guía de logaritmos y funciones

GUA DE FUNCIN LOGARTMICA IV MEDIO -2014

NOMBRE DEL ALUMNO:____________________________________________ CURSO:_________ FECHA:________

LOGARITMOS FUNCIN LOGARTMICA DEFINICIN:

El logaritmo de un nmero real positivo b en base a , positiva y distinta de 1 , es el nmero m a que se debe elevar la base para obtener dicho nmero.

loga b = m am = b , donde b > 0 ; 1 a > 0

OBSERVACIONES:

La expresin loga b = m se lee el logaritmo de b en base a es m. El logaritmo es la operacin inversa de la exponenciacin. log10 a = log a

CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIN DE LOGARITMO.

loga1 = 0 ; loga a =1 ; loga am =m

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean b > 0 ; c > 0 ; 1 = a > 0

1. Logaritmo de un producto: loga(b c) = loga b + loga c

2. Logaritmo de un cociente: logabc = loga b loga c

EJEMPLOS

1. log35 + log37 =

A. log35 log37 B. (5 7)3 C. 335 D. log312 E. log335

2. Si log2m log2n = 5 , entonces el cociente mn es igual a:

A. 10 B. 25 C. 32 D. 64 E. 128

3. log 3 + log 4 log 2 , escrito como el

logaritmo de un nmero es: A. log 5 B. log 6 C. log 10

D. log32

E. log 38

EVALUACIN DE APRENDIZAJES (Enseanza Bsica y Media)

Elaborado por: Sergio Melo Revisado por DAEM,

Jefe Dpto.

26/03/2014

Netland School Departamento de Matemtica

4. El desarrollo logartmico de 3a2b es:

A. log 3 + log a log 2 + log b B. log 3 log 2 + log a log b C. log 3 + log 2 log a log b D. 1,5 (log a log b) E. log 5 + log a log b

5. El valor de 2 log 25 es:

A. log 2 B. log 3 C. log 4 D. log 5 E. 2 + 5 log 2

6. log 2128 log216 =

A. 2 B. 1 C. 1 D. log 39 E. log 464

7. log a + ba b =

A. 2 log b B. log a + log(b) C. log a (logb log(b)) D. log(a + b) log(a b)

E. loga logb2 loga

logb

LOGARITMO DE UNA POTENCIA: loga bn = n loga b

LOGARITMO DE UNA RAZ: loga bn =1n loga b con n > 0

CAMBIO DE BASE: loga b =logc blogc a

Ejemplos:

1. log218 =

A. 3 B. 2 C. 0 D. 2 E. 3

2. log4 44 =

A. 14

B. 1 C. 4 D. 16 E. Otro valor.

3. 15 log32 =

A. log32 5 B. 5 log32 1

C. log3215

D. log3 25

E. log3 25

4. log a3 c3 =

A. 2

B. 513

C. 8 D. log2935 E. log5496

5. El valor de la expresin log273 + log232 =

A. 2

B. log 254

C. 2 log 2log 2

D. 2 + log 4log 4

E. 1log 2 1

FUNCIN LOGARTMICA.

Una funcin f definida por f(x) = loga x ,donde a + ; a 1 y x > 0 se denomina funcin logartmica.

GRFICAS DE UNA FUNCIN LOGARTMICA.

En los grficos se puede observar que:

La grfica intersecta al eje X en el punto (1, 0). Si a > 1, entonces f(x) = loga x es CRECIENTE. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = loga x es DECRECIENTE. La curva no intersecta al eje Y.

Ejemplo:

1. La grfica de f(x) = log x 1 pasa por el punto:

A. (1, 0) B. (1, 1) C. (1, 1) D. (2, 0) E. (0, 0)

2. El punto (2, 0) pertenece a la funcin:

A. f(x) = log x B. f(x) = log x + 1 C. f(x) = log x 1 D. f(x) = log (x + 1) E. f(x) = log (x 1)

3. Si f(x) = logx (30 x) , entonces f(3) es 3 elevado a:

7

FUNCIN LOGARTMICA Una funcin f definida por se denomina funcin logartmica. GRFICAS DE LA FUNCIN LOGARTMICA i) f(x) = log2 x ii) f(x) = 1

2

log x

En los grficos se puede observar que: La grfica intersecta al eje x en el punto (1, 0). Si a 1, entonces f(x) = loga x es creciente. Si 0 a 1, entonces f(x) = loga x es decreciente. La curva no intersecta al eje y.

EJEMPLO 1. La grfica de f(x) = log x 1 pasa por el punto

A) (1, 0) B) (1, 1) C) (1, -1) D) (2, 0) E) (0, 0)

f(x) = loga x, con a lR+, a 1 y x 0

x 18

14

12

1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

x 18

14

12

1 2 4 8

f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

-2

2

1 2 3 4

y

x

3

f(x) = 12

log x

-1 -2 -3

2

1 2 3 4

y

x

f(x) = log2 x

7

FUNCIN LOGARTMICA Una funcin f definida por se denomina funcin logartmica. GRFICAS DE LA FUNCIN LOGARTMICA i) f(x) = log2 x ii) f(x) = 1

2

log x

En los grficos se puede observar que: La grfica intersecta al eje x en el punto (1, 0). Si a 1, entonces f(x) = loga x es creciente. Si 0 a 1, entonces f(x) = loga x es decreciente. La curva no intersecta al eje y.

EJEMPLO 1. La grfica de f(x) = log x 1 pasa por el punto

A) (1, 0) B) (1, 1) C) (1, -1) D) (2, 0) E) (0, 0)

f(x) = loga x, con a lR+, a 1 y x 0

x 18

14

12

1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

x 18

14

12

1 2 4 8

f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

-2

2

1 2 3 4

y

x

3

f(x) = 12

log x

-1 -2 -3

2

1 2 3 4

y

x

f(x) = log2 x

A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 E. 27

4. Respecto a la funcin f(x) = log2 (x + 1) , cul de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)? I. Si x = 1 , f(x) = 1 II. Si x = 0 , f(x) = 0 III. Si f(x) = 2 , x =3

A. Slo II B. Slo III C. Slo I y II D. Slo I y III E. Slo II y III

Ejercicios de aplicacin.

9

EJERCICIOS 1. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log 8?

I) log 4 + log 2 II) 3 log 2 III) 2 log 4 log 2

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

2. log2 (-2) =

A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) no est definido en los nmeros reales

3. En la expresin log3 x = 1, el valor de x es

A) 13

B) - 13

C) -1 D) 3 E) -3

4. Si log(x 1) = 3, entonces x vale

A) 4 B) 29 C) 31 D) 999 E) 1.001

9




2. log2 (-2) =



A) 13

B) - 13

C) -1 D) 3 E) -3


A) 4 B) 29 C) 31 D) 999 E) 1.001

9




2. log2 (-2) =



A) 13

B) - 13

C) -1 D) 3 E) -3


A) 4 B) 29 C) 31 D) 999 E) 1.001

9




2. log2 (-2) =



A) 13

B) - 13

C) -1 D) 3 E) -3


A) 4 B) 29 C) 31 D) 999 E) 1.001

10

5. Cul de las siguientes opciones es igual a log 24?

A) log 12 log 2 B) log 20 + log 4 C) 2log 12 D) log 2 log 3 log 4 E) log 8 + log 3

6. Si logx 1

16 = 2, el valor de x es

A) 132

B) - 132

C) 14

D) - 14

E) 162 7. En la expresin

9log 3 = x, el valor de x es

A) 2 B) -2

C) - 12

D) 12

E) 13

8. Si a = 3

12 12(log 4 + log 3) , entonces a es

A) 21 B) 12 C) 3 D)

12log (73)

E) 12

log (43 + 33)

10



6. Si logx 1


A) 132

B) - 132

C) 14

D) - 14



A) 2 B) -2

C) - 12

D) 12

E) 13

8. Si a = 3


A) 21 B) 12 C) 3 D)

12log (73)

E) 12

log (43 + 33)

10



6. Si logx 1


A) 132

B) - 132

C) 14

D) - 14



A) 2 B) -2

C) - 12

D) 12

E) 13

8. Si a = 3


A) 21 B) 12 C) 3 D)

12log (73)

E) 12

log (43 + 33)

10



6. Si logx 1


A) 132

B) - 132

C) 14

D) - 14



A) 2 B) -2

C) - 12

D) 12

E) 13

8. Si a = 3


A) 21 B) 12 C) 3 D)

12log (73)

E) 12

log (43 + 33)

11

9. log( 5 )3 =

A) log(3 5 )

B) 32

log 5

C) log 6 5

D) log 53 E) 5 log 3

10. 2 3

6

1log 16 log27

log 36 =

A) 72

B) 76

C) 176

D) 112

E) 12

11. 14

log (16 3 4 ) =

A) 73

B) - 73

C) 13

D) - 13

E) 23

11

9. log( 5 )3 =

A) log(3 5 )

B) 32

log 5

C) log 6 5


10. 2 3

6

1log 16 log27

log 36 =

A) 72

B) 76

C) 176

D) 112

E) 12

11. 14

log (16 3 4 ) =

A) 73

B) - 73

C) 13

D) - 13

E) 23

11

9. log( 5 )3 =

A) log(3 5 )

B) 32

log 5

C) log 6 5


10. 2 3

6

1log 16 log27

log 36 =

A) 72

B) 76

C) 176

D) 112

E) 12

11. 14

log (16 3 4 ) =

A) 73

B) - 73

C) 13

D) - 13

E) 23

12

12. log m log n + log p =

A) log m log(n + p) B) log(m n) + log p

C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn

13. Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

I) log 1 log 5 = log 5

II) log 110

< 0

III) log 6 log 10 = log 6

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

14. Si logx 49 = 2, entonces x es

A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249

15. Cul de las siguientes figuras representa al grfico de la funcin f(x) = log3 x + 1? A) B) C)

D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

12



C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn



II) log 110

< 0




A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249


D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

12



C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn



II) log 110

< 0




A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249


D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

12



C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn



II) log 110

< 0




A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249


D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

12



C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn



II) log 110

< 0




A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249


D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

12



C) log mn

+ p

D) log(m p) n

E) log mpn



II) log 110

< 0




A) -7 B) 7 C) -7 y 7 D) 492 E) 249


D) E)

x

y

2 3 1

x

y

2 1 13

3

1

x

y

2

1

- 13

x

y

2

1

1 3

x

y

1 13

3

1

-1

13

16. Dada la funcin f(x) = log2(x 1), su representacin grfica es A) B) C) D) E) 17. El grfico de la figura 1 representa la funcin

A) y = log x B) y = log x + 1 C) y = log x + 2 D) y = log (x + 1) E) y = log (x + 2)

18. Si f(x) = log(x 4)(16 x), entonces f(7) =

A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27

19. Respecto a la funcin f(x) =

5log (2x + 1), cul(es) de las siguientes proposiciones es (son)

verdadera(s)?

I) f(12) = 2 II) Intersecta al eje x en (1,0). III) f es creciente.

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

13




A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27



verdadera(s)?



y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

13




A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27



verdadera(s)?



y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

13




A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27



verdadera(s)?



y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

13




A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27



verdadera(s)?



y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

13




A) 2 B) 3 C) 39 D) 93 E) 27



verdadera(s)?



y

x 2

y

x -2

y

x 2

y

x

y

x 1

y

x 1

1 fig. 1

14

20. Si y = 5x con x 0, entonces 5 5

log x log y =

A) -1 B) 1 C) 0 D) 5

E) 15

21. Cul(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) log (ab) = log a log b II) log (a + b) = log a + log b

III) log alog b

= log a log b

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Ninguna de ellas

22. Si 4 log a = 1, entonces log a =

A) 116

B) 18

C)

14

D)

12

E) 2 23. Si log 700 = 2,84, entonces log 70 es

A) 28,4 B) 3,84 C) 1,84 D) 0,284 E) 284

14


log x log y =

A) -1 B) 1 C) 0 D) 5

E) 15



III) log alog b

= log a log b



A) 116

B) 18

C)

14

D)

12


A) 28,4 B) 3,84 C) 1,84 D) 0,284 E) 284

14


log x log y =

A) -1 B) 1 C) 0 D) 5

E) 15



III) log alog b

= log a log b



A) 116

B) 18

C)

14

D)

12


A) 28,4 B) 3,84 C) 1,84 D) 0,284 E) 284

14


log x log y =

A) -1 B) 1 C) 0 D) 5

E) 15



III) log alog b

= log a log b



A) 116

B) 18

C)

14

D)

12


A) 28,4 B) 3,84 C) 1,84 D) 0,284 E) 284

15

24. Si 5

log 3 = 710

, entonces 5

log 75 es igual a

A) 2710

B) 5710

C) 352

D) 72

E) 75

25. Si log a + log b = c log b, entonces a =

A) c10

2b

B) 2 b 10c

C) c

2

10

b

D) b2 10c

E) c2 10

b

26. Se puede determinar el valor numrico de la expresin real b dlog a log cb d

si :

(1) a = 1

(2) b = 100 y d = 1.000

A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

27. Se puede determinar el valor numrico de la expresin real log a log b si se sabe que :

(1) a b = 10

(2) a = 10b A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

15

24. Si 5

log 3 = 710

, entonces 5

log 75 es igual a

A) 2710

B) 5710

C) 352

D) 72

E) 75


A) c10

2b

B) 2 b 10c

C) c

2

10

b

D) b2 10c

E) c2 10

b


si :

(1) a = 1

(2) b = 100 y d = 1.000



(1) a b = 10


15

24. Si 5

log 3 = 710

, entonces 5

log 75 es igual a

A) 2710

B) 5710

C) 352

D) 72

E) 75


A) c10

2b

B) 2 b 10c

C) c

2

10

b

D) b2 10c

E) c2 10

b


si :

(1) a = 1

(2) b = 100 y d = 1.000



(1) a b = 10


15

24. Si 5

log 3 = 710

, entonces 5

log 75 es igual a

A) 2710

B) 5710

C) 352

D) 72

E) 75


A) c10

2b

B) 2 b 10c

C) c

2

10

b

D) b2 10c

E) c2 10

b


si :

(1) a = 1

(2) b = 100 y d = 1.000



(1) a b = 10


16

28. El grfico de la funcin real f(x) = blog x es decreciente si :

(1) b > 0

(2) b < 1


29. loga 3 = logb 2

log c si :

(1) a = 1.000 ; b = 100 y c = 10

(2) a = 10b y b = 10c


30. Se puede determinar el valor de log 20 si :

(1) log 3 = 0,4

(2) log 2 = 0,3


DMNMA27

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16


(1) b > 0

(2) b < 1


29. loga 3 = logb 2

log c si :

(1) a = 1.000 ; b = 100 y c = 10

(2) a = 10b y b = 10c



(1) log 3 = 0,4

(2) log 2 = 0,3


DMNMA27


16


(1) b > 0

(2) b < 1


29. loga 3 = logb 2

log c si :

(1) a = 1.000 ; b = 100 y c = 10

(2) a = 10b y b = 10c



(1) log 3 = 0,4

(2) log 2 = 0,3


DMNMA27


guía de logaritmos y funciones

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