1

Geometrija prostora Osnovni pojmovi u geometriji su : točka , pravac , ravnina i prostor PLANIMETRIJA je dio geometrije u kojoj se izučavaju skupovi točaka u ravnini. STEREOMETRIJA je dio geometrije u kojoj se izučavaju skupovi točaka u prostoru. Aksiomi geometrije prostora:

1. Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.

2. Kroz tri točke koje ne leže na istom pravcu prolazi točno jedna ravnina.

3. Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine leži u toj ravnini.

4. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se sijeku u pravcu.

5. Kroz svaku točku može se povući točno jedna paralela sa zadanim pravcem.

Određenost ravnine:

Ravnina može biti zadana s:

1. tri točke koje ne leže na jednom pravcu,

2. pravcem i točkom koja ne leži na njemu,

2

3. dva pravca koji se sijeku,

4. dva paralelna pravca koji se ne podudaraju.

Svaka ravnina dijeli prostor na dva POLUPROSTORA.

Pravci u ravnini:

Dva su pravca u ravnini ili paralelna ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj istovjetnih pravaca. Kad kažemo da se dva pravca sijeku, tad isključujemo mogučnost da se oni podudaraju.

Paralelnost:

Za dva pravca koja leže u istoj ravnini kažemo da su paralelna ako se podudaraju ili se ne sijeku. Pišemo:

Položaj pravca i ravnine u prostoru:

Pravac i ravnina ili su paralelni ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.

- pravac siječe ravninu (presjek je točka koja se naziva PROBODIŠTE ) - pravac leži u ravnini (dijeli ravninu u dvije POLURAVNINE) - pravac je PARALELAN s ravninom

3

Položaj dviju ravnina:

Dvije ravnine mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad su ravnine istovjetne, a u protivnom se ravnine sijeku po pravcu.

Položaj pravca u prostoru:

Paralelnost pravaca u prostoru:

Dva su pravca paralelna ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se.

Mimoilaznost pravaca:

Dva su pravca mimoilazna ako ne leže u istoj ravnini.

4

Položaj triju ravnina u prostoru:

Tri različite ravnine u prostoru mogu biti u jednom od četiri položaja:

1. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine,

2. sijeku se duž jednog pravca,

3. po dvije ravnine sijeku se u tri paralelna pravca,

4. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dva paralelna pravca,

5. sve su tri ravnine paralelne.

Presjeci pravca i ravnina:

Pravac koji nije paralelan s ravninom siječe je u jednoj točki. Dvije ravnine koje nisu paralelne sijeku se duž pravca.

5

Okomitost pravca i ravnine:

Pravac p okomit je na ravninu ako je okomit na svaki pravac koji leži u ravnini i prolazi presječnom točkom T.

Paralelnost i okomitost:

- ako je pravac okomit na ravninu, onda je svaki pravac paralelan s njim okomit na ravninu

- dva pravca okomita na ravninu su paralelna

- pravac okomit na ravninu okomit je na svaku ravninu paralelnu s njom.

6

Paralelnost je tranzitivna relacija:

Ako je pravac a paralelan s b, a b paralelan s c, tad je a paralelan s c:

Ako je ravnina alfa paralelna s beta, a beta paralelna sa gama , onda je alfa paralelana sa gama:

Relaciju s ovakvim svojstvom nazivamo tranzitivna relacija.

Paralelnost pravca i ravnine:

Pravac je paralelan s ravninom onda i samo onda ako je paralelan s nekim pravcem koji leži u toj ravnini.

Okomitost ravnina:

Ravnina je okomita na ravninu ako sadrži pravac koji je okomit na tu ravninu.

7

Svojstvo okomitosti:

Presjek okomitih ravnina:

Ako su dvije ravnine koje se sijeku okomite na treću ravninu, onda je njihov presječni pravac okomit na treću ravninu.

Ortogonalna projekcija:

Odaberemo po volji ravninu i točku A u prostoru. Postavimo pravac p kroz točku A tako da bude okomit na ravninu. On siječe ravninu u jednoj točki. Označimo tu točku s B. Kažemo da je točka B ortogonalna projekcija točke A na ravninu .

8

Udaljenost točke od ravnine:

Udaljenost točke od ravnine jednaka je udaljenosti točke do njezine ortogonalne projekcije na ravninu.

Udaljenost dviju paralelnih ravnina:

Udaljenost dviju paralelnih ravnina jednaka je udaljenosti između po volji uzete točke A prve ravnine i njezine ortogonalne projekcije na drugu ravninu.

Projekcija točke na pravac:

Povucimo zadanom točkom A ravninu okomitu na zadani pravac p. Ona siječe pravac p u točki B. Tu točku nazivamo ortogonalna projekcija točke A na pravac p.

Udaljenost točke do pravca:

Udaljenost točke A do pravca p najmanja je od udaljenosti |AB| kad točka B pripada pravcu p.

Najmanja se udaljenost postiže ako na pravcu izaberemo točku A koja je ortogonalna projekcija točke A na taj pravac.

Projekcija pravca na ravninu:

9

1. Ako pravac p leži u ravnini, podudara se sa svojom projekcijom, jer pri ortogonalnom projiciranju točke ravnine ostaju na svom mjestu.

2. Ako se pravac p i ravnina sijeku u točki T, tad je T’=T. Dovoljno je uzeti još jednu točku Ap i preslikati je u ravninu. Neka je A’ njezina projekcija. Točkama T, A i A’ određena je ravnina . Presjek te ravnine i ravnine projekcija je p pravca p.

3. Ako je pravac p paralelan s ravninom , tad moramo uzeti dvije njegove točke A i B i odrediti njihove slike A’, B’ kojima je određen i pravac p. Pravci AA’ i BB’ okomiti su na ravninu pa su paralelni. Zato postoji ravnina koja ih sadrži. Ta je ravnina okomita na i presjeca u pravcu p. Primjetimo da su u ovom slučaju p i p paralelni.

4. Ako je pravac p okomit na ravninu , onda je njegova ortogonalna projekcija samo jedna točka T (sjecište pravca i ravnine).

10

Simetralna ravnina:

Neka je AB zadana dužina. Simetralna ravnina dužine AB ravnina je koja prolazi polovištem S dužine i okomita je na pravac AB.

Zrcalna simetrija:

Neka je zadana ravnina. Točki A pridružujemo točku A1 njoj zrcalnu s obzirom na ravninu . Ona leži na pravcu p koji prolazi točkom A a okomit je na ravninu , tako da je udaljenost točke A1 do ravnine jednaka udaljenosti točke A’ do ravnine:

A1A=AA’ . Time je definirano preslikavanje AA1 koje nazivamo zrcalna simetrija.

11

Osna simetrija:

Neka je p zadani pravac i A po volji uzeta točka prostora. Točki A pridružimo točku A1 koja joj je s koja joj je simetrična s obzirom na pravac p. Do nje dolazimo tako da točkom A postavimo ravninu okomitu na pravac i odredimo presječnu točku A’: ortogonalnu projekciju točke A na pravac. Na pravcu AA’ odaberemo točku A1 za koju je

A1A=A’A , odnosno, A je polovište dužine AA1. Za točku A1 kažemo da je osnosimetrična točki A s obzirom na pravac p. Taj pravac zovemo os simetrije, a preslikavanje AA1 nazivamo osna simetrija.

Centralna simetrija:

Točka A preslikava se u točku A1 simetričnu s obzirom na istaknutu točku O prostora koju nazivamo središte simetrije.

Homotetija:

Neka su zadane dvije paralelne ravnine i 1 te točka S koja ne leži na njima. Svakoj točki A ravnine pridružujemo točku A1 u ravnini 1 koja se dobiva kao presjek ravnine 1 s pravcem SA. Time je definirano preslikavanje AA1 koje nazivamo homotetija ili centralna sličnost. Točka S naziva se središte homotetije.

12

Kut pravca i ravnine:

Kut između pravca p i ravnine definira se na sljedeći način:

1. 0°, ako je pravac paralelan s ravninom;

2. 90°, ako je pravac okomit na ravninu;

3. u ostalim slučajevima to je kut između pravaca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu.

Konveksni skupovi:

Skup je konveksan ako sa svake svoje dvije točke sadrži i njihovu spojnicu. S je konveksan ako iz ABS slijedi ABS.

Prazan skup i skup koji se sastoji od jedne točke također smatramo konveksnim.

Konveksan mnogokut:

Najmanji konveksni skup koji sadrži konačno mnogo točaka koje nisu kolinearne konveksan je mnogokut. Vrhovi su mnogokuta neke od tih točaka.