1Preguntas

Propuesta

s

. . .

2

Geometra

Tringulos

1. En el grfico, calcule x.

2x

x

42

A) 24 B) 21 C) 32D) 42 E) 48

2. En el tringulo ABC, calcule x si la mSACB=40.

A

B

C

x

m

nn

m

A) 40 B) 50 C) 25D) 35 E) 20

3. En un tringulo ABC, sobre AC se ubica E, tal que AE=BC, mSBAC=2(mSACB)=40. Calcule mSEBC.

A) 5 B) 8 C) 10D) 12 E) 15

4. En la regin interna de un tringulo ABC, se ubica E, tal que AE=BC,

mSAEC=120, mSBCE=16, mSEBC=66. Calcule mSABE.

A) 15 B) 20 C) 25D) 30 E) 35

5. En la regin externa y relativo al lado AC del tringulo ABC, se ubican los puntos E y D, tal que la mSABE=20, mSEBD=40 y mSDBC=80. En la prolongacin de AE se ubica el punto P, de modo que mSCAP=60, mSDEP=30 y AB=BC. Calcule la mSACD.

A) 15 B) 20 C) 30D) 37 E) 40

6. En el interior de un tringulo ABC, se ubica el punto P, tal que mSABP=3(mSPBC) y mSACP=3(mSBCP). Calcule la medida del ngulo entre las bisectrices de los ngulos BPC y BAC si se sabe que mSABC mSBCA=40.

A) 30 B) 25 C) 32D) 20 E) 15

7. En un tringulo ABC, se trazan las cevianas interiores BD y BE (D AE ), tal que

mSABD=mSACB=2(mSDBE)=2(mSEBC) Si AD=EC, calcule la mSBCA.

A) 15 B) 18 C) 20D) 25 E) 36

8. En los lados AB y BC de un tringulo ABC, se ubican los puntos M y N, respectivamente, de modo que AM+CN=8. Calcule el mnimo valor entero de AN+MC.

A) 8 B) 7 C) 9D) 15 E) 17

9. En la prolongacin del lado AC de un tringulo ABC, se ubica el punto D; luego, en AB se ubica el punto P tal que DP BC={R}; PB=BR; AP=RD y mSABC=4(mSPDC). Calcule el mximo valor entero de la medida del ngulo PDC.

A) 21 B) 22 C) 23D) 30 E) 26

3Geometra10. En los lados AB, BC y AC de un tringulo ABC

se ubican los puntos P, Q y M, respectivamente, de modo que el permetro de la regin MQP es 10. Calcule el mnimo permetro entero de la regin triangular ABC.

A) 9 B) 10 C) 11 D) 19 E) 21

Congruencia

11. Segn el grfico AB=BC y BD=CE. Calcule x.

A) 50 B) 60

A

B

CD

E

x

C) 70 D) 80 E) 65

12. En un tringulo ABC se traza la cevia-na AD, de modo que DC=AB+AD y la mSDAC=2(mSACD)=2(mSDAB). Calcule la mSABC.

A) 60 B) 80 C) 100 D) 120 E) 110

13. En un tringulo ABC se traza la altura BH, tal que AH=2; HC=6 y mSBAC=2(mSBCA). Calcule la mSBCA.

A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 60

14. En la regin exterior relativo al lado BC de un tringulo issceles ABC (AB=BC) se ubica el punto P, tal que AB=PC y mSABC=2(mSAPC). Calcule mSPAC.

A) 15 B) 30 C) 37 D) 45 E) 60

15. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, en BC y AC se ubican los puntos E y D, respectivamente, de modo que EC=2(BE); AD=DC y 3(mSAED)=2(mSBEA). Calcule mSDEC.

A) 6730' B) 45 C) 60 D) 8230' E) 5230'

16. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la ceviana CP, de modo que 4(mSBAC)=3(mSPCA); luego, las distancias de B y P hacia PC y AC son 3 y 6, respectiva-mente. Calcule mSPAC.

A) 15 B) 18 C) 30 D) 36 E) 37

17. En un tringulo ABC donde mSABC=2(mSBAC), se traza la ceviana interior CD, tal que AD=2(BD). En el tringulo ADC, se traza la me-diana DM, tal que mSMDC=2(mSDCB).

Calcule la mSDCB.

A) 12 B) 15 C) 18 30D) 25 E) 26 30

18. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, mSBAC=53. En AB, BC y AC se ubican los pun-tos R, P y M, tal que PM BC y AR=AM=MC.

Calcule la mSMRP.

A) 28 30 B) 30 C) 38 30D) 40 30 E) 53

19. En el exterior y relativo al lado BC de un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se ubica el punto P, tal que mSPCB=mSBCA; en BC se ubica el punto T , tal que AB=BT. Si mSBAC=2(mSCBP)=2(mSTPC)

calcule la mSPBC.

A) 15 B) 18 30 C) 20D) 22 30 E) 26 30

. . .

4

Geometra

20. Del grfico, calcule m.

mm

x+y

x+z

z yy

xx

A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20

Polgonos y cuadrilteros

21. Indique el valor de verdad de los enunciados. I. Un pentgono equiltero siempre es convexo. II. En un polgono, la mxima cantidad de

ngulos internos agudos es 4. III. Solo existen 3 polgonos regulares cuyo

ngulo central es congruente con su ngulo interior.

A) VFV B) VFF C) FVVD) FVF E) FFF

22. En 2 polgonos regulares diferentes se cumple que el ngulo central de uno de ellos es igual a la medida del ngulo interior del otro. Calcule la suma de las diagonales de ambos polgonos.

A) 8 B) 9 C) 12D) 20 E) 37

23. Se tiene un polgono regular, donde las me-didas del ngulo interior y del ngulo exterior son a y ka. Halle el nmero de valores enteros que puede tomar k.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

24. La suma de los ngulos internos de dos polgo-nos regulares se diferencian en 720 y las me-didas de sus ngulos centrales se diferencian en 7,5. Calcule la razn entre la cantidad de sus lados.

A) 1/2 B) 1/3 C) 3/4 D) 2/5 E) 3/8

25. Indique el valor de verdad de los enunciados. I. Si un cuadriltero tiene sus diagonales per-

pendiculares y congruentes, entonces es un cuadrado.

II. Si un trapecio presenta 2 lados de igual longitud, entonces es trapecio issceles.

III. Si 2 rombos comparten su centro y una dia-gonal, entonces son congruentes.

IV. Un trapezoide simtrico puede presentar diagonales congruentes.

A) FFFF B) VVFF C) VVFVD) FFVV E) FFFV

26. En el grfico, ABCD es un paralelogramo, adems, O es punto medio de BD. Si CM=MN; AQ=a y ON=b, calcule OG.

2

A

B G C

D

M

N

O

Q

A) 2

2b a+

B) b a+

2 C)

22b a

D) 3

2b a+

E) 3

2b a

5Geometra27. En un romboide ABCD, la mediatriz de AD

interseca a AC y BC en M y N, respectivamente. Si 2(MN)=AM=AB, calcule mSACB.

A) 8 B) 15 C) 16D) 18 E) 53/2

28. Se tiene un romboide ABCD, de centro O, en BC se ubica E, tal que BE=2(OE), mSCOE=90, mSACD=2(mSECO).

Calcule mSECO. (Considere SABC es obtuso.)

A) 5 B) 8 C) 10D) 15 E) 37/2

29. En el grfico, BMNQ es un rombo. Calcule x.

32A

B

C

x

M

N

Q

3232

A) 24 B) 16 C) 32D) 28 E) 18

30. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, en la prolongacin de BC y OD se ubican M y N, tal que, OMN es equiltero. Si OM y CD se intersecan en E, calcule mSONE.

A) 8 B) 10 C) 12D) 15 E) 53/2

Circunferencia

31. Si m mPQ AB = ( ) =2 80, calcule x.

A

B

x

P

Q

A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 20

32. En el grfico, B, C, D y E son puntos de tangen-cia. Si mPQ = 80 y mEF = 30, calcule q.

AB C

D

E

F

x

P

Q

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

33. En el grfico, indique la relacin entre a, b y q.

A) q=2b+a B) = +2

C) a+b=q

D)

=

+

2 E) q=2a+b

. . .

6

Geometra

34. Del grfico mostrado, calcule R si se sabe que m mAB BC + = 180

A

B

C

P

R

23

A) 3 B) 3 2 C) 3 3D) 4 E) 5

35. Del grfico T, Q y R son puntos de tangencia, calcule q.

r

rQ

R

T

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

36. En una circunferencia de centro O se ubican los puntos A, B y C, tal que la m >mBC AB . Sea H el pie de la perpendicular trazada por el pun-to medio Q del arco AC, a BC. Calcule BH si se sabe que HC=a y AB=b.

A) a+b B) a b C) a b+2

D) 2(a b) E) 32a b+( )

37. Del grfico que se muestra, calcule x si se sabe que T es punto de tangencia.

xT

2

A) q+a B) q a C) 2a q

D) +

2 E) 2a

38. Segn el grfico, P, Q y T son puntos de tan-gencia. Si AM=MB y BN=NC, calcule x.

B

A CT

M NP x

Q

A) 37 B) 30 C) 45D) 60 E) 53

39. Se tiene un tringulo ABC inscrito en una circunferencia; en el arco AB se ubica el punto P y en el arco BC se ubica el punto Q, luego se trazan PM; PH; QN y QL perpendiculares a AB; AC; BC y AC, respectivamente. Si mPBQ = calcule la medida del ngulo que determinan HM LN

y .

A) q/3 B) q/2 C) qD) 90 q E) 180 q

7Geometra40. Se tiene un cuadriltero inscriptible ABCD, don-

de las diagonales son perpendiculares, adems,

se intersecan en H. Si se trazan HM; HN; HQ y HL

perpendiculares a AB; BC; CD y AD, respectiva-

mente, qu tipo de cuadriltero es MNQL?

A) trapezoideB) trapecioC) inscriptibleD) paralelogramoE) bicntrico

Puntos notables

41. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, adems, G es su baricentro, tal que

mSBAC=2(mSBCG). Calcule ACAB

.

A) 2 B) 3/2 C) 3D) 4/3 E) 5/4

42. Del grfico, T es punto de tangencia, adems, G es baricentro de la regin ABC, calcule mMT.

G

A

B CM

T

A) 120 B) 127 C) 137D) 143 E) 150

43. Se tiene un rombo ABCD, en AC, se ubica M y en la regin exterior a CD, se ubica N, tal que

AMND es un rombo. Si BD y AN se intersecan en

P, calcule la medida del ngulo entre AD MP

y .

A) 30 B) 60 C) 45D) 90 E) 75

44. Del grfico, qu punto notable es R del tringulo AEH ?

A

E

H

R

A) ortocentroB) baricentroC) circuncentroD) incentroE) punto de nagel

45. En un tringulo ABC, se traza la altura BM y en BC y MC, se ubican P y N, tal que AHPC es un trapecio issceles (H es ortocentro del tringu-lo ABC). Qu punto notable es el centro del cuadrado MHPN para el tringulo ABC?

A) ortocentroB) incentroC) excentroD) circuncentroE) baricentro

46. Se tiene un tringulo ABC de ortocentro H, E es punto medio de AC, y se forma el rombo BHEF, de lado igual a 2. Calcule la distancia del centro de dicho rombo al circuncentro de dicho tringulo.

A) 1/2 B) 1/4 C) 1D) 2 E) 2

. . .

8

Geometra

47. En la prolongacin de DA y en la regin exterior relativa a BC, de un cuadrado ABCD, se ubican E y H, respectivamente, tal que EHD es equiltero y B pertenece a EH. Si M es el punto medio de EH, G es baricentro de EHD, calcule mSBMN, siendo N la interseccin de BD y HG.

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

48. Se tiene un tringulo issceles ABC, de base AB, AB=6 y la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa a BC es 4, calcule mSBAC.

A) 30 B) 37 C) 53D) 127/2 E) 74

49. En la regin exterior de una circunferencia de centro O, se ubica P, tal que PA y PB son

tangentes a dicha circunferencia; adems, OP

interseca a dicha circunferencia en M, y en

AM se ubica N, tal que mSNPB=3(mSAPN).

Calcule mSNCM si C es la interseccin de

AB y OP.

A) 15 B) 30 C) 45

D) 53 E) 60

50. En un tringulo ABC, su recta de Euler es para-lela a AC; adems, M es punto medio de AC. Si

mSBHM=mSBGO, calcule mSHBG. (H, G y O

son ortocentro, baricentro y circuncentro del

tringulo ABC respectivamente).

A) 15 B) 16 C) 53/2

D) 30 E) 37/2

Claves01 - C

02 - D

03 - C

04 - D

05 - C

06 - E

07 - E

08 - C

09 - B

10 - C

11 - B

12 - C

13 - A

14 - B

15 - A

16 - C

17 - C

18 - D

19 - E

20 - E

21 - E

22 - B

23 - B

24 - C

25 - E

26 - C

27 - D

28 - C

29 - C

30 - D

31 - E

32 - B

33 - C

34 - A

35 - C

36 - A

37 - B

38 - C

39 - B

40 - E

41 - B

42 - A

43 - D

44 - A

45 - D

46 - C

47 - C

48 - C

49 - C

50 - D