2 akar akar persamaan2
DESCRIPTION
iterasiTRANSCRIPT
![Page 1: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/1.jpg)
METODE NUMERIK
AKAR-AKAR PERSAMAAN
![Page 2: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/2.jpg)
Pendahuluan
Akar-akar suatu persamaan dari suatu fungsi x sebenarnya adalah harga x yang membuat f(x) = 0.
Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik. Analitis f(x) = x2 - 4x x2 - 4x = 0
x(x-4) = 0
x1 = 0 atau x2 = 4
![Page 3: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/3.jpg)
Jumlah Akar
Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap.
![Page 4: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/4.jpg)
Jumlah Akar
Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang berbeda, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil.
![Page 5: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/5.jpg)
Jumlah Akar
Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu.
![Page 6: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/6.jpg)
Pendahuluan
Berapa akar dari suatu f(x) = e-x-x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik, dengan cara:
x f(x)
0 1
0,2 0,6187
0,3 0,4408
1 -0,632
![Page 7: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/7.jpg)
Metode Pendekatan Mencari Akar Persamaan
Metode Tertutup (Metode Akolade) Metode Grafik Metode Bisection (Metode bagi dua) Metode Regulafalsi (Interpolasi Linier)
Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap Metode Secant Metode Newton Raphson
![Page 8: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/8.jpg)
Metode Tertutup (Akolade)
Metode ini sering disebut metode terkurung/tertutup karena membutuhkan dua tebakan awal untuk menentukan akar f(x).
Dua tebakan harus mengapit akarnya, berarti harus ditentukan sebelum akar dan setelah akar Dalam metode akolade, grafik fungsi harus
digambar secara kasar.
![Page 9: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/9.jpg)
Metode Grafik
Metode paling sederhana untuk memperoleh tafsiran akar suatu f(x) dengan membuat grafik dari fungsi tersebut dan kemudian mengamati berapa nilai x yang menyebabkan f(x) berharga 0.
Jika selang dari tiap perubahan nilai x ditentukan semakin kecil, maka akan menghasilkan nilai yang semakin teliti.
![Page 10: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/10.jpg)
Metode Grafik (Ex.)
Ingin dicari suatu akar dari f(x) = ex - 2 - x2
Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,5
x f(x)
0,5 0,60128
1 0,28172
1,5 0,23169
![Page 11: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/11.jpg)
Metode Grafik (Ex.)
Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,25
x f(x)
0,5 0,60128
0,75 0,4455
1 0,28172
1,25 0,07216
1,5 0,23169
![Page 12: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/12.jpg)
Metode Grafik (Ex.)
Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,2x f(x)
0,5 0,60128
0,7 0,47625
0,9 0,3504
1,1 0,20583
1,3 0,02070
1,5 0,23169
Dengan selang x = 0,25, akarnya adalah x = 1,25.
Dengan selang x = 0,2, akarnya adalah x = 1,3. Dengan selang ini lebih teliti karena menghasilkan f(x) yang nilainya lebih dekat dengan 0.
![Page 13: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/13.jpg)
Metode Bisection (Bagi Dua)
Syarat: f(x) real/nyata dan kontinu dalam interval xi s/d xu, dimana f(xi) dan f(xu) berbeda tanda sehingga f(xi).f(xu) < 0
Metode ini digunakan untuk menentukan salah satu akar dari f(x).
Dasar dari metode bagi 2 adalah metode carian inkremental.
![Page 14: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/14.jpg)
Metode Carian Inkremental
Proses dimulai dengan menentukan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda. kemudian penempatan perubahan tanda dari akar ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval (pada metode bagi 2, pencarian subintervalnya dengan cara membagi dua). Setiap subinterval dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dengan subinterval yang semakin lama semakin kecil hingga dicapai suatu proses konvergensi
![Page 15: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/15.jpg)
Algoritma Metode Bisection
1. Pilih harga xi yaitu harga x yang terendah dan xu yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(xi).f(xu) < 0
2. Taksiran pertama akar sebut dengan xr ditentukan oleh:
2ui
r
xxx
![Page 16: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/16.jpg)
Algoritma Metode Bisection
3. Evaluasi harga xr untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikut
Jika f(xi).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu baru = xr.
Jika f(xi).f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xi baru = xr.
Jika f(xi).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.
![Page 17: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/17.jpg)
Algoritma Metode Bisection
4. Buat taksiran akar baru = xr baru dari
5. Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |a| |s| yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.
2ui
r
xxx
![Page 18: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/18.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
f(x) = ex – 2 – x2, cari akarnya dengan metode bisection dimana xi = 0.5; xu = 1.5; s = 1%
![Page 19: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/19.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 1:
1. xi = 0,5; xu = 1,5; f(xi) = 0,60128; f(xu) = 0,23169
2.
3. f(xr) = 0,28172
f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,28172) > 0
maka xi baru = 1
4.
5.
12
5,15,02
uir
xxx
25,125,11
2
ui
r
xxx
%20%10025,1
125,1
a
![Page 20: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/20.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 2:
3. f(xr) = f(1,25) = 0,07216
f(xi).f(xr) = (0,28172).(0,07216) > 0
maka xi baru = 1,25
4.
5.
375,12
5,125,12
uir
xxx
%1,9%100375,1
25,1375,1
a
![Page 21: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/21.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 3:
3. f(xr) = f(1,375) = 0,06445
f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,06445) < 0
maka xu baru = 1,375
4.
5.
3125,12
375,125,12
uir
xxx
%76,4%1003125,1
375,13125,1
a
![Page 22: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/22.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 4:
3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072
f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,0072) > 0
maka xi baru = 1,3125
4.
5.
34375,12
375,13125,12
uir
xxx
%3,2%10034375,1
3125,134375,1
a
![Page 23: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/23.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 5:
3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072
f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,0277) > 0
maka xi baru = 1,34375
4.
5.
328125,12
34375,13125,12
uir
xxx
%176,1%100328125,1
34375,1328125,1
a
![Page 24: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/24.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Langkah 6:
3. f(xr) = f(1,328125) = 0,010
f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,010) < 0
maka xu baru = 1,328125
4.
5.
3203,121,3281253125,1
2
ui
r
xxx
%59,0%1003203,1
328125,13203,1
a
![Page 25: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/25.jpg)
Metode Bisection (Ex.)
Iterasi xr |a| %
1 1 2 1,25 20
3 1,375 9,1
4 1,3125 4,76
5 1,34375 2,3
6 1,328125 1,176
7 1,3203 0,59
Jika s = 1 %, maka akarnya adalah x = 1,3203
![Page 26: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/26.jpg)
Metode Bisection
Kelemahan: Membagi interval dengan subinterval dengan
membagi 2 tanpa ada perhitungan mengenai f(x i) dan f(xu) yang mana sebenarnya yang lebih mendekati akarnya
![Page 27: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/27.jpg)
Metode Regulafalsi
Yang membedakan antara metode Regulafalsi dan Bisection dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xr.
Penentuan pergantian besarnya subinterval tetap dipengaruhi oleh f(xi).f(xr).
ui
uiuur xfxf
xxxfxx
![Page 28: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/28.jpg)
Metode Regulafalsi (Ex.)
Tentukan salah satu akar dari metode Regulafalsi dalam suatu fungsi f(x) = ex – 2 – x2, dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1% !
![Page 29: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/29.jpg)
Metode Regulafalsi (Ex.) Langkah 1
1. xi = 0,5; xu = 1,5;
f(xi) = f(0,5) = 0,60128; f(xu) = f(1,5) = 0,23169 2.
3. f(xr) = f(1,2219) = 0,0994
f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,09941) > 0
maka xi baru = 1,2219; f(xi) = 0,099414.
5.
2219,1
23169,060128,05,15,023169,0
5,1
rx
3054,1
23169,009941,05,12219,123169,0
5,1
rx
%397,6%1003054,1
2219,13054,1
a
![Page 30: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/30.jpg)
Metode Regulafalsi (Ex.)
Langkah 2:
3. f(xr) = f(1,3054) = 0,014905
f(xi).f(xr) = (0,09941).(0,014905) > 0
maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,014905
4.
5.
31716,1
23169,0014905,05,13054,123169,0
5,1
rx
%8928,0%10031716,1
3054,131716,1
a
![Page 31: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/31.jpg)
Metode Regulafalsi (Ex.)
Iterasi xr a %
1 1,2219 2 1,3054 6,397
3 1,31716 0,8928
Dari hasil ini ternyata metode Regulafalsi lebih cepat konvergen, daripada Bisection, tetapi belum tentu teliti. Hal ini dibuktikan dengan a dari kedua metode. Untuk xr = 1,3203; a = 0,59 pada metode Bisection, sedangkan pada metode Regulafalsi xr = 1,31716; a = 0,8928 (a Bisection < a Regulafalsi)
![Page 32: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/32.jpg)
Metode Terbuka
Hanya membutuhkan sebuah harga tunggal dari x untuk harga awalnya atau 2 harga x tetapi tidak perlu harus mengurung akar. Metode ini berbeda dengan metode tertutup yang memerlukan 2 harga awal dan harus dalam posisi mengapit atau mengurung akar
![Page 33: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/33.jpg)
Metode Newton-Raphson
1. Tentukan harga awal xi.
2. Garis singgung terhadap f(xi) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+1, sehingga xi+1 dirumuskan:
i
iii xf
xfxx
1
![Page 34: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/34.jpg)
Kelemahan Newton -Raphson
Harus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya 1,
maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen. Hal ini disebabkan karena Dalam menentukan xi yang sembarang ternyata
dekat dengan titik belok sehingga f(xi) dekat dengan 0, akibatnya
menjadi tidak terhingga/tak tentu sehingga xi+1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya
i
iii xf
xfxx
1
![Page 35: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/35.jpg)
Kelemahan Newton -Raphson
Kalau xi dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya xi+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya
Kadangkadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.
![Page 36: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/36.jpg)
Saran
Disarankan sebelum menentukan titik awal dilakukan sketsa grafik terlebih dahulu. Konvergen kesalahan semakin lama semakin
kecil Divergen kesalahan semakin lama semakin
besar
![Page 37: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/37.jpg)
Metode Newton-Raphson (Ex.)
Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 pada titik awal 1,5; s = 1 %
![Page 38: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/38.jpg)
Metode Newton-Raphson (Ex.)
Langkah 11. xi = 1.5 ; f(xi) = 0,23169
f’(xi) = ex – 2x f’(1.5) = 1.4817
2.
3. %64,11%1003436,1
5,13436,1
3436,14817,123169,0
5,11
a
ix
![Page 39: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/39.jpg)
Metode Newton-Raphson (Ex.)
Langkah 21. xi = 1.3436 ; f(xi) = 0,027556
f’(xi) = ex – 2x f’(1.3436) = 1.145617
2.
3. %8228,1%100319547,1
3436,1319547,1
319547,1145617,1027556,0
3436,11
a
ix
![Page 40: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/40.jpg)
Metode Newton-Raphson (Ex.)
Langkah 31. xi = 1.319547 ; f(xi) = 0.0085217
f’(xi) = ex – 2x f’(1.319547) = 1.102632
2.
3. %036,0%100319074,1
319547,1319074,1
319074,1102632,10085217,0
319547,11
a
ix
![Page 41: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/41.jpg)
Metode Newton-Raphson (Ex.)
Iterasi xi+1 a %
1 1.3436 11.64
2 1.319547 1.8228
3 1,319074 0,036
Jadi akar dari f(x) = ex – 2 – x2 adalah x = 1,319074
![Page 42: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/42.jpg)
Metode Secant
Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.
![Page 43: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/43.jpg)
Metode Secant
Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/ mengapit akar
Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
1
11
![Page 44: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/44.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 dengan tebakan awal 1.4 dan 1.5; s = 1 %
![Page 45: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/45.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Langkah 11. xi-1 = 1,5 f(xi-1) = 0,2317
xi = 1.5 ; f(xi) = 0,2317
2.
f(xi+1) = 0,0125
3.
3303,1
2317,00952,05,14,12317,0
5,11
ix
%24,5%1003303,1
4,13303,1
a
![Page 46: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/46.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Langkah 11. xi-1 = 1.4 f(xi-1) = 0,0952
xi = 1,3303 f(xi) = 0,0125
2.
3.
3206,1
0125,02317,03303,15,10125,0
3303,11
ix
%7,0%1003206,1
3303,13206,1
a
![Page 47: 2 Akar Akar Persamaan2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042503/55cf918c550346f57b8e5205/html5/thumbnails/47.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Iterasi xi+1 a %
1 1.3303 5.24
2 1.3206 0.7
Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar