graĐevna statika ii 8. vjeŽbevjeŽbe -...

1

GRAĐEVNA STATIKA II GRAĐEVNA STATIKA II –– 1. 1. VJEŽBEVJEŽBE

dr.sc.Tanja Kalman Šipoš, dipl.ing.građ.

Metoda pomaka – utjecaj temperature i prisilnih pomaka

GRAĐEVNA STATIKA IIGRAĐEVNA STATIKA II 8. 8. VJEŽBEVJEŽBE

Građevna statika II – 8. vježbe

Utjecaj prisilnih pomaka ležaja i temperature kod metode pomakauzima se pomoću MOMENATA UPETOSTI.

2

UTJECAJ PRISILNIH POMAKA LEŽAJA I TEMPERATURE UTJECAJ PRISILNIH POMAKA LEŽAJA I TEMPERATURE

METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE

1. PRISILNI POMACI: ∆∆∆∆v, ∆∆∆∆h, ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ

Prisilni pomaci se pri izračunu momenata upetosti množe sastvarnom krutošću elementa na koji djeluje pomak:

ik

ikik*ik l

Ek

Ι⋅=

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet

Zavod za tehničku mehaniku

2


3METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE

a) Translacijski pomaci: ∆∆∆∆v, ∆∆∆∆h

JEDNOSTRANO UPETA GREDA

OBOSTRANO UPETA GREDA

ik

*ik

ki l

vk3M

∆⋅⋅=

ik

*ik

kiik l

vk6MM

∆⋅⋅==

Skica momenata upetosti se crta prema djelovanju pomaka, analognodjelovanju koncentrirane sile!





b) Rotacijski pomak: ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ



ϕ∆⋅⋅= *ikki k3M

ϕ∆⋅⋅= *ikki k4Mϕ∆⋅⋅= *

ikik k2M

Vrtnja momenata upetosti jednaka je vrtnji ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ! Kod obostrano upetegrede moment na čijem kraju djeluje ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ biti će pomnožen sa faktorom 4,a suprotni kraj sa 2!



3


a ) Jednolika temperatura, ts

- uzrokuje promjenu duljine štapa za δδδδts koji se određuje premaizrazu:

gdje je:

ααααt – temperaturni koeficijent (αt =1×10-5C-1 za beton i čelik );

ts – jednolika temperatura;

l – duljina elementa na kojem djeluje jednolika temperatura.

Pomak δδδδts uzrokuje momente upetosti samo na susjednimelementima (!) u odnosu na element na koji djeluje temperatura.

5

ltstts ××α=δ


2. TEMPERATURA




6

23stts lt ××α=δ

12

ts*12

21 l

k3M

δ⋅⋅=

PRIMJER 1PRIMJER 1




4


7

23

yts*23

3223 l

k6MM

δ⋅⋅==

PRIMJER 2PRIMJER 2

Uzima se u obzir samo ona projekcija pomaka δδδδts koja djelujeokomito na susjedni element jer samo ona izaziva momentsavijanja!






b ) Nejednolika temperatura ∆∆∆∆t



h

tE5,1M t

ki

∆⋅α⋅Ι⋅=

h

tEMM t

kiik

∆⋅α⋅Ι=−=



5

Za prikazani sustav metodom pomaka odreditiM dijagram.

9

ZADATAK 1ZADATAK 1

STUP/GREDA:

b/h=40/40 cmE= 3×107 kN/m2

αt=1×10-5°C-1


Građevna statika II – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet


1. Nepoznanice

10

2. Krutosti štapova

002 IEkNm64000EI:greda/stup ==

ϕϕϕϕ3

ϕϕϕϕ2222 , ϕϕϕϕ3333NEPOMIČAN

SUSTAV !

u=0

ik00

ikikik lE

Ek

⋅Ι

Ι=


ϕϕϕϕ2

ik

ikikik l

E*k

Ι=



6

11

25,04

1k;33,0

3

1k

33,03

1k;33,0

3

1k

2534

2312

====

====

3. Momenti upetosti

kNm67,42k2M

kNm33,85k4M*1221

*1212

−=ϕ∆⋅⋅−=

−=ϕ∆⋅⋅−=


kNm15M;kNm1512

iqM 32

2

23 −==⋅

=

kNm33,213333

64000*k12 ==



12

4. Jednadžbe momenata na krajevima štapova

( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0

( ) 33,8566,033,85233,0 22 −ϕ=−ϕ=


kNm24h

tE5,1M t

34 =∆⋅α⋅Ι⋅

=

( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0

( ) 67,4232,167,42433,0 22 −ϕ=−ϕ=

kNm50M;kNm508

lPM 2552 −==

⋅=

0

0

Građevna statika – 8.vježbeSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet


7

13

( ) 2525522525 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 5050425,0 22 −ϕ=−ϕ=


( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0

( ) 1566,032,1152433,0 3232 +ϕ+ϕ=+ϕ+ϕ=

( ) 343433434 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0

( ) 2424333,0 33 +ϕ=+ϕ=

( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0

( ) 1532,166,0154233,0 3232 −ϕ+ϕ=−ϕ+ϕ=

( ) 5225252552 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 5050225,0 22 +ϕ=+ϕ=



14

5. Jednadžbe ravnoteže

0MMM0M 2523212 =++=∑0501566,032,167,4232,1 2322 =−ϕ++ϕ+ϕ+−ϕ


1...67,7766,064,3 32 =ϕ+ϕ

0MM0M 34323 =+=∑0241532,166,0 332 =+ϕ+−ϕ+ϕ

2...0,932,266,0 32 −=ϕ+ϕ

49,10

24,23

3

2

−=ϕ

=ϕ



8

15

kNm51,13M

kNm51,13M

kNm76,38M

kNm0,12M

kNm0,70M

34

32

23

21

12

=

−=

=

−=

−=

6. Konačni M dijagram


kNm62,61M

kNm76,26M

52

25

=

−=

kNm81,5562,61272,58M

kN72,58R0M

6

52

=−⋅=

=⇒=∑



Za prikazani sustav odrediti M dijagram.

16

ZADATAK 2ZADATAK 2

GREDA:

b/h=30/30 cmE= 3×107 kN/m2

1. Nepoznanice

ϕϕϕϕ3 ϕϕϕϕ3333NEPOMIČAN SUSTAV !

ϕϕϕϕ2 nije nepoznanica, jer na tommjestu znamo vrijednost momenta!

Skice !




9

17


002 IEkNm20250EI:GREDA ==

ik00

ikikik lE

Ek

⋅Ι

Ι=

4,05,2

1k

;33,03

1k

k

34

23

12

==

==

ik

ikikik l

E*k

Ι=

- Ne treba jer tu znamo vrijednost momenta – konzola!

kNm67503

20250*k23 ==

kNm81005,2

20250*k34 ==




18

3. Momenti upetosti

kNm50M21 −=

;kNm50M23 = kNm252

M)M(M 23

32 ==

M

M M/2

Moment se određuje kao na konzoli – GSI!

Prenosi se na susjedni element

zbog uvjeta krute veze!

Preneseni moment se mora prenijeti na drugi kraj elementa (uvijekjednostrano upeta greda) kao polovica vrijednosti M/2!

kNm5,67l

vk3)v(M

23

*23

32 =∆⋅⋅

=∆

( ) ( ) kNm5,92vMMMM 323232 =∆+=




10

19

( ) kNm63,158

lqqM

2

34 =⋅

=

kNm2,97l

vk3)v(M

34

*34

34 −=∆⋅⋅

−=∆

( ) ( ) kNm57,81vMqMM 343434 −=∆+=




20


( ) 322332332 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=

0

( ) 343433434 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=

( ) 5,9225333,0 33 +ϕ=+ϕ=

0

( ) 57,812,1625,1534,0 33 −ϕ=+ϕ=

5. Jednadžba ravnoteže

50MM50M 34323 =+=∑

76,1707,392,2

5057,812,15,92

33

33

=ϕ⇒=ϕ⋅

=−ϕ⋅++ϕ

!




11

21

( )( ) kNm26,6057,8176,172,1M

kNm26,1105,9276,17M

21

32

−=−=

=+=






22

ZADATAK 3ZADATAK 3

STUP:b/h=30/30 cm

GREDA:b/h=30/30cmE= 3×107 kN/m2

METODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATUREMETODA POMAKA – UTJECAJ PRISILNIH POMAKA I TEMPERATURE



12

1. Nepoznanice

23


002 IEkNm20250EI:STUP ==

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ2NEPOMIČAN

SUSTAV !

u=0

ik00

ikikik lE

Ek

⋅Ι

Ι=


2kNm48000EI:GREDA =

ik

ikik*ik l

Ek

Ι=




24

25,04

1k;kNm9600

5

48000k

;47,0520250

48000k

23*12

12

====

=⋅

=

3. Momenti upetosti

( )

( ) kNm2,19k2M

kNm4,38k4M*1221

*1212

−=ϕ∆⋅⋅−=ϕ∆

−=ϕ∆⋅⋅−=ϕ∆

( )

( ) kNm25,31PM

kNm25,318

lPPM

21

12

−=

=⋅

=




13

25


( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=

0 0

( ) 15,794,015,7247,0 22 −ϕ=−ϕ=

kNm33,13M

kNm33,1312

lqM

32

2

23

−=

=⋅

=

( ) ( )

( ) ( ) kNm45,50PMMM

kNm15,7PMMM

212121

121212

−=+ϕ∆=

−=+ϕ∆=




26

( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 33,135,033,13225,0 22 −ϕ=−ϕ=

( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 45,5088,145,50447,0 22 −ϕ=−ϕ=

( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 33,1333,13425,0 22 +ϕ=+ϕ=

0




14

27

5. Jednadžba ravnoteže

0MM0M 23212 =+=∑

88,1212,3788,2

033,1345,5088,1

22

22

=ϕ⇒=ϕ⋅

=+ϕ+−ϕ⋅

( )( )

( )( ) kNm89,633,1388,125,0M

kNm21,2633,1388,12M

kNm24,2645,5088,1288,1M

kNm96,415,788,1294,0M

32

23

21

12

−=−=

=+=

−=−=

=−=





28

kNm9,465,2R96,4M

kN74,20R

05R5,25024,2696,4

0M

14

1

1

2

=⋅+−=

=⇒

=⋅−⋅+−

=∑




15


29

ZADATAK 4ZADATAK 4

STUP/GREDA:

b/h=40/40 cmE= 3×107 kN/m2

αt=1×10-5°C-1




1. Nepoznanice

30


002 IEkNm64000EI:greda/stup ==

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ1111 , ϕϕϕϕ2NEPOMIČAN

SUSTAV !

u=0

ik00

ikikik lE

Ek

⋅Ι

Ι=

ϕϕϕϕ1




16

31

33,03

1k;33,0

3

1k

1k;25,04

1k

2514

2312

====

===

3. Momenti upetosti

kNm0,32M

kNm0,32h

tEM

21

t12

=

−=∆⋅α⋅Ι

−=

( )

m3l;m5,1c

kNm84,9cl2l8

cqM 22

2

2

14

==

−=−⋅

⋅−=




32


( ) 1212211212 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=

0

( ) 0,325,00,322425,0 2121 −ϕ+ϕ=−ϕ+ϕ=

kNm125,2816

lP3M52 −=

⋅⋅−=

( ) 2112121221 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0

( ) 0,325,00,322425,0 2112 +ϕ+ϕ=+ϕ+ϕ=

( ) 2323322323 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 22 441 ϕ=ϕ=

0




17

33

( ) 522552552 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0 0

( ) kNm13,2813,28033,0 −=−=

( ) 3223232332 Mu624kM +⋅ψ−ϕ+ϕ⋅=0 0

( ) 22 221 ϕ=ϕ=

( ) 141411414 Mu33kM +⋅ψ−ϕ⋅=0

( ) 84,984,9333,0 11 −ϕ=−ϕ=

0




34

5. Jednadžbe ravnoteže

0MM0M 14121 =+=∑

084,90,325,0 121 =−ϕ+−ϕ+ϕ

1...48,415,02 21 =ϕ+ϕ

0MM0M 23212 =+=∑040,325,0 221 =ϕ++ϕ+ϕ

2...0,3255,0 21 −=ϕ+ϕ

71,8;09,23 21 −=ϕ=ϕ




18

35

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) kNm26,1384,909,23M

kNm42,1771,82M

kNm84,3471,84M

kNm84,340,3271,809,235,0M

kNm26,130,3271,85,009,23M

14

32

23

21

12

=−=

−=−=

−=−=

=+−+=

−=−−+=





36

kNm88,1775,05,1205,1RM

kN92,26R0M

46

41

=⋅⋅−⋅=

=⇒=∑

kNm43,235,1RM

kN62,15R0M

27

25

=⋅=

=⇒=∑




graĐevna statika ii 8. vjeŽbevjeŽbe -...

Documents