getaran 1 derajat kebebasan · pdf filepersamaan gerak . persamaan kwadrat . akar akar ....
TRANSCRIPT
![Page 1: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/1.jpg)
Getaran 1 derajat kebebasan
Getaran Mekanik, Kuliah 2
GETARAN MEKANIK TEKNIK MESIN STT MANDALA -BANDUNG
![Page 2: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/2.jpg)
Recall dari kuliah sebelumnya
Getaran Mekanik, Kuliah 2
0)()( =+ tkxtxm Persamaan diferensial orde 2
t
x(t)
x(t) = Asin(ωnt + φ)
Solusi diasumsikan harmonik sbg fungsi sinus
![Page 3: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/3.jpg)
Solusi alternatif
Getaran Mekanik, Kuliah 2
x(t) = Asin(ωnt + φ)x(t) = A1 sinωnt + A2 cosωntx(t) = a1e
jωnt + a2e− jωnt
Cartesian form
magnitude and phase form
polar form
22
)(
tan,
212
211
212211
2
1122
21
jAAajAAa
jaaAaaAAAAAA
+=
−=
−=+=
=+= −φ
1−=j
![Page 4: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/4.jpg)
Redaman viskos
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
Dalam model massa pegas sebelumnya: getaran terjadi tak berhenti Dalam kenyataan, getaran akhirnya berkurang dan akhirnya berhenti, maka terdapat sesuatu yang meredam getaran tersebut (mendisipasikan energi) maka dibuatlah model redaman viskos untuk merepresentasikan pengurang getaran tsb
)()()( txctcvtfc −=−=
x
fc
Damper (c)
Gaya redaman tsb
c=konstanta redaman
![Page 5: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/5.jpg)
Sistem massa-pegas-peredam
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
M
k x
c
DBB
0)()()( =++ tkxtxctxm
x(t) = aeλtSolusi untuk persamaan gerak ini adalah
t
t
aetxaetx
λ
λ
λ
λ2)(
)(=
=
![Page 6: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/6.jpg)
Solusi persamaan gerak (lanjutan)
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
0)()()( =++ tkxtxctxm
x(t) = aeλt
t
t
aetxaetx
λ
λ
λ
λ2)(
)(=
=
aeλt ≠ 0 ⇒ (λ2 + cλm +ωn
2) = 0
0)( 2 =++ kcmae t λλλ
1
0)2(2
22,1
22
−±−=
=++
=
ζωζωλ
ωλζωλ
ζ
nn
nn
kmcRasio redaman
Persamaan gerak Persamaan kwadrat
Akar akar
![Page 7: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/7.jpg)
Kemungkinan 1: gerak teredam kritis
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
λ1,2 = −1ωn ±ωn 12 −1 = −ωn
x(t) = a1e−ωnt + a2te
−ωnt
nr mkmcc ωζ 221 ===⇒=
Redaman kritis terjadi jika λ=1, koefisien redaman c menjadi koefisien red kritis
Akar berulang dan real
Solusi :
![Page 8: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/8.jpg)
Gerak teredam kritis
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
x = (a1 + a2t)e−ωnt
⇒ a1 = x0
v = (−ωna1 − ωna2t + a2 )e−ωnt v0 = −ωna1 + a2
⇒ a2 = v0 + ωnx0
0 1 2 3 4 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
Dis
plac
emen
t (m
m)
k=225N/m m=100kg and ζ=1
x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s
a1 dan a2 dpt diperoleh dari kondisi awal
Tidak terjadi osilasi - Mekanisme pintu, sensor analog
![Page 9: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/9.jpg)
Kemungkinan 2: overdamped
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
λ1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
x(t) = e−ζωn t(a1e−ωn t ζ 2 −1 + a2e
ωn t ζ 2 −1)
a1 = −v0 + ( −ζ + ζ 2 −1)ωnx0
2ωn ζ 2 −1
a2 =v0 + (ζ + ζ 2 −1)ωnx0
2ωn ζ 2 −10 1 2 3 4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
Dis
plac
emen
t (m
m)
k=225N/m m=100kg and z =2
x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s
Overdamped terjadi jika ζ>1. akar-akar persamaan real dan berbeda.
Respon lebih lambat dibandingkan kasus redaman
kritis
![Page 10: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/10.jpg)
Kemungkinan 3: teredam
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
λ1,2 = −ζωn ±ωn j 1−ζ 2
x(t) = e−ζωn t(a1ejωn t 1−ζ 2
+ a2e− jωnt 1−ζ 2
) = Ae−ζωn t sin (ωdt +φ)
ωd = ωn 1− ζ 2 (1.37)
Kasus teredam terjadi jikaζ<1. Akar dari persamaan adalah pasangan bilangan kompleks. Ini adalah kasus yang paling sering terjadi dan satu2nya kasus yang menyebabkan osilasi.
Frekuensi pribadi teredam
![Page 11: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/11.jpg)
Getaran teredam
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
A = 1ωd
(v0 +ζωnx0)2 + (x0ωd)2
φ = tan−1 x0ωd
v0 +ζωnx0
0 1 2 3 4 5 -1
-0.5
0
0.5
1
Time (sec)
Dis
plac
emen
t
• Menyebabkan respons berosilasi dengan penurunan exponensial
• Hampir semua sistem getaran alami respons teredam seperti ini
Penurunan exponensial
![Page 12: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/12.jpg)
12/43
jika c = 0.11 kg/s, tentukan rasio redaman dari sistem massa pegas peredam
jika:
gerak
0085.0kg/s 12.993
kg/s 11.0=
kg/s 993.12 8.857102.4922
N/m 8.857 kg, 102.493
3
dunderdampecc
kmc
km
cr
cr
⇒==
=××==
=×=−
−
ζ
Contoh
![Page 13: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/13.jpg)
Latihan
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
Kaki manusia mempunyai frekuensi pribadi sekitar 20 Hz dalam keadaan kaku dalam arah longitudinal (lurus) dengan rasio redaman ζ = 0.224. Hitunglah respons ujung kaki terhadap kecepatan awal v0 = 0.6 m/s dan perpindahan awal nol dan plot responsnya. Berapakah percepatan maksimum yang dialami oleh kaki jika diasumsikan tanpa redaman?
![Page 14: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/14.jpg)
Solusi
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
ωn = 201
cycless
2π radcycles
= 125.66 rad/s
ωd =125.66 1− .224( )2 = 122.467 rad/s
A =0.6 + 0.224( ) 125.66( ) 0( )( )2 + 0( ) 122.467( )2
122.467= 0.005 m
φ = tan-1 0( ) ωd( )v0 +ζω n 0( )
= 0
⇒ x t( )= 0.005e−28.148t sin 122.467t( )
![Page 15: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/15.jpg)
Solusi
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1
( ) ( )( ) 2222
0
00
2
020
m/s 396.75m/s 66.1256.06.0max
m6.0m
0 ,6.0 ,66.125 ,
==
−=−=
==
===
+=
nnn
nn
nn
Ax
vA
xvvxA
ωωω
ωω
ωω
maximum acceleration = 75.396 m/s2
9.81 m/s 2 g = 7.68g' s
![Page 16: Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar . Kemungkinan 1: gerak teredam kritis . Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022082205/5a7a03997f8b9a4b198c5d4d/html5/thumbnails/16.jpg)
Plot solusi persamaan gerak