harita projeksiyonları

1

Kartografik Kartografik ProjeksiyonlarProjeksiyonlar

İTÜ İnşaat Fakültesi Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü

JDF 433JDF 433

DoDoçç.Dr. Cengizhan .Dr. Cengizhan İİpbpbüükerker

3.hafta

ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan (kutup noktasından) dağılan ışın demetleri, paralellerin izdüşümleri ise bu noktayımerkez alan daireler biçimindedir. Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar (α) küre üzerindeki açılarla (λ) aynıdır.

Paralel dairelerin yarıçapları (m) projeksiyonun özelliğine göre δkutup uzaklığının (δ=90-ϕ) fonksiyonu olarak belirlenir.

( )δ= fmTüm azimutal projeksiyonlar birbirlerinden bu yarıçap eşitliğine göre ayrılırlar.

DDüüzlem (Azimutal) zlem (Azimutal) ProjeksiyonlarProjeksiyonlar


Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h, projeksiyon düzleminde m yarıçapının dm kadar artışını, δ yay uzunluğunun dδkadar artışına oranlayarak bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise herhangi bir paralel dairenin projeksiyondakiçevresini, küredeki çevresine bölerek elde edilir.

δ=

δ=

sin , mk

ddmh

DDüüzlem Projeksiyonlarda zlem Projeksiyonlarda DeformasyonlarDeformasyonlar


1

P

Ekvator

Projeksiyon Düzlemi P’K

Mδ

sin δ

m

δ=λ=α)

m ,

δδ

=sin

)

k

h=1

Meridyen uzunluğunun korunması için projeksiyon düzleminde KP’ doğrusu, kürede KP yayına eşit olmalıdır.

Meridyen Boyu Meridyen Boyu KoruyanKoruyanDDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon

www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm


Alan koruma şartının sağlanması için paralel dairelerin izdüşümlerinin yarıçapı, bir paralel dairenin kapladığıharita alanı, bu paralel daire tarafından sınırlanan küre kapağının alanına eşit olacak şekilde seçilmelidir.

( )

22

2

2

2

sin4'

'2

sin4cos12

mFF

mF

F

π=δ

π⇒=

π=

δπ=δ−π=

2sin2 δ

=m

222

2

cos1

cossin2sin2

sin

2cos

δδδ

δ

==δ

=

δ=

δ=

mk

ddmh

Alan Koruyan Alan Koruyan DDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon



δ=

δ⇒=

sinm

ddmkh

Açı koruma şartı

2tan2 δ

=m

sin δP

Ekvator


Mδ

m= 2 tan δ/2

δ/2

G

1

L=2 R tan(A/2)

2tanln

2tanlnln

2tanlnln

sin11

21

δ=⇒+

δ=

+δ

=+⇒δδ

= ∫∫

cmcm

ccmddmm

(Stereografik Projeksiyon)(Stereografik Projeksiyon)

AAççıı Koruyan (konform)Koruyan (konform)DDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon



2

(Merkezi Projeksiyon)(Merkezi Projeksiyon)

Gnomonik ProjeksiyonGnomonik Projeksiyon

Kutuptan uzaklaştıkça hızla büyüyen alan, uzunluk ve doğrultu deformasyonları nedeniyle topografik haritalar için uygun değildir. Ancak hava ve deniz navigasyonunda ortodromların izdüşümlerinin doğru şeklinde olmasından dolayı pratik önemi olan bir projeksiyondur.

m= tan δ

sin δP

Ekvator


Mδ

1



δ=

δδ

δ=

δ=

cos1

sintan=k ,

cos1

2ddmh

(Paralel Projeksiyon)(Paralel Projeksiyon)

Ortografik ProjeksiyonOrtografik Projeksiyon

Perspektif özelliği taşıyan projeksiyonlar içerisinde projeksiyon merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem durumdur.

1

m= sin δ

sin δ P

Ekvator


Mδ



1 ,cos =δ= kh

Projeksiyon Türü m a b maxsinω λ∆= sinmY λ∆= cosmX Meridyen boyu koruyan

ρδR

δδ

sin

ˆ 1 δρ+δδρ−δ

sinsin λ∆

ρδsinR λ∆

ρδ cosR

Alan koruyan 2

sin2 δR 2

cos

1δ

2

cosδ

2sin2

2sin

2

2

δ−

δ λ∆δsin2

sin2R λ∆δ cos2

sin2R

Konform 2

tan2 δR

2cos

12 δ

2cos

12 δ

0 λ∆

δsin2

tan2R λ∆δcos2

tan2R

Gnomonik δtanR

δcos1

δ2cos1

1cos1cos

+δ−δ λ∆δsintanR λ∆δcostanR

Ortografik δsinR 1 δcos 2

tan2 δ λ∆δsinsinR λ∆δcossinR

Normal Konumlu Azimutal Normal Konumlu Azimutal Projeksiyonlar iProjeksiyonlar iççin Formin Formüül l ÖÖzetizeti

ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

Silindirik Silindirik ProjeksiyonlarProjeksiyonlar

İzdüşüm yüzeyinin küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilmesi durumunda silindirik projeksiyonlar elde edilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde yapılacak küçük ölçekli harita çalışmalarında, denizcilikte, transversal konumda referans yüzeyi elipsoit alınarak büyük ve orta ölçekli topografik harita yapımında ve jeodezik amaçlar için kullanılırlar.


Silindirik projeksiyonlarda düzlem dik koordinatlar ile coğrafi koordinatlar arasındaki genel ilişki teğet silindir durumunda,

( )ϕ=λ= fxy ,)

( )ϕ=ϕλ= fxy ,cos 0

Projeksiyon EProjeksiyon Eşşitlikleriitlikleri

kesen silindir durumunda ϕ0 boyu korunan paralel dairenin enlemini göstermek üzere,

Tüm silindirik projeksiyonlarda teğet silindir durumunda projeksiyonun deformasyon özelliklerine ek olarak ekvatorun uzunluğu, kesen silindir durumunda ise iki paralel dairenin uzunluğu korunmuş olmaktadır.


ϕ=

ϕ=

cos1 , k

ddxh

ϕϕ

=ϕ

=coscos , 0k

ddxh

Silindirik Projeksiyonlarda Silindirik Projeksiyonlarda DeformasyonlarDeformasyonlar

Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h azimutal projeksiyonlardaki gibi düzlemdeki x yönündeki dx diferansiyel artımının, kürede ϕ yönünde dϕ diferansiyel artımına oranı ile bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise, düzlemde ve kürede paralel dairelerin uzunluklarının birbirine oranlanması ile elde edilir.

Kesen silindir durumunda:

3


Uzunluk Koruyan Silindirik Uzunluk Koruyan Silindirik ProjeksiyonProjeksiyon

cos ϕ

KP P’

Ekvator ϕE

Teğet silindir

λ=ϕ=)) yx ,

Meridyen uzunluğu koruma şartı meridyenlerin kürede ve harita düzleminde uzunluklarının eşit olmasınıgerektirir. Projeksiyonun tipik bir özelliği; ∆x=∆y olduğundan coğrafi ağın izdüşümünün kareler ağıbiçiminde gözükmesidir. Bu özelliğinden dolayı ingilizce kaynaklarda “equirectangular” olarak da isimlendirilmektedir.


UzunluUzunluğğu korunan iki paralel daire u korunan iki paralel daire ile projeksiyonile projeksiyon

λϕ=ϕ=))

0cos , yx

ϕϕ

==coscos ,1 0kh

Uzunluğu korunan iki paralel dairenin anlamı, silindir yüzeyinin küreyi +ϕ0, -ϕ0 enlemlerinde kesmesidir. Başka bir ifade ile burada kesen silindirik projeksiyon söz konusudur. İzdüşüm yüzeyi olarak kesen silindir kullanılmasının amacıprojeksiyonda oluşan ve silindirik projeksiyonda kutuplara yaklaştıkça çok hızlı artan deformasyonları azaltmaktır. Burada ϕ0 değeri değişkendir.


Alan Koruyan Silindirik Alan Koruyan Silindirik ProjeksiyonProjeksiyon

λ=ϕ=⇒π=ϕπ)

yxx ,sin2sin2

Alan koruma özelliği gereği herhangi bir ϕ enlemine kadar küre kuşak alanı projeksiyonda buna karşılık gelen alana eşit olmalıdır:

ϕ=ϕ=

cos1 ,cos kh

ϕ−ϕ

=ω 2

2

sin2sinsin

Deformasyonlar:


Konform Silindirik ProjeksiyonKonform Silindirik ProjeksiyonBu projeksiyon ilk defa kendini Merkator olarak tanıtan G. Kremer tarafından 1570 yılında bir dünya haritası için kullanılmıştır. Bu nedenle Merkator Projeksiyonu olarak da tanınır. Projeksiyon eşitliklerini elde etmek için konform olma şartı a=b ya da h=k eşitliklerinden yararlanılır.

ϕϕϕ

=⇒ϕϕ

=ϕ

⇒= ddxddxkh

coscos

coscos 00

cxdx +

ϕ

+π

ϕ=⇒ϕϕϕ

= ∫ϕ

24tanlncos

coscos

00

0

Projeksiyonun doğası gereği ϕ=0 için x= olmasıgerektiğinden c=0 olmalıdır.


Projeksiyon EProjeksiyon Eşşitlikleri ve Deformasyonlaritlikleri ve Deformasyonlar

λϕπ )=

+= yx ,

24tanln

λϕ=

ϕ

+π

ϕ=)

00 cos ,24

tanlncos yx

teğet silindir durumunda:

kesen silindir durumunda;

bakhkh ===⇒ϕϕ

==coscos 0

ϕϕ

=Φ 20

2

coscos

Alan deformasyonu:

Endikatris:


Merkator Projeksiyonunun en önemli özelliği, Loksodrom eğrilerinin projeksiyondaki izdüşümlerinin doğru biçiminde olmasıdır. Bu nedenle özellikle denizcilikte kullanılır.Teğet silindir durumunda uzunluk deformasyonu kutuplara doğru çok hızlı artar. Örneğin 60º enleminde ölçek ekvatora göre iki kat büyüktür. Bu nedenle coğrafi amaçlı olarak tercih edilmemektedir.

Pratik Pratik DeDeğğerieri

4


SoldnerSoldnerProjeksiyonuProjeksiyonu

Soldner projeksiyonu ordinat koruyan (düşey daire boylarıkorunan) transversal silindirik projeksiyondur. İlk defa Fransız bilgin Cassini tarafından 1745 de kullanılmıştır. Bavyeralı (Almanya) bir astronom olan Soldner 1810 da hesaplama formüllerini oluşturduğundan Soldner Projeksiyonu olarak isimlendirilmiştir. Bazı kaynaklarda da geliştiren bilim adamlarına atıf yapılarak Cassini-Soldner Projeksiyonu olarak adlandırılmaktadır.


Soldner Projeksiyonu ESoldner Projeksiyonu Eşşitlikleriitlikleri

P

α

δX

Y

EkvatorO

K

GTeğet Meridyen

H

P'

x

y

Yp'

xp'

( )

ϕλ∆

=α

λ∆ϕ=δ

tansinarctan

coscosarccosolmak üzere,

δ−π

=

α=

2Ry

Rx


Soldner Projeksiyonunda Soldner Projeksiyonunda DeformasyonlarDeformasyonlar

2

2

21

RYk +=1=h

Ana yön uzunluk deformasyonları,

Maksimum açı deformasyonu

2

2

max 22

RYw =ω=


AAççııklklıık Ak Aççııssıı, Uzunluk ve Alan , Uzunluk ve Alan İİndirgemelerindirgemeleri

P1

O

K

G

HP'1

x

y

T1

T2

P2

P'2t1

t2

( )( ) ( )[ ]222

1212

21221222 cossin26

1 ttYYYYYYXXR

tT ++++−=−

( ) 122

2212

12 cos6

tYYYYRssS ++−=− ( )2

2212

12 YYYYR6ffF ++=−


Projeksiyon Türü

x y h k sin ω φ

Meridyen Uzunluğu Koruyan Teğet

ϕ) λ) 1

ϕcos1

2tan 2 ϕ

ϕcos1

Meridyen Uzunluğu Koruyan Kesen

ϕ) λϕ)

0cos 1 ϕϕ

coscos 0

ϕϕ

coscos 0

Alan Koruyan Teğet

ϕsin λ) ϕcos

ϕcos1

ϕ−ϕ2

2

sin2sin 1

Alan Koruyan Kesen 0cos

sinϕϕ λϕ

)0cos

0coscos

ϕϕ

ϕϕ

coscos 0 1

Konform Teğet

ϕ

+π

24tanln λ

) ϕcos

1 ϕcos

1 0 ϕ2cos

1

Konform Kesen

ϕ

+π

ϕ24

tanlncos 0 λϕ

)0cos

ϕϕ

coscos 0

ϕϕ

coscos 0 0

ϕϕ

20

2

coscos

Normal Konumlu Silindirik Normal Konumlu Silindirik Projeksiyonlar iProjeksiyonlar iççin Formin Formüül l ÖÖzetizeti

Arkaplan

Karen Mulcahy’ninMap Projection Home Pageisimli internet sitesinden alınmıştır.

http://www.geography.hunter.cuny.edu/mp/

JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

harita projeksiyonları

Documents