GERİLME HALİ Şekilde görüldüğü gibi kuvvetler etkisi altında bulunan bir cismi göz önüne alalım ve bu cismi şekildeki gibi bir yüzey ile iki parçaya ayıralım. Ayırma yüzeyleri üzerinde, alana yayılı iç kuvvet bulunacaktır. Ayrılan parçalardan birinin ayırma yüzeyi üzerinde bir A noktasında küçük bir ∆A alan elemanı göz önüne alalım ve bu elemana etkiyen kuvvet ∆P olsun. Birim alana etkiyen kuvvet gerilme olarak tanımlandığında A noktası civarındaki gerilme vektörü aşağıda gösterilen şekilde tarif edilir.

AA ∆∆

= →∆Pp 0lim

Yukarıda verilen ifadeden de görüldüğü gibi gerilmenin boyutu [K/L2] şeklindedir. Çekimsel birim sistemi kullanıldığında birim olarak kg/cm2, ton/ mm2, ton/ m2,... v.s.; SI birim sistemi kullanıldığında ise birim olarak N/m2 , kN/mm2 , v.s. kullanılır. SI sisteminde kullanılan N/m2 birimine pascal adı verilmekte olup Pa ile gösterilmektedir. Büyük sayısal değerlerde Pa yerine MPa veya GPa kullanılır.

2 Elastisite

Gerilme vektörü, genellikle, şekilden görüldüğü gibi, bulunduğu yüzeye dik değildir. Bu nedenle, bu gerilmeye eğik gerilme vektörü adı verilir. Eğik gerilme vektörü normali n olan yüzeydeki gerilmeleri gösrterdiğini belirtmek için pn şekline veya pn (n) şeklinde de gösterilir. Etki tepkiye eşit prensibine göre aşağıda verilen eşitlik yazılabilir.

pn (n)= -pn (-n) Eğik gerilme vektörü, şekilde görüldüğü gibi, biri yüzeyin normali doğrultusunda diğeri de yüzeyin teğet düzlemi içinde olmak üzere iki bileşene ayrılabilir. Yüzeye dik olan gerilme bileşenine normal gerilme ve yüzeyin teğet düzlemi içinde bulunan gerilme bileşenine de kayma gerilmesi adı verilmektedir. Kayma gerilmeleri gerektiğinde bulundukları düzlemde iki bileşene ayrılabilirler. Genelde, normal gerilmeler σ ve kayma gerilmeleri ise τ sembolleri ile gösterilir. Normal gerilmenin yönü, yüzeyin dış normalinin yönü (dış normal cismin bulunduğu taraftan diğer tarafa doğru tarif edilmektedir) ile aynı ise bu gerilme çekme gerilmesi aksi takdirde basınç gerilmesi olarak isimlendirilir. Genel olarak çekme gerilmesi artı (+) ve basınç gerilmesi eksi (-) ile gösterilir. İleride yapılacak açıklamalarda da aynı kabul kullanılacaktır. Eğik gerilme vektörü yüzeyin normali ile çakışırsa kayma gerilmesi τ = 0 olur ve bu hale ait gerilmeye asal gerilme veya asal normal gerilme adı verilir.

Gerilme Hali 3

Gerilme hali: Yukarıdaki açıklamalardan da görüldüğü gibi, herhangi bir A noktasından geçen ayırma yüzeyi değiştikçe o noktadaki eğik gerilme vektörü de değişir. A noktasında bir gerilme vektöründen bahsediliyorsa ayırma düzleminin de verilmiş olması gerekir.

Bir A noktasında, ayırma yüzeyine bağlı olarak, sonsuz eğik gerilme vektörü vardır. Bu vektörler birbirlerinden bağımsız değillerdir; bunlar arasında bir vektörel bağıntı vardır. Bu bağıntıyı bulmak için, şekil 3.4 (a) da görülen A noktasından geçen ve normalleri aynı düzlem içinde bulunmayan üç düzlem ve bu düzlemlerdeki p1, p2, p3 eğik gerilme vektörlerini göz önüne alalım. Normali n olan herhangi bir düzlemdeki p eğik gerilme vektörü; p1, p2, p3 vektörleri cinsinden, şekil 3.4’de görüldüğü gibi A noktasından sonsuz küçük bir dörtyüzlü alıp ve bu dörtyüzlünün dengesinden

1 2 3( , , , )=p F p p p n şeklinde elde edilebilir. Bu bağıntı; p1, p2 ve p3 vektörlerine

göre doğrusaldır. Üç düzlem şekil 3.4 (b) deki gibi birbirlerine dik ise gerilme vektörleri arasındaki bağıntı

1 2 3λ µ ν= + +p p p p

şeklindedir. Burada görülen λ, µ ve ν değerleri n normalinin kosinüs doğrultmanlarıdır. Bu bağıntının bulunuşu ileride verilecektir. A noktasından geçen bütün yüzeylerdeki gerilmelerin bulunması için verilmesi gereken, bir büyüklük düşünelim. Bu büyüklüğün fiziksel adı gerilme halidir (state of stress). Bu büyüklük bir vektör değildir; bu büyüklük; üç vektörün veya aynı şey olan dokuz skalerin oluşturduğu bir büyüklüktür ayrıca daha önce belirtildiği gibi bu büyüklük üç vektörün

4 Elastisite

doğrusal vektör fonksiyonudur. Doğrusal vektör fonksiyonunun katsayılar tablosu p1, p2 ve p3 vektörlerinin bileşenlerinde oluşur. Bu büyüklüğe matematiksel olarak tansör adı verilir. Yukarıda yapılan açıklamaların sonucu olarak: A noktasındaki gerilme hali tansörel bir büyüklük olup bu tansör, gerilme tansörü olarak isimlendirilir. Gerilme vektörü, gerilme tansörü: Sık kullanılan bu iki terim düşünce bakımından bir karışıklık yaratmaktadır. Sanki gerilme hem tansörel, hem vektörel büyüklük gibi izlenim vermektedir. Gerilme vektörü cisim düşünsel olarak kesildiğinde ortaya çıkan bir büyüklüğün ismidir. Gerilme tansörü ise bir noktadaki gerilme halini verilen bir isimdir. Bu karşılığı önlemek için bazı İngilizce kitaplarda, gerilme vektörü düşünsel olarak ortaya çıktığı için, gerilme vektörü yerine “Traction” kelimesini kullanmaktadır. Buna yapılan itiraz, gerilme vektörü, gerçek sınırlarda da ortaya çıkar. Bu itiraz göz önüne alınmadan verilme vektörü yerine traction kullanılmaktadır. Gerilme vektörü, alınan yüzeyin normaline bağlı olduğundan vektörlere ait toplama işlemi yapılamaz. Skaler, vektör ve tansör : Fizik yasaları, gözlemcinin uzayda bulunduğu yerden ve baktığı doğrultudan bağımsız olmalıdır. Vektör ve tansör ile yazılan bağıntılar bize bu imkanı sağlar. Birbirine göre ivmeli hareket etmeyen her sistemde vektör ve tansör kullanılarak fizik yasaları aynı şekilde yazılırlar. Koordinat sistemi değiştikçe vektörle ve tansörler değişmez; değişen sadece bileşenlerdir. Temel kavramların incelenmesi sırasında üç boyutlu ve E3 olarak isimlendirilen, Euclid uzayı ve kartezyen tansörler göz önüne alınacaktır. Skaler: Bazı büyüklükler bilimsel olarak incelenirken sadece değeri veya şiddeti yeterli olmaktadır. Dolayısıyla bu büyüklük bir sayı ile belirlenir. Örneğin; sıcaklık, kütle, enerji, hacım, yoğunluk, alan gibi. Tek sayı ile belirlenen bu büyükler skaler büyüklük olarak isimlendirilirler. Skaler büyüklükler pozitif, negatif ve sıfır olabilir. Skaler kelimesi, ölçü çubuklarının üzerinde bulunan skala’dan gelmektedir.

Gerilme Hali 5

Vektörler: Bazı fiziksel büyüklükler için şiddet yeterli değildir. Doğrultu, yön gibi değerlere de ihtiyaç vardır. Bunlar üç sayı ile belirlenebilir. Bu üç sayı ile uzayda yönlendirilmiş bir doğru parçasını gösterebiliriz. Bu bir vektördür. Bir P vektörü A noktasından B noktasına çizilen doğru parçası ile gösterilir. P vektörü bazen başlangıç ve son noktalarını kullanarak ABuuur

şeklinde yazılır. Fiziksel bir büyüklüğün vektör ile gösterilmesi: Şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan bir büyüklüğün vektör ile gösterilebilmesi için o büyüklükten elde edilen vektörlerin toplamının paralelkenar kuralına uyması gerekir. Aksi halde büyüklük vektör ile gösterilemez. Örnek olarak sonlu yer değiştirmeleri göz önüne alalım: Sonlu yer değiştirmelerin şiddeti ve doğrultusu olmasına karşın vektör ile gösterilemez. Bunun için şekilde görülen kutuyu göz önüne alalım. Kutuyu önce x ekseni etrafında 180˚ artı yönde sonra y ekseni etrafında 180˚ artı yönde döndürelim. İki vektör toplandığında 180˚(i+j) elde edilir. Bu durumda kutu xy düzleminde x ekseni ile 45˚ açı yapan eksen etrafında dönmüş olması gerekir. Halbuki kutu z ekseni etrafında artı 180˚ dönmüştür.

Sonlu yer değiştirmeler ait bir diğer örnek: Önceki örnekteki kutuyu önce z ekseni etrafında artı yönde 90˚ döndürelim. Sonra x ekseni etrafında artı yönde 90˚ döndürelim; şekil C.8. Kutuyu başlangıç haline getirip önce x ekseni etrafında artı yönde 90˚ döndürelim. Sonra z ekseni etrafında artı yönde 90˚ döndürelim; şekil C.8. İki durumda kutunun konumları farklıdır. Dolayısıyla vektörlerin uyması gereken toplamanın sıra değişme özelliğini (Komitatif özellik) sağlamaz.

6 Elastisite

Tansörler: Bazı fiziksel büyüklükler üç sayı ile belirlenemez, daha fazla sayıya ihtiyaç duyulur. Örneğin bir cismin içindeki bir noktada verilen bir doğrultudaki gerilme vektörünün bulunması gibi. Bunun için üç vektöre; yani dokuz skalere ihtiyaç vardır. Bu üç vektör kullanılarak yeni bir büyüklük teşkil edilir ve bu büyüklüğe tansör adı verilir. Bu büyüklük yardımıyla istenilen doğrultuda gerilme vektörü bulunur. Ayrıca hemen belirtelim ki her dokuz skaler ile bir tansör teşkil edilemez.

Gerilme Hali 7

Vektörler ok işareti ile gösterilmesine karşın tansörleri gösteren bir işaret yok. Bu da tansörün bir talihsizliğidir. Burada, ilk olarak 9 sayı ile belirtilen ikinci mertebe tansör üzerinde kavramlar incelenecek ve sonra genelleştirilecektir. Vektörler birinci mertebe, skalerler ise sıfırıncı mertebeden tansördür. Tansörlerin bileşen sayısı 3n ile belirlenir; burada n sayısı tansörün mertebesidir. Şekil C.15’de görüldüğü gibi bir T tansörü A vektörüne uygulandığında başka bir B vektörü elde edilir; yeni elde edilen vektörün boyu değişmiş ve dönmüştür. Bu işlemin matematiksel ifadesi TA=B şeklindedir.

Bir vektöre uygulandığında vektör elde edilen başka operatörler de bulunmaktadır; örneğin vektörel çarpım, bir vektörün rotasyonu gibi. Bunların hepsi tansör değildir. Tansör, vektörden daha üst düzeyde bir büyüklüktür. Vektörler birinci mertebeden, skalerler ise sıfırıncı mertebeden tansörlerdir. Yukarıda bahsedilen gerilme tansörü ise ikinci mertebeden bir tansördür. Üç, dört gibi daha yüksek mertebeden tansörler bulunmaktadır. Tansör kavramına çeşitli şekillerde yaklaşılabilir. a)Bu yaklaşımlardan biri, yukarıda olduğu gibi doğrusal vektör fonksiyonlarını kullanarak yapılan yaklaşımdır.

8 Elastisite

b)Bir diğer yaklaşım ise koordinat dönüşümlerini kullanarak yapılan yaklaşımdır. Bu yaklaşım için önce vektör tanımından başlayalım. Üç skaler büyüklük eksen dönüşümünde belirli bir kurala göre değişiyor ise bu üç skaler büyüklük vektör ile gösterilir; aksi halde vektör ile gösterilemez. Bu skalerler vektörün bileşenleri olarak tanımlanırlar. Bu tanım, vektör tanımında klasik olarak kullanılan; “üç büyüklüğün bir vektör ile gösterilebilmesi için elde edilen vektörlerin toplamlarının paralel kenar kuralına uymalıdır”, tanımı yerine kullanılır. Üç boyutlu uzayda dokuz bileşeni olan bir büyüklük göz önüne alalım. Bu büyüklüğün bileşenleri koordinat eksenlerinin dönmesinde belirli bir kurala göre (bu kuralın ne olduğu ileride belirtilecek) değişirse bu büyüklük bir tansör ile gösterilir. Bu dönüşüme de tansörel dönüşüm adı verilir. Dönüşüm esnasında tansörün bileşenleri değişir kendisi değişmez. Aynen vektörde olduğu gibi; koordinat dönüşümü esnasında vektörün bileşenleri değişir, kendisi değişmez. Ayrıca tansörün (vektörün ok ile gösterilmesi gibi) geometrik gösterilimi yoktur. Bazı hallerde bileşenleri gösterilir; örneğin gerilme halinde dikdörtgen bir prizma üzerine bileşenleri yazılır. Tansörün geometrik gösterilimin olmaması talihsizliğidir. Yukarıda verilen iki tanımdan doğrusal vektör fonksiyonları koordinat eksenlerine bağlı olmadığından üstünlüklüdür. Dönüşüm kurallarını uygulayarak vektör ve tansörlerde koordinat sisteminde bileşenleri (yeni koordinatları) bulunur. Dönüşüm kuralı sabittir; büyüklüğe bağlı değildir. Bu konuya ileride tekrar dönülecek ve kuralın ne olduğu açılanacaktır. Ayrıca dönüşüm esnasında bileşenler arasındaki bazı bağıntılar değişmez. Bu bağıntılara tansörün veya vektörün değişmezleri (invaryantları) adı verilir. Örneğin bir vektörün uzunluğu, bileşenleri cinsinden yazıldığında bu bağıntı dönüşüm esnasında değişmez.

Gerilme Hali 9

Gerilme tansörünün teşkili: Bir noktada gerilme hali belirtilirken, genelde (kolaylık bakımından) p1, p2, p3 olarak; normalleri koordinat eksenleri ile aynı doğrultuda olan birbirlerine dik üç kesitteki eğik gerilme vektörleri verilir. Bu dik kesitlerdeki normal gerilmeler, tek indis ile gösterilir: σx , σy , σz gibi, bu indisler normal gerilmelerin doğrultularını belirtir. Kayma gerilmeleri ise kesit içinde ve eksenler doğrultusunda iki bileşene ayrılır. Her bileşen iki indis ile gösterilir. Bu indislerden birincisi kayma gerilmesinin bulunduğu düzlemin normalini, ikincisi ise kayma gerilmesinin yönünü belirtir: τxy, τxz, τyz gibi. τxy gösteriliminde, x indisi kayma gerilmesinin etkidiği yüzeyin normalini, y indisi ise kayma gerilmesinin doğrultusunu göstermektedir.

Gerilme tansörünü belirleyen dokuz skaler şekil 3.5’de görülen gerilme halinde σx, σy, σz, τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy dir. Şeklin karışmaması için; şekilde görülemeyen yüzlere ki bu yüzlere, normalleri eksen yönleri ile ters olduklarından eksi yüz denilmektedir, etkiyen gerilme bileşenleri gösterilmemiştir. Etki-tepki prensibine göre görülmeyen eksi yüzlerdeki gerilmeler bunlara paralel ve artı yüzlerdeki gerilmeler ile ters yöndedirler. Şekil 3.5’de verilen elemanın üç ayrı bakış açısı altında görünüşü şekil 3.6 (a)-(c)’de verilmektedir. Eksen takımı döndürüldükçe yeni eksen takımında bileşenler farklı değerler alır buna karşın tansör değişmez. Bu dokuz skaler, gerilme tansörünün bileşenleri olarak matris formunda; birinci, ikinci ve üçüncü satırlar sıra ile x,y ve z yüzeylerindeki gerilme bileşenleri olmak üzere bir tabloda aşağıda verilen şekilde yazılır.

10 Elastisite

x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

=

T (3.2)

Vektörlerin matris formunda yazılımı tek kolonlu sütun matris şeklindedir; gösterilimi ise, şekil 3.5’de p1, p2, p3 vektörlerinin gösteriliminde olduğu gibi oklar iledir. Gerilme tansörünün dokuz bileşenleri ise şekil 3.5 olduğu gibi eleman kullanılarak bu eleman üzerinde gösterilir. Bu nedenle şekil 3.5’de görülen eleman ileride sık olarak kullanılacaktır. Bazı hallerde gerilme tansörünün elemanları τij veya σij (i,j=1,3) şeklinde gösterilir. Bu yazım tarzı ile elemanları üzerinde yapılacak toplama işleminin gösterilimi kolaylaşır. İkinci mertebe tansörleri matris formunda yazılmalarına karşın eksen takımı değiştikçe elemanları belirli bir kurala göre değiştiklerinden matristen farklıdırlar. Bu değişimde tansörün bileşenleri değişir kendisi değişmez; sabittir. Gerilme tansörünün simetrik olması: Gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermek için şekil 3.5’de görülen elemanın x, y ve z eksenlerine göre moment dengesini yazalım. Denge denklemleri kuvvetler üzerinde yazılacağında önce verilen gerilmeleri kuvvete çevirmek gerekir. Şekil 3.6 (a)-(c)’den görüldüğü gibi, σ normal gerilmelerin meydana getirdiği kuvvetler dengededir. Sadece kayma gerilmelerinin meydana getireceği kuvvetler momenti verir. Elemanın karşılıklı yüzlerde bulunan τxz , τzx ,τyz ,τyx kayma gerilmelerinin meydana getireceği dört moment, dört kuvvet çifti şeklinde olup x eksenine diktirler; şekil 3.5. x eksenine göre moment veren kayma gerilmeleri τyz ve τzy gerilmeleridir. Buna göre

Gerilme Hali 11

( . . ). ( . ). 0yz zy yz zyx z y x y zτ τ τ τ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ = → = (3.3) elde edilir. Yukarıdaki eşitlikte gerilmelerin meydana getirdiği kuvvetler parantez içinde yazılmıştır. Aynı şekilde şekil 3.5 ve şekil 3.6 (b)-(c)’den yararlanarak y ve z eksenlerine göre moment alınırsa

( . ). ( . ). 0( . ). ( . ). 0

zx xz zx xz

xy yx xy yx

x y z z y xy z x x z y

τ τ τ ττ τ τ τ

∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ = → =∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ = → =

(3.4)

bulunur. Bu eşitlikler yardımı ile gerilme tansörü için gerekli olan dokuz skaler altıya iner. Yukarıda verilen eşitlikler gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermektedir. Gerilme halinin sınıflandırılması: Bir noktadaki gerilme hali bazı durumlarda altıdan daha az skaler ile belirtilebilir. Bu durumlar özel olmakla birlikte uygulamada çok karşılaşılır. Bunlar tek eksenli ve iki eksenli (düzlem) gerilme halleridir. Bir A noktasından geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme vektörleri sabit bir doğrultuya paralel ise bu gerilme haline tek eksenli gerilme hali denir. A noktasından geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme vektörleri aynı bir düzleme paralel ise bu gerilme haline iki eksenli veya düzlem gerilme hali denir. İki eksenli gerilme halinde gerilme tansörü iki boyutlu olup elemanları 2x2 şeklindeki bir matris ile gösterilir. Tek eksenli gerilme halinde, herhangi bir yüzey elemanındaki gerilme vektörünün bilinmesi ile A noktasındaki gerilme hali belirli olur. Gerilme vektörünün doğrultusu bilindiğinde, tek eksenli gerilme hali için bir skalerin verilmesi yeterli olmaktadır. Düzlem gerilme halinde ise gerilme vektörlerinin bulunduğu düzlem bilindiğinde, düzlem gerilme için üç skalerin verilmesi yeterli olmaktadır. Gerilme hali işlemleri: Bir A noktasındaki gerilme vektörü, vektör olarak gösterilmesine karşın yüzeyin normaline bağlı olduğundan vektörlere ait toplama, çıkarma ve dönüşüm kuralları uygulanamaz. A noktasındaki gerilme hali daha önceden bahsedildiği gibi ikinci mertebeden bir tansör, vektörler ise birinci mertebeden bir tansördür. Dolayısıyla toplama, çıkarma ve dönüşüm işlemleri vektörlerden farklı şekilde yapılır. Gerilme vektörünün veya gerilme tansörünün bileşenlerine gerilme bileşenleri adı

12 Elastisite

verilir. Gerilme vektörü, gerilme bileşenleri ve bir noktadaki gerilme halini birbirleri ile karıştırmamak gerekir. Bu işlemlerin yapılış şekillerinden biri; A noktası civarında alınan kesitler yardımıyla, şekil 3.5 olduğu gibi, boyutları küçük bir eleman çıkartıp bu elemana etkiyen gerilmeleri alan ile çarpıp kuvvete çevirdikten sonra kuvvetler üzerine denge denklemlerini yazmaktır. Göz önüne alınan elemanın boyutları küçük olduğundan gerilmeler elemanın kenarları boyunca değişmez. Kesitler nokta civarında alındığından paralel kesitlerde gerilme vektörleri aynı olur. Dış normalleri ters olan kesitlerde (eksi kesitlerde) ise, etki tepkiye eşit prensibine göre, gerilme vektörlerinin şiddetleri eşit ve yönleri terstir; şekil 3.7. Homojen gerilme halinde denge denklemlerinin yazılacağı eleman kenarlarının sonsuz küçük olmasına gerek yoktur.

İki gerilme halini toplamak için önce iki gerilme halinin bileşenleri aynı eksen takımında yazılır sonra bileşenler toplanır. Gerilme bileşenlerini aynı eksen takımına getirmek için dönüşüm bağıntıları da kullanılabilinir.

Gerilme Hali 13

ÜÇ EKSENLİ GERİLME HALİ Üç eksenli gerilme halinde birim dış normali n olan bir düzlemdeki gerilme bileşenlerini hesaplamak için şekil 3.27 deki gibi bir dörtyüzlü çıkartalım

Şekil 3.27 Eğik düzlemde hesaplanmak istenen gerilme vektörü p olsun. Bu gerilme vektörünün bileşenleri px, py, pz ve etkidiği düzlemin birim dış normali, n’nin doğrultman kosinüsleri λ, µ, ν olsun (doğrultman kosinüsleri arasında λ2+µ2+ν2=1 bağıntısı vardır). Buna göre p ve n vektörleri aşağıdaki şekilde yazılırlar. ,x y zp p p λ µ ν= + + = + +p i j k n i j k (3.30) Burada i, j ve k eksenler doğrultusundaki birim vektörlerdir. abc, obc, oac, oab üçgenlerinin alanları sıra ile F, F1, F2, F3 olduğuna göre x, y ve z doğrultularında denge denklemleri yazıldığında aşağıda verilen denklemler elde edilir.

14 Elastisite

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. . . .

. . . .. . . .

x x yx zx

y xy y zy

z xz yz z

p F F F Fp F F F Fp F F F F

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

= + +

= + +

= + +

(3.31)

Yukarıda verilen denklemlerde λ=F1/F, µ=F2/F ve ν=F3/F olduğu göz önüne alınarak gerekli düzenleme yapılırsa aşağıda verilen eşitlikler bulunur.

x x yx zx

y xy y zy

z xz yz z

ppp

λσ µτ ντ

λτ µσ ντ

λτ µτ νσ

= + +

= + +

= + +

x x yx zx x yx zx

y xy y zy xy y zy

z xz yz z xz yz z

ppp

σ τ τ λ σ τ ττ σ τ µ λ τ µ σ ν ττ τ σ ν τ τ σ

= = + +

(3.32)

Yukarıdaki ifade p1, p2 ve p3 vektörlerini kullanarak aşağıda verilen şekilde yazılır.

1 2 3λ µ ν= + +p p p p Yukarıda bulunan bağıntı vektörel hesap kullanılarak kısa bir şekilde elde edilir. F yüzeyine etkiyen kuvvet p ve diğer F1, F2, F3 yüzeylerine etkiyen kuvvetler ise –p1, –p2, –p3 (eksi yüzey olduklarından) dir. Bu durumda aşağıda verilen bağıntı yazılır.

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

2 3

( ) ( ) ( ) 0/ ( ) / ( ) / ( )

( )

F F F FF F F F F Fλ µ ν

+ − + − + − = →= + + →= + +

1

1

1

p p p pp p p pp p p p

Buradan görüldüğü gibi p vektörü; p1, p2 ve p3 vektörlerinin doğrusal vektör fonksiyonudur. Ayrıca (3.32) bağıntısı matris formunda p=TT.n veya pn=TT.n (daha önce belirtildiği gibi bu yazım şeklinde p eğik gerilme

Gerilme Hali 15

vektörünün n doğrultusunda olduğu gösteriliyor) şeklinde yazılır. Burada TT

gerilme matrisinin transpozesidir. Buradan da tansörün işlemsel tanımı ortaya çıkar: Bir tansör öyle bir operatör ki bir vektör ile önden çarpıldığında başka bir vektör üretir. Normal gerilme σ, gerilme vektörünün yüzeyin normali üzerindeki izdüşümü olduğundan; 2 2 2. 2 2 2x y z xy xz yzσ λ σ µ σ ν σ λµτ λντ µντ= = + + + + +p n (3.33) şeklinde elde edilir. Eğik düzlem içindeki kayma gerilmesi τ ise aşağıda verilen formül yardımı ile hesaplanır.

22 2τ σ= −p Verilen gerilmeler asal gerilmeler (σ1, σ2 ve σ3) ise kesitlerde kayma gerilmeleri bulunmayacağından (3.33) ve (3.34) formülleri aşağıda verilen şekilde yazılır.

2 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )

σ λ σ µ σ ν σ

τ σ σ λ µ σ σ µ ν σ σ ν λ

= + +

= − + − + − (3.35)

Asal gerilmeler: Üç eksenli gerilme halinde de asal gerilme ve asal doğrultuların bulunması için (3.32) denklemlerinden yararlanılır. (3.32) denklemlerinde bulunan p vektörü, şiddeti σ ve doğrultman kosinüsleri λ, µ, ve ν olan asal gerilme olarak düşünüldüğünde px=λσ, py=µσ, pz=νσ olacaktır. Bu eşitlikler (3.32) denklemine yerleştirildiğinde asal doğrultuların doğrultman kosinüsleri olan λ, µ, ve ν için aşağıda verilen homojen bir denklem sistemi elde edilir.

( ) 0( ) 0

( ) 0

x yx zx

xy y zx

xz yz z

σ σ λ τ µ τ ν

τ λ σ σ µ τ ν

τ λ τ µ σ σ ν

− + + =

+ − + =

+ + − =

(3.36)

Bu homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümü olabilmesi için aşağıda verilen katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır.

16 Elastisite

0x yx zx

xy y zy

xz yz z

σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ

−− =

− (3.37)

Asal gerilmeler bu determinantı sıfır yapan σ değerleridir. (3.37) ile verilen determinantın açılımı aşağıda verilmiştir. 3 2

1 2 3 0I I Iσ σ σ− + − = (3.38) Burada

1

2 2 22 . . .

x y z

x y y z z x xy yz zx

I

I

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

= + +

= + + − − −

3

2 2 23

det( )

( . . . . . 2. . . )

x yx zx

xy y zy

xz yz z

x y z x yz y zx z xy xy yz zx

I T

I

σ τ ττ σ ττ τ σ

σ σ σ σ τ σ τ σ τ τ τ τ

= =

= − − − +

(3.39)

Yukarıda verilen (3.38) denkleminin her zaman üç tane gerçel kökü vardır. Bu kökler asal gerilmeler olup bundan sonra σ1 , σ2 ve σ3 ile gösterilecektir. Bu kökler arasında daha sonraki işlemlerimize esas olmak üzere σ1 > σ2 > σ3 kabulü yapılacaktır. Bu sıralamaya göre en büyük normal gerilme σ1 ile, ortanca normal gerilme σ2 ile ve en küçük normal gerilme ise σ3 ile gösterilmektedir. Ayrıca (3.38) denkleminin katsayıları değişmezlere bağlı olduğundan asal gerilmeler seçilen eksen takımına bağlı değildir. Asal doğrultuları bulmak için hesaplanan asal gerilmeler sıra ile (3.36)’da verilen denklem takımına konularak bu denklem takımında bilinmeyen λ, µ, ve ν nün bir birim vektörün doğrultman kosinüsleri olduğu, yani λ2+µ2+ν2=1 olduğu, düşünülerek çözülür. Örneğin σ1 asal gerilmesine ait asal doğrultunun doğrultman kosinüsleri λ1, µ1, ν1 ,

Gerilme Hali 17

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) 0

( ) 0

( ) 0

x yx zx

xy y zy

xz zx z

σ σ λ τ µ τ ν

τ λ σ σ µ τ ν

τ λ τ µ σ σ ν

− + + =

+ − + =

+ + − =

(3.40)

2 2 2

1 1 1 1λ µ ν+ + = (3.41) denklemlerinin çözümünden elde edilecektir. Yukarıda verilen ilk üç denklemin katsayılar matrisinin determinantı sıfır olduğunda yukarıda verilen dört denklem üç bilinmeyene göre fazla sayıda değildir. Çözüm için ilk üç denklemden biri atılır. Değişmezler (invaryantlar): Üç eksenli gerilme halinde değişmezler ise (3.39) ifadesinde verilen I1, I2 ve I3 değerleridir. Elemanın dönmüş hali olarak asal gerilmelerin bulunduğu konum alınırsa aşağıdaki bağıntılar elde edilir.

1 1 2 3

2 2 22 1 2 2 3 3 1

2 2 2 23 1 2 3

. . . . . .

. . . . . 2. . . . .

x y z

x y y z z x xy yz zx

x y z x yz y zx z xy xy yz zx

I

I

I

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ τ σ τ σ τ τ τ τ σ σ σ

= + + = + +

= + + − − − = + +

= − − − + =

(3.42)

Yukarıda verilen bağıntıları üçüncü dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar kullanılarak elde edilebilir. Üç eksenli gerilme halinde Mohr dairesi: Herhangi bir kesitin normalinin, asal gerilme doğrularına göre yaptığı açılar sıra ile α,β ve γ olsun. Bu kesitteki σ,τ gerilmeleri σ1 , σ2 ve σ3 asal gerilmelerine bağlı olarak (3.35) ile verilmektedir. Bu bağıntılar açılar cinsinden yazıldığında

2 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1

cos cos cos

( ) cos .cos ( ) cos .cos ( ) cos .cos

σ σ α σ β σ γ

τ σ σ α β σ σ β γ σ σ γ α

= + +

= − + − + −(3.43)

bağıntıları bulunur. Bu bağıntılar kullanılarak üç eksenli gerilme hali Mohr daireleri ile gösterilebilir. İşlemlerin detayı uzun olduğundan burada sadece sonuçlar verilecektir.

18 Elastisite

Gösterilim için önce σ1 , σ2 ve σ3 asal gerilmeler hesaplanır. Mohr daireleri şekil 3.30’da görülen σ1-σ2, σ1-σ3 ve σ2- σ3 çaplı dairelerdir. Herhangi bir kesite karşı gelen nokta (σ,τ) koordinatları ile gösterilirse bu noktalar şekil 3.30’da görülen taralı alan içindedirler.

Herhangi bir kesite karşı gelen M noktası, Mohr diyagramında şu şekilde bulunur: Önce kesit normalinin asal doğrultular ile yaptığı α, β ve γ açıları bulunur. Sonra şekil 3.30’da görüldüğü gibi σ1 ve σ3 e karşı gelen noktalardan α ve γ açıları yardımıyla A ve B noktaları bulunur. CA yarıçaplı daire ile DB yarıçaplı dairenin kesim noktası M, kesite Mohr dairesinde karşı gelen noktadır. Bu gösterilimde normal gerilmeler işaretli olarak elde edilmesine karşın kayma gerilmeleri mutlak değerleri ile elde edilir. Ortanca gerilme σ2’den geçen düzlemlerde, β=π/2 dır. α, β, γ açılarının kosinüsleri arasında 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = bağıntısı vardır. Bu bağıntıda β yerine π/2 konulduğunda

2 2 1

2cos cos 1α γ α γ π+ = → + = elde edilir. Bu sonuç, ortanca gerilme σ2’den geçen düzlemlere Mohr diyagramımda karşı gelen noktaların, σ3σ1 çaplı çember üzerinde bulunacağını gösterir. Ayrıca şekil 3.30’dan görüldüğü gibi α=π/2 olan düzlemlere ait noktaların σ3σ2 çaplı çember üzerinde ve γ=π/2 olan düzlemlere ait noktaların σ2σ1 çaplı çember üzerinde bulunacaktır. Bu özel durumlar toplu olarak şekil 3.31 (a)’da gösterilmiştir.

Gerilme Hali 19

Şekil 3.30 ve 3.31 (a)’da verilen Mohr diyagramından görüldüğü gibi, üç eksenli gerilme halinde en büyük kayma gerilmesi 1

max 1 32 ( )τ σ σ= − (3.44) dir. Burada görüldüğü gibi en büyük kayma gerilmesi, en büyük asal gerilme ile en küçük asal gerilmenin farkının yarısına eşittir. Bulunduğu düzlemler ise, β=π/2 olduğundan σ2 gerilmesinden (ortanca gerilme) geçen ve normali σ1 ve σ2 doğrultuları ile 45° lik açılar yapan düzlemdir. Tek eksenli gerilme halinde σ3=σ2=0 olduklarından Mohr dairesi şekil 3.31 (b)’de görüldüğü gibidir. Burada dairelerden birinin yarıçapı sıfır olup diğer iki daire üst üste düşer. Noktalar bölge yerine çember üzerinde bulunurlar. İki eksenli gerilme halinde ise σ3=0 olduğundan şekil 3.31 (c)’de görüldüğü gibi iki Mohr dairesi merkezden geçer. Asal gerilme doğrultularının belirtiği (σ1,σ3); (σ1,σ2); (σ2,σ3) düzlemlerinde en büyük kayma gerilmeleri

3 1 2 32 113 12 232 2 2

σ σ σ σσ στ τ τ

− −−= = = (3.45)

dir; şekil 3.32 (a). Bazı yazarlar bu gerilmeleri asal kayma gerilmeleri olarak tanımlarlar. σ1>σ2>σ3 olduğu müddetçe τ13= τmax dır. Bu gerilmelerin bulunduğu düzlemler sıra ile σ2, σ3 ve σ1 doğrultularında geçer ve normalleri diğer iki doğrultu ile 45° li açı yaparlar. Şekil 3.32 (b)’de τ13 kayma

20 Elastisite

gerilmesinin geçtiği düzlem ile I ile gösterilen izi ve ayrıca diğer iki düzlemin II ve III ile gösterilen izleri görülmektedir. ÖZEL GERİLME HALLERİ Bazı özel gerilme halleri teknik bakımdan önemli olup bunlara ayrıca göz atmakta fayda vardır. Bu özel gerilme halleri şunlardır: Basit basınç veya basit çekme hali: Tek eksenli gerilme hali olan bu durumun birincisinde σ0>0 , ikincisinde σ0<0 dır. Burada asal gerilmelerin ikisi sıfırdır. Basit kayma: Bu gerilme halinde eleman bir doğrultuda σ0 ile çekilirken bu doğrultuya dik doğrultuda σ0 ile basılmaktadır. Eleman 45° döndürüldüğünde, şekil 3.40’da görüldüğü gibi, kesitlerde sadece değeri σ0

olan kayma gerilmeleri bulunur. Burada ortanca gerilme sıfır olup τmax=σ0 dır. Hidrostatik basınç: Bu üç eksenli gerilme halinde asal gerilmeler birbirlerine eşit 1 2 3 pσ σ σ= = = − dir. Bu duruma ait Mohr diyagramı şekil 3.43 de görülen bir noktadır. Diyagramdan görüldüğü gibi hiçbir kesitte kayma gerilmesi yoktur. Bütün kesitlerde normal gerilme σ=-p dir. p basıncı yerine σ1=σ2=σ3=p olduğunda bütün kesitlerde normal gerilme σ=p olacaktır. Oktaedral gerilme: Normali üç asal doğrultu ile eşit açı yapan düzlemlerdeki gerilmelere oktaedral gerilme adı verilir. Bu düzlemler şekil 3.44’de görüldüğü gibi sekiz tanedir ve düzgün sekiz yüzlü oluştururlar. Bu nedenle oktaedral kelimesi kullanılmaktadır. Kesitlere ise oktaedral kesitler adı verilir. Bu yüzlerin normallerinin doğrultman kosinüsleri

1/ 3,λ = ± 1/ 3,µ = ± 1/ 3ν = ± dir. Bu değerler (3.34) bağıntılarında kullanıldığında oktaedral kesitlerdeki gerilmeler aşağıdaki şekilde elde edilirler.

2 2 20 1 2 3σ λ σ µ σ ν σ= + +

0 1 2 3 1( ) / 3 / 3σ Iσ σ σ= + + = (3.45)

Gerilme Hali 21

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

23okτ σ σ σ σ σ σ σ σ σ= + + − − − (3.46)

2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 13 12 23

21 2

1 2( ) ( ) ( )3 3

1 2 63

ok

I I

τ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − = + +

= − (3.47)

Oktaedrel gerilme, ortalama gerilme olarak da isimlendirilir. Ortalama gerilme σ0 kullanılarak T gerilme tansörü T=Tm+Td gibi iki tansörün toplamı şeklinde yazılır. Bunlardan ortalama gerilme tansörü veya gerilme tansörünün hidrostatik kısmı adı verilen Tm tansörünün köşegen üzerindeki bileşenler σ0 olup diğer bileşenleri sıfırdır. Td tansörüne ise Deviatrik tansör veya gerilme tansörünün kayma kısmı adı verilir. Bu tansörler aşağıda verilmiştir.

0 0

0 0

0 0

0 00 00 0

x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ σ σ τ τσ τ σ σ τ

σ τ τ σ σ

− = + − −

T (3.48)

Deviatrik tansörün değişmezleri J1, J2 ve J3 olarak tanımlandığında bu değerler gerilme tansörünün değişmezleri I1, I2 ve I3 cinsinden

2 3

1 2 1 2 3 3 1 2 11 1 20 ( )3 3 27

J J I I J I I I I= = − − = − + (3.49)

22 Elastisite

şeklinde hesaplanır.. Bu durumda deviatrik tansörün σ* asal gerilmelerini veren (3.37) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılır.

3 *

2 3( *) 0J Jσ σ+ − = (3.50) 3 2 3

1 2 3 1 2 11 1 2( *) ( ) * ( ) 03 3 27

I I I I I Iσ σ− − − − + = (3.51)

Gerilme tansörünün asal gerilmelerini veren (3.37) denkleminde σ=σ*+σ0= σ*+I1/3 konulduğunda yukarıda (3.51) ile verilen denklem elde edilir. Buradan çıkan sonuç deviatrik tansörün asal gerilmeleri gerilme tansörünün asal gerilmelerinden σ0 daha küçüktür; yani σ*=σ-σ0= σ-I1/3 dır. Ayrıca deviatrik tansörün Mohr dairesi, gerilme tansörünün Mohr dairesinin σ0 kadar sola ötelenmişidir. Bu durumda gerilme halinin birçok özellikleri, deviatrik tansörde de bulunduğu görülebilir; örneğin asal gerilme doğrultularının iki tansörde de aynı olması gibi.

Gerilme Hali 23

İNDİS GÖSTERİLİMİ İncelemelerde indis gösterilimi büyük kolaylık sağlar. Örneğin gerilme tansörünün bileşenleri σ11, σ12, σ13, σ21, σ22, σ23, σ31, σ32, σ33 şeklinde gösterilirse bu bileşenler toplu olarak σij şeklinde yazılır. İki eksenli gerilme halinde (i,j=1,2) ve üç eksenli gerilme halinde ise (i,j=1,3) dir. Çoğu kez indislerin sınırları belirtilmez. İndis gösteriliminde işlemler daha toplu ve kısa olarak yazılır bunun sonucu olarak işlemler yapılırken detaylar arasında kaybolunmaz, genel prensipler göz önünden bulundurulur; sonuca daha kısa zamanda gidilir. Buna karşın sembollere bir takım anlamlar yüklendiğinden işlemlerden tam yararlanabilmek ve onların fizik anlamlarını tam kavrayabilmek için tecrübe ister. Bu kitapta indis gösterilimi sadece gösterilimi tanıtacak kadar işlem yapılacaktır. İndis gösteriliminde kullanılan bazı kabulleri belirtelim: Eşitliğin herhangi bir terimde tekrarlanan indisler varsa bu indisler üzerinde toplama yapılacağında toplama işareti kaldırılır. Bu işleme toplama uylaşımı adı verilir. Toplama uylaşımına örnek aşağıda verilmiştir.

3 3* *

1 1tr ji tj ri tr ji tj ri

i j

n n n nσ σ σ σ= =

= → =∑∑

Tekrarlanan indislere sesiz indis, diğer indislere serbest indis adı verilir. Tekrarlanan indis gerektiğinde kullanılmayan başka indis ile değiştirilebilir. Tekrarlanan bazı indisler üzerinde toplama yapılmayacak ise bu indislerin altı çizilir veya eşitliğin yanına “… indisi üzerinde toplama yapılmayacak” diye yazılır.

24 Elastisite

İndis kullanımında birden fazla anlama gelen ne olduğu belirsiz ifadeler kullanılmamalıdır. Örneğin ai=bj ; aij=bkl gibi. Veya bir terimde ikiden fazla tekrarlanan indislerin kullanılması gibi aiii . İndis gösteriliminde türev işlemi virgül yazıldıktan sonra türev alınacak değişkenin indisi yazılır. Aşağıda bir f fonksiyonu ve gerilme tansörünün türetilmesi işleminin gösterilişi verilmektedir.

, ,ij

i ij ii i

f fx x

σσ

∂∂= =

∂ ∂

İşlemlerin kısaltılmış gösterilimde her hangi bir şüpheye düşülünce, indisin bir kaç değeri için kısaltılmış gösterilimi açıp kontrol etmekte fayda vardır. İndis gösteriliminde kullanılan iki sembol vardır. Bunlardan birincisi Kronecker deltası adı verilen sembol δij şeklinde tanımlanır.

10ij

i j toplama yoki j

δ=

= ≠

Kronecker deltasına ait bazı özellikler aşağıda verilmiştir.

3 1 ( , )

3 .

ij ji ii i i

ij j i ij i j ij jk ik jk ik ij

ij ij ii ij ij i j ij

toplama yok altı çizili

a a a a a a a a

a a λ λ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

= = =

= = = =

= = =

1 0 00 1 00 0 1

ijδ =

İkinci sembol ise permütasyon sembolü adı verilen eijk olup tanımı eijk=0 herhangi iki indis birbirine eşitse. eijk=1 (i,j,k sıralanışı 1,2,3; 2,3,1, 3,1,2) eijk=-1 (i,j,k sıralanışı 1,3,2; 3,2,1, 2,1,3)

Gerilme Hali 25

Vektör ve matrislerin indis gösterilimi ile yazılması: Birim vektörler olan i, j, k vektörlerini i1, i2, i3 ile kartezyen koordinat x,y,z yi x1, x2 , x3 ile gösterelim. Bu durumda A vektörü i iA=A i şeklinde yazılır.

Skaler çarpım: . . .i j ij i i j j i j ij i iA B A B A Bδ δ= = = =i i A.B i i

Vektörel çarpım: i j ijk k i i j j i j ijk ke A B A B e× = × = × =i i i A B i i i

Gradyent: 1 2 31 2 3

, ( )k k kkx x x xφφ φ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = = ∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂

i i i i i

Diverjans: 1 2 3

1 2 3

. , ( )k kA A AA divx x x∂ ∂ ∂

∇ = = + +∂ ∂ ∂

A A

, ,. . .i j j i j j ij j i i ii i

A A A Ax x

δ∂ ∂∇ = = = =

∂ ∂A i i i i

Rotasyon: ,j

i j j i j j i ijk ki i

AA A e

x x∂∂

∇× = × = × =∂ ∂

A i i i i i

Matrisler:A matrisi elemanları aij ile gösterilsin. i satır, j sütun numaralarını göstermektedir. A(mxn) matrisin boyutlarını gösterir. A=( aij) (i=1,m; j=1,n) İki matrisin toplanması:

( , ) ( , ) ( , ) ij ij ijm n m n m n c a b= + = +C A B

Matrisin transpozesi: ( ) ( )ij jia a= =TA A Simetrik matris ve antisimetrik matris: Simetrik bir matriste aij= aji olup

= TA A dir. Antisimetrik bir matriste ise aij= -aji dir. Bir matris simetrik ve antisimetrik olarak iki matrise aşağıda verilen şekilde ayrılırlar.

( ) [ ]1 1( ) ( )2 2ij ij ji ij ji ij jia a a a a a a= + + − = +

Yukarıdaki yazılımda indislerdeki parantezler matrisin simetrik parçasını köşeli parantezler ise antisimetrik parçasının göstermeketedir. Birim matris: ( )ijδ=I

26 Elastisite

İki matrisin çarpımı:

( , ) ( , ) ( , ) ( 1, ; , ; 1, )ij ik kjm n m p p n c a b i m j n p k p= = = =C = A × B

Tij ik jkc a b=C = AB

Tij ki kjc a b=C = A B

( ) iitr a=A ( ) ik kitr a b=AB

Bir matris ile vektörün çarpımı:

( ) ( , ) ( ) ( 1, ; 1, )i ik km m n n c a b i m k n= = =C = A × B

TANIMLAR: Bir matrisin tersi:

1 1 1 1 1 1 1. . ( ) . .( ) . .T T T T

− − − − − − −= = =

=

A A A A A I A.B.C C B AA.B.C C B A

(A kare matris) Ortogonal matris: 1 .T T− = =A A A A I Benzer matrisler: = -1A S BS (veya = -1A S BS ) eşitliğini sağlayan bir S matrisi var ise A ve B benzer matrislerdir. Bir noktaya göre moment: M=rXF şeklindedir. r vektörünün bileşenleri xi ve F vektörünün bileşenleri Fj olsun Bu bağı

i i j j i j ijk kx F x F e= × = × =M r F i i i

k ijk i j i kji k j jki j k ijk j kM e x F M e x F e x F e x F= = = = Diverjans teoremi (Green-Gauss teoremi):Yüzey üzerinde alınan bir integrali hacım üzerinde alınan bir integrale çevirir veya tersini yapar.

Gerilme Hali 27

,

. v .

v .V S

i i i iV S

d ds

A d A n ds

∇ =

=

∫ ∫

∫ ∫

A A n

, vji j ji jV S

d n dsσ σ=∫ ∫

ÜÇ EKSENLİ GERİLME HALİNDE DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Dönüşüm bağıntıları: Dönüşüm bağıntıları için şekil 3.45 (a)’da verilen elemanı göz önüne alalım. Bu elemanda σ harfi ile gösterilen gerilmeler, gerilme tansörünün 1-2-3 eksen takımındaki bileşenleridir. 1*-2*-3* ile gösterilen dönmüş eksen takımında alınan eleman şekil 3.45 (b)’de görülmektedir. Dönmüş eksenler ve dönmüş eksen takımındaki gerilme bileşenleri “*” işareti ile gösterilmiştir.

Şekil3.46’de görülen ve normali 3* olan yüzeydeki p gerilme vektörünün bileşenleri (3.32) bağıntıları yardımı ile açık matris formunda, ayrıca toplama işareti kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılır.

1 11 21 31 31 3

2 12 22 32 32 31

3 13 23 33 33

( 1,3)i ji jj

p np n p n ip n

σ σ σσ σ σ σσ σ σ =

= = =

∑ (3.48)

28 Elastisite

Yukarıda verilen bağıntılarda görülen n31, n32, n33 değerleri 3* ekseninin sıra ile 1,2 ve 3 eksenleri arasındaki α31, α32, α33 açılarının kosinüsleridir. Bu açılar şekil 3.47’de görülmektedir. Gerilme tansörü T ile gösterildiğinde yukarıda yazılan bağıntı kompakt matris formunda

*3.T=p T n (3.49)

şeklinde yazılır. Burada TT büyüklüğü T gerilme matrisinin transpozesidir. Şekil 3.46’da görüldüğü gibi p1, p2 ve p3 bileşenleri; eğik gerilme vektörünün 1,2 ve 3 doğrultusundaki bileşenleridir. Dönüşüm bağıntıları için, p eğik gerilme vektörünün 1*,2* ve 3* doğrultularındaki bileşenleri gereklidir. p vektörünün sıra ile 1*,2* ve 3* doğrultusu üzerindeki izdüşümü, σ*31,σ*32 ve σ*33 gerilmelerini verecektir. Bu izdüşümleri hesaplamak için 1*, 2* ve 3* doğrultularının n*1, n*2 ve n*3 birim

Gerilme Hali 29

vektörlerini bilmek gerekir. 1* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n11, n12, n13, 2* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n21, n22, n23 ve 3* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n31, n32, n33 olsun. Bu durumda

* *31 1 1 1 2 2 3 3 11 1 12 2 13 3

* *32 2 1 1 2 2 3 3 21 1 22 2 23 3* *33 3 1 1 2 2 3 3 31 1 32 2 33 3

. ( ).( )

. ( ).( )

. ( ).( )

p p p n n n

p p p n n n

p p p n n n

σ

σ

σ

= = + + + +

= = + + + +

= = + + + +

p n i i i i i i

p n i i i i i i

p n i i i i i i

(3.50)

yazılır. Yukarıdaki denklemler toplama işareti kullanıldığında kısa olarak

3

*3

1

( 1,3)r i rii

p n rσ=

= =∑ (3.51)

şeklinde yazılır. Bu bağıntıda bulunan gerilme vektörünün bileşeni pi’nin değeri (3.48) bağıntısından alınıp bu bağıntıda yerine konulduğunda

3 3

*3 3

1 1

( 1,3)r ji j rii j

n n rσ σ= =

= =∑∑ (3.52)

elde edilir. Bu şekilde normali n*3 olan düzlemdeki gerilme bileşenleri bulunur. 3 indisi yerine t (t=1,3) yazıldığında normali n*1, n*2, n*3 olan kesitlerdeki gerilmeler bulunur. Bağıntı aşağıda verilmiştir.

3 3

*

1 1

( , 1,3)tr ji tj rii j

n n t rσ σ= =

= =∑∑ (3.53)

3 3*

1 1ij ji tj ri

i jn nσ σ

= =

=∑∑

1*,2* ve 3* doğrultularına ait nij değerleri

11 12 13

21 22 23

31 32 33

n n nn n nn n n

=

N (3.54)

30 Elastisite

şeklinde bir matris ile gösterilir. Bu matris ortogonal bir matristir; yani tersi transpozesine eşittir. Ayrıca matrisin determinantı birdir; yani

1 det( ) 1T− = =N N N (3.55) dir. Burada bir kez daha belirtelim ki nij gösterilimde birinci indis “*” ile gösterilen eksen takımındaki ekseni göstermektedir; örneğin n23 elemanı 2* ekseni ile 3 ekseni arasındaki açıyı göstermektedir. T ve N matrisleri yardımı ile gerilme tansörünün dönüştürülmüş bileşenleri aşağıda verilen şekilde yazılır.

* . . T=T N T N (3.56) N matrisinin başka bir özelliğini burada belirtelim. 1,2,3 eksen takımında birim vektörler n1, n2 ve n3 olsun; 1*,2*,3* eksen takımında birim vektörler n*1, n*2 ve n*3 olsun; şekil 3.48. Bu iki birim vektör grupları arasında

* *1 11 1 12 2 13 3 1 11 12 13 1* *2 21 1 22 2 23 3 2 21 22 23 2* *3 31 1 32 2 33 3 3 31 32 33 3

n n n n n nn n n n n nn n n n n n

= + + = + + = = + +

n n n n n nn n n n n nn n n n n n

(3.57)

bağıntısı vardır. Bu bağıntılar n1, n2 ve n3 birim vektörlerini sıra ile n*1, n*2 ve n*3 doğrultularına izdüşürerek bulunur. Ayrıca yukarıda verilen bağıntının tersi, N-1= NT den dolayı kolayca bulunur.

* 1 * *. . .T−= = =n N n n N n N n Dönüşüm * 1. . . .T −= =T N T N N T N şeklindedir. Bu şekilde yapılan dönüşümlere benzerlik dönüşümleri adı verilir ve T ile T* matrisine benzer matrisler denir. Benzer matrislerin özdeğerleri aynıdır. Dolayısıyla dönüşümden elde edilen bütün matrislerden aynı asal normal gerilmeler elde edilir. Burada

Gerilme Hali 31

şunu bir kez daha belirtelim ki matrisler gerilme tansörünün bileşenlerini gösterdiklerinden, dönüşümde gerilme tansörünün bileşenleri değişmektedir; kendisi değişmemektedir; vektörlerde olduğu gibi. Bir vektörün bileşenlerinin dönüşümü: Şekil 3.50’de görülen F vektörünün 1,2,3 eksen takımında bileşenleri F1, F2 ve F3 olsun. Bu bileşenler sıra ile 1*,2* ve 3* eksenleri üzerine izdüşürülerek F vektörünün 1*2*3* eksen takımında F*1, F*2 ve F*3 bileşenleri

*1 1 11 2 12 3 13*

2 1 21 2 22 3 23*

3 1 31 2 32 3 33

F F n F n F n

F F n F n F n

F F n F n F n

= + +

= + +

= + +

(3.58)

şeklinde elde edilir. Bu bağıntılar toplama işareti altında kısa olarak aşağıda verilen şekilde yazılır.

3*

1

( 1,3)j i jii

F F n j=

= =∑ (3.59)

Tansörün koordinat dönüşümlerine bağlı olarak tanımı: Doğrusal vektör fonksiyonlarını kullanarak tansörün tanımını daha önce verilmişti. Tansörün tanımı koordinat dönüşümlerini kullanarak da yapılabilir. Bir büyüklüğün bileşenleri koordinat dönüşümlerinde (3.53) bağıntısına göre değişiyor ise bu büyüklük bir ikinci mertebe tansördür. Tansörün boyutu ise mertebesinden farklıdır. (3.53)’de görülen ikinci mertebe tansör üç boyutludur. Düzlem gerilme halinde gerilme tansörü iki boyutlu tansördür. Mohr dairesi tansörel dönüşümün grafik gösterilimidir.

32 Elastisite

Yukarıda (3.59) ile verilen bir vektörün bileşenlerinin dönüşümü de aynı kurala göre değişmektedir. Dolayısıyla vektörlerde tansörel büyüklüklerdir. Yalnız mertebesi birdir. Bu şekilde tanımlanan vektörler paralel kenar kuralını sağlarlar. Skalerler eksen dönüşümünde değişmezler. (3.53)-(3.59) denklemleri skalerler için yazıldığında nij değerleri bulunmayacaktır. Dolayısıyla skalerler sıfırıncı mertebeden tansördür. Yüksek mertebeden tansörler de tanımlanır; örneğin bir M büyüklüğü üçüncü mertebeden tansör olması için bileşenleri için aşağıda verilen dönüşüm bağıntısı geçerli olmalıdır.

3 3 3*

1 1 1mnp ijk mi nj pk

i j k

M M n n n= = =

=∑∑∑ (3.60)

Yüksek mertebeden tansörler matematiksel bir meraktan tanımlanmamıştır. Yüksek mertebeden tansörlerin mekanik ve diğer bilim dallarında kullanılmaktadırlar. Dördüncü mertebeden bir C tansör toplama uylaşımı kullanılarak aşağıda verildiği gibi yazılır.

*mnps ijkl mi nj pk slC C n n n n= (3.61)

Yukarıda verilen tanımları biraz daha genelleştirmek için iki koordinat takımı tanımlayalım. Birisi xi diğeri x*i olsun. Bunlar arasında

* *1 2* * *1 2

( , , , ) 1,

( , , , ) 1,k k n

k k k

x x x x x k n

x x x x x k n

= =

= =

bağıntıları olsun. Bu bağıntılar yardımı ile ikinci mertebeden tansörel dönüşüm aşağıda verilen şekilde tanımlanır.

** *

jipr ij

p r

xxA Ax x

∂∂=∂ ∂

Gerilme Hali 33

GERİLME HALİNİN DİFERANSİYEL DENGE DENKLEMLERİ

Gerilme halinin diferansiyel denge denklemleri düzlem gerilme hali için elde edilecek. Bulunan denklemler sonra üç eksenli gerilme haline genişletilecektir. Bir noktada gerilme halini belirleyen gerilme tansörü noktanın bulunduğu noktaya bağlıdır; yani σx= σx (x,y);σy= σy (x,y) ve τxy= τxy(x,y) dir. Şekil 3.51’da görüldüğü gibi kenarları sonsuz küçük ve kalınlığı t olan bir eleman alalım. Bu elemana etkiyen kütle kuvvetlerinin bileşenleri Kx ve Ky olsun. Elemana etkiyen gerilmeleri kuvvetlere çevirip x ve y doğrultusunda izdüşüm denge denklemleri yazıldığında

. . ( ). . . . ( ) . . . . 0

. . ( ). . . . ( ) . . . 0

yxxx x yx yx x

y xyy y xy xy y

y t x y t x t y x t K y x tx y

x t y x t x t x y t K y x ty x

τσσ σ τ τ

σ τσ σ τ τ

∂∂− ∆ + + ∆ ∆ − ∆ + + ∆ ∆ + ∆ ∆ =

∂ ∂∂ ∂

− ∆ + + ∆ ∆ − ∆ + + ∆ ∆ + ∆ ∆ =∂ ∂

(3.62)

bulunur. Bu bağıntılar düzenlendiğinde

0

0

yxxx

xy yy

Kx y

Kx y

τσ

τ σ

∂∂+ + =

∂ ∂∂ ∂

+ + =∂ ∂

(3.63)

34 Elastisite

denklemleri elde edilir. Bu bağıntılara diferansiyel denge denklemleri adı verilir. Eleman üzerinde moment denge denklemi yazıldığında τxy= τyx den dolayı bağıntılar özdeş olarak sağlanır. Bu bağıntılar üç boyutlu hale genişletildiğinde aşağıda verilen sonuçlar bulunur.

0

0

0

yxx zxx

xy y zyy

yzxz zz

Kx y z

Kx y z

Kx y z

τσ τ

τ σ τ

ττ σ

∂∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

(3.64)

Burada görüldüğü gibi düzlem gerilme halinde üç gerilme bileşeni uzay gerilme halinde altı gerilme bileşeni bilinmemektedir. Buna karşın düzlem gerilme halinde iki uzay gerilme halinde 6 bilinmeyen bulunmaktadır. Bu durumda gerilme problemi statikçe belirli olmayan bir problemdir. Dolayısıyla gerilme problemini çözmek için şekil değiştirmeleri göz önüne almak gerekir. Yukarıda verilen bağıntılar indis gösterilimi ile aşağıda verilen şekilde yazılır.

, 0ji j iKσ + = Yukarıda verilen bağıntıyı denklemleri indis formunda yazarak elde edelim. Cisimden şekilde görülen dv hacım elemanını çıkartalım. Bu elemanın hacmı dv ve yüzeyi ds olsun. Bu elemanan gelen kütle kuvvetleri Ki ve yüzey gerilmeleri Ti ile gösterilsin. Elemanın izdüşüm denge denklemlerinden aşagıda verilen bağıntı elde edilir.

Gerilme Hali 35

0 0i i ji j iS V S V

T ds K d n ds K dσ+ = + =∫ ∫ ∫ ∫v v

, ,( ) 0 0ji j i ji j iV

K d Kσ σ+ = + =∫ v

İkinci olarak moment denge denklemlerini yazalım.

0i ijk j k ijk j kS V

M e x T ds e x K d= + =∫ ∫ v

Yukarıda verilen birinci integraldeki terimi Gauss-Green teoremi yardımı ile hacim üzerinde yazalım.

,( )ijk j k ijk j lk l ijk j lk lS V V

e x T ds e x T ds e x dσ σ= =∫ ∫ ∫ v

, , ,( ) ( ) ( )ijk j lk l ijk jl lk j lk l ijk jk j lk lV V V

e x d e x d e x dσ δ σ σ σ σ= + = +∫ ∫ ∫v v v

( )ijk jk j kV

e x K dσ −∫ v

Bulunan bu değer Moment denkleminde yerine konulursa

( ) 0i ijk jk j k ijk j kV V

M e x K d e x K dσ= − + =∫ ∫v v

. 0ijk jke σ =

36 Elastisite

bulunur. Yukarıda bulunan bağıntıda j,k indisleri üzerinde toplama var. i=1 alındığında eijk değerleri e111, e112, e113, e121, e122, e123, e131, e132, e133 değerlerini alacak. Bu değerlerden sıfır olmayan değerler e123, e132 dir. Bu durumda

23 32 23 320σ σ σ σ− = = bulunur. Aynı şekilde i=2 ve i=3 alınarak

13 31 12 21σ σ σ σ= = elde edilir. Bu sonuçlar daha önce bulunan gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermektedir. Örnek Problem : Şekilde görülen gerilme halinde birimler MPa dır. a) Verilen gerilme haline ait noktadan geçen normali x, y ve z eksenlerini sıra ile eşit açılar yapan ve normalinin kosinüs doğrultmanları artı olan düzlemdeki gerilmeleri bulunuz. b) Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. c) I1, I2 ve I3 değişmezlerinin, elemanın şekilde verilen konumda yazılması ile asal gerilmeler cinsinden yazılmasında aynı olduğunu sayısal olarak gösteriniz.

a) λ µ ν= = olduğundan

2 2 2 1 1/ 3denλ µ ν λ µ ν+ + = = = =

Gerilme Hali 37

bulunur. Verilen düzlemdeki gerilme vektörünün x,y ve z eksenleri doğrultularındaki bileşenleri

1/ 380 10 30 23,0910 40 25 1/ 3 31,7530 25 60 31,751/ 3

x

y

z

ppp

− − = − = −

dir. Kesit içinde ve kesite dik bileşenler aşağıda verilmiştir. . 23,09.(1/ 3) 31,75.(1/ 3) 31,75.(1/ 3) 49,99 MPaσ = = + + =p n

2 2 2 2 2 223,09 31,75 31,75 49,99 7,02 MPapτ σ= − = + + − =

38 Elastisite

Gerilme Hali 39

Örnek Problem :80 10 3010 40 2530 25 60

− − − −

gerilme tansörünün bileşenlerini; a)

Şekilde verilen 1*2*3* eksen takımında; b) n*1=-0,7276i+0,3229j+0,6053k, n*2=0,6568i+0,5826j+0,4787k, n*3=-0,1981i+0,7458j-0,6360k birim vektörleri ile verilen 1*,2* ve 3* eksen takımında hesaplayınız.

Çözüm: Önce doğrultman kosinüsleri matrisinin hesaplanması gerekir. 1*,2* ve 3* eksenleri ile 1,2 ve 3 eksenleri arasındaki açılar ve bunların doğrultman kosinüsleri aşağıda verilmiştir.

30 60 90 0,8660 0,5000 0,0000

120 30 90 0,5000 0,8660 0,000090 90 0 0,0000 0,0000 1,0000

Açılar = = −

N

o o o

o o o

o o o

Yukarıda verilen matris ve gerilme tansörünün 1-2-3 eksen takımındaki bileşenleri kullanılarak gerilme tansörünün 1*2*3* eksen takımındaki bileşenleri

40 Elastisite

*

0,8660 0,5000 0,0000 80 10 30 0,8660 0,5000 0,00000,5000 0,8660 0,0000 10 40 25 0,5000 0,8660 0,00000,0000 0,0000 1,0000 30 25 60 0,0000 0,0000 1,0000

− − − = − − −

T

*

61,3397 22,3205 13,480822,3205 58,6603 36,650613,4808 36,6506 60,0000

− − = − −

T

olarak bulunur. Yapılan dönüşümün kontrolü, değişmezlerin iki eksen takımında hesaplanması ile yapılır. İki halde de I1=180, I2=8775 ve I3=115000 dir. b) Verilen n1, n2 ve n3 vektörleri bir birlerine dik ve birim olmalıdır. Birinci kontrol n1.n2= n2. n3= n3.n1=0 ile ikinci kontrol boylarının uzunluğu ile yapılır. Bu kontroller yapıldığında verilen üç vektörün birim vektör ve birbirlerine dik oldukları görülür. T, gerilme tansörü ile N doğrultman kosinüsleri matrisi aşağıda verilmiştir.

80 10 30 0,7276 0,3229 0,605310 40 25 0,6568 0,5826 0,478730 25 60 0,1981 0,7458 0,6360

− − − = − = − − −

T N

Yukarıda verilen değerler kullanılarak N.T.NT matrisi hesaplandığında

*

0,7276 0,3229 0,6053 80 10 30 0,7276 0,6568 0,19810,6568 0,5826 0,4787 10 40 25 0,3229 0,5826 0,74580,1981 0,7458 0,6360 30 25 60 0,6053 0,4787 0,6360

− − − − − = − − − − −

T

*

109,3964 0,0001 0,00000,0001 49,2657 0,00010,0000 0,0001 21,3378

=

T

olarak bulunur. Bu beklenen sonuçtu. Çünkü verilen doğrultular asal doğrulardır. Dolayısıyla dönüşüm sonunda kayma gerilmeleri sıfır olacak normal gerilmeler ise asal gerilmeler olacaktır.

Gerilme Hali 41

Örnek Problem: Önceki problemde verilen tansörün deviatrik parçasının asal gerilmelerini ve doğrultularının bulunuz. Çözüm: Ortalama gerilme σ0=(80+40+60)/3=60

Deviatrik Tansör: 80 60 10 30 20 10 30

10 40 60 25 10 20 2530 25 60 60 30 25 0

d

− − − − − = − − = − − − − −

T

Deviatrik tansörün değişmezleri J1=0 J2=-2025 J3=20500 Asal gerilmeleri veren çokterimli σ3-2025 σ-20500=0 Asal gerilmeler σ*1=49,40 σ*2=-10,73 σ*3=-38,66 olup kontrol için Asıl gerilme halinin asal gerilmelerinden σ0 gerilmesi çıkarıldığında deviatrik gerilme tansörünün asal gerilmeleri bulunur. Hesaplar aşağıda verilmiştir.

σ*1=109,40-60=49,40 σ*2=49,27-60=-10,73 σ*3=21,34-60=-38,66

Deviatrik gerilme tansörünün asal gerilme doğrultuları hesaplandığında asıl gerilme tansörünün asal gerilme doğrultuları ile aynı olduğu görülür T gerilme tansörünün değişmezler I1=180 I2=8775 I3=115000 olduğuna göre aşağıda verilen bağıntılar sayısal olarak sağlatılıp değişmezlerin kontrolü yapılabilir.

42 Elastisite

2 31 2 1 2 3 3 1 2 1

22

33

1 1 20 ( )3 3 27

1( 180 8777) 20253

1 2115000 180.8775 180 205003 27

J J I I J I I I I

J

J

= = − − = − +

= − − = −

= − + =

Örnek Problem :Polar ve silindirik koordinatlarda diferansiyel denge denklemlerini yazınız.

Düzlemde polar koordinatlarda diferansiyel bağıntılar.

1 0

1 2 0

r r rr

r r

Kx r r

Kr r r

θ θ

θ θ θθ

σ τ σ σθ

τ σ τθ

∂ ∂ −+ + + =

∂ ∂∂ ∂

+ + =∂ ∂

r rθ θτ τ=

Gerilme Hali 43

Silindirik koordinatlarda diferansiyel bağıntılar.

1 0

1 2 0

1 0

r r zr rr

r z r

zr z z zrz

Kr r z r

Kr r z r

Kr r z r

θ θ

θ θ θ θθ

θ

σ τ τ σ σθ

τ σ τ τθ

τ τ σ τθ

∂ ∂ ∂ −+ + + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂

r r zr rz z zθ θ θ θτ τ τ τ τ τ= = =