GUÍA DIDÁCTICA N°2 INTEGRACIÓN DIDÁCTICA IV

ESTRATEGIAS DEL TALLER PARA LA ENSEÑANZADE LAS MATEMÁTICA

DESCRIPCIÓN

“Para el estudio de los cuerpos planos se partirá de la manipulación de objetos tridimensionales como cajas con caras de diferente forma y tamaño, donde se identificaran algunos elementos como: formas de las caras (cuadradas, rectangulares, triangulares y otras formas geométricas), vértices, aristas y ángulos.Las caras de los poliedros son polígonos, que se pueden clasificar según el número de lados y a su vez en regulares e irregulares. Estos polígonos nos permiten determinar los elementos que los componen: lados, ángulos, diagonales, y las relaciones existentes entre ellos.En el estudio, tanto de los cuerpos planos como los redondos, se hace indispensable la formulación de situaciones problema - entendidas como espacios donde se formulan interrogantes algunos de los cuales no son de respuesta inmediata, y que tienen que ver con: una red de conceptos planeados por el docente -. En este caso se evidencia la aplicación de conceptos como: perímetro, área, distancia entre puntos, volumen, paralelismo, congruencia, semejanza, perpendicularidad, transformaciones en el plano entre otros conceptos.Posterior a la presentación de este plan se pone en consideración de docentes y alumnos algunas situaciones problemáticas que se espera han de ser suficientemente exploradas y enriquecidas con otros interrogantes”, tomado de la Implementación de los Estándares de Matemática creado por la Gobernación de Antioquia año 2005.

OBJETIVO

Al terminar el módulo de la intervención 2 los estudiantes del Programa la licenciatura en matemática y física, estarán en capacidad de explorar, reconocer y construir conceptos geométricos a partir del trabajo orientado en el módulo, utilizando el material de apoyo propuesto para los temas.

Clasificar poliedros Hallar patrones entre los elementos de los poliedros Realizar construcciones básicas con regla y compás

CONTENIDO

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DESARROLLO

Guía de Intervención

ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN

Desarrollo elementos de escucha y participación, se desarrolla de manera individual y tendrá una duración de 30 min.

Actividad 1Reconocer los integrantes del grupo, los conceptos básicos de geometría plana

TAREA 11. Escuchar la explicación sobre las guías de trabajo2. Repartir las guías a los diferentes equipos3. Lectura inicial sobre las guías de trabajo. Justificación, objetivos, actividades. LECTURA N°1

TAREA 2Se definen los siguientes conceptos cuerpos sólidos, espacio, volumen, planos, líneas, aristas, puntos vértices, ángulos diedros y poliedros, volúmenes, caras, ect.

TAREA 3Buscar la Clasificación de poliedros

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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN

Esta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes, donde cada uno debe hacer su proceso individual para entregarlo. Tiene un tiempo aproximado de 30 min

Actividad 2La generalización única realidad en la enseñanza de las matemáticas

“Clase de matemática que no se generalice no es clase de matemática” Jhon Mason

TAREA 1 TALLER DE PATRONES Encontrar patrones para desarrollar definir los cuerpos sólidos, desarrollar los talleres de Pirámides y prismas. (archivo anexo)

TAREA 2Realizar construcciones con regla y compás

TAREA 3Exploración del programa Poly Pro y el Cabri

ACTIVIDAD DE CULMINACIÓNEsta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes, Tiene un tiempo aproximado de 15 min

ACTIVIDADReconozcamos habilidades y fortalezas en el pensamiento espacial en los alumnos.

TAREA 1Estrategias para abordar la enseñanza de la Matemática:Leer sobre el modelo de Van Hiele y de una breve descripción sobre cómo se puede utilizar en el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial.

EVALUACIÓN

Según la guía anterior, ¿Qué evaluación propondrías como profesor de matemáticas?

BIBLIOGRAFIA/ CIBERGRAFIA

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http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=418

Desarrollo (Actividad de exploración)

Tarea 3: Clasificación de los poliedrosClasificación de Poliedros.

En primer lugar es necesario que se haga una manipulación de los cuerpos para observar sus elementos y sus propiedades. Se debe intentar construir con los niños definiciones de polígono, polígono regular, ángulo diedro y ángulo poliedro, arista y vértice.

Por ejemplo:Polígono: Figura plana con todos sus bordes rectos. (Poli = varios, Gono = ángulo).Polígono regular: Polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.Ángulo diedro: Ángulo formado por dos caras planas que se intersectan en una línea (la arista). Ángulo poliedro: Ángulo formado por más de dos caras planas que se intersectan en un punto (el vértice).

2.1. Poliedros regulares.

Un ejemplo de clasificación de acuerdo a las características individuales lo podemos realizar con los poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro, llenando el siguiente cuadro:

NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICES

ÁNGULOSDIEDROS

ÁNGULOS POLIEDROS

Tetraedro 4 6 4 6 4Octaedro 8 12 6 12 6Cubo 6 12 8 12 8Dodecaedro 12 30 20 30 20Icosaedro 20 30 12 30 12

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Verificar de acuerdo con los resultados obtenidos en el cuadro anterior, la siguiente relación:

C + V - A = 2. (...Relación de Euler!)

Donde:

C = Número de caras.A = Número de aristas.V = Número de vértices.

De acuerdo a la experiencia realizada, ¿Cuáles son las características comunes de los poliedros regulares? ¿Cómo son sus caras? ¿Cómo son sus ángulos poliedros?

R/: tienen todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros son iguales y en todos ellos se cumple la relación de Euler, son polígonos regulares, convexos.

Se han trabajado 5 poliedros regulares. ¿Existirán otros poliedros que también sean regulares? Confronte su definición.

R/: NO, como todos sabemos, un poliedro es una figura tridimensional limitada por polígonos regulares, que son las caras del poliedro. Se llama arista al segmento común a dos caras y vértice al punto donde concurren tres o más caras.

Para que el poliedro sea regular se tiene que dar que todas sus caras sean polígonos regulares iguales y que en cada vértice concurran el mismo número de caras. Por otra parte, si tomamos las caras que concurren en un vértice y las aplastamos hasta que queden en un plano, el ángulo formado por todas ellas debe ser menor que 360º, ya que si es igual o mayor que 360º no se podrá formar un poliedro regular convexo.

Bien, sabiendo todo esto lo que vamos a hacer es ir valorando todas las posibilidades. Supongamos que queremos formar un poliedro con triángulos equiláteros (recordad que las caras deben ser polígonos regulares), donde, como sabemos, cada ángulo mide 60º. Podríamos juntar tres de ellos para formar un vértice, obteniendo un ángulo de 180º. Como es menor que 360º esta configuración sería válida. De hecho da como resultado el tetraedro:

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También podríamos juntar cuatro triángulos equiláteros para formar un vértice. En este caso formarían un ángulo de 240º, que al ser también menor que 360º dará lugar a otro poliedro regular, el octaedro en este caso:

Y podríamos juntar cinco triángulos equiláteros, formando así un ángulo de 300º, menor que 360º también. Tenemos así otro poliedro regular, el icosaedro:

¿Qué ocurre si tomamos más de cinco triángulos equiláteros? Pues que el ángulo que formaría el desarrollo plano de esa configuración sería mayor o igual que 360º, por lo que no tendríamos un poliedro regular convexo.

Pasemos a la siguiente opción, el cuadrado, en el que cada ángulo mide 90º. Si tomamos tres cuadrados obtenemos un ángulo de 270º, menor que 360º, por lo que tenemos poliedro regular, el   cubo  (o hexaedro):

Si tomamos cuatro cuadrados o más, el ángulo que se formaría es mayor o igual que 360º, por lo que tampoco nos sirve.

Pasamos al pentágono regular , cuyos ángulos miden 108º. Si tomamos tres de ellos tendríamos un ángulo de 324º, que al ser menor que 360º nos da otro poliedro regular más, el   dodecaedro :

Si tomamos cuatro o más pentágonos tendríamos un ángulo mayor que 360º.Siguiente opción, el hexágono regular, en el que los ángulos miden 120º. Tomando tres de ellos ya tendríamos un ángulo de 360º, hecho que descarta la posibilidad de que se pueda construir un poliedro regular convexo con hexágonos.

Y de aquí en adelante la situación es análoga. Con cualquier polígono regular con más de seis lados se tiene que al juntar tres de ellos iguales el ángulo formado es mayor que 360º, por lo que no se puede construir un poliedro regular con ellos. Tenemos así demostrado que solamente existen cinco poliedros regulares convexos.

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De acuerdo a los conceptos construidos, constate la verdad (o falsedad) de las siguientes afirmaciones:

En un poliedro regular...

- Todas las caras son polígonos regulares. (V)- Todas las caras son polígonos regulares iguales. (V)- Todos los ángulos poliedros son iguales. (V)

2.2. Poliedros Arquimedianos.

Existe un conjunto de poliedros muy especiales llamados poliedros Arquimedianos, que cumplen casi todas las características de los poliedros regulares. Tienen la propiedad de que todas sus caras son polígonos regulares y todos sus ángulos poliedros son iguales. Dos ejemplos de ellos son el cubo-octaedro y el rombi-cubo-octaedro cuya manipulación y construcción en cartulina debe estimularse.

Preguntas- ¿Todas las caras de cada poliedro son polígonos regulares? R/: Si

- ¿En cada poliedro sus ángulos poliedros son iguales? R/: Si

- ¿Cuál es entonces la diferencia entre los poliedros regulares y los arquimedianos?

R/: Que en los arquimedianos sus caras son polígonos regulares de dos o más tipo, a diferencia de los poliedros regulares que no se presente ello.

- Verifican los poliedros arquimedianos la relación de Euler?R/: No

Se sabe que existen trece (13) poliedros arquimedianos -¡uno de ellos es el que sirve de base para el balón de fútbol! - Investigue sobre su construcción y propiedades.

R/= Los balones actuales de fútbol están conformados por un conjunto de doce pentágonos y veinte hexágonos que ocupan el 86.74 % del volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón.

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Sin embargo existe una figura geométrica llamada “rombicosidodecaedro” que se aproxima aún más a la forma esférica.

Ésta está formada por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce pentágonos teniendo un total de 62 caras. De esta manera el balón ocuparía un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita, ganando mayor control del esférico por parte del jugador.

Constr ucción:

1. Con ayuda del compás y transportador construyan 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares del mismo tamaño de lado para las tres figuras (utilice cartón similar al de las cajas de zapatos) en ambos casos deje aletas en los lados (que luego se convertirán en aristas) para ser engomadas.

2. En los lados de un pentágono pegue un cuadrado (esta es su base). Pegue al medio de dos cuadrados consecutivos un triángulo equilátero.

3. Repita este proceso teniendo cuidado de que en cada lado de los pentágonos debe estar pegado un cuadrado y unidos cada dos por un triángulo.

4. Repita este proceso con cada pentágono que se va pegando, verificando que este rodeado siempre de 5 cuadrados y 5 triángulos en forma intercalada.

5. El poliedro semirregular se cerrará solo por este efecto de repetición del modelo base.

2.3. Pirámides.

Dada una colección concreta de pirámides - construidas por el maestro o por los alumnos - realizar las siguientes actividades:

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Reconocer la forma de las diferentes caras y diseñar cooperativamente con los alumnos una definición de pirámide.

Contar el número de caras, de aristas, de vértices, de ángulos diedros y de ángulos poliedros. Organizar la información en el cuadro que aparece a continuación.

NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOSDIEDROS

ÁNGULOS POLIEDROS

Pirámide triangular

4 6 4 6 4

Pirámide cuadrangular

4 triángulos1 cuadrado

8 5 8 5

Pirámide pentagonal

5 Triángulos1 pentágono

10 6 10 6

Pirámide Hexagonal

6 Triángulos1 Hexágono

12 7 12 7

¿Se verifica la relación de Euler encontrada para los poliedros regulares?R/= Si

¿Qué otras relaciones puede establecer?

R/=Desde la matemática se puede relacionar con el número π (pi), con la teoría de la correlación de orión, con la religión, entre otros.

2.4 Prismas.Dada una colección concreta de prismas - construidos por el maestro o por los alumnos - realizar las siguientes actividades:

Reconocer la forma de las diferentes caras y diseñar cooperativamente con los alumnos una definición de prisma.

Contar el número de caras, de aristas, de vértices, de ángulos diedros y de ángulos poliedros. Organizar la información en el cuadro que aparece a continuación.

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NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOSDIEDROS

ÁNGULOS POLIEDROS

Triangular 3 9 6 9 6Cuadrangular 4 12 8 12 8

Pentagonal 5 15 10 15 10Hexagonal 6 18 12 18 12

¿Se verifica la relación de Euler encontrada para los poliedros regulares?R/= No

¿Qué otras relaciones puede establecer?

R/= El prisma también es usado para fraccionar la luz y conocer los espectros de emisión y absorción, por su forma se usa en cajas, edificios, entre otros.

3. Clasificación global de cuerpos geométricos.

Con base en todas las experiencias anteriores y teniendo a mano un conjunto amplio de cuerpos geométricos, proceder a una clasificación global utilizando cuerdas para formar los diferentes conjuntos. Tenga cuidado con las intersecciones entre los conjuntos y el uso de cuantificadores en el lenguaje.El siguiente diagrama muestra una posible clasificación inicial que recoge las propiedades estudiadas en las actividades anteriores.

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Establezca una clara relación entre las propiedades de los cuerpos estudiados y las relaciones entre los conjuntos considerados.

¿Cuál es el prisma que también es poliedro regular?R/=Cubo

¿Cuál es la pirámide que también es poliedro regular?R/= Pirámide triangular

Los poliedros regulares, ¿Son también arquimedianos?R/=No

Los poliedros arquimedianos, ¿son también regulares?R/=Si

Modelo de Van Hiele

El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de pensamiento. Según este modelo, se requiere una adecuada instrucción para que los alumnos puedan pasar a través de los distintos niveles. En relación a esto, los Van Hiele proponen cinco fases secuenciales de aprendizaje: información, orientación guiada o dirigida, explicitación, orientación libre e integración. Ellos afirman que al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia, se puede promover al alumno al nivel siguiente del que se encuentra.