grafika i komunikacja człowieka z komputerem

Grafika komputerowa

Rzutowanie

Wprowadzenie

• Podstawowym przekształceniem w grafice komputerowej jest rzutowanie, gdyż komputerowa wizualizacja obiektu wymaga by był on odwzorowany na płaską kartkę papieru, ogólnie – na płaszczyznę.

Rzuty można podzielić na dwie klasy:• Rzuty równoległe, • Rzuty perspektywiczne.

Własności rzutów równoległych• Zachowuje równoległość prostych, • Zachowuje stosunek długości odcinków

równoległych, • Zachowuje związki miarowe figur płaskiej

równoległej do płaszczyzny rzutowania, • W rzucie równoległym wszystkie proste

rzutowania mają kierunek równoległy, gdy jest on prostopadły do płaszczyzny rzutowania, to jest to rzut równoległy ortogonalny.

• Stosuje się go rysunku technicznym.

Własności rzutów perspektywicznych

• Pozwala na bardziej realistyczną wizualizację obiektów trójwymiarowych,

• Daje wrażenie głębi. • W rzucie środkowym (szczególny przypadek rzutu

perspektywicznego) zmienione zostają relacje długości, na przykład rzuty odcinków leżących bliżej rzutni są dłuższe niż rzuty odcinków tej samej długości ale bardziej oddalonych od płaszczyzny rzutowania.

• W rzucie perspektywicznym wszystkie proste (promienie rzutowania) mają punkt wspólny, nazywany jest on środkiem rzutowania. Odległość tego punktu decyduje o deformacji rysunku.

Porównanie rzutów

Rzut równoległy Rzut perspektywiczny

Przekształcenie układu danych do układu obserwatora

• W rzutowaniu znalezienie współrzędnej P’ sprowadza się do wyznaczenia punktu przecięcia płaszczyzny z prostą, która łączy dany punkt z płaszczyzną rzutowania.

• W ten sposób otrzymalibyśmy jednak współrzędne punktu P’ w układzie trójwymiarowym, w którym był rysowany obiekt. Ten układ będzie nazywany układem danych.

• Do narysowania obiektu potrzebne są współrzędne w układzie dwuwymiarowym określonym na płaszczyźnie rzutowania.

• Takie współrzędne można wyznaczać różnie. Najbardziej popularna jest metoda przekształcania układu danych do układu obserwatora.


obserwator

dane

P


• Obserwator jest nieruchomy i ma obejrzeć dane. W tym celu musimy przekształcić dane do układu obserwatora.

• W tym celu należy tak obracać układem danych, by osie układu pokrywały się (inaczej obserwator, to co jest np. wysokością będzie interpretował jako szerokość) i przesunąć dane, by obserwator miał je przed sobą (to co ma z tyłu „głowy” nie będzie widoczne).


• Układ obserwatora 0xyz, to układ, w którym płaszczyzna pokrywa się z płaszczyzną z=0.

• Układ obserwatora nie jest określony jednoznacznie, można przyjąć, że jego początek pokrywa się z początkiem układu 0.


• Przekształcenie układu danych do układu obserwatora będzie polegało wtedy na wykonaniu takich obrotów wokół osi układu by wektor [xn, yn, zn] miał kierunek osi z i przeciwny do niej zwrot.

• Szukaną transformację można otrzymać w dwu kolejnych krokach:– Obrót wokół osi z o kąt – Obracamy układ 0x’y’z’ wokół y o kąt +180o


• Obrót wokół osi z o kąt =arctg(yn/xn) dla xn<>0 lub o kąt =90o gdy xn=0. Macierz R(,z) jest postaci:

• R(,z)=

• gdzie s=(xn2+yn

2)1/2. Po tym obrocie wektor [xn, yn, zn] będzie miał postać [s,0,zn].

s

s

xy

yx

snn

nn

000

000

00

00

1


• Obracamy układ 0x’y’z’ wokół y o kąt +180o.

Macierz obrotu jest postaci:

• R(+180o,y)=

• Składowe wektora [s,0,zn] w nowym układzie są postaci: [0,0,-t], gdzie t=(s2+zn

2)1/2

t000

0z0s

00t0

0s0z

t

1

n

n


• Po wykonaniu tych dwu obrotów rzutnia pokrywa się z płaszczyzną rzutowania, ale osie x i y mogą mieć dowolne ułożenie.

• W tym celu należy wykonać jeszcze jeden obrót, który będzie trzymał ustalony kierunek.

• Ten kierunek będzie zachowany, gdy wersor e2=[0,1,0] w nowym układzie będzie miał składową x=0. Ogólna postać macierzy obrotu jest następująca:


• R=

• W takim razie wersor e2 po wykonaniu tego obrotu będzie następujący: [r21, r22, r23]. W takim razie należy dokonać jeszcze obrotu o kąt =arctg(r21/ r22) wokół osi z.

• Taka transformacja zmieniająca jedynie osie x i y na rzutni P jest postaci:

1000

0rrr

0rrr

0rrr

333231

232221

131211


• R(,z)=

1000

000

0001

0010

1

uu

Klasyfikacja rzutów

K lasyfikac ja rzu tó w

A kson om etryczn e

P rostokątn e

W ojskowe K awaleryjsk ie

U kośn e

R ó wn oleg łe

Jed n op u n ktowe D wu p u n ktowe Tró jp u n ktowe

P ersp ektywiczn e

R zu ty p lan arn e p łask ie

Rzutowanie w układzie obserwatora

• Po przekształceniach opisywanych w poprzednim punkcie dalsze przekształcenia są proste. Rozważamy następujące rodzaje rzutów:– Rzut równoległy ortogonalny: kierunek rzutu jest

prostopadły do płaszczyzny rzutowania . W takim razie punkt P=(x,y,z) będzie miał współrzędne P’=(x,y,0).

– Rzut równoległy nieortogonalny: kierunek rzutu tworzy z rzutnią P kąt . Wtedy na podstawie rysunku możemy wyliczyć współrzędne w nowym układzie:

Rzutowanie w układzie obserwatorarzut ortogonalny

• x’=x+rcos, y’=y+rsin, gdzie r=zctg. • Najczęściej przyjmowanymi praktycznymi wartościami

kątów i są:• =30o i =45o, • =30o i =arctg(1/2)=63o - aksonometria kawalerska • =30o i =45o - aksonometria wojskowa.

Rzutowanie w układzie obserwatora rzut srodkowy

• Rzut środkowy: z rysunku widać, że na zasadzie podobieństwa możemy otrzymać następujące zależności:

• x’=xd/(z+d), y’=yd/(z+d)

Informacje o obliczeniach numerycznych

• Arytmetyka binarna (układ oparty o podstawę 2). • Liczba rzeczywista jest postaci:

– x=s m 2c

– Gdzie s=1, c jest liczbą całkowitą postaci:

• ci=1, m[0.5,1),

• gdzie m jest mantysą i ma własność:• |m-mt|<1/2*2-t, gdzie

n

i

iicsc

0

2

1

2i

iicm

)1()1(

1

22

t

ti

iit ccm


• Przyjmijmy, że rd(x) oznacza reprezentację zmiennopozycyjną liczby x, wtedy rd(x)=s 2c mt i zachodzi

• • • Co oznacza, że zachodzi: rd(x)=(1+)x, ||<,

gdzie oznacza dokładność maszynową.

tttt

tt

m

c

m

c

m

mm

x

xxrd

22212)( )1(

)2()1(


• Przykład 1:• Dane są dwie proste:• y=a1x+b1, y=a2x+b2. Należy wyznaczyć punkt

przecięcia. • Oczywiście zachodzi: • • Co będzie, gdy a2a1.

21

21

aa

bbx


• Przykład 2:• Dane jest funkcja: f(x,y)=x2-y2. Należy obliczyć

wartość tej funkcji. Obliczając:• rd(x2)=rd(x)*rd(x)=(1+e0)*x*(1+ e0)*x=(1+

e1)x2, gdzie e1=2 e0+ e022 e0.

• rd(y2)=(1+ e2)y2, gdzie e22 e0.

• Wobec tego zachodzi 322

22

12

2232

22 1y-x

1y-x (1*x*(xy-x

yxyy


• Inna metoda:

• W tym przypadku popełniany jest mały błąd względny.

)1(*)(*)()1(*)1(*)1(*)(*)(

)1(*))1(*)(*)1(*)(())((

321321

32122

yxyxyxyx

yxyxyxyxyx

Przykład praktyczny: I algorytm• Narysować n-kąt foremny. • I algorytm:• Podstaw DF=2*3.14159265/n• Przesuń pisak do (1,0)• Dla i=1,...,m• Oblicz =i*• Rysuj odcinek od poprzedniego położenia pióra do (cos, sin). • • • • • • •

Rysunek jest dobrze narysowany (małe błędy obliczeń).

Przykład praktyczny: II algorytm• Podstaw =3.14159265/n• Przesuń pisak do (1,0)• =0• Dla i=1,...,m• Oblicz • Rysuj odcinek od poprzedniego położenia pióra do (cos, sin). • • • • • • •

Rysunek wychodzi poprzesuwany o pewien kąt wynikający z kumulujących się błędów obliczeń.

grafika i komunikacja człowieka z komputerem

Documents