Haos determinist – elemente

introductive

Procesarea Semnalelor – Curs 7

introductive

Gasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapaniGasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapani1

Intuitie

• Ce este haosul determinist ?

�Dezordine aparenta in dimensiunile observabile

cu ochiul liber. De aceea 98% din persoane il

asimileaza cu ideea de nepredictibilitate (de obicei

in lumea in care traim, multe din semnalele carein lumea in care traim, multe din semnalele care

nu sunt intelese se confunda cu random walk fara

drift). GRESIT !

� Haosul determinist: ce vedem de fapt este

generat de o sursa caracterizata de ordine (functie

clara de evolutie) intr-un spatiu cu mai multe

dimensiuni decat cele observabile in mod direct.2

Ce observam pe axa timpului (1D)…

3

este o proiectie observabila a

traiectoriei sursei de semnal pe o axa a

unui spatiu neobservabil

4

Ce este sursa de semnal ?

Este un sistem dinamic in timp cu traiectorie intr-un spatiu propriu

numit spatiul fazelor (PHASE SPACE).

Q: Ce vedem in dreapta?

A: Semnal = proiectia traiectoriei sursei pe o axa din phase space.

Aici phase space = planul 2D (stanga) si axa de proiectie este axa y. 5

Ce reprezinta de fapt un semnal ?

• Coordonatele sursei de semnal le masuram

pe o axa de proiectie aleasa din Phase Space,

le indexam dupa timp si obtinem un semnal

(discret).(discret).

• Axa de proiectie poate fi orice dreapta din

spatiul fazelor (Phase Space), indiferent de

dimensiunea acestuia.

6

..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3

Dimensiunea PHASE SPACE…

Acum 3 slide-uri am ilustrat

proiectia 2D a traiectoriei

sursei de semnal...7

..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3

… am

Dimensiunea PHASE SPACE…

… am

proiectat-o

din nou pe

aceasta

axa si am

numit-o

semnal !

8

Remember ?

9

Pana la sfarsitul cursului…

– Plecam de la observatii 1D (semnale discrete)

– Gasim dimensiunea spatiului fazelor

– Efectuam predictie in spatiul fazelor utilizand

elemente de geometrie analitica

– Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie– Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie

neliniara a seriilor de timp.

– De ce ? Se estimeaza traiectoria in phase space

si traiectoria estimata se proiecteaza pe aceeasi

axa

- rezulta estimarea (predictia) semnalului

10

• Definitie (HAOS DETERMINIST): Un sistem

este caracterizat de haos determinist daca:

1) starea prezenta a sistemului este

determinata de conditiile initiale x0 si de o

regula de evolutie f :

((surse de semnal continue)((surse de semnal continue)

sau

(surse discrete de semnal)

Vectorul pozitie in phase space Vectorul viteza instantanee, denumit si

camp de viteze generalizat

(Generalized Vector Field)

11

• si

2) Sistemul are exponent Lyapunov pozitiv siprezinta global mixing (haos):

a) Traiectorii care pleaca din 2 puncte dinphase space separate de distanta sedistanteaza in timp (sensibilitate la conditiileinitiale):initiale):

- λ = exponent Lyapunov. Pt. a exista

haos, trebuie sa fie > 0

b) Traiectoriile prezinta global mixing(apropierea periodica a traiectoriilor)

12

Global mixing – explicatii suplimentare

• Sistemul evolueaza intr-un volum finit din phasespace, unde traiectoria se auto-intersecteaza sauevolueaza dupa un numar crescator asimptotic deorbite distincte topologic:

• Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numita• Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numitaentropia topologica (h) dupa relatia:

(pentru sisteme discrete caracterizate de haosdeterminist)

13

Exemplu: camp vectorial al unui sistem

haotic determinist – sectiune 2D

14

Haos determinist

• Sistem determinist cu global mixing si

coeficient Lyapunov pozitiv

15

Ce “forta” “tine” un sistem haotic

determinist in volum finit ?

• O multime din phase space numita

atractor.

– Intuitiv, exemple din realitate: – Intuitiv, exemple din realitate:

– Soarele – atractorul, planetele: sisteme

deterministe mentinute in echilibru de forta

centrifuga.

Phase space-ul = spatiul 3D in care soarele si

planetele exista

– Gaurile negre (colapseaza traiectoria sistemului)

16

Ce se intampla cand nu exista atractor ?

• Vorbim de sisteme disipative (versus sisteme

haotice deterministe)

atractor17

Ce concluzii se desprind ?

• Pentru ca un semnal sa poata fi estimat (prezis) eltrebuie generat de un sistem haotic cu ocomponenta determinista (poate contine sizgomot). In spatiul fazelor trebuie asadar sa existeun atractor (sa existe global mixing).un atractor (sa existe global mixing).

• Sursele de semnal caracterizate de haosdeterminist produc semnale stationare.

• Daca nu exista atractor nu exista haos deterministsi vorbim de sisteme disipative.

• Sistemele disipative produc semnale nestationare.

18

ATRACTOR - Definitie

Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este ≤ Dimensiunea multimii phase

space M deoarece A⊆M. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul este

straniu (strange attractor)

Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este ≤ Dimensiunea multimii phase

space M deoarece A⊆M. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul este

straniu (strange attractor)

19

Exemplu: Atractor straniu

Volum finit, NU este sistem disipativ

=> Sistem haotic determinist

20

Exemplu: Atractor straniu Intuitiv: “Fum intr-o cutie”

Global mixing

In centrul spatiului fazelor:

vector field divergent

Atractorul – la extremitatile

volumului (bounded

phase space)

21

Am pus pe site la

http://neuron.ro/PS/Documentatie%20implementare%20proiecte/Chaos_Theory_Book_-_complete.pdf

cartea “Classical and Quantum Chaos” (735 pagini despre haos)

Pentru mai multe detalii:

- In sectiunea 1.3.1 (pagina 19 din PDF) gasiti o explicatie mai

detaliata a notiunii de haos deterministdetaliata a notiunii de haos determinist

- Tot acolo gasiti si notiunea de entropie topologica

- Cautati “Lyapunov” in PDF, gasiti link in cuprins la sectiunea

8.3

22