s5 probabilidades pye
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S5 Probabilidades PyETRANSCRIPT
Rohm and Hass es el principal productor de materiales especiales, entre los que se encuentran materiales electrónicos,
polímeros para pinturas y artículos para el cuidado personal.En el área de productos químicos, para un cliente
determinado, la empresa produce un catalizador caro que elcliente emplea en sus procesos químicos.
Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS
Algunos, pero no todos los lotes que produce la empresa satisfacen las especificaciones del producto. El contrato estipula
que el cliente debe probar cada lote después de recibirlo y determinar si el catalizador podrá realizar la función esperada. Los lotes que no pasen la prueba del cliente serán regresados. Con el tiempo, la experiencia ha mostrado que el cliente acepta 60% de
los lotes y regresa 40%. Ni el cliente ni la empresa estaban satisfechos con este servicio.
Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS
La empresa examinó la posibilidad de, antes de enviarel lote, replicar la prueba que hacía el cliente. La empresa
creyó que la prueba podría indicar si el catalizadorpasaría la compleja prueba que practicaba el cliente.
Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS
La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad que el
catalizador pase la prueba del cliente dado que pasó la prueba de la empresa antes de enviar
el lote?
PROBABILIDADES
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante será
capaz de calcular probabilidades
haciendo uso de las reglas y axiomas
de probabilidad.
Probabilidad y juegos de azar
La probabilidad matemática
tiene sus orígenes en los
juegos de azar (dados
/cartas).
Problemas
Contabilizar el Nº de
posibles resultados de
lanzar varias veces un dado.
Probabilidad
Definición
Es una medida numérica de
la posibilidad de que ocurra
un evento.
Es un número real que
expresa la confianza o
incertidumbre en la
ocurrencia de un suceso o
evento, cuyo resultado no se
puede predecir con certeza.
Probabilidad
Los eventos futuros no pueden predecirse con
absoluta seguridad, solo se puede llegar a
aproximaciones de la ocurrencia o no del evento.
La técnica probabilística encuentra un valor entre 0
y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:
si es cercano a uno, es casi seguro que
ocurrirá tal evento,
caso contrario se aproximará a cero, esto
indica que es muy posible que dicho evento no
ocurra.
Probabilidad
Los eventos futuros no pueden predecirse con
absoluta seguridad, solo se puede llegar a
aproximaciones de la ocurrencia o no del evento.
La técnica probabilística encuentra un valor entre
0 y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:
si es cercano a uno, es casi seguro que
ocurrirá tal evento,
caso contrario se aproximará a cero, esto
indica que es muy posible que dicho evento
no ocurra.
Experimento Aleatorio
Es todo experimento u operación cuyo resultado
no puede predecirse con certeza .
1: Lanzar una moneda 2 veces y registrar los
resultados.
2: Lanzar un dado y registrar el resultado.
3: el tiempo de vida de un componente eléctrico.
4: Lanzar un dado hasta obtener un 6 y registrar
el número de lanzamientos requeridos.
5: Una caja contiene 3 bolas blancas y 5 rojas.
Extraer una bola y observar el color.
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio. Los espacios muéstrales
pueden ser finitos o infinitos. Los espacios
muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su
vez en numerables y no numerables.
Ejemplos:
1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)}
2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
3 ={t R / t > 0}
4 ={1, 2, 3, 4, . . . }
Punto muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio. Los espacios muéstrales
pueden ser finitos o infinitos. Los espacios
muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su
vez en numerables y no numerables.
Ejemplos:
1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)}
2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
3 ={t R / t > 0}
4 ={1, 2, 3, 4, . . . }
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Un ingeniero eléctrico tiene en su mano dos cajas
de resistores, cada una con cuatro de éstos. Los
resistores de la primera caja están etiquetados con
10 Ω(ohms), pero, de hecho, sus
resistencias son de 9,10,11 y 12 Ω . Los resistores
de la segunda caja tienen la etiqueta de 20 Ω
,pero sus resistencias son de 18,19,20 y 21Ω
El ingeniero elige un resistor de cada caja y
determina la resistencia de cada uno. Sea A el
evento para el cual el primer resistor tiene una
resistencia mayor a 10, sea B el evento en el que
el segundo resistor tiene una resistencia menor a
19 y sea C el evento en el cual la suma de las
resistencias es igual a 28. Determine un espacio
muestral para este experimento y especifique los
subconjuntos que corresponden a los eventos A, B
y C
Ejemplo
Evento o Suceso
Es un subconjunto del espacio muestral. Se
les representa con letras mayúsculas.
Tipos de eventos:
Evento simple o elemental. Contiene sólo un
elemento del espacio muestral.
Ejemplo:
En el experimento 2, lanzar un dado y
registrar el resultado,A = {2} es un evento simple.
Tipos de Evento
Evento compuesto. Contiene 2 ó más
elementos del espacio muestral.
Ejemplo: A = {2, 5}
Evento seguro o universal. Es el espacio
muestral.
Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento imposible o vacío. No contiene ningún
elemento del espacio muestral.
Ejemplo: A = { }
Tipos de Evento
Eventos mutuamente excluyentes.
Dos eventos A y B definidos sobre un espacio
muestral son mutuamente excluyentes si no
tienen elementos comunes; es decir, si no
pueden ocurrir simultáneamente. (A B = ).
Ejemplo:
En el experimento 1, lanzar una moneda dos
veces, los eventos A: obtener una cara y B:
obtener dos caras son mutuamente excluyentes.
Tipos de Evento
Eventos Colectivamente Exhaustivos.
Dos eventos A y B definidos sobre un espacio
muestral son colectivamente exhaustivos si
son mutuamente excluyentes y su unión es el
espacio muestral. (A U B = ).
Ejemplo:
En el experimento 1, lanzar un dado y registrar el
resultado, los eventos A = {1, 2} y B = {3, 4, 5, 6}
son complementarios.
Probabilidad
Definición clásica o a priori
Si un experimento aleatorio
tiene n() puntos
muestrales mutuamente
excluyentes es
igualmente posibles, y si
n(A) de estos puntos
muestrales presentan una
característica tal como A,
entonces la probabilidad de
ocurrencia del evento A es:
mu estral esp acio d el p u n to s d e to talNº
A d e mu estrales p u n to s d e Nº
)(
)()(
n
AnAP
Ejemplos
Para cubrir 6 puestos de trabajo se han
presentado 7 hombres y 4 mujeres. Si la selección
es al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una
sola mujer sea elegida en el grupo de 6?
Una bolsa tiene 8 bolas blancas y 5 negras. Se
extraen al azar 4 bolas.
Si la selección es con reemplazo ¿Cuál es la
probabilidad de que 3 bolas blancas y 1
negra sean extraídas?
¿Si la selección es sin reemplazo?
Probabilidad
Definición de probabilidad a partir de
frecuencias relativas o a posteriori
Si un experimento aleatorio se repite n veces bajo las
mismas condiciones y nA resultados están a favor de
un evento A, la frecuencia relativa del evento A es:
y la probabilidad del evento A es:
En este caso, la frecuencia relativa del evento A
proporciona una estimación de la probabilidad real del
evento A.
Los axiomas de Kolmogorov (1903-1987)
Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha
definido un ∆ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna
valores reales a los miembros de ∆, a los que denominamos
"sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,∆) si se
cumplen los siguientes tres axiomas.
Primer axioma
La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0.
P (A) ≥ 0
Segundo axioma
La probabilidad del total, , es igual a 1.
P (Ω) = 1
Tercer axioma
Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o independientes,
entonces:
P (A o B) = P (A) + P (B)
Ejemplos
En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad
de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de
0.02,la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que
una más presente una fisura en el costado y en la tapa es
de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata
en forma aleatoria tenga una fisura? ¿Cuál es la
probabilidad de que no la tenga?
Un ingeniero que vigila el control de calidad toma una
muestra de 100 unidades fabricadas por determinado
proceso y encuentra que 15 de ellas son defectuosas.
Verdadero o falso.
A) La probabilidad de que una unidad fabricada por este
proceso esté defectuosa es 0.15.
B) La probabilidad de que una unidad fabricada por este
proceso esté defectuosa se aproxima a 0.15,pero no es
exactamente igual a 0.15.
Teoremas de Probabilidad
1 Regla de Adición
La Regla de Adición nos da la forma
de calcular la probabilidad de que
ocurra el evento A ó B ó ambos.
a) Si los eventos son No excluyentes
P ( A U B )= P (A) + P( B ) – P ( A ∩ B)
b) Si los eventos son Mutuamente Excluyentes
A BA B
P ( A U B ) = P (A) + P( B )
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2. Regla de Multiplicación
La Regla de Multiplicación nos da la forma de calcular la probabilidad
de la intersección de dos eventos.
A BA B
P ( A ∩ B )= P (A) P ( B / A )
P ( A ∩ B )= P (B) P ( A / B ) P ( A ∩ B ) = P (A) P ( B )
a) Si los eventos son Dependienteso relacionados
b) Si los eventos son Independientes
Teoremas de Probabilidad
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3. Probabilidad Condicional
La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya
ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional
A BA B
P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P (A)
P ( A / B ) = P ( A ∩ B ) / P (B) P ( A / B ) = P (A)
P ( B / A ) = P (B)
a) Si los eventos son Dependienteso relacionados
b) Si los eventos son Independientes
Teoremas de Probabilidad
Ejemplos
Un vehículo tiene dos motores: uno principal y otro auxiliar. El
componente del motor falla sólo si fallan ambos motores. La
probabilidad de que el motor principal falle es de 0.05 y la de que el
motor auxiliar falle es de 0.10. Suponga que los motores principal y
auxiliar funcionan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad
de que el componente del motor falle?Solución
La probabilidad de que el componente del motor falle es la
probabilidad de que ambos motores fallen. Por tanto,
P (componente del motor falla)= P(motor principal falla y motor
auxiliar falla)Puesto que los motores son independientes, se puede
usar la ecuación P ( A / B ) = P (A)
P (motor principal falla y motor auxiliar
falla)=P(motor principal falla)*P(motor
auxiliar falla) = (0.10)(0.05)=0.005
• Probabilidad total.
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A
Partición del espacio muestral
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
1 11
1 1 2 2
( ) ( / )( / )
( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n n
P A P B AP A B
P A P B A P A P B A P A P B A
• Teorema de Bayes
Probabilidad Total y Teorema de Bayes.
Ejemplo
• En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismosabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde estáubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.Se elige un estudiante al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?.¿Cuál es laprobabilidad de que no viva en la localidad?.
b) Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en lalocalidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?
• Resolución a:
P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6 Sea chica.
P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4 Sea chico.
P(L/A)=85%=85/100=0,85 Sea chica y viva en la localidad.
P(L/O)=70%=70/100=0,7 Sea chico y viva en la localidad
P(NL/A)=15%=15/100=0,15 Sea chica y no viva en la localidadP(NL/O)=30%=30/100= 0,3 Sea chico y no viva en la localidad
P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79
P(NL)=P(A).P(NL/A)+P(O).P(NL/O)=0,6.0,15+0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21
• Empleando el diagrama del árbol
• P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L
•
• P(A)=0,6
• P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L
•
• P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L
•
• P(O)=0,4
• P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L
• P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79
• P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21
• Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.
• Resolución b:
• Empleando el diagrama del árbol
P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L
P(A)=0,6
P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L
P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L
P(O)=0,4
P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L
P(O/L) = 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544
De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica:
P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456
Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.
Retroalimentación con nota (1 punto adicional en el
trabajo de la presente semana)
1. ¿Qué axiomas deben cumplir la teoría de probabilidades?,
¿cuáles son?
2. ¿Cuándo decimos que dos eventos son independientes?
3. ¿Cuándo decimos que un evento es seguro, de un
ejemplo?
4. ¿ Cuándo decimos que un evento es improbable, de un
ejemplo?
5. Crea una situación donde se puede aplicar el teorema de
Bayes .
BIBLIOGRAFIA BASICA:
1519.2
SCHESCHEAFFER Mc. CLAVE
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA
INGENIERÍA2005
2519.5
LEVI/P
LEVINE-KREHBIEL-
BERENSONESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN. 2006
3519.2
HINE
WILLIAM W. HINES
DOUGLAS C. MONTGOMERY
DAVID M. GOLDSMAN
CONNIE M. BORROR
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA
INGENÍERIA2011
Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en
tu biblioteca:
"La creatividad es muy importante en la vida: te da diversidad. Si eres
creativo, pruebas diferentes maneras de hacer cosas y cometes muchos
errores también. Pero si tienes valentía de continuar a pesar de tus
errores, obtendrás la respuesta"
Bill Fitzpatrick