geometria5to(18 - 21)
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Geometra
18reasdeRegionesCirculares
PROPIEDADES1. En todo tringulo rectngulo la suma de las reas de
las figuras semejantes construidas sobre los catetos, esigual al rea de la figura semejante construida sobre lahipotenusa.
CRCULO
A= R2
Demostracin:
A : reaR : radio
R
A
SECTOR CIRCULAR
RA
R
R
..R2
360A=
CORONA CIRCULAR
A= (R2-r2)
R
A
r
TRAPECIO CIRCULAR
R
Ar ..
360A= (R2-r2)
SEGMENTO CIRCULAR
R
A
R
R
O
A B
A=A(sector AOB)-A( AOB) R2
360A= - sen
R2
2
S1+S
2=S
B
A C
S1
S2
S
AB2
AC2
Sumando:
Pero:AB2+BC2=AC2
S1+S
2=S
=
= =1
S1+S2S
AC2
AC2
S1+S2S
AB2+BC2
AC2
= =S
1
S2
BC2
AC2S
2
S
Por ser semejantes
-
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5to Secundaria
LNULAS DE HIPCRATES
S1+S2=S
Por la propiedad anterior:(S
1+M)+(S
2+N)=S+M+N
S1+S
2=S
Demostracin:
B
A C
L
S
S2
S1
NM
2.
3.
SABC=x-y
B
A C
x
y
A B
Sx
S
C DO
1) En el grfico mostrado, ABCD es un rectngulo.Si S
1-S
2=12 m2, halla el rea de la semicircunferencia menor.
(Z+y+P)+(y+W+Q)=P+Q+xy+Z+W=x-ySABC=x-y
Demostracin:
A D
S1
B C
S2
Resolucin:
Se observa que AD=2CD
S1+S= =2R2 ...................(1)
S2+S= ....................................(2)
(1)-(2):
S1-S
2=
= .........................................(3)
(2)=(3) S+S2=4
Rpta.: 4 m2
(2R)2
2
r2
2
3
2r2
12
3r2
2
2) En la figura se muestra dos semicircunferenciasconcntricas en el punto O. Calcula S
x si S=2m2 y
AC=OC.
B
A C
x
Z W
QP
y
A D
S1
B C
S2
Sr
r
2r2r
2r
Resolucin:
A B
Sx
S
C DO
T
r r r r
r2r
P
Se observa que las figuras de reas Sxy S son semejantes,
siendo PO y TO los lados homlogos.
= = =4
Sx=4S=8 m2
Rpta.: 8 m2
SxS
TOPO
2rr( )( )
2 2
-
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Geometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
Calcula A-B.
Resolucin:
A120
4u
4u
30
B
8u
8u
Halla el rea de un crculo inscrito en el sectorcircular mostrado si R=6.
Resolucin:
A
B
O 60
R
R
Si el lado del cuadrado ABCD es 6, calcula elrea de la regin sombreada (A y D: centros).
Resolucin:
B C
A D
P
En la figura se pide calcular el rea de la regin
sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide
6m.
Resolucin:
B C
A D
-
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5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6 Halla el rea sombreada si AO=OB=10,
adems PRQS es un cuadrado.
Resolucin:
A O BSP
RQ
7. Halla el rea Sxsi: S
1+S
2+S
3=100u2.
Halla el rea de la regin sombreada si el trin-
gulo ABC es equiltero de lado 4 y M, N
y P son puntos medios.
Resolucin:
A
B
C
M N
P
8. En la figura, calcula el rea de la regin sombreadasi AO=OB=2m.
9. En la figura, halla el rea de la regin sombreadasi AP=3 y QC=4.
10. Calcula S1-S
2.
A
O B
C
S1
S2
4
6
4
B C
A D
S1
S2
Sx
S3
A O B
45
CD
A
B
C
P Q
-
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Geometra
A D
B C
O
11. En la figura se tiene un cuadrado de lado2m. Calcula el rea sombreada (O:centro delcuadrado).
12. Halla el rea de la regin sombreada donde loslados del cuadrado ABCD son dimetros de lossemicrculos, adems AB=6.
1. El rea del crculo es 64u2. Calcula el radioR.
a) 2 u b) 4 u c) 6 ud) 8 u e) 10 u
R
2. Calcula el rea de la regin sombreada.
a) 4(-2)m2 b) (4-2)m2 c) (8-4)m2
d) 2(-4)m2 e) (-1)m2
A
O
4m
B4m
3. Halla el rea sombreada si el lado del cuadradoABCD mide 2u.
a) ( - 2) u2
b) (+2) u2
c) 2(-2) u2
d) 2(-1) u2
e) 2(+2) u2
B C
A D
4. En un trapecio rectngulo el permetro es 18 uy el lado mayor no paralelo es 7 u. Entonces elrea del crculo inscrito en el trapecio es:
a) 2 u2
b) u2
c) /2 u2
d) 4 u2
e) 3/2 u2
A D
B C
-
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5to Secundaria
5. Halla r si S1+S
2=16 u2.
a) 4 u b) 8 u c) 2 ud) 2 2 u e) 4 2 u
O
S2
S1
r
r
6. Halla el rea de la corona circular mostrada siAB=2 m. (T: punto de tangencia)
a) m2 b) 2m2 c) 3m2
d) 4m2 e) 6m2
A BT
7. En la figura, halla S2-S
1 si el lado del cuadrado
ABCD es igual a 4cm.
a) (3-8)cm2 b) 2(3-8)cm2c) 2(3-4)cm2
d) 2(3+4)cm2 e) N.A.
B C
A D
S1
S2
8. Si AO=OB, calcula x/y.
a) 1/2 b) 2/3 c) 1d) 3/4 e) 4/5
BO
A
x
y
9. Determina el rea de la regin sombreada, siABCD es un cuadrado de lado 4u.
a) (16-9) u2 b) (32-9)/2 u2c) (32-9) u2
d) (16-5) u2 e) N.A.
B C
A D
10. En la figura si O y O1 son centros, calcula
el rea de la regin sombreada, adems R=2.
a) (-1)u2 b) (-2)u2 c) (-4)u2
d) u2 e) 2u2
11. Calcula el rea de la regin sombreada siCF=6.
a) 9u2 b) 18u2 c) 12u2
d) 6u2 e) 20u2
A F B
C
12. Calcula el rea de la regin sombreada MNPQsi MQ=8 u y mNP=90.
a) 16 u2
b) 18 u2
c) 24 u2
d) 36 u2 e) 32 u2
A Q B
P
OM
N
O O1
R
-
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Geometra
19 Nociones Bsicas de laGeometra del Espacio
INTRODUCCINHasta el momento conocemos figuras geomtricas ubicadasslo en un plano, tales como el tringulo, el cuadriltero,el crculo, etc. Sin embargo, en nuestra vida cotidiana ob-servamos que en nuestro entorno existen objetos que noestn ubicados en un solo plano; tales como una caja, unacolumna, un edificio, etc. Esto nos hace ver la necesidadde analizar la forma y extensin de los objetos ubicados enel espacio, lo cual se puede hacer representndolos medi-ante figuras geomtricas espaciales denominados slidosgeomtricos, para esto tambin ser necesario tener unmanejo adecuado de las rectas, planos, ngulos diedros,
etc., y sobre todo paciencia, orden y perseverancia por partedel alumnado.
PFigura en el plano
P
Figura en el espacio
A) Punto
Representacin grfica de un punto.
B RECTARepresentacin grfica de una recta.
A Notacin.- Punto A
B
A
Notacin.- Segmento de rectaAB o AB
L
Notacin.- Recta L: L
C PLANO
Se denomina superficie plana o plano a una superficietal que la recta que une a dos puntos cualesquiera tienetodos sus otros puntos en la misma superficie. Todoplano se supone de extensin ilimitada. La mayor partede los objetos planos que observamos son porcionesde plano de forma rectangular; por esta razn y antela imposibilidad de representar los planos indefinidosadoptaremos la representacin convencional porregiones paralelogrmicas que es el aspecto que tiene
aproximadamente los rectngulos vistos en perspectivadesde cierta distancia.
Notacin.- Plano P: P
B
P
L
Un plano P queda determinado por uno de los cuatrocasos.
Determinacin de un plano
Conceptos previos
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5to Secundaria
Tres puntos no colineales determinan un plano.
1. Teorema
B
P
AC
Si A, B y C son puntos no colineales.
A, B y C determinan el plano P.
Una recta y un punto, que no pertenece a ella,determinan un plano.
2. Teorema
P
A L
A y L determinan al plano P.
Si AL
Si L1L
2= {Q}
P
QL
1
L2
L1y L
2determinan al plano P.
Dos rectas paralelas determinan un plano.
4. Teorema
P
L1
L2
L1y L
2determinan al plano P.
Si L1// L
2
Posiciones Relativas de dos planos
: Vaco o Nulo
Si P Q =
P // Q
Dos planos son paralelos o paralelos entre s, cuando notienen un punto en comn, es decir, no se intersecan.
A. Planos Paralelos
P
Q
Son dos planos que tienen una recta en comndenominada arista o traza de un plano sobre el otro.
B. Planos Secantes
AristaP
Q
L
P y Q son secantes.
Si P Q = L
Posiciones Relativas de una Recta y un Plano
Una recta est contenida en un plano cuando todos lospuntos de dicha recta pertenecen al plano.
1. Recta contenida en un plano
P A
BL
Observacin
Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicharecta est contenida en dicho plano.
Si A P y B P
Dos rectas secantes determinan un plano.
3. Teorema
L P
-
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Geometra
2. Recta secante al plano
Una recta se denomina secante a un plano, si slotiene un punto en comn con el plano, al cual se ledenomina punto de interseccin o traza de la recta sobre
el plano.
P
M
L
L y P : Secantes
Punto M : Pie de la recta secante
Si L P = {M}
El Dato
Dos rectas son no coplanares si no son paralelas nisecantes.
POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
1. Rectas Secantes
P
ba
a y b son secantes y pertenecen al plano P.
2. Rectas Paralelas
m y n son paralelas y pertenecen al plano P.
P
mn
3. Recta paralela a un plano
Una recta y un plano son paralelos si no tienenningn punto en comn.
P
L
L // P
Si L P =
3. Rectas Cruzadas o Alabeadas
a
b
P
Q
d
Recta perpendicular a un plano
Una recta es perpendicular a un plano si es perpendiculara dos rectas contenidas en dicho plano.
L1 L
2
P
a
Si a L1y L
2 a al plano P.
Teorema de las tres perpendiculares
Si se cumple: a plano Q b est contenida en el plano Q HE b F es un punto cualquiera de a.
EF b
a P b Q d : distancia entre a y b
Q b
a
E
H
F
-
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5to Secundaria
Es el ngulo determinado por dos rayos respectivamenteparalelos a las rectas dadas y cuyo origen es un puntocualquiera en el espacio.
Observacin
Si una recta es perpendicular a un plano, entoncesser perpendicular a todas las rectas contenidas endicho plano.
NGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS
m
A B
O
n
P
Por un punto de una de ellas se traza una recta paralelaa la otra determinandose as el ngulo que se busca.
OTRA FORMA
l
mn
P
P
Es el ngulo formado por la proyeccin ortogonal de larecta respecto al plano.
NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
P
A
H
l
Si AH P
TEOREMA DE TALES EN EL ESPACIO
A D
B E
C FR
Q
P
Si P // Q // R
ABBC
DEEF
=
Si OA // m y OB // n
es el ngulo entre m y n
Si n // m
es el ngulo entre ly n
es el ngulo entre l y el P
Resolucin:
A
F
B
CH
M8
4
3
x
O6
C
1) En una circunferencia de dimetro AB; se traza AFperpendicular al plano de la circunferencia. Si la cuerdaBC de la circunferencia mide 6 m y AF = 8 m, calculala longitud del segmento que une el punto medio deAB con el punto medio de FC.
-
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Geometra
Resolucin:
A
F
B
C
M
l
l
l
2l
x
Resolucin:
A
F
ME
C
D
H
P
N
B
Q
2 2
3
22
2
4
4
Resolucin:
4) Los cuadrados ABCD y ABMN se encuentran en
planos perpendiculares, siendo O centro del cuadrado
ABMN. Calcula el permetro de ABCD si CO = 3 u.
A
D
C
M
NO
l
l
B
3
Si AF C AF AC
AB dimetrom ACB = 90
MH // AF MH CMH HO
Pero: AH = HC y MH = FA/2 = 4
(T. Puntos medios)En ACB: AO = OB AH = HC
HO = 6/2 = 3
En MHO:
x2= 32+ 42 x = 5
Rpta.: 5
2) Por el vrtice A de un tringulo equiltero ABC se traza
AF perpendicular al plano del tringulo, adems
2 AF = AB. Calcula el ngulo que forma FM con elplano del tringulo si M es punto medio de BC.
MN // AF MNAB; MN ABCD MNNCEn MNC: QH // MNQHNC;QH = MN/2QH = 2; NH = HC(Teorema puntos medios)
En el trapecio DANC: PH es mediana
PH = PH = 3
Como QH // MN QH ABCD QH PH
PHQ:
T. Pitgoras: x2= 32+ 22 x = 13
Rpta.: 13 u
4 + 22
3) Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en
planos perpendiculares. Calcula la distancia entre lospuntos medios de AD y MC (M punto medio de EF) siAB = 4 u.
AF ABC AFAM FAM rectngulo: AM = l 3 FAM notable: x = 30 Rpta.: 30
Si ABCD ABMN CB BOSi AB = lOB = l 2/2; BC = l CBO: (OC)2= (BC)2+ (BO)2
( 3)2= l2+ (l 2/2)2
3 = l= 2
2pABCD
= 4 2 u
Rpta.: 4 2 u
3l
2
2
-
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5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Indica verdadero (V) o falso (F). segn corres-ponda:
( ) Una recta y un punto, que no pertenece a
ella, determinan un plano.
( ) Dos rectas secantes no forman un plano.
( ) Dos rectas paralelas determinan un plano.
Resolucin:
Indica verdadero (V) o falso (F) segn corres-
ponda:
( ) Tres puntos cualquiera determinan un plano.
( ) Una recta y un punto determinan un plano.
( ) Dos puntos no colineales forman un plano.
Resolucin:
Con K rectas paralelas se determinan 66planos como mximo. Halla K.
Resolucin:
Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubica-
dos en planos perpendiculares y cuyos centros
son P y Q, respectivamente. Calcula la distancia
PQ si AB = 4 u.
Resolucin:
-
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Geometra
Rpta:
5
Rpta:
6Si OA es perpendicular al plano P, OA = 5,
r = 2 y T es punto de tangencia. Halla AM
si TM = 8.
Resolucin:
A
MTL
Or
P
A B C
P
Q
En el grfico A, B y C pertenecen al
plano Q. Si PA, PB y PC forman en el plano
ngulos de 45, 30 y 53, adems PC = 15,
calcula PA/PB.
Resolucin:
7. Si AB y CD son dos segmentos ortogonalesque miden 6 y 8 cm respectivamente, calcula lalongitud del segmento que une los puntos mediosde AD y BC.
A
B
C
D
P
8. En el grfico, BF es perpendicular al plano delcuadrado ABCD. Si AB = BF = BC = a y Mes punto medio de CD. Halla el rea de la reginsombreada.
A
B C
D
M
F
9. Se traza PQ perpendicular a un plano H (Qen el plano H). Haciendo centro en Q se
traza una circunferencia de radio 9 m; y por un
punto B de sta se traza la tangente BC que
mide 8 m. Calcula PC si PQ = 12 m.
10. En un plano se ubican los puntos A y B, exterioral plano se ubica el punto P de modo que AP yBP forman ngulos que miden 30 y 45 con dichoplano. Si AP = 4, calcula BP.
A
B
C
DL
1
L2
11. El ngulo entre L1y L2es 60. Si DA = AB = BC = 6, calcula CD.
12. En la figura, G es el baricentro de la regintriangular ABC y PG es perpendicular al planoque contiene al tringulo ABC. Si mPBA= mCBP; AC = 12 y PG = 17, calcula ladistancia de P a AB.
-
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5to Secundaria
1. Indica si es verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:
( ) Tres puntos determinan siempre un plano.
( ) Dos rectas determinan siempre un plano.
( ) Un plano queda determinado cuando una
recta se desplaza paralelamente a s misma.
a) VVV b) VVF c) FFVd) FVF e) FFF
2. La distancia de un punto A a otro B con-
tenido en un plano P es 8 m. La distancia deA al plano P es 5 m. Halla la longitud de laproyeccin del segmento AB sobre el plano P.
a) 4 m b) 3 m c) 37 md) 39 m e) N.A.
6. Si la distancia de un punto a un plano Q es 6 u yla distancia del punto a una recta contenida en elplano es 9 u. Halla la distancia desde la proyeccin
de dicho punto al plano hacia la recta.
a) 2 6 u b) 3 5 u c) 4 6 ud) 2 7 u e) 5 3 u
3. El cuadrado ABCD y el tringulo equiltero
ABE se encuentran en plano perpendiculares.
Calcula la distancia entre los puntos medios de
BE y AD si AB =8 u.
a) 8 u b) 10 u c) 12 ud) 16 u e) 6 u
4. Calcula la longitud de un segmento exterior a unplano sabiendo que su proyeccin sobre el planomide 15 cm y las distancias de sus extremos alplano se diferencian en 8 cm.
a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cmd) 20 cm e) 23 cm
5. La distancia de un punto P a una recta conte-nida en un plano es de 13 cm, y adems la dis-
tancia de la recta al pie de la perpendicular queva de P al plano es 12 cm. Calcula la distanciade P al plano.
a) 3 cm b) 1 cm c) 5 cmd) 6 cm e) 8 cm
7. Tres planos paralelos determinan sobre una rectasecante L1, los segmentos AE y EB, sobre otra
recta secante L2los segmentos CF y FD.
Si AB = 8, CD = 12 y FD - EB = 1, halla CF.
a) 6 b) 8 c) 9d) 4 e) 2
8. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7 m. Si selevanta por C la perpendicular CE, y EB mide 25m, calcula EC + ED.
a) 24 m b) 25 m c) 49 md) 50 m e) 59 m
10. En un cuadrado ABCD, con dimetro AB setraza la semicircunferencia perpendicular al
plano del cuadrado. Si M, N y P son puntos me-dios de AB, AC y CD respectivamente, calculamMNP.
a) 100 b) 120 c) 90d) 150 e) 135
11. Las rectas L1y L
2son alabeadas y forman un
ngulo de 60, adems AB es la menor distancia
entre ellas (A L1; B L
2). Si se ubica P en
L1y Q en L
2; AB = 2 5u; AP = 4u; BQ = 6u,
calcula el rea del tringulo PBQ.
a) 12 2 u2 b) 24 u2 c) 24 2 u2
d) 12 u2 e) 36 u2
12. Las rectas L1y L2son alabeadas y ortogonalessiendo AB la menor distancia entre ellas (A L1; B L2); adems se ubican R y S en L1y L2respectivamente, AB = 17; AR = 2 3;BS = 2 13. Calcula RS.
a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 12
9. Cuntos planos como mximo determinan 8puntos no colineales en el espacio?
a) 28 b) 20 c) 36d) 56 e) 60
-
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Geometra
20 Slidos GeomtricosIIPrisma - Cilindro
PRISMAEs el poliedro donde dos de sus caras son polgonos planosparalelos y sus otras caras son regiones paralelogrmicas.Un prisma se nombra de acuerdo al nmero de lados quetenga la base; por ejemplo: si la base tiene seis lados, se ledenomina prisma hexagonal.
A
B C
D
EF
h
Base
Cara lateral
Arista lateral
D'
E'F'A'
B' C'
Arista bsica
CLASES DE PRISMA
Es el que tiene las aristas laterales oblicuas con respecto
a la base (ver la figura anterior).
A Prisma Oblicuo
Es el que tiene sus aristas laterales perpendiculares ala base.
B Prisma Recto
h : altura S : rea de la base
rea lateral
Permetro de la base
h
Desarrollo de un prisma recto.
AL: rea lateral A
T: rea total V : volumen
Es el prisma recto cuyas bases son polgonos regulares.
C Prisma Regular
AL= . hPermetro
de la base( )
AT= 2Sbase+ AL
V = Sbase
. h
S
S
h
S
S
h
S
S
h
Es el prisma cuyas caras son regiones rectngulares.
D) Paraleleppedo rectangular (Rectoedro uOrtoedro)
c
b
a
d
A: rea total d: diagonal V : volumen
A = 2(ab+ac+bc)
d = a2+ b2+ c2
V = abc
-
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100
5to Secundaria
CILINDRO
Es el slido limitado por una superficie cilndrica cerrada y pordos planos abiertos entre s y secantes a todas las generatrices.
Las secciones determinadas en los planos paralelos sedenominan bases y son congruentes. La porcin de superficiecilndrica comprendida entre dichos planos es la superficielateral del cilindro, en la cual se ubican segmentos paralelos deigual longitud, cuyos extremos estn ubicados en el contornode sus bases denominadas generatrices.
Generatriz
Directriz
Superficie Cilndrica Abierta
g h
CLASES DE CILINDRO
Es aquel cilindro cuyas generatrices son perpendicularesa sus bases.
A Cilindro Recto
ASR
: rea de la seccin recta.
h = gA
SR= A
base
h = g
RR
Es aquel cilindro recto cuyas bases son crculos. Tambin
es denominado cilindro de revolucin porque esgenerado por una regin rectangular al girar una vueltaen torno a uno de sus lados.
B Cilindro Circular Recto
h : altura del cilindro.g : generatriz o generador del cilindro.R : radio de la base.
Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto.
AL= 2Rh = 2Rg
AL: rea lateral
AT= 2R (g + R)
AT: rea total
V = R2h
V : volumen
R
h=g rea lateral
2R
1) La arista lateral de un paraleleppedo rectangular mide4 cm y las otras dos medidas estn en relacin de 1 a 3.
Si el rea total es 88 cm2, calcula el volumen (en cm3)del paraleleppedo.
Resolucin:
rea total:2(12k + 4k + 3k2) = 88 k(16 + 3k) = 44 k = 2
V = 4x (2) (3 2)V = 48 cm3
4
k
4
k
3k
3k
4
-
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101
Geometra
2) Calcula el volumen de un prisma triangular recto si la basees un tringulo rectngulo circunscrito a una circunferenciaque determina sobre la hipotenusa dos segmentos de 6 y 4 u,adems la arista lateral mide 10 u.
Resolucin:
B
A
C
B'
A'
C'
46
10
Vx= S
A'B'C' BB'
En A'B'C': Propiedad
S = 4 6 = 24u2.
En (1) Vx= (24u2) (10u)
Vx= 240 u3
3) Halla el volumen de un cilindro recto de altura "h" si eldesarrollo de su superficie lateral es un rectngulo cuyadiagonal forma un ngulo de 53/2 con un lado.
Resolucin:
A B
CD
h
53/2
h
R
Vcil
= R2h
El desarrollo lateral es el rectngulo ABCD.
AB = 2
R; longitud de la circunferencia de la base2h = 2R
R =
En (1) : Vcil
= h
Vcil
=
4) Al girar un rectngulo de lados a y b alrededor del ladob se obtiene un cilindro de 288 u3de volumen y al
girar el rectngulo alrededor del lado a, se obtiene uncilindro de 384 u3 de volumen. Determina el readel rectngulo.
Resolucin:
Y
Xb
a
a2
b2
Apliquenos el teorema de Pappus - Guldin.
rea del rectngulo: S = ab
Si gira alrededor del eje X
288= 2s aS = 288
Si gira alrededor del eje Y.
384 = 2s bS = 384
Multiplicando ambos:
abS2= (2 144) (4 96)
S3= 23 123 23
S = 48 u2
a2( )
b2( )
h
( )h
2
h3
-
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102
5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3La base de un prisma recto de 8u de altura esun pentgono regular. Cunto mide el lado
de este pentgono si el rea lateral del prisma
es 120 u2?
Resolucin:
L a b a s e d e u n p r i s m a r e c t o e s
u n t r i n g u l o r e c t n g u l o d e l a d o s
8; 15 y 17 u, y el rea lateral es 400 u 2. Calcula
su volumen.
Resolucin:
Calcula el rea total de un paraleleppedo rec-tangular cuya diagonal mide 50 y la suma de
sus 3 dimensiones es 82.
Resolucin:
Halla el volumen de un cilindro de revolucin
si el rea total es 100y la suma del radio de la
base y la generatriz es 25.
Resolucin:
-
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103
Geometra
Rpta:
5
Rpta:
6Calcula el volumen de un cilindro si su altura
mide 20 m y el desarrollo de la superficie late-
ral tiene un rea de 200 m2.
Resolucin:
Un cilindro recto tiene agua hasta un cierto
nivel, se suelta un cubo metlico y el nivel
de agua sube en (4/) unidades. Calcula la
longitud de la arista del cubo si el dimetro dela base del cilindro mide 8u.
Resolucin:
8. Un cilindro es generado por la rotacin de un
rectngulo de rea igual a 10 u
2
. Calcula el realateral del cilindro.
7. El desarrollo de la superficie lateral de unprisma hexagonal regular es un cuadrado depermetro 48. Calcula el volumen del prisma.
9. En el desarrollo del rea lateral de un prismatriangular regular, la diagonal mide 6 5 y laaltura del prisma mide 12u. Halla el volumendel prisma.
10. Se tiene un prisma triangular regular. Si ladiagonal de una sus caras mide 4m y el nguloque sta forma con la base mide 60, calcula suvolumen.
11. El largo de un paraleleppedo rectngular es el
triple de la altura y el ancho es el doble de laaltura. Si la diagonal mide 2 14 m, el volumendel paraleleppedo es:
12. Calcula el rea total de un cilindro recto derevolucin cuya base tiene por rea 24 m2ycuya altura es 6 m.
-
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104
5to Secundaria
1. La base de un prisma recto de 10u de altura es
un tringulo equiltero. Calcula el lado de este
tringulo, sabiendo que el rea lateral del prisma es
120 u2.
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
d) 5 u e) 6 u
2. Calcula el rea lateral de un cilindro recto de
revolucin cuya base tiene por rea 36 m2y cuya
altura es 10m.
a) 100 m2 b) 120 m2 c) 124 m2
d) 130 m2 e) 160 m2
3. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro
recto de revolucin es un cuadrado de rea 64 m2.
Calcula el volumen de dicho cilindro.
a) 112/ m3 b) 100/ m3 c) 142/ m3
d) 128 m3 e) 168 m3
4. Un prisma regular tiene 18 aristas y cada una de
ellas mide 2 cm. Calcula su volumen.
a) 12 3 cm3 b) 18 cm3 c) 15 3 cm3
d) 18 3 cm3 e) 21 3 cm3
5. El desarrollo del rea lateral de un prisma triangular
regular tiene por diagonal 12 m y por altura 6 3 mCalcula el rea total.
a) 24 3 cm2 b) 30 3 cm3 c) 34 3 cm3
d) 38 3 cm3 e) 45 3 cm3
6. La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de
la base mide 5m. Calcula el rea total.
a) 50 cm2 b) 60 cm2 c) 80cm2
d) 100cm2 e) 110cm2
7. El desarrollo de la superficie lateral de un prismacuadrangular regular recto es un cuadrado de 2mde radio. Calcula su volumen.
a) 2 m3 b) 3 m3 c) 2 2 m3
d) 3 2 m3 e) 4 2 m3
8. Calcula el volumen de un rectoedro si su diagonalmide 10 y forma un ngulo de 45con la base y unngulo de 30con una cara lateral.
a) 25 2 u3 b) 50 2 u3 c) 75 2 u3
d) 100 3 u3 e) 125 2 u3
9. Calcula el volumen de un cilindro sabiendo, quetiene un rea lateral de 18cm2y la altura mide3m.
a) 21m3 b) 24m3 c) 27m3
d) 30m3 e) 36m3
10. La altura de un cilindro recto es de 6m y el realateral es de 24m2. Calcula el volumen.
a) 24m3 b) 48m3 c) 32m3
d) m3 e) 36m3
11. Si O es centro de la base, OA = 16 y elmOAF = 15, calcula el rea lateral.
A
FO
a) 64 b) 72 c) 84
d) 96 e) 128
12. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindrorecto de revolucin es un cuadrado de rea "k".Calcula el rea total del cilindro.
a) 2k b)k2
k(2+1) c) (2+1)
d) k2 (2+1) e) k(2+1)
-
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105
Geometra
21 Slidos GeomtricosIIIPirmide - Cono
PIRMIDEEs el poliedro donde una de sus caras es una regin poligonalcualquiera denominada base y sus otras caras son regionestriangulares que tienen un vrtice en comn. Una pirmidese nombra segn la cantidad de lados que tenga la base; porejemplo: si la base tiene seis lados, se denomina pirmidehexagonal.
Es la pirmide de base regular que tiene sus caraslaterales congruentes. Estas condiciones originan queen dicha pirmide las aristas laterales tengan longitudesiguales y el pie de la altura sea el centro de la base.
rea lateral (AL):
A) Pirmide Regular
AL= (p
base) . a
p
rea total (AT):
AT= A
L+ A
base
pbase
: Semipermetro de la base.
Es el slido limitado por una superficie cnica cerrada y unplano secante a ella que interseca a todas las generatricesde una misma hoja.
Es aquel cono recto cuya base es un crculo. Tambinse denomina cono de revolucin, porque se genera conuna regin triangular rectangular al girar una vuelta entorno a un cateto.
A) Cono Circular Recto o de Revolucin
CONO
g h
B
A
r
V
g
r
360
0
Vrtice o Cspide
O Arista Lateral
Cara Lateral
D
EF
A
B C
Altura
(h)
Arista BsicaBase
ap: Apotema dela pirmide
h
-
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106
5to Secundaria
V =r2h
3
En el grfico, se muestra un cono de revolucin.
: Altura del cono (VO = h) : Eje del cono.
VO
VO
El desarrollo de la superficie lateral de un cono derevolucin es un sector circular cuyo radio es igual a lalongitud de la generatriz de dicho cono, y cuyo arco tieneigual longitud que la circunferencia que limita la base.
B) Desarrollo de la Superficie Lateral de unCono de Revolucin
Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirmideO - ABC, sta determinar una seccin MNL (seccintransversal), la cual ser base de otra pirmide O - MNLsemejante a la primera.
MNL // ABC
Pirmide O-ABC ~ PirmideO-MNL
PIRMIDES SEMEJANTES
O
C
LM
H
A
B
G
N
Se cumple:
OA
OM
= = =
OC2
OL2=
OH2
OG2
OC3
OL3 =
OH3
OG3
rea de (O-ABC)
rea de (O-MNL)=
OA2
OM2=
OB2
ON2
=
1
2
3
OB3
ON3 =
Volumen de (O-ABC)
Volumen de (O-MNL) =
OA3
OM3
As como en las pirmides semejantes, tambin para losconos semejantes se cumplen las siguientes relaciones:
Conos Semejantes
R BA
r B
h
H
A
O
Volumen del Cono Mayor
Volumen del Cono Menor=
(OA)3
(OA)3
= R3r3
= H3h3
(OB)3(OB)3
=
3
OAOA
=OBOB
=Rr
=Hh
11
=
R2
r2=
H2
h2(OB)2
(OB)2=
rea del Cono Mayor
rea del Cono Menor=
(OA)2
(OA)22
: Medida del ngulode desarrollo.
rea lateral (AL).
rea total (AT).
r
g
2
r
g
En el grfico, se muestra un cono de revolucin y el desarrollode su superficie lateral.
rg= (360)
AL=rg
AT=r(g+r)
OB
ON
OC
OL
OH
OG
=
-
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107
Geometra
Resolucin:
2) En una pirmide triangular, el rea de su base es 18 u2y la
altura 9 u; a la tercera parte de la altura a partir del vrtice
se traza un plano secante paralelo a la base. Calcula el
volumen del tronco de pirmide determinado.
1) El volumen de un cilindro de revolucin es 12 3 m3.
Calcula el volumen de una pirmide cuya base es untringulo equiltero inscrito en la base del cilindro ycuyo vrtice est en la circunferencia de la otra base.
VTP
= [18+S+ 18.S] (1)
O - A'B'C' O - ABC
= S = 2u2
H = 6
En (1):
VTP
= [18+2+ 182]
VTP
= 2 [26]
VTP
= 52 u3 Rpta.:= 52 u3
H3
S18
(3)2
(9)2
63
3) La generatriz de un cono recto mide 10 u y que aldesarrollar su superficie lateral resulta un sector circularde 216 de ngulo central. Calcula el volumen del cono.
VC= (1)
Superficie lateral del cono = Ssector circular
Rg = g2 R = g
R = (10) R = 6
En AHO: g = 10; R = 6 h = 8
En (1):
VC=
VC= 96u3 Rpta.:= 96u3
R2h3
216360
35
35
(6)283
C
BA
R
h
Vcil
= R2h = 12 3
R2h = 12 3 (1)
Vpir
= SABC
h (2)
SABC
= (AB)2
AB = R 3 SABCD
= (R 3)2
En (2):
Vpir = . 3R2
h
Vpir
= R2h
De (1):
Vpir
= . 12 3
Vpir
= 9 m3
Rpta.:= 9 m3
34
34
34
34
34
13
13
3
6
O
A'C'
A
C
B
18u2
B'S
Resolucin:
Resolucin:
A
O
A
216
g=10 u
O
A R RH
-
7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)
24/26
108
5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3 Calcula el volumen de la pirmide triangularregular, si la altura es igual al semipermetro de
la base y AB = 2m.
Resolucin:
Del grfico, calcula el volumen de la pirmide
cuadrangular regular.
Resolucin:
A D
CB
V
6 2m
O
456u
Del grfico, calcula el volumen de la pirmide
de base cuadrangular regular.
Resolucin:
6u45
Calcula el volumen de la pirmide cuadran-gular regular cuya arista bsica es 2u y su
altura 6u.
Resolucin:
A C
V
Bh
2m
-
7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)
25/26
109
Geometra
Rpta:
5
Rpta:
6 Halla el rea total de un cono de revolucin de
13cm de generatriz y 12cm de altura.
Resolucin:
El rea lateral de una pirmide regular es 180 cm2y
el apotema de la pirmide mide 10cm. Calcula
el permetro de la base.
Resolucin:
7. El rea de la superficie total de un cono de revo-lucin es 24u2y su generatriz mide 5u. Calculael volumen de dicho cono.
9. El volumen de un cono circular recto es324 cm3. Si el radio de la base mide 9cm; lageneratriz del cono mide:
10. Una pirmide de 332u de altura es cortadapor un plano paralelo a la base determinandoun tronco de pirmide cuyo volumen es eltriple de la pirmide parcial determinada. Aqu distancia del vrtice de la pirmide se hatrazado el plano?8. Halla el rea total del siguiente cono recto.
53
15 u
O
11. El desarrollo de la superficie lateral de un conocircular recto es un sector de 120. Calculaen qu relacin est el radio de la base con lageneratriz.
12. La generatriz de un cono recto mide 5m y lasuperficie lateral desarrollada forma un sectorcircular de 216 de ngulo central. Calcula elvolumen de dicho cono.
-
7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)
26/26
5to Secundaria
2. La base de una pirmide regular es un cuadradode lado 3u y su altura es 5u. Halla el volumen delslido.
a) 45u3 b) 30u3 c) 15u3
d) 20 u3 e) 24u3
1. La base de una pirmide regular es un cuadradode 6m de lado. Si las aristas laterales tambinmiden 6m, cul es el rea total de dichapirmide?
a) 18( 3+1)m2 b) 36( 3+1)m2
c) 72( 3+1)m2e) 34( 3+1) m2 e) N.A.
3. Calcula la arista bsica de una pirmide
cuadrangular regular de 156 u2de rea total y 10
u de apotema.
a) 4 u b) 5 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
4. El volumen de una pirmide hexagonal regular,
cuya arista lateral mide 6u y forma un ngulo de
30 con la base es:
a) 35,1 u3 b) 40,1 u3 c) 55,1 u3
d) 70,1 u3 e) 29,6 u3
5. Si el rea lateral de un cono recto es el doble del
rea de su base, calcula la medida del ngulo que
forma la generatriz con la altura.
a) 10 b) 30 c) 45
d) 60 e) 75
6. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de
un cubo de 24cm2de rea total. Determina el
volumen del cono.
a) 6 cm3 b) 9 cm3 c) 8 cm3
d) 8/3 cm3 e) 83/17 cm3
7. El volumen de un cono circular recto de 32mde dimetro es 1024m3. Halla el rea total delcono.
a) 576m2 b) 320m2 c) 432m2d) 288m2 e) 360m2
8. A qu distancia del vrtice debe cortarse un
cono de 10cm de altura por un plano paralelo
a la base para que resulten dos partes equiva-
lentes?
a) 434 cm b) 3
34 cm c) 5
34 cm
d) 234 cm e)
34 cm
12. El rea total de un cono es 200m2, y el producto
de la generatriz y el radio es 136m2. Calcula su
volumen.
a) 165m3 b) 180m3 c) 230m3
d) 285m3 e) 320m3
9. Calcula el rea lateral de un cono que se genera
al girar un tringulo rectngulo issceles de rea
12cm2alrededor de una cateto.
a) 24cm2 b) 12 2cm2 c) 12cm2
d) 24 3cm2 e) n.a.
10. Halla el volumen de una pirmide triangularregular cuya base tiene 6cm de lado y adems laaltura de la pirmide mide8 3cm.
a) 72 cm3 b) 108 cm
3 c) 140 cm
3
d) 156cm3
e) 204 cm3
11. El rea lateral de un cono de revolucin es
60cm2 y su generatriz mide 12cm. Halla la
longitud de la circunferencia de la base.
a) 10 cm b) 8cm c) 5 cm
d) 6 cm e) N.A.