣

∣

∣

∣

= a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

2 × 2 boyutlu alt matrislerin determinatları yardımıyla kolaycahesaplanabilir.




Determinant hesabına iliskin bazı ozellikler

Determinant bir kare matris icin gecerli reel bir sayıdır. Kare matris dogrusal birdenklem sisteminin katsayıları olarak verilmisse, determinantın sıfır oldugudurumda denklem sisteminin cozumu yoktur:

detA = 0 A → tekil (singular)

detA 6= 0 A → duzenli (regular)

Ucgen ve kosegen matrislerin determinantı kosegen elemanlarının carpımına esittir:

detA = a11a22a33 · · · ann

Bir matriste iki sutun (veya satır) elemanları yer degistirirse determinant isaretdegistirir:

A =`

a1 . . . ai aj . . . an

´

A =`

a1 . . . aj ai . . . an

´

)

⇒ detA = − detA

Bir matrisin devriginin determinantı kendisinin determinantına esittir:

detA = det AT




Gauss eleminasyonu

0

@

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

1

A

1. satır aynı2. satır-( a21

a11)*1. satır

3. satır-( a31a11

)*1. satır

0

@

a11 a12 a13

0 a′

22 a′

23

0 a′

32 a′

33

1

A 2. satır aynı

3. satır-(a′32a′22

)*2. satır

0

@

a11 a12 a13

0 a′

22 a′

23

0 0 a′′

33

1

A

3. satır aynı

Determinant

|A| = a11a′

22a′′

33

Algoritma

double detg(double **A, int n)

{

double det=0.0;

double p =0.0;

int i,j,k;

for(k=0;k<n-1;k++)

for(i=k+1;i<n;i++) {

p=A[i][k]/A[k][k];

for(j=k+1;j<n;j++)

A[i][j]-=p*A[k][j];

}

det=1.0;

for(i=0;i<n;i++)

det*=A[i][i];

return (det);

}




Matrisin izi ve normu

Kare bir matrisin izi, kosegen elemanlarının toplamıdır:

iz(A) = a11 + a22 + . . . + ann =

n∑

i=1

aii

Matrisin normu, skaler bir buyukluk olup degisik norm kurallarınagore hesaplanabilir. Norm denilince akla genellikle satır ve sutunvektorler icin tanımlanan Oklit normu gelir:

Satır normu ‖Ai‖ =

√

√

√

√

n∑

j=1

a2ij =

√

a2i1 + a2

i2 + . . . + a2in

Sutun normu ‖Aj‖ =

√

√

√

√

n∑

i=1

a2ij =

√

a21j + a2

2j + . . . + a2nj




Matrisin rangı

Rang r(A), A’nın tekil olmayan en buyuk minorunun, baskadeyisle, bazı satır veya sutunların kapatılmasıyla elde edilen vedeterminantı sıfırdan farklı en buyuk alt kare matrisinboyutudur.

Kare matrislerde, rang sıfır ile matris boyutu arasındadır:

0 ≤ r(An,n

) ≤ n

|An,n

| 6= 0 ise r(An,n

) = n.

r(An,n

) < n ise d = n − r(An,n

) farkına rang bozuklugu denir.

Herhangi bir matris icin r(AT) = r(A) esitligi gecerlidir.




Matrislerin esitligi

Am,n

ve Bp,q

matrisleri verilsin.

m = p ve n = q olmak uzere her iki matrisin karsılıklı tumelemanları arasında,

Am,n

= Bp,q

=

a11 = b11 a12 = b12 . . . a1n = b1q

a21 = b21 a22 = b22 . . . a2n = b2q...

.... . .

...am1 = bp1 am2 = bp2 . . . amn = bpq

esitlikleri saglanıyorsa iki matris esittir denir:




Matrisin devrigi (transpozesi)

Am,n

matrisinin devrigi denildiginde satırları sutunlara, sutunları

satırlara donusturulmus matris anlasılır:

Am,n

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

⇒ AT

n,m=

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...

.... . .

...a1n a2n . . . amn

Burada T ust indisi A’nın devrik oldugunu isaret eder (bununyerine A∗ veya A′ bicimleriyle de gosterilebilir).

A = (AT)T

A = AT (A simetrik ise)

Algoritma

for(i=0;i<m;i++)

for(j=0;j<n;j++)

T[j][i]=A[i][j];




Matris toplamı

m = p ve n = q olmak uzere iki matrisin toplamı,

Cm,n

= Am,n

+ Bp,q

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1q

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2q...

.... . .

...am1 + bp1 am2 + bp2 . . . amn + bpq

ile tanımlanır (fark icin C = A + (−B) esitligi yazılabilir).

A + B = B + A Degisim oz.

A + (B + C) = (A + B) + C Birlesim oz.

Algoritma

if(m==p && n==q)

for(i=0;i<m;i++)

for(j=0;j<n;j++)

C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];




Matris carpımı

Iki matrisin carpımı,C

m,q= A

m,nBp,q

ile gosterilir. Burada n = p olmalıdır. C matrisinin cij elemanıA’nın i . satır ve B’nin j . sutun elemanlarının karsılıklı carpımlarınıntoplamına esittir:

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . ainbnj =

n∑

k=1

aikbkj

A

B

C

Algoritma

if(n==p)

for(i=0;i<m;i++)

for(j=0;j<q;j++)

for(k=0;k<n;k++)

C[i][j]+=A[i][k]+B[k][j];




Matris carpımının ozellikleri

Matris carpımı icin asagıdaki ozellikler gecerlidir:

A(BC) = (AB)C Birlesim oz.

A(B + C) = (AB) + AC Dagılma oz.

A ve B matrislerinin sagdan ve soldan carpımları mumkun olsa bile matriscarpımının degisim ozelligi genellikle yoktur:

AB 6= BA

E birim matris olmak uzere Am,n

ile carpımı asagıdaki sonucu verir:

Am,n

En,n

= Em,m

Am,n

= Am,n

Bir matris carpımının devrigi, ters sırada matris devriklerinin carpımına esittir:

(ABC)T = CTBTAT




Matris carpımının ozellikleri (devam)

Esit dereceli A ve B matrislerinin determinantı icin asagıdaki esitlikler gecerlidir:

det(AB) = det A detB = detB detA = det(BA)

A2 = AA = A esitligini saglayan matrise esguclu (idempotent) matris denir.

Bir matris soldan devrigi ile carpılırsa simetrik matris elde edilir (Gauss donusumu):

ATA =

0

@

a1 a2 . . . an

b1 b2 . . . bn

c1 c2 . . . cn

1

A

0

B

B

B

@

a1 b1 c1

a2 b2 c2

......

...an bn cn

1

C

C

C

A

=

0

@

[aa] [ab] [ac][ab] [bb] [bc][ac] [bc] [cc]

1

A

Koseli parantezler toplam anlamındadır: [aa] = a21 + a2

2 + . . . + a2n.

a ve b sutun vektorleri tanımlansın. Iki vektor arasında iki farklı carpım sozkonusudur.

aTb = c = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn Ic carpım (sayı)

abT = C Dıs carpım (matris)




Bir matrisin tersi

Tekil olmayan bir A matrisi,

AA−1 = A−1A = E

esitligini saglıyorsa A−1 matrisine A’nın tersi denir. Ters matrisKramer kuralı olarak bilinen ve matrisin i . satır ve k. sutunelemanlarının kapatılmasıyla hesaplanan kofaktor elemanları(−1)i+k |Aik | yardımıyla bulunabilir:

A−1 =adjA

|A| =1

|A|

|A11| −|A21| |A31| ∓ . . .

−|A12| |A22| −|A32| ± . . .

|A13| −|A23| |A33| ∓ . . .

∓... ±... ∓.... . .




Matris tersinin ozellikleri

Matris tersi icin asagıdaki ozellikler gecerlidir:

(A−1)−1 = A

(kA)−1 = k−1A−1

|A−1| = |A|−1

(ABC)−1 = C−1B−1A−1

A = AT ⇒ A−1 = (A−1)T

A = A−1 ⇒ A2 = E

Kosegen matrisin tersi, kosegen elemanlarının terslerinden olusan yeni bir matristir:

diag(d1, d2, . . . , dn) = diag(1/d1, 1/d2, . . . , 1/dn)

Bir ust ucgen matrisin tersi yine ust ucgen matris, alt ucgen matrisin tersi de yinealt ucgen matristir.




Gauss-Jordan yontemi ile ters matris hesabı

Yontem, tersi alınacak matrisin (A) sagına aynı boyutlu birimmatrisin yazılmasına ve soldaki matrisin birim matriseindirgenmesine dayanır. Indirgeme islemleri sonucunda sagdakibirim matris ters matrise donusmus olur (B = A−1):

(

A E)

=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

.... . .

......

.... . .

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

⇓

1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n

0 1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n...

.... . .

......

.... . .

...0 0 . . . 1 bn1 bn2 . . . bnn

=(

E B)




Gauss-Jordan eleminasyonu (ornek)

2 0 −1 1 0 0−1 3 −2 0 1 0

0 −1 1 0 0 1

2 0 −1 1 0 0 1.satır aynı0 3 − 5

212

1 0 12*1.satır+2.satır

0 −1 1 0 0 1

2 0 −1 1 0 00 3 − 5

212

1 0 2.satır aynı0 0 1

616

13

1 13*2.satır+3.satır

2 0 0 2 2 6 6*3.satır+1.satır0 3 0 3 6 15 15*3.satır+2.satır0 0 1

616

13

1 3.satır aynı

1 0 0 1 1 3 12*1.satır

0 1 0 1 2 5 13*2.satır

0 0 1 1 2 6 6*3.satır




Pivotlama yardımıyla Gauss-Jordan eleminasyonu

Pivot, tersi alınacak matrisinkosegen elemanına verilen addır.Kosegen elemanı sıfır ise sayısalolarak indirgeme islemini yurutmekolanaksızlasır; kosegeni sıfırdan farklıyapacak en uygun satır degisikliginegidilir. Cozumun sayısal kararlılıgıicin genellikle en buyuk eleman pivotolarak secilir.

Ornek:0

@

2 2 4 1 0 01 1 1 0 1 01 4 6 0 0 1

1

A

2 2 4 1 0 00 0 −1 − 1

21 0

0 3 4 − 12

0 1

2 2 4 1 0 00 3 4 − 1

20 1

0 0 −1 − 12

1 0

2 0 43

43

0 − 23

0 3 4 − 12

0 10 0 −1 − 1

21 0

2 0 0 23

43

− 23

0 3 0 − 52

4 10 0 −1 − 1

21 0

1 0 0 13

23

− 13

0 1 0 − 56

43

13

0 0 1 12

−1 0




Simetrik bir matrisin tersi

Simetrik bir matris icin tanım daha once A = AT esitligiyleyapılmıstı. En Kucuk Kareler, simulasyon, Kalman filtreleme vb.uygulamalarda pozitif tanımlı simetrik matrisler ile igilihesaplamalar cogu kez kacınılmaz olur. Boylesi matrislerinterslerinin alınması sıradan matrislere gore daha kolaydır.

Simetrik bir matrisin tersi denilince akla gelen ilk yontem Choleskyayrıstırmasıdır. Bunun dısında daha once anlatılan Gaussalgoritması da kullanılabilir. Aslında bu yontem matrisin simetrikozelliginden yararlanılarak kısaltılmıs (ucgene indirgenmis) bircozumdur. Bu nedenle modernlestirilmis Gauss yontemi olarak dabilinir.




Cholesky ayrıstırması ve simetrik bir matrisin tersi

Cholesky ayrıstırması, simetrik pozitif tanımlı bir A matrisinin altucgen matris ve onun devriginin carpımı biciminde ayrıstırılmasıdır:

0

B

B

B

B

B

@

c11 c21 c31 . . . cn1

c22 c32 . . . cn2

c33 . . . cn3

. . ....

cnn

1

C

C

C

C

C

A

= CT

C =

0

B

B

B

B

B

@

c11

c21 c22

c31 c32 c33

......

.... . .

cn1 cn2 cn3 . . . cnn

1

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

@

a11 a12 a13 . . . a1n

a22 a23 . . . a2n

a33 . . . a3n

. . ....

ann

1

C

C

C

C

C

A

= A = CCT

Sim.




Cholesky ayrıstırması (kosegen elemanları)

a11 = c211 ⇒ c11 =

√a11

a22 = c221 + c2

22 ⇒ c22 =√

a22 − c221

a33 = c231 + c2

32 + c233 ⇒ c33 =

√

a33 − c231 − c2

32

......

ann = c2n1 + c2

n2 + . . . + c2nn ⇒ cnn =

√

ann − c2n1 − c2

n2 − . . . − c2nn−1




Cholesky ayrıstırması (kosegen olmayanlar)

a12 = c11c21 ⇒ c21 = a12/c11

a13 = c11c31 ⇒ c31 = a13/c11

. . .

a1n = c11cn1 ⇒ cn1 = a1n/c11

a23 = c21c31 + c22c32 ⇒ c32 = (a23 − c21c31)/c22

a24 = c21c41 + c22c42 ⇒ c42 = (a24 − c21c41)/c22

. . .

a2n = c21cn1 + c22cn2 ⇒ cn2 = (a2n − c21cn1)/c22

a34 = c31c41 + c32c42 + c33c43 ⇒ c43 = (a34 − c31c41 − c32c42)/c33

a35 = c31c51 + c32c52 + c33c53 ⇒ c53 = (a35 − c31c51 − c32c52)/c33

. . .

a3n = c31cn1 + c32cn2 + c33cn3 ⇒ cn3 = (a3n − c31cn1 − c32cn2)/c33




Cholesky ayrıstırması

cii =

√

√

√

√aii −i−1∑

k=1

c2ik i = j icin

cji =1

cii

(

aij −i−1∑

k=1

cikcjk

)

j > i icin

Algoritma

for(i=0;i<n;i++)

for(j=i;i<n;j++)

{

sum=A[i][j];

for(k=0;k<i;k++)

sum-=A[i][k]*A[j][k];

if(i==j)

{

A[j][i]=sqrt(sum);

cii=A[j][i];

}

else

A[j][i]=sum/cii;

}




Cholesky ayrıstırması (2. asama)

Cholesky ayrıstırması yapılmıs bir matrisin tersi:

A = CCT ⇒ A−1 = (CT)−1C−1

Yukarıdaki esitligin her iki tarafı CT ile carpılırsa,

CTA−1 = CT(CT)−1C−1 ⇒ CTA−1 = EC−1 = C−1

0

B

B

B

B

B

@

q11 q12 q13 . . . q1n

q12 q22 q23 . . . q2n

q13 q23 q33 . . . q3n

......

.... . .

...q1n q2n q3n . . . qnn

1

C

C

C

C

C

A

= Q

CT =

0

B

B

B

B

B

@

c11 c21 c31 . . . cn1

c22 c32 . . . cn2

c33 . . . cn3

. . ....

cnn

1

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

@

1/c11

? 1/c22

? ? 1/c33

......

.... . .

? ? ? . . . 1/cnn

1

C

C

C

C

C

A

= C−1




Cholesky yontemine gore matris tersi

Ornegin 3 × 3’luk bir matris icin cozum:

c33q33 =1

c33⇒ q33 =

1

c233

c22q23 + c23q33 = 0 ⇒ q23 = − 1

c22c23q33

c11q13 + c12q23 + c13q33 = 0 ⇒ q13 = − 1

c11(c12q23 + c13q33)

c22q22 + c23q23 =1

c22⇒ q22 =

1

c22(

1

c22− c23q23)

c11q12 + c12q22 + c13q23 = 0 ⇒ q12 = − 1

c11(c12q22 + c13q23)

c11q11 + c12q12 + c13q13 =1

c11⇒ q11 =

1

c11(

1

c11− c12q12 − c13q13)




Blok matrisin tersi

N =

(

N11 N12

N21 N22

)

ve Q = N−1 =

(

Q11 Q12

Q21 Q22

)

olsun. Iki matris arasında NQ = diag(E,E) sonucu bulunmasıgerektiginden

Q11 = N−111 + N−1

11 N12Q22N21N−111

Q22 = (N22 − N21N−111 N12)

−1

Q12 = −N−111 N12Q22

Q21 = −Q22N21N−111

matris islemleriyle bir blok matrisin tersi olusturulabilir.




Bir matrisin turevi

Skaler degiskene gore turev:

B =dA(t)

dt⇒ bij(t) =

daij(t)

dt

y = f (x1, x2, . . . , xn) = f (x) fonksiyonunun x’e gore turevi,

aT =∂y

∂x=(

∂y∂x1

∂y∂x2

· · · ∂y∂xn

)

dx = (dx1, dx2, . . . , dxn)T olmak uzere y ’nin diferansiyeli,

dy = aTdx

skaler bir sayıdır.




Bir matrisin turevi (devam)

Aynı vektor elemanlarına baglı birden fazla fonksiyondan(yi = fi (x1, x2, . . . , xn)) olusan y = f(x) vektorunun x’e gore turevi,

∂y

∂x=

∂y1

∂x1

∂y1

∂x2· · · ∂y1

∂xn∂y2∂x1

∂y2∂x2

· · · ∂y2∂xn

......

. . ....

∂ym

∂x1

∂ym

∂x2· · · ∂ym

∂xn

= Fm×n

ve diferansiyeli,dy = Fdx

ile gosterilir. Burada F Jacobi matris olarak bilinir; dengelemehesabında hata yayılma kuralının uygulanması ve duzeltmedenklemlerinin olusturulması asamasında karsımıza cıkar.



Hata turleri ve hata kuramıHata yayılma kurallarıStandart sapma hesabı

Hata turleri

Kaba hatalar: Dikkatsizlik ve ozensizlik sonucu olusurlar, isaret olarakduzensiz ancak beklenen hata miktarının cok uzerindedirler, cogu kezkolay farkedilirler ve olcu kumesinden cıkartılmaları gerekir, standarthatanın uc ile altı katı arasındakileri belirlemek zordur, istatiksel karartestleriyle uyusumsuz olup olmadıklarına karar verilebilir.

Duzenli (sistematik) hatalar: Olcme donanımından veya olcmeteknigindeki eksikliklerden kaynaklanırlar, esit cevresel kosullarda yakınbuyukluktedirler (genellikle aynı yonlu), olculerin ve bilinmeyenparametrelerin kestirim degerlerinde model hatalarına neden olurlar,baska olcme donanımı veya olcme teknikleri kullanılarak buyukluklerikestirilebilirler ve olculere duzeltme olarak getirilebilirler.

Duzensiz (rasgele) hatalar: Dengeleme hesabının konusudurlar, isaret vebuyuklukleri onceden kestirilemezler, olcme donanınımlarının ve insanduyularının yetersizlikleri ile modellenemeyen cevresel kosulların toplametkisi olarak olculere yansırlar.




Rasgele hataların (frekans) dagılımı

ε (mm)

%h

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

εi = µ − ℓi (i = 1, 2, . . . , n)

hr =kr

n(r = 1, 2, . . . )

kr r. aralıktaki hata sayısın toplam hata (olcu) sayısı




Frekans (sıklık) dagılımı ve Gauss egrisi

ε (mm)

%h

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22




Normal (Gauss) dagılım

ξ

f(ξ)

f(ξ) =1

σ√

2πe−

ξ2

2σ2

−σ σ0




Dogruluk olcutleri

ξ

f(ξ)

σ1

σ2

µ − σ1 µ + σ1µ − σ2 µ + σ2µ

Yuksek dogruluk

Dusuk dogruluk

σ2 > σ1




Guven aralıgı ve hata turleri

Guven aralıgı

Bir x ∈ N(µ, σ2) rasgele degiskeninin µ ± kσ aralıgında deger almaolasılıgı (k = x−µ

σstandartlastırılmıs normal degisken):

P(µ − kσ < x < µ + kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1

k Φ(k) 2Φ(k) − 1 Hata turu0.674 0.7498 0.500 Olası hata (r = ±0.674σ)0.798 0.7875 0.575 Mutlak hatalar ortalaması (t = ±0.798σ)1.000 0.8413 0.683 Standart sapma (≈ ortalama hata)1.645 0.9500 0.9001.960 0.9750 0.9502.000 0.9772 0.9542.576 0.9950 0.9903.000 0.9987 0.997 Kabul edilebilir en buyuk hata




Istatistiksel buyuklukler

ℓ rasgele degisken (olcu) icin εi = µ− ℓi hata, vi = x − ℓi duzeltme olsun.

Beklenen deger µ = E (ℓ) n → ∞Varyans σ2 = E ((ℓ − µ)2) n → ∞

Ortalama deger x =[ℓ]

nn 6= ∞ (n → ∞ icin x → µ)

Standart sapma s =

√

[εε]

nn 6= ∞ (n → ∞ icin s → σ)

Ortalama hata m =

√

[vv ]

n − 1n 6= ∞

Olculerde sistematik hata yoksa: m = s

Olculerde sistematik hata varsa: m > s , m2 = s2 + (sistematik hata)2




Kovaryans ve korelasyon

Tanım

Kovaryans (σxy ), iki rasgele degisken arasında iliskiyi gosterenbuyukluk, korelasyon (ρxy ) bu buyuklugun standartlastırılmısdegeridir:

σxy = E ((x − µx)(y − µy )) −∞ <σxy < +∞

ρxy = E

(

(x − µx)

σx

(y − µy)

σy

)

−1 ≤ρxy < +1

Deneysel varyans (s2x , s2

y ),ve kovaryans (sxy) degerleri icinkorelasyon:

rxy =sxy

sxsy−1 ≤rxy < +1




Kovaryans matris

n sayıda rasgele degisken ve bunlara karasılık gelen beklenendegerler sırasıyla x ve µ vektorleri altında toplansın.(x − µ)(x − µ)T carpımının beklenen degeri,

x =(

x1 x2 . . . xn

)T

µ =(

µ1 µ2 . . . µn

)T

}

E ((x − µ)(x − µ)T) = Cxx

kosegen elamanlar varyans (σ2i ) ve kosegen olmayan elemanları

kovaryans (σik) degerlerinden olusan n × n boyutlu simetrik birmatristir (kovaryans matris):

Cxx =

σ21 σ12 · · · σ1n

σ12 σ22 · · · σ2n

......

. . ....

σ1n σ2n · · · σ2n

σ2i = E ((xi − µxi

)2)

σik = E ((xi − µxi)(xk − µxk

))




Hata yayılımı

Jeodezide konum parametereleri (orn. x , y ve z), genellikleyeryuzunde olculen dogrultu, uzunluk ve acılardandonusturulen buyukluklerdir.

Olculerdeki gozlem hataları, olculerin bir matematiksel birfonksiyonu olarak ifade edilmeleri nedeniyle istenilenbuyukluklere de yayılırlar:

y1 = f1(ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn)

y2 = f2(ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn)

......

ym = fm(ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn)

=⇒ y = f(l) (1)




Dogrusal modellerde hata yayılımı

Ornegin l =(

ℓ1 ℓ2 ℓ3

)Tolculeri ile bilinmeyen y1, y2

parametreleri arasında asagıdaki gibi dogrusal bir iliski tanımlıolsun:

y1 = a0 + a1ℓ1 + a2ℓ2 + a3ℓ3

y2 = b0 + b1ℓ1 + b2ℓ2 + b3ℓ3(2)

Hatasız olarak bilinen a ve b katsayılarına karsılık ℓi olculeri εi

duzeltme degerleriyle birlikte (ℓi + εi : beklenen deger) elealınırsa hata yayılma etkisi,

y1 + εy1 = a0 + a1(ℓ1 + ε1) + a2(ℓ2 + ε2) + a3(ℓ3 + ε3)

y2 + εy2 = b0 + b1(ℓ1 + ε1) + b2(ℓ2 + ε2) + b3(ℓ3 + ε3)(3)

biciminde gorulur.




Dogrusal modellerde hata yayılımı (devam)

(3)’te olcu ve hata terimleri ayrıstırılırsa (2) nedeniyle,

εy1 = a1ε1 + a2ε2 + a3ε3

εy2 = b1ε1 + b2ε2 + b3ε3(4)

sonucu ortaya cıkar.

(2) ve (4) esitliklerinden, fonksiyonel modelin olculere goreturevleri oranında olcu hatalarının kestirilen buyuklukleruzerine yayıldıgı kolayca gorulebilir:

εyi=

∂fi

∂ℓ1ε1 +

∂fi

∂ℓ2ε2 +

∂fi

∂ℓ3ε3 = aT

ε (5)




Dogrusal olmayan modellerde hata yayılımı

Genellikle olculer ile aranan buyuklukler arasındaki fonksiyonel iliskidogrusal olmaz:

yi = fi(ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn) (6)

Olculerin beklenen degerlerine (ℓi + εi ) gore yi ’nin beklenen degeri,

yi + εyi= fi (ℓ1 + ε1, ℓ2 + ε2, . . . , ℓn + εn) (7)

Taylor serisi kullanılarak (εi degerlerinin kucuk olması kosuluyla),

yi + εyi= fi(ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn) +

∂fi

∂ℓ1ε1 +

∂fi

∂ℓ2ε2 + · · · + ∂fi

∂ℓn

εn

εyi=

∂fi

∂ℓ1ε1 +

∂fi

∂ℓ2ε2 +

∂fi

∂ℓ3ε3 + · · · + ∂fi

∂ℓn

εn = aTε

(8)

dogrusallastırılabilir.




Varyans-kovaryans yayılımı

ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn olculerinin her biri γ kez yinelendigi varsayılsın. Budurumda y1 ve y2 buyuklukleri icin γ sayıda (8) hata denklemiyazılabilir:

εy1 = a1ε1 + a2ε2 + a3ε3

εy2 = b1ε1 + b2ε2 + b3ε3(9)

εy1 ve εy2 vektorlerinin kendisiyle (auto) ve capraz (cross)carpımlarından,

εTy1

εy1 = a21ε

T1 ε1 + a

22ε

T2 ε2 + a

23ε

T3 ε3 + 2a1a2ε

T1 ε2 + 2a1a3ε

T1 ε3 + 2a2a3ε

T2 ε3

εTy2

εy2 = b21ε

T1 ε1 + b

22ε

T2 ε2 + b

23ε

T3 ε3 + 2b1b2ε

T1 ε2 + 2b1b3ε

T1 ε3 + 2b2b3ε

T2 ε3

εTy1

εy2 = a1b1εT1 ε1 + a2b2ε

T2 ε2 + a3b3ε

T3 ε3 + (a1b2 + a2b1)ε

T1 ε2+

+ (a1b3 + a3b1)εT1 ε3 + (a2b3 + a3b2)ε

T2 ε3

(10)

cıkar.Aydın USTUN (Selcuk Universitesi) Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi (v.24.09.12)



Varyans-kovaryans yayılımı (devam)

(10) esitliklerinin her terimi bagımsız olculerin sayısına (γ)bolunurse,

εTy1

εy1

γ= σ2

y1,

εTy2

εy2

γ= σ2

y2,

εTy1

εy2

γ= σy1y2

εTi εi

γ= σ2

i ,ε

Ti εk

γ= σik

(11)

oldugu goz one alınarak,

σ2y1

= a21σ

21 + a

22σ

22 + a

23σ

23 + 2a1a2σ12 + 2a1a3σ13 + 2a2a3σ23

σ2y2

= b21σ

21 + b

22σ

22 + b

23σ

23 + 2b1b2σ12 + 2b1b3σ13 + 2b2b3σ23

σy1y2 = a1b1σ21 + a2b2σ

22 + a3b3σ

23 + (a1b2 + a2b1)σ12+

+ (a1b3 + a3b1)σ13 + (a2b3 + a3b2)σ23

(12)

bulunur.




Varyans-kovaryans yayılımı (devam)

l =(

ℓ1 ℓ2 ℓ3

)Tolcu vektorunun varyans-kovaryans matrisi ve y1,

y2 fonksiyonlarının dogrusal terimlerinin katsayıları,

Cℓℓ =

0

@

σ21 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ23

1

A ,a =

“

a1 = ∂y1∂ℓ1

a2 = ∂y1∂ℓ2

a3 = ∂y1∂ℓ3

”T

b =“

b1 = ∂y2∂ℓ1

b2 = ∂y2∂ℓ2

b3 = ∂y2∂ℓ3

”T(13)

ise (14) varyans-kovaryans esitlikleri,

σ2y1

= aTCℓℓa

σ2y2

= bTCℓℓb

σy1y2 = aTCℓℓb = bTCℓℓa

(14)

bicimine donusturulebilir.




Genel hata yayılma kuralı

Hata yayılımı (1) esitliginde verilen m sayıda fonksiyon icin eldeedilecekse bu fonksiyonların diferansiyeli dy = Fd l ve onunkatsayılar matrisi,

F =

∂y1∂ℓ1

∂y1∂ℓ2

· · · ∂y1∂ℓn

∂y2

∂ℓ1

∂y2

∂ℓ2· · · ∂y2

∂ℓn

......

. . ....

∂ym

∂ℓ1

∂ym

∂ℓ2· · · ∂ym

∂ℓn

(15)

olmak uzere genel varyans-kovaryans kuralı,

Cyy = FCℓℓFT (16)

matris esitligi ile ozetlenebilir.




Agırlık katsayısı ve agırlık yayılma kuralları

(16) esitligininin her iki yanı birim agılıklı varyans degerinebolunurse,

1

σ20

Cyy =1

σ20

FCℓℓFT

Qyy = FQℓℓFT (17)

agırlık katsayıları matrisi elde edilir. (17) esitligine agırlık yayılmakuralı adı verilir.

n sayıda olcu icin agırlık matrisi, agırlık katsayıları (kofaktor) vevaryans-kovaryans matrisi arasında,

Pℓℓ = Q−1ℓℓ

= σ20C

−1ℓℓ

(18)

iliskisi vardır.




Sonlu olcu dizilerinden standart sapma hesabı

Beklenen deger: µ = E(ℓ), Varyans: σ2 = E((ℓ − µ)2), olculer korelasyonsuz

Ortalama deger x =[ℓ]

nn 6= ∞ (n → ∞ icin x → µ)

Standart sapma s =

r

[εε]

nn 6= ∞ (n → ∞ icin s → σ)

Ortalama hata m =

r

[vv ]

n − 1n 6= ∞

Ortalama degerinortalama hatası

mx =

s

[vv ]

n(n − 1)=

m√n

Olcu ciftlerininortalama hatası

m =

r

[dd ]

2ndi = ℓ′i − ℓ′′i

Olcu cifti ortala-masınınortalama hatası

mx =

r

[dd ]

4n=

m√2


hata kuramı ve parametre kestirimigalileo.selcuk.edu.tr/~aydin/docs/matrisler.pdfgiri¸s matris...

Documents