grška matematika po evkliduhladnik/zgodmat/arhimed(b).pdf · arhimed eratosten in apolonij grška...

Arhimed Eratosten in Apolonij Grška astronomija in trigonometrija Uporabna matematika Grška algebra Zaton grške matematik

Grška matematika po Evklidu

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

7. november 2012


Arhimed (287-212 pnš.)

Slika: Arhimed iz Sirakuz


Arhimedov pomen

Eden največjih matematikov vseh časov, Sirakužan, sinastronoma, ljubljenec kralja Hierona. Študiral v Aleksandriji(obdržal prijatelje Kanona, Dositeja in Eratostena, ki jim jepogosto pisal)

Mnogo legend (o izumljanju vojaških naprav, o vzvodih, skaterimi bi lahko spravil svet s tečajev, o Hieronovi kroni, ki nibila iz čistega zlata, o njegovi smrti pod mečem rimskegavojaka).

Moderne matematične razprave, v njih veliko originalnosti,računske spretnosti in rigoroznosti pri dokazovanju. Največjimatematični prispevek: začetki integralskega računa


Arhimedovo delo

Ravninska geometrija:Merjenje kroga (klasična metoda računanja števila π zvčrtavanjem pravilnih večkotnikov)Kvadratura parabole (24 trditev o računanju ploščineparaboličnega odseka)Spirale (28 trditev o Arhimedovi spirali).

Prostorska geometrija:O krogli in valju (60 trditev v dveh knjigah, npr. o površinahin prostorninah)O stožčastih in kroglastih ploskvah (40 trditev o prostorninivrtenin)Papus pripisuje Arhimedu odkritje trinajstih polregularnih(arhimedskih) teles (prisekana kocka, kubooktaeder itd.)


Arhimedovo delo - nadaljevanje

Aritmetika:Peščeni računar (v dveh knjigah, namenjenih Golonu,Hieronovemu sinu, predstavitev velikih števil, npr. zrn peskana Zemlji)V tej razpravi najdemo informacije, da je Aristarh (∼ 310do 230 pnš.) zagovarjal heliocentrični sistem in znamenitiproblem o govedu (problema bovinum)

Uporabna matematika:O ravninskem ravnovesju (25 trditev, računanje težišč likov,tudi paraboličnih odsekov)O plavajočih telesih (15 trditev z uprabo v hidrostatiki)Razprava O vzvodih, o kateri poroča Papus, je izgubljena.Teon pa citira še eno, (O zrcalih).


Metoda izčrpavanja

A

B

C D

M

EN

L

Slika: Ploščina paraboličnega odseka z metodo izčrpavanja

Vsota ploščin trikotnikov CLA in CBE je enaka četrtini ploščinetrikotnika ABC. To je ponavljal in dobil

p(ABC)+14

p(ABC)+142

p(ABC)+ ... = p(ABC)(1+14

+142

+ ...)=43

p(ABC).


Metoda ravnovesja

T N S

A B

C

x

Slika: Prostornina krogle z Arhimedovo metodo ravnovesja


Arhimedova Metoda

Regiomontanus revidiral in natisnil 1540.Izgubljena

1906 našel v Carigradu Johan Ludvig Heiberg (1854-1928),danski filolog in zgodovinar matematikePalimpsest z nabožno vsebinoSpet izgubljena

29.oktobra 1998 se pojavi na dražbi agencije Christie, prodanaza 2 milijona dolarjev

Druge razprave na palimpsestu: O merjenju kroga, O krogli invalju, O spiralah, Stomachion


Stomachion

Slika: Arhimedov StomahionSlika: Arhimedov Stomahion


Eratosten (∼ 280-194 pnš.)

Slika: Eratosten


Eratostenovo delo

Po rodu iz Kirene v Severni Afriki, živel v Atenah, Ptolemaj IIIpovabil za upravnika knjižnice v AleksandrijiAtlet, pesnik, astronom, geograf, zgodovinar, matematikRazgledan povsod, nikjer vrhunski (vzdevek beta)

Dela:- podvojitev kocke- praštevilsko sito- meritev obsega Zemlje


1 50

Slika: Eratostenova meritev obsega Zemlje

θ = 2π/50, l = 5000 stadijev, 1 stadij = 180 m, l = Rθ ,2πR = 50l = 4500 ·50 km


Apolonij iz Perge (∼ 260-200 pnš.)

Slika: Apolonij iz Perge


Apolonijevo delo

Študiral in živel v Aleksandriji, izurjen astronom in matematik,raziskovalec stožnic, po katerih je najbolj znan

Delo: Preseki stožcev v osmih knjigah, 400 trditev

Presegel Menajhma in Evklida, uvedel imena: elipsa, parabola,hiperbola, uvedel parameter p = polovica latus rectuma = b2/a(pri elipsi in hiperboli)

Vse tri postavimo s temenom v koordinatno izhodišče:- elipsa: y2 = 2px −px2/a (pomanjkljiva)- parabola: y2 = 2px (ravno pravšnja)- hiperbola: y2 = 2px +px2/a (presežna)


Druga Apolonijeva dela

Poleg presekov stožcev še:- O proporcionalnih rezih (181 trditev)- O prostorskih prerezih (124 trditev)- O določanju prerezov (83 trditev)- O tangentah (124 trditev)- O vstavljanju (125 trditev)- O geometrijskem mestu (147 trditev)


Apolonijevi krogi

(1) Gometrijsko mesto točk, katerih razdalji do dveh izbranihtočk sta v konstantnem razmerju(2) Geometrijsko mesto točk, iz katerih vidimo dve izbrani točkipod konstantnim kotom(3) Rešitev Apolonijevega problema: poiskati krog, ki se dotikatreh danih krogov

Slika: Osem rešitev Apolonijevega problema o krogu, ki se dotika trehkrogov


Astronomi in geometri

Grški astronomi so izhajali iz kaldejske (babilonske) tradicije.Najpomembnejši je bil

Hiparh iz Nikeje (190-120 pnš.)

Izračun luninih men (na Rodosu), naklon ekliptike, katalogiziral850 zvezd stalnic, uvedel v grško matematiko delitev kroga na360 stopinjRazvil ravninsko in sferno trigonometrijo, sestavil tabele krožnihtetiv


Hiparh iz Nikeje (190-120 pnš.)

Slika: Hiparh


Menelaj iz Aleksandrije (190-120 pnš.)

Menelaj iz Aleksandrije (70-140 nš.)Avtor Sferike, znan po dvorazmerju pri transverzali trikotnika:(AN/NB)(BL/LC)(CM/MA) = −1

A B

C

N

L

M

Slika: Menelajev izrek


Klavdij Ptolemaj iz Aleksandrije (90-168 nš.)

Sintaksis Matematica (Matematična Zbirka) ∼ 150 nš. jevplivno delo, temelječe na Hiparhovih razpravah.

Planisferij je prevedel naš Herman Koroški sredi 12. stoletja.

Almagest je vrhunsko astronomsko delo(megiste pomeni največje, po arabsko al-magest)Sestavlja ga 13 knjig (o astronomiji, v prvi knjigi osnove, tabeletetiv, Ptolemajev izrek o krožnem štirikotniku), v 3.,4.,5. knjigirazlaga geocentričnega sistema z epicikli, v 4. knjigi problem,kasneje imenovan problem Snella (1617) in Pothenota (1692),6. knjiga govori o elipsah, ostale o planetih.

Almagest je bila standardna astronomska knjiga vse doKopernika in Keplerja.


Klavdij Ptolemaj - slika

Slika: Klavdij Ptolemaj


Heron iz Aleksandrije (∼ 10-70 nš.)

Tehnik in izumitelj, profesor v Aleksandriji z enciklopedičnimznanjem, (študij v Grčiji in Egiptu).Dela iz matematike in fizike:- 14 razprav o praktični uporabi matematike in inženirstvu- izumi (sifon, parni stroj, vetrne piščali, vodna črpalka, siringa)- geometrična razprava Metrika v treh knjigah(merjenja likov, krožnih, eliptičnih, paraboličnih odsekov,površin valjev, stožcev in sfer, formula za ploščino trikotnika)- rekurzivna metoda za računanje kvadratnega korena)- delo iz mehanike Pneumatika (opis okrog sto mehanskihnaprav in igrač)- razprava iz optike Dioptra (optične naprave, antična oblikateodolita)- razprava o zrcalih Katoptrika


Heronov portret

Slika: Heron


Izpeljava Heronove formule

B C

A

D

E

F

G

I

aa

b

b g

g

J

H

r

r

r

a + b + g = p

BHC + b + g = p

CG AE=

Slika: Heronova izpeljava formule


Razlaga izpeljava

(i) Včrtani krog s središčem I naj se dotika stranic v točkahD,E ,F (slika), na podaljšku BC odmerimo G, tako da boCG = AE in potegnemo pravokotnico IH na BI, ki preseka BC vtočki J in pravokotnico na BC iz C v točki H.(ii) Če je s = (a+b +c)/2, je p = rs = (BG)(ID).(iii) B, I,C,H ležijo na isti krožnici (s premerom BH), torej sekota CHB in BIC dopolnjujeta (sta suplementarna), pri čemer jekot CHB enak kotu EIA.(iv) Velja: BC/CG = BC/AE = CH/IE = CH/ID = CJ/JD.(v) Torej BG/CG = CD/JD.(vi)(BG)2/(CG)(BG) = (CD)(BD)/(JD)(BD) = (CD)(BD)/(ID)2.(vii) p = (BG)(ID) =

√

(BG)(CG)(BD)(CD) =√

s(s−a)(s−b)(s−c).


Diofant iz Aleksandrije (∼ 200-284 nš.)

Slika: Diofant iz Aleksandrije


Diofantovo delo

Tri razprave:- O poligonalnih številih- Porizmi- Aritmetika (v 13 knjigah, od katerih se jih je ohranilo 6)

Aritmetika je zahtevno analitično delo o algebrajski teoriji števil(okrog 130 različnih problemov o enačbah prve in drug stopnje,tudi eni kubični, in reševanje nedoločenih (danes imenovanihdiofantskih) enačb.

Zaslužen za uvedbo okrajšav za neznanke, potence,odštevanje, enakost in recipročnost (sinkoptična algebra).


Diofantova Aritmetika

Najpomembnejše Diofantovo delo, 1500 let in več imelo izredenvpliv na razvoj matematike (Diofant - oče algebre).

Leta 1575 je grško besedilo Aritmetike objavil WilhelmHolzmann, profesor na univerzi v Heidelbergu (z grškimimenom Ksilander).

To besedilo je uporabil Bachet de Méziriac, ki je leta 1621izdal grški tekst skupaj z latinskim prevodom. V to knjgo je1637 Pierre de Fermat zapisal svojo slavno opombo na robu onezmožnosti rešitve enačbe xn +yn = zn v celih številih, če jen > 2.


Méziriacova izdaja Aritmetike 1621

Slika: Méziriacov prevod Diofantove Aritmetike iz leta 1621


Papus iz Aleksandrije (∼ 290-350)

Zadnji veliki grški matematik. Napisal dela:

Komentarji k Evklidovim Elementom in Podatkom ter kPtolemajevemu Almagestu in Planisferiju

Matematična zbirka, veliko delo, mešanica komentarjev,originalnih prispevkov in izboljšav različnih starejših tekstov. Odosmih knjig je izgubljena prva in del druge.

Nasploh je ta Zbirka zgodovinsko zelo verodostojna knjiga,zadnje veliko delo, nekakšen rekvijem grške matematike.


Naslovna stran Zbirke

Slika: Naslovna stran Commandinovega latinskega prevodaPapusove Matematične zbirke, izdanega leta 1589


Vsebina Zbirke

I. in II. knjiga: aritmetika (računanje z velikimi števili)III. knjiga: teorija sredin (npr. dvojna geometrijska sredina),neenakosti v trikotniku in včrtavanje pravilnih teles v krogloIV. knjiga: posplošitev Pitagorovega izreka ter lastnostiarbelosa, Arhimedove spirale, Nikomedove konhoide,Dinostratove kvadratrise z uporabo pri treh velikih problemihV. knjiga: izoperimetrija, maksimumi in minimumi (satovje)VI. knjiga: astronomska (nekakšen uvod v Almagest),prazačetki kartezičnih koordinat in projektivne geometrije,gorišča in direktrise stožnicVII. knjiga: originalni Papusovi prispevki (konstrukcija stožniceskozi pet danih točk, Papusov heksagonalni izrek, Guldinovipravili)VIII. knjiga: mehanika, konjugirani premeri elipse


Posplošitev Pitagorovega izreka

B

C

A

ML

D

E

F

G

H

Slika: Papusova posplošitev Pitagorovega izreka


Arbelos

A BC

D

S

T

( )a

A BC

D

( )b

Slika: Arbelos ali čevljarski nož


Papusov heksagonalni izrek

Dve trojici kolinearnih točk A,B,C in a,b,c, presečiščaX = Ab∩aB, Y = Bc∩bC, Z = Ca∩cA tudi kolinearna

Slika: Papusov heksagonalni izrek


Prepisovalci in komentatorji

Teon iz Aleksandrije (∼ 335-405): komentarji k PtolemajevemAlmagestu, revizija Evklidovih ElementovHipatija (∼ 350-415): Teonova hči (matematika, medicina infilozofija), komentarji k Diofantovi Aritmetiki in ApolonijevimPresekom stožca. Prva znana ženska v matematiki.Proclus (412-485): neoplatonistični filozof in matematik, avtorKomentarjev k Evklidu in k Platonovi Republiki, v kateri so tudiza matematike zanimivi odstavki.Simplicij iz Kilikije (∼ 490 - 560): komentator Aristotela inEvklida. Predstavil Antifonov poskus kvadrature kroga,Hipokratove lune in Eudoksov model sončnega sistema skoncentričnimi sferami.Eutocij iz Askalona (∼ 480-540): Simplicijev sodobnik in jeznan po komentarjih k Arhimedovemu delu.

grška matematika po evkliduhladnik/zgodmat/arhimed(b).pdf · arhimed eratosten in apolonij grška...

Documents