Gyengén nemlokális nemegyensúlyi termodinamika, …

Ván PéterBME, Kémiai Fizika Tanszék

– Bevezetés

– Elvek: II. főtétel és mozgásegyenletek

– Példák:• Hővezetés

• Gradiens folyadékok keveréke

– Gyengén nemlokális statisztikus fizika?

– Összefoglalás

makroszkópikus Termodinamika (?) kontínuumok

általános keretelmélete

Termodinamika makroszkópikus energiaváltozások tudománya

Termodinamika

hőmérséklet tudománya

Nemegyensúlyi termodinamika

reverzibilitás – speciális határeset

Általános elvek: – objektivitás – II. főtétel

Klasszikus irreverzibilis

termodinamika

Lokális egyensúly (~ nincs mikroszerkezet)

Túl a lokális egyensúlyon (nemlokalitás):

– időbeli (memória, tehetetlenség)– térbeli (struktúrák)

dinamikai változók?

Tér Idő

Erősen nemlokális

Térintegrálok Memória funkcionálok

Gyengén nemlokális

Gradiensfüggő anyagfüggvények

Időderivált függő anyagfüggvények

Újra lokalizált

Áramszorzók Dinamikai (belső)

változók

Elméletek

II. főtétel - erős megszorítások

Gyakorlat (alkalmazások):

- Általánosított hővezetés (Guyer-Krumhansl)- ‘Gradiens’ anyagok a mechanikában (mikroszerkezet)

folyadékkristályok (Oseen-Frank)mikrorepedezésporózus anyagokhomok (Goodman-Cowin)nyírófelületek szerkezete

- Korteweg-folyadékok - Turbulencia- Struktúraképző egyenletek (fázismező)

Ginzburg-Landau, Cahn-Hilliard, etc… és ezeken túl….

Termodinamikai elmélet

)a(fa Dinamikai törvény:

,...),c,v(a

1 Sztatika (egyensúlyi tulajdonságok)

S

aa

S,,

T

1

e

S

2 Dinamika

0)a(f)a(DSa)a(DS)a(S

1 + 2 + elszigetelt rendszer

S Ljapunov függvénye a dinamikai törvény egyensúlyának

Irreverzibilitás közelítés az egyensúlyhoz

Stabilitási szerkezet Dinamikai szerkezet

1. példa (diszkrét)

)a(fa 0)( aS

a dinamikai egyenlet minden megoldása esetén

)a(f)a(DS)a(S0 )a(DS)a(l)a(f

?)a(f

relaxációs dinamika

aa ja mérlegek ,...),( va

– állapottér:– konstitutív tér:– anyagfüggvények:

a

)C(aj,...),,(C aaa

gyengén nemlokálisMásodik főtétel:

0)C()C(s ss j

Anyagelmélet

Módszer: Liu eljárás - Farkas lemma - Lagrange szorzókDe: konstruktívan

(más is lehet)

2. példa (kontinuum)

3. példa (Ginzburg-Landau)

gt

0js st

),,( 2

)j,s,g( s

Liu eljárás

),(s (.)gs),(j(.)j 0s

0g)ss(s

)ss(.)(lgt

állapottér

állapot függvények

0 TTc t

Hővezetés

0 qut

0 st s j0 Gtq

T q

qq tT

)( cTu

Fourier

Maxwell-Cattaneo

0 TTc t

0 TTcTc ttt 0 TTcTc ttt

?

Gyengén nemlokális kiterjesztett termodinamika

),,,,( 2qqq uu

)js,,( sG

Liu eljárás:

),( qus

),,( qqj us

0 sGsuss qqj

konstitutív tér

anyagfüggvények

0 qut

0 st s j0 Gtq

megoldás?

Lokális állapot:

qqmqq ),(2

1)(),( 0 uusus

qqqBqqj ),,(),,( uus

kiterjesztett entrópia

entrópia áram (Nyíri)

0)(:)( qmBqIB

Gsus

qqmB 2221 LLG qqIB 1211 LLsu

qqIqqqm 222111211 )( LLsLLt

Guyer-Krumhansl + qq Tt

Két komponensű gyengén nemlokális keverék

2211szilárd komponens sűrűségetérfogateloszlási függvény

),,( v

),,,,,( vv C

konstitutív függvények

)C(),C(),C(s s Pj

alapállapot

konstitutív állapot

00 v

0Pv )C(0)C()C(s s j

Kényszerek: )3(),2(),2(),1(),1(

.)(

,)(

,)(

,s

,s

,s

,s

,s

,s

s54s

s5s

s5s

5

4

3

2

1

0PIj

0Pj

0Pj

0

vv

v

v

.s

,s

,s

,s

0

0

0

0

izotróp, másodrendű

Liu-egyenletek

Megoldás:

2

)()(

2),(),(),,,,(

22

vv mss e

).,,()(),()( 1 vjPvj CmCs

Egyszerűsítés:

0:)s(:)m( vIPv

.,),,(,121

p

sm e 0vj

0:)( vIP p

Pr

Coulomb-Mohr

Entrópia produkció:

Goodman-Cowin:

2)2)(p( 2r IP

h Konfigurációs erők mérlege

2)( s

2)( pt

spt

)(ln

2

11

N

S

t

s

instabil

stabil

Coulomb-Mohr:

nPnN r: NPS r:

222 )( stNS

Entrópia a (információ elméleti, prediktív, bayesi) statisztikus fizikában

(Jaynes, 1957):

Az információ mértéke egyértelmű általános fizikai feltételek mellett.

(Shannon, 1948; Rényi, 1963)

– Extenzivitás (átlag, sűrűség)– Additivitás

)()()( 2121 fsfsffs

fkfs ln)( (egyértelmű megoldás)

Entrópia a “gyengén nemlokális” (?) statisztikus fizikában (Fisher, Frieden, Plastino, …):

– Izotrópia

))(,(),( 2DffsDffs

– Extenzivitás

– Additivitás

),(~),(~))(,( 22112121 DffsDffsffDffs

2

2

12 )(

ln))(,(f

DfkfkDffs

Fisher

Boltzmann-Gibbs-Shannon

(egyértelmű megoldás)

- Maxent : véges tartó, hatványfarok- Magasabb deriváltakat nem érdemes

-2 -1 1 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

R

18

,12

),5,2,5.1,3.1,2.1,1.1,1(4 111

mkk

k

k

k

Összefoglalás

– Második főtétel – mozgásegyenletek konstrukciója és korrekciója

– Anyag - jellemzők– Prediktív– Univerzális:

Termodinamika

Statisztikus fizika

Mikro leírás