guia_5-_tecnicas_de_conteo_-1-11_(pye-ing)

8

Guía No. 5: Técnicas de Conteo - UAN

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASPROBABILIDAD y ESTADÍSTICA

Facultades de Ingeniería Electromecánica y Sistemas Distancia

Profesor: Ms. José Ciro Anzola Caldas. E-mail: [email protected]

1. PRESENTACION

Al igual que la teoría de conjuntos, las técnicas de conteo se convierten en otro pre-requisito para introducirnos en el estudio de la probabilidad. Su aplicación fuerte esta en el aprender a contar los elementos de uno o más conjuntos bajo unas condiciones dadas, lo cual se verá reflejado cuando se requiera calcular el espacio muestral o sea muy dispendioso listar todos los elementos de un conjunto.

2. OBJETIVOS

Al finalizar esta guía, el estudiante estará en capacidad de:

Usar los diferentes métodos de conteo (principio de la multiplicación-método de casillas-, permutaciones y combinaciones).Aplicar las propiedades básicas del análisis combinatorio.

3. MARCO TEÓRICO

3.1. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en n2 y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1 n2 ,..., nk

formas.

Ejemplo.

GUÍA No. 5

TÉCNICAS DE CONTEO

I-2011

mailto:[email protected]

8


¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

Como n1= 4, n2= 3, n3=5y n4= 4, aplicando el principio de la multiplicación tenemos en total:

n1 X n 2X n3 X n4= 4 X 3 X 5 X 4 = 240 almuerzos diferentes para elegir

3.2. PRINCIPIO DE LA SUMA.

Supongamos que un procedimiento, designado con A, se puede hacer de n1 formas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con B, se puede hacer de n2 formas. Supongamos además que no es posible que ambos, A y B, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer A o B es n1 + n2, (Recordando en teoría de conjuntos A ,v, B, corresponde a AUB, la adición).

Ejemplo. Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

3.3. PERMUTACIONES.

Una permutación es el número de arreglos o subconjuntos de un todo o parte de él, con orden.

DEFINICION 1. El número de permutaciones de un conjunto de n elementos distintos, tomando n (todos), elementos a la vez, es .

DEFINICION 2. FACTORIAL DE UN NATURAL ( ). Corresponde al producto sucesivo de un natural y todos sus anteriores hasta 1. Por definición tomamos

Ejemplo.Calcular 5!. Solución: 5! = 5x4x3x2x1 = 120

Ejemplo.De cuantas maneras se pueden ubicar 7 personas en una fila?

Solución: La primera posición puede ser ocupada por cualquiera de los siete, por lo tanto hay siete opciones para elegir en esta posición, como uno de ellos ocupara ese primer puesto, para la segunda posición tenemos seis opciones, y así sucesivamente va disminuyendo una persona cada vez que se ocupa un puesto; al multiplicar los elementos de una posición con los de la siguiente se están contando

8


el número de combinaciones posibles entre ellos.

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! =5040.Entonces podemos concluir que hay 5040 formas diferentes de hacer una fila con 7 personas.

Ejemplo.El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24.

DEFINICION 3. El número de permutaciones de un conjunto de n elementos distintos, tomando r a la vez, con orden; esta dado por el siguiente modelo:

.

EjemploEl número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c, d al tomar dos a la vez será:

Ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Usando la definición 3, tenemos:

DEFINICION 4. El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es: (n-1)!

Ejemplo.De cuantas formas se pueden plantar cinco árboles diferentes alrededor de una plazoleta circular?

Solución: Como n = 5, entonces el número de permutaciones es: ( 5 – 1 )! = 4! = 24. Esto indica que los cinco árboles se pueden plantar de 24 formas diferentes.

DEFINICION 5. El número de permutaciones distintas de n elementos, de las que n1 son de una forma, n2 de una segunda forma, …, nk ,de una k-ésima forma es:

Ejemplo.De cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en una serie de luces navideña como portalámparas?

8


Solución.El número total de elementos son 9, de estos se repiten 3 rojos, 4 amarillos y 2 azules. Luego tenemos:

3.4. COMBINACIONES

En muchas situaciones nos interesamos en contar el número de formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n elementos sin importar el orden, estas selecciones de llaman combinaciones.

DEFINICION 1. El número de combinaciones de un conjunto de n elementos distintos, tomando r elementos a la vez (subconjunto), sin orden; esta dado por el siguiente modelo:

Ejemplo 1.¿Cuántos grupos de estudio pueden hacer 9 estudiantes, si cada grupo debe tener 3 integrantes?

Solución.

Identificamos:n = 9 Estudiantes del curso (Elementos del conjunto)r = 3 Estudiantes del grupo de estudio (Elementos del subconjunto)

Se determina que es una combinación porque el orden en la elección de los estudiantes no es relevante, es decir pueden salir los estudiantes A, B, y C en un grupo determinado, los cuales también pueden salir en el orden C, A y B, estos dos grupos serán contados como uno porque tienen los mismos elementos en diferente orden, y así sucesivamente. Luego tenemos:

Conclusión: En un grupo de 9 estudiantes se pueden hacer 84 grupos de estudio, de 3 estudiantes cada uno.

Ejemplo 2.

Entre cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités que se pueden formar, si cada comité debe estar conformado por dos químicos y un físico.

Solución.

En este caso tenemos dos conjuntos (químicos y físicos), de los cuales se pueden hacer selecciones sin

8


orden porque no importa la posición de selección, además se debe formar un comité, lo que implica hacer la regla de la multiplicación, para combinar las selecciones del primer conjunto con las del segundo. En forma procedimental tenemos:

QUIMICOS FISICOS PROCESOS

Conclusión: Entre 4 químicos y 3 físicos, se pueden formar 18 comités de 2 químicos y un físico.

4. ACTIVIDADES

Resolver cada una de las siguientes situaciones, utilizando el método o metodos de conteo, según el caso.

1. ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar si se pide que la primera sea impar y la segunda sea par? (Considere el cero como número par)

2. Un testigo de accidente de tránsito en el que huye el culpable dice a la policía que el número de placas contenía las letras RLH seguida de tres dígitos, el primero de ellos un 5. Si el testigo no puede recordar los últimos dos dígitos, pero tiene la certeza de que los tres eran diferentes, encuentre el númr por la policero máximo de placas de automóvil que la policía tiene que verificar para encontrar el culpable del accidente.

Rta. 10x9x8x7x6x4x3x2x1=725760-9 parejas= 725751 placas seria el máximo a revisar por la policía.3. ¿De cuántas formas distintas se puede responder una prueba de falso-verdadero que consta de nueve preguntas? Rta. 9x8x7x6x5x4x3x2x1 =

4. Si se toman cuatro libros al azar de de una biblioteca que contiene, 4 libros de algebra, 5 de probabilidad, 2 de geometría y una Biblia, determine el número de selecciones que se pueden formar que cumplan las siguientes condiciones:a. Se seleccione la Biblia b. Se seleccione un libro de probabilidad y dos de algebra c. Se seleccione un libro de algebra, dos de probabilidad y uno de geometría d. Se seleccione un libro de geometría y la Biblia.

5. Siete personas hacen fila para subirse al autobús: a. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la fila estas siete personas?

Rta. 7x6x5x4x3x2x1 = 5040 formasb. Si tres de ellos insisten en estar uno después del otro, en un orden determinado ¿De cuántas

maneras diferentes pueden hacer la fila estas personas? 6. ¿De cuántas formar se pueden plantar seis árboles diferentes en un círculo?

Rta.(6-1)! = 5! = 5x4x3x2x1= 120 formas para plantar 6 arboles

8


7. Considere los siguientes números para formar número de tres cifras sin repetición: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 a. ¿Cuántos números se pueden formar? b. ¿Cuántos de estos números son impares? c. ¿Cuántos son mayores que 330?

8. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con la palabra infinito?

9. Un psicólogo debe tratar 10 pacientes en una semana. Los pacientes son tres niños, cuatro adolescentes, dos personas maduras y un anciano. ¿Cuántos ordenamientos distintos pueden hacerse, si se desea diferenciar los pacientes únicamente por la edad?

10. Se desea conformar un equipo de fútbol de salón (5 miembros), integrado por jugadores experimentados y jugadores novatos. En la nomina del equipo se encuentran 7 jugadores experimentados y 5 jugadores novatos. Si por cada partido pueden jugar 3 jugadores experimentados y dos jugadores novatos, determinar:

a. El número de formas como el director técnico puede armar el equipo si todos son elegibles. b. El numero de formas como el director técnico puede armar el equipo si dos de los jugadores

novatos están sancionados y no pueden jugar. c. El número de formas como el director técnico puede armar el equipo si tres jugadores

experimentados están lesionados y no pueden jugar

11. ¿De cuántas maneras se pueden sentar cuatro niños y cinco niñas si se deben alternar?

12. De cuántas maneras se puede responder un examen que consta de 4 preguntas si tienen respectivamente 4, 2, 3, y 5 opciones?

13. a. ¿De cuántas maneras se pueden formar 7 personas para abordar un bus?b. Si tres personas específicas, de las 7, insisten en estar una después de la otra ¿cuántas maneras son posibles? c. Si 2 personas específicas, rehúsan seguir una a la otra, ¿cuántas maneras son posibles?

14. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,9 sin repetir dígitos ? ¿Cuántos de esos números son pares?, ¿Cuántos de esos números son mayores que 4325?,¿Cuántos son mayores que 4736 y menores que 7458?, ¿Cuántos son impares y menores que 6375?, ¿Cuántos son pares y mayores que 5263?

15. Un testigo de un accidente de tránsito en el que huye el culpable dice a la policía que el número de placas contenía las letras M,J,K seguidas de tres dígitos, cuyo primer dígito era par, si el testigo no puede recordar los últimos dos dígitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de placas de automóvil que la policía tiene que verificar.

16. Las cinco finalistas del concurso Miss universo son las representantes de Colombia, Venezuela, Bélgica, Japón y Noruega. ¿De cuántas maneras pueden los jueces escoger a

8


a. La reina y la virreinab. La reina, la virreina y la primera princesa.

17. El precio de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios qué visitar que deben seleccionarse a partir de 10 ciudades. ¿De cuántas maneras diferentes se puede planear tal viaje si

a. Es importante el orden de las paradas intermediasb. No es importante el orden de las paradas intermedias

18. ¿De cuántas maneras puede un director de televisión programar seis diferentes anuncios de un patrocinador, durante los seis espacios de tiempo asignados para anuncios, durante un especial de una hora?

19. Una prueba consta de 15 preguntas cada una con tres opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta, ¿De cuántas maneras se puede responder la prueba de tal manera que

a. 8 estén correctasb. 10 estén correctasc. A lo menos 12 estén correctas

20. Entre los 7 candidatos para dos vacantes en el concejo de la ciudad hay 3 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden cubrirse estas vacantes

a. Con dos candidatos cualquiera b. Con dos mujeresc. Con un hombre y una mujer

21. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de palabra statistics? ¿Cuántas empiezan y terminan con la letra s?

22. Una universidad participa en doce juegos de fútbol durante una temporada. ¿De cuántas formas puede el equipo terminar la temporada con 7 juegos ganados, 3 perdidos y 2 empates?

5. BIBLIOGRAFÍA

Texto Guia:Walpole, Myers, Myers. Probabilidad y estadística para ingenierosPrentice Hall, Octava ediciòn

Textos Complementarios

Montgomery y Runger. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingenieríaSegunda edición Mc Graw Hill

Devore, Jay . Probabilidad y estadística para ingeniería y cienciasQuinta ediciòn ,Thonson Learning

Spiegel, Estadistica , Mc Graw Hill

8


Canavos, Probabilidad y estadística, aplicaciones y métodos, Mc Graw Hill

Millar I, Freid J, probabilidad y estadística para ingenieros

Meyer Paul, Probabilidad y estadística, Limusa

6. CIBERGRAFÍA

guia_5-_tecnicas_de_conteo_-1-11_(pye-ing)

Documents