geometría i

8

QUINTO AÑO

TEMA: SEGMENTOS

GEOMETRÍAEs una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio

de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.

División

A. Geometría Plana o PlanimetríaQue se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo:, el ángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.

B. Geometría del Espacio o EstereometríaQue se ocupa del estudio de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.

Figuras Planas:

Figuras Sólidas:

Línea RectaConcepto matemático no definible. Se considera como un

conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.

: se lee, recta AB

Geometria 1

QUINTO AÑO

: se lee, recta L

SEGMENTOPorción de línea recta limitada por dos puntos llamados

extremos del segmento.

: se lee, segmento AB

Medida del SegmentoNúmero de veces de una unidad de longitud.

m ó AB: se leen, medida del segmento AB

Ejemplo:

AB = 8Punto Medio de un Segmento

Punto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del , entonces AM = MB = a.Operaciones de Longitudes de Segmentos

Para el gráficoSuma: AB +BC + CD = ADResta: AB = AD – BDMultiplicación: AC = 5CD

Geometría 2

QUINTO AÑO

División:

SATÉLITE AMBIENTAL

El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. P, Q, R, y S son puntos consecutivos de una recta, tal que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcular “QR”.Rpta.

2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos. A, B, C, y D; tales que: AB

= 2CD y3AC–BC=20, calcular “AD”Rpta.

3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C, de modo que:

Geometria 3

QUINTO AÑO

Calcular:

Rpta.

4. Sean los puntos A, B, C, y D colineales y consecutivos tal que “C” es punto medio de y BD – AB = 12Calcular: “BC”Rpta.

5. A, B, C, D, y E son puntos colineales y consecutivos, tales que:

Y AC+BD+CE

= 40Calcular: “AE”

Rpta.

6. A, B, C, y D, son puntos colineales y consecutivos tal que:AB + CD = 40 y AD = 6BCCalcular: “AD”

Rpta.

7. Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales y consecutivos tal que:AB = 8 y AB – BD = AC . CDCalcular: “CD”

Rpta.

8. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, O, M, y B; de modo que AO = OB. Calcular el valor de la siguiente expresión:

Rpta.

9. Se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, y D tal que “B” es punto medio de y AD = 5BCSi: CD = 12; calcular: “AB”

Rpta.

10. En una recta se ubican los puntos A, B, y C; tal que M es el punto medio de Calcular AM, si AB + AC = 12.

Rpta.

11. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, y C;

Geometría 4

QUINTO AÑO

tales que AC = 6 yAC . AB = 2(AB2–BC2)Calcular: “AB”

Rpta.

12. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que:AC + BD = 5(AB + CD)Calcular: “ ”

Rpta.

13. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que:4CD = 3AB y 4AD + 3BC = 70

Calcular: “AC”

Rpta.

14. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F; tal que AB = DE;BC = EF y AD + CF = 148Calcular: “BE”

Rpta.

15. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E; tal que:AB = 3BE ; AC = 80Calcular BD, si BC + 3DE = 20

Rpta.PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que:AC = BD; CE = DF; AB+EF = 96Calcular: “CD”

A) 96

B) 24

C) 68

D) 64

E) 48

2. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D, y E; tal que:AD+BE = 70;

Calcular: “BC”

A) 6 B) 12 C) 18D) 10 E) 28

3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F de modo que:3AF = 7BE = 10CDAC + BD + CE + DF = 50

Geometria 5

QUINTO AÑO

A) 4,5 B) 9,5 C) 12,5D) 10,5 E) 7,5

4. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D; de manera que.

Calcular “CD”; si AB = 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

5. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, O y C de modo que: “O” sea punto medio de . Calcular:AO2 – BO2

A) AC2 – AB2B) 2AB . ACC) AB . AC

D) AB . AC

E)

6. En una misma recta se ubican los puntos

consecutivos: A, B, C, y D; si:

; AB = a; CD = bCalcular: “BC”

A) B)

C) (2a–b) D)

E)

7. Se tiene los puntos colineales: A, B, C, y D. Siendo “E” y “F” puntos medios de y , calcular EF, si AC + BD = 20

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 30

8. Se tiene los puntos colineales A, B, C, y D, dispuestos de modo que:AD = 10; CD = AB + BC.

Calcular “BD”

A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 8

Geometría 6

QUINTO AÑO

9. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D, y E; situados de tal forma que AC + BD + CE = 45;

Calcular “AE”

A) 21 B) 23 C) 25D) 27 E) 29

10. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E de manera que:AB = BC; CD = 2DE

Calcular: AD; si: AB + AE = 6

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

CLAVES

1. E

2. D

3. D

4. B

5. C

6. D

7. B

8. C

9. D

10. D

Geometria 7

QUINTO AÑO

TEMA: ÁNGULOS

ÁNGULO

DefiniciónReunión de dos rayos con un mismo origen. Dicho origen se

llama vértice y los rayos denominados lados.

. m ∢ A0B = .

CLASES DE ÁNGULOS

Según su Medida

1. Ángulos Convexos

∢ Agudo. 0 < < 90º .

∢ Recto. = 90º .

∢ Obtuso. 90º < < 180º .

2. Ángulos No Convexos

. 180º < < 360º .

Geometría 8

QUINTO AÑO

Según su característica

1. Ángulos Adyacentes

2. Ángulos Consecutivos

3. Ángulos ComplementariosDos ángulos son complementarios, si sus medidas suman 90º.

. + = 90º .También:C : Complemento de . C = 90 – .C : Complemento de . C = 90 – .

4. Ángulos SuplementariosDos ángulos son suplementarios, si su medidas suman 180º.

Geometria 9

QUINTO AÑO

. + = 180º .

También:S : Complemento de . S = 180 – .S : Complemento de . S = 90 – .

5. Ángulos Opuestos por el vértice

BisectrizEs el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo

. : Bisectriz del ∢A0B .

Geometría 10

QUINTO AÑO

Propiedad:

. m ∢ x 0 y = 90º .

Demuéstralo:

Geometria 11

QUINTO AÑO


1. Calcular el complemento de la medida de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160.

Rpta.

2. Calcular el suplemento del complemento de 70

Rpta.

3. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es igual a 100. calcular dicha medida

Rpta.

4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es igual a 40. calcular la medida del ángulo mayor.

Rpta.

5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al quíntuplo de la medida del ángulo. Calcular dicha medida.Rpta.

6. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que ésta es igual a un octavo de su suplemento.Rpta.

7. La diferencia entre el suplemento y el complemento de es igual a 6. Calcular .Rpta.

8. : recta; m∢A0D = 160ºm∢BOD = 170º, calcular: m∢B0C

Rpta.

9. : bisectriz del ∢B0D;m∢A0B = 20º; m∢AOD = 80º; calcular: m∢A0C.

Geometría 12

QUINTO AÑO

Rpta.

10. : bisectriz del ∢A0D;m∢A0B = 20º; m∢BOD = 60º; calcular: m∢BOC.

Rpta.

11.m∢AOC = 100º; m∢BOD = 90º. Calcular: m∢X0Y

Rpta.

12.m∢C0D = 28; calcular m∢A0B, si: (m∢A0B)(m∢A0C) =(m∢A0C) (m∢COD)

Rpta.13.Se tienen los ángulos

consecutivos A0B, BOC, y COD, m∢A0B + m∢C0D = 70º.Calcular: m∢X0Y; , bisectriz del ∢A0C y bisectriz de m∢B0D.

Rpta.

Geometria 13

QUINTO AÑO

14.Se tienen 5 ángulos cuyas medidas suman y forman una progresión aritmética.. si la medida del menor ángulo es igual a la raíz cuadrada de la medida del mayor. Cuanto mide el menor ángulo.

Rpta.

15.Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40. calcular la medida del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por la bisectriz de los ángulos dados

Rpta.

“TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”

MÓNICA BUONFIGLIO

Geometría 14

QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. En la figura, calcular “”

A) 10ºB) 20ºC) 35ºD) 30ºE) 25º

2. En la figura, calcular la m∢P0Q

A) 60ºB) 90ºC) 120ºD) 45ºE) 140º

3. Calcular el suplemento de “”

A) 100ºB) 120ºC) 140ºD) 160ºE) 150º

4. Si: m∢A0C + m∢BOD = 140. Calcular “x”

A) 40ºB) 20ºC) 50ºD) 60ºE) 30º

5. S: SuplementoC: ComplementoCalcular: SC(40º)

Geometria 15

QUINTO AÑO

A) 100ºB) 80ºC) 130ºD) 150ºE) 110º

6. S: Suplemento:C: Complemento

A) 1B) 2C)D) 4E) 5

7. Calcular la m∢P0Q; si lam∢A0C = 60º y m∢B0D = 80º.C: Complemento

A) 65ºB) 70ºC) 68ºD) 75ºE) 90º

8. Si. es bisectriz del ∢A0C y m∢A0B - m∢B0C = 40.Calcular “x”

A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 25ºE) 40º

9. En la figura mostrada calcular , si: m∢BON = 22º; es bisectriz del ∢A0X y es bisectriz del ∢A0X.

A) 54ºB) 56ºC) 55ºD) 53ºE) 52º

10. Se tienen los ángulos consecutivos ∢A0B, ∢B0C

Geometría 16

QUINTO AÑO

y∢COD, tal que:m∢A0C – m∢BOD = 10º ym∢MON = 100ºSiendo y bisectrices de los ángulos

∢A0B y ∢COD respectivamente.Calcular: m∢A0C

A) 105ºB) 104ºC) 103ºD) 102ºE) 101º

CLAVES

1. E

2. B

3. D

4. C

5. C

6. A

7. B

8. C

9. B

10. A

Geometria 17

QUINTO AÑO

TEMA: ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Ángulos CorrespondientesUn interno y el otro externo, a un mismo lado.

. = .

Ángulos Alternos InternosAmbos internos uno en cada lado.

. = .

Ángulos Conjugados InternosAmbos internos y en un mismo lado

. + = 180 .

Propiedades:

1. . x = + .

Geometría 18

QUINTO AÑO

2.

. x = 90 .

3.

. + = a + b + c .

4.

. + + + + = 180º .

5. . + + + + = 180º . n .n = Nº de Segmentos

Geometria 19

QUINTO AÑO

6. Ángulos Paralelos

. = .

. + = 180 .

Geometría 20

QUINTO AÑO


1. // . Calcular “x”

Rpta.

2. // , calcular “y”

Rpta.

3. // , calcular “x”

Rpta.


Rpta.


Rpta.


Rpta.


Geometria 21

QUINTO AÑO

Rpta.


Rpta.


Rpta.10. En la figura // ;

+=220º. Calcular “x”

Rpta.

11. En gráfico, si: // , además: - = 75; calcular: “x”

Rpta.

12. En el gráfico // . Calcular “”

Rpta.

13. En el gráfico, calcular “x”

Geometría 22

QUINTO AÑO

Rpta.

14. En la figura // y se tienen “n” ángulos de medidas . Calcular “”

Rpta.

15. En el gráfico // , calcular .

Rpta.

“EL MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”

BACH

Geometria 23

QUINTO AÑO


1. Si: // ; calcular “”

A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 40ºE) 50º

2. // ; calcular “x”

A) 7ºB) 8ºC) 9ºD) 10ºE) 11º

3. Calcular “x”; - = 20

A) 15ºB) 20ºC) 25ºD) 30ºE) 35º

4. Calcular el ángulo “x”, siendo: // .

A) 60º B) 53º C) 45ºD) 37º E) 30º

5. En la figura: // , calcular “x”.

A) 110ºB) 130ºC) 140ºD) 150ºE) 155º

6. En la figura: // , calcular “”

A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 45º

Geometría 24

QUINTO AÑO

7. // ; calcular “x”

A) 20ºB) 25ºC) 30ºD) 35ºE) 40º

8. Del gráfico, hallar “x”, si // .

A) 60º B) 53º C) 45ºD) 37º E) 30º

9. Si: // y + = 66º. Calcular el valor de “y”

A) 133ºB) 114ºC) 166ºD) 111ºE) 100º

10. En la figura mostrada// ; AM = MB y AN =

NC. Calcular el valor de “x”

A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 45º

CLAVES

1. C 6. B

Geometria 25

QUINTO AÑO

2. C

3. E

4. C

5. D

7. C

8. B

9. B

10. D

Geometría 26

QUINTO AÑO

TEMA: TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS

DefiniciónReunión de tres segmentos formados al unir tres puntos no

colineales.P = punto interiorQ = punto exterior

NotaciónABC se lee: triángulo ABC

ElementosVértices: A, B, y C.Lados: , y .

Longitud de sus lados: a, b, y cm∢ internos: , y m∢ externos: 1 . 2 y 3

Perímetro: 2p = a + b + c

Semiperímetro:

Clasificación

I. Por la Medida de sus Lados

Geometria 27

QUINTO AÑO

Equilátero

3 lados

Isósceles

2 lados

Escaleno

3 lado

II. Por la Medida de sus Ángulos

AcutánguloEs aquel que tiene sus 3 ángulos internos agudos.

(0 < n < 90)

ObtusánguloEs aquel que tiene un ángulo interno obtuso.

(90 < < 180)

Rectángulo:Es aquel que tiene un ángulo interno rectoa y b : catetosc: hipotenusa

PROPIEDADES BÁSICASExistencia del Triángulo

1. . b-c <a <b + c .

Geometría 28

QUINTO AÑO

2.

. aº + bº + cº = 180º .

3.

. xº + yº + zº = 360º .

4.

. .

5. A mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa

. Si: > > a > b > c .

Geometria 29

QUINTO AÑO

Propiedades Particulares

6.

. aº + bº = xº + yº .

7.

. aº + bº = xº + yº .

8.

. xº = aº + bº + cº .

9.

. aº + bº = xº + yº .

10. Si: AB = BC El triángulo ABC es equilátero

Geometría 30

QUINTO AÑO

11.

. x = 180º – (º + º) .

12.

. x = 90º - º .

13. Si.

Teorema de Arquímedes

Geometria 31

QUINTO AÑO

. AD + CD < AB + BC .

Demuéstralo:

“EL SILENCIO ES ELEMENTO EN EL CUAL SE FORMAN LAS MÁS GRANDES COSAS Y DEBE SER EL PRINCIPIO Y EL FIN DE TODA REALIZACIÓN”

JORGE ADOUM

Geometría 32

QUINTO AÑO


1. En un triángulo ABC;AB = 9 – x; BC = 2x – 12; además: m∢A > m∢C, calcular “x”. Si se sabe que es un número entero.

Rpta.

2. Si los lados de un triángulo miden: 12; (x+4); (x+5). Calcular el menor valor entero de “x”, para que dicho triángulo exista.

Rpta.

3. De la figura: BC = EC. Calcular “x”

Rpta.

4. Si: + = 40º; AB = BF;m∢EBC = 90º. Calcular “x”

Rpta.

5. Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 7. Calcular la suma de los valores enteros impares que puede tomar la medida del tercer lado.

Rpta.

6. En la figura, AB = BD y AD = DC, si: m∢BAC = 69º, calcular “x”.

Rpta.

7. En el gráfico: BC = 9; BE = 4; calcular FC

Geometria 33

QUINTO AÑO

Rpta.

8. De la figura AB = BD. Calcular m∢C.

Rpta.

9. SI AB = AD = DC; calcular “x”

Rpta.

10. Calcular “a+b+c+d+e+”

Rpta.

11. En la figura, calcular “x”

Rpta.

12. En la figura, calcular “x”.

Rpta.

13. En la figura. calcular “”

Geometría 34

QUINTO AÑO

Rpta.

14. Según el gráfico

El triángulo ABC es:

Rpta.

15. En la figura el triángulo ABC es escaleno. ¿Cuántos triángulos existen, si la medida del lado es entero?

Rpta.

EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

DYALAY–AL–DIN–RUMI

Geometria 35

QUINTO AÑO


1. De la figura, calcular “x”

A) 15ºB) 20ºC) 30ºD) 35ºE) 32º

2. Calcular “ + ”

A) 120ºB) 110ºC) 130ºD) 125ºE) 140º

3. De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:

A) IsóscelesB) EquiláteroC)AcutánguloD)RectánguloE) Obtusángulo

4. De la figura:ED = DC; m∢BED = m∢BDE. Si: AE = 7; calcular “BD”

A) 10,5B) 7C) 9D) 7,5E) 14

5. De la figura:AB = AE; AF = FE; FD = DC;EC = FCCalcular: m∢BAC.Si: m∢FDC=40º

Geometría 36

QUINTO AÑO

A) 45ºB) 75ºC) 65ºD) 55ºE) 85º

6. Del gráfico adjunto determina la relación correcta (PQ= PR).

A) 3x = 2

B) 5x = 2

C) 7x = 3

) 4x =

E) 7x = 2

7. Si - = 110º. Calcular: .

A) 30ºB) 8ºC) 10ºD) 12ºE) 15º

8. Calcular x, si AB = BC y TC = TD

A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 30ºE) 40º

9. Calcular x, si: - = 18

A) 16ºB) 17ºC) 18ºD) 19ºE) 36º

10. Del gráfico, calcular: x. SiAB = BC y m∢ABC = 40.

Geometria 37

QUINTO AÑO

A) 45B) 75C) 65D) 55E) 85

CLAVES

1. D

2. C

3. D

4. B

5. C

6. E

7. A

8. E

9. C

10. E

TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES

ALTURASegmento que sale de un vértice y corta en forma

perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Geometría 38

QUINTO AÑO

Ortocentro (H)Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un

triángulo.H: Ortocentro.

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.

MEDIANASegmento que une un vértice con el punto medio del lado

opuesto a dicho vértice.

Baricentro (G)

Geometria 39

QUINTO AÑO

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.G: Baricentro

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2.EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZSegmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos

ángulos de igual medida.

Incentro (I)Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores

de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita

Geometría 40

QUINTO AÑO

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.

Excentro (E)Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con

una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.

MEDIATRIZEs una recta que pasa por el punto medio de un lado

cortándolo en forma perpendicular.

: Mediatriz de Circuncentro (O)

Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.

Geometria 41

QUINTO AÑO

C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.

Propiedad:Si: “0” es circuncentro

Geometría 42

QUINTO AÑO

. x = 2 .

CEVIANASegmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado

opuesto o de su prolongación.

Cevacentro (C)Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

PARA RECORDAR:TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.

Geometria 43

QUINTO AÑO

OBSERVACIONES:- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS

LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS

CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.

- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.

- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.

Geometría 44

QUINTO AÑO

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES

1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.

. .

2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores.

. .

3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior.

. .

4. . .

Geometria 45

QUINTO AÑO

5.

. .

6.

. .

7. . .

Geometría 46

QUINTO AÑO

Geometria 47

QUINTO AÑO


1. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores de los ángulos A y B que se intersectan en P, si la:m∢APB=2m∢CHallar m∢C

Rpta.

2. En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el punto A, tal que m∢Q = 2m∢PAR. Calcular la m∢Q

Rpta.

3. Si y son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcular “x”

Rpta.

4. En un triángulo ABC, calcular la medida del menor ángulo que forman las bisectrices exteriores de A y C si se cumple que:m∢A + 2m∢B + m∢C = 236º

Rpta.

5. Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se intersectan en E. Calcular la m∢N, si2m∢N + m∢MEP = 117º.

Rpta.

6. En un triángulo ABC la mediana y la bisectriz

se intersectan perpendicularmente. Calcular:

Rpta.

7. Calcular “x”:

Geometría 48

QUINTO AÑO

Rpta.

8. Calcular “x”

Rpta.

9. Calcular “x”

Rpta.

10. Si es bisectriz del ∢ABC es bisectriz del m∢ACE y

m∢BAC = 50; calcular la m∢BDC.

Rpta.

11. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , en la prolongación de se toma un punto “H” y luego se traza perpendicular a

. Calcularm∢DHG, si m∢A – m∢C = 40º.

Rpta.

12. En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal que BE = BC. Si la m∢ABC = 80Calcular m∢A

Rpta.

13. En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C

Geometria 49

QUINTO AÑO

forman un ángulo que mide 36, si la:m∢A - m∢C = 20ºCalcular m∢A0B

Rpta.

14. En un triángulo ABC las bisectrices interiores A y C se intersecan en I. Por I se traza una paralela a

que interseca en P a y Q en . Calcular

PQ, si AP+ QC = .

Rpta.

15. En la figura // , AM = 4 y NC =7. Calcular: MN

Rpta.

Geometría 50

QUINTO AÑO

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA

Geometria 51

QUINTO AÑO


1. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior

, tal que m∢BDA = 72º y m∢BDC = 35º. Calcular la m∢BAD.

A) 56ºB) 63ºC) 70ºD) 71ºE) 77º

2. Si: m + n = 80º; calcular “x”

A) 20º B) 30º C) 40ºD) 45º E) 60º

3. Calcular “x”; si // .

A) 20ºB) 55ºC) 65ºD) 45ºE) 70º

4. En la figura, m∢BAC = 80º ym∢BCA = 40º. Calcular lam∢DEC.

A) 105ºB) 115ºC) 100ºD) 95ºE) 85º

5. Calcular “”

A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 20º

6. En un triángulo ABC por E excentro relativo a

, se traza una paralela

Geometría 52

QUINTO AÑO

a que interseca a en M y a en N. Calcular MN, si AM = 9 yNC = 6.

A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

7. En un triángulo ABC,m∢A = 2m∢C. Se traza la bisectriz interior . Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10.

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

8. En un triángulo ABC: I es incentro, si la m∢AIC = 3m∢B. calcular la m∢B.

A) 24ºB) 36ºC) 54º

D) 45ºE) 30º

9. Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ.

A) 8B) 16C) 24D) 18E) 32

10. En un triángulo dos de sus lados suman 28. calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado

A) 12B) 13C) 14D) 15E) 16

Geometria 53

QUINTO AÑO

CLAVES

1. D

2. C

3. B

4. A

5. E

6. E

7. B

8. B

9. B

10. C

Geometría 54

QUINTO AÑO

TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓNDos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados

congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.

ABC = PQR

OBSERVACIÓN:EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.

CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS1. Caso (L.A.L.)

2. Caso (A.L.A.)

Geometria 55

QUINTO AÑO

3. CASO (L.L.L.)

4. Caso (L.L.A.)

: Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. De la BisectrizTodo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.

Geometría 56

QUINTO AÑO

. .

2. De la MediatrizTodo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

. PA = PB .

3. De la Base Media de un TriánguloEl segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.Si: // Si: M y N son puntos medios

. BN = NC . . .

4. De la Mediana Relativa a la HipotenusaLa mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

Geometria 57

QUINTO AÑO

. .

CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA

Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó:

- ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?

Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue:

- Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.


1. Del gráfico, calcular AB, si PQ=4

Geometría 58

QUINTO AÑO

Rpta.

2. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior

y luego se traza la mediatriz que interseca a la prolongación de en “E”. Si la m∢A = 40º; calcular la m∢EBC.

Rpta.

3. Calcular PQ.

Rpta.

4. Calcular AC, si BD = 10

Rpta.

5. En un triángulo ABC: AB+BC=14 y “M” es punto medio de . Si se traza

perpendicular a la bisectriz exterior de B, calcular MH

Rpta.

6. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), AB = 4 yAC = 10. si la bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz de se intersecan en el punto “P”, calcular la distancia de P a .

Rpta.

7. Si en un triángulo ABC en se ubica el punto “D”, de modo que la mediatriz de interseca a BD en su punto medio.

Geometria 59

QUINTO AÑO

Si la m∢A=60 y AB=12. Calcular DC.

Rpta.

8. Dos lados de un triángulo miden 2 y 10. calcular la medida de la mediana referente al tercer lado, si toma un valor entero

Rpta.

9. En un triángulo ABC (recto en B) m∢C=36º, en

se ubica el punto “Q” tal que m∢ABQ = 18º. calcular BQ si AC = 2.

Rpta.

10. Se tiene un triángulo cuyo perímetro es 36. se trazan dos bisectrices exteriores y desde el tercer vértice se trazan perpendiculares a estas bisectrices. Calcular la medida el segmento que une los pies de las perpendiculares.

Rpta.

11. Calcular “x”

Rpta.

12. En un triángulo rectángulo ABC, m∢B=90º, la mediatriz relativa a la hipotenusa interseca a e P y a la prolongación de en Q. Si la m∢APB=70º. Calcular lam∢AQP.

Rpta.

13. En un triángulo rectángulo ABC, la mediatriz de la hipotenusa

interseca a en “N”. Si NC = 2 BN, calcular la m∢C.

Rpta.

Geometría 60

QUINTO AÑO

14. En la figura AB = 7, AC = 15 y “M” es punto medio de . Calcular PM.

Rpta.

15. En el gráfico es mediana y BC = 12. Calcular BM.

Rpta

PESA MUCHO MÁS EL ODIO QUE EL AMOR DE LOS HOMBRES, YA QUE TODO AQUEL QUE SE DEJA LLEVAR POR EL ODIO TRABAJA PARA SÍ, MIENTRAS QUE EL QUE SE GUÍA POR EL AMOR ACTÚA PARA EL PRÓXIMO; NADIE LLEGA A EXALTARSE HASTA EL PUNTO DE SERVIR A LOS DEMÁS POR ENCIMA DE SÍ MISMO.

EPICLETO

Geometria 61

QUINTO AÑO


1. En un triángulo ABC la medida del ángulo exterior en el vértice A es el triple de la medida del ángulo C, además la mediatriz interseca a en P. Calcular BP, siBC – AB = 9.

A) 3B) 6C)D) 4E) 5

2. Él triángulo ABC es isósceles, AB=BC y la altura trazada desde C mide 10. si P es un punto cualquiera del lado , calcular la suma de las distancias de P a los lados congruentes.

A) 5B) 6C)D) 10E) 15

3. En la figura AB = 12 y AM = 7, calcular PQ

A) 4B) 2C) 6D) 5E) 3

4. En un triángulo ABC,m∢A=105º, m∢C=25º y AB = 9. Si la mediatriz de

interseca a en P, calcular PC.

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que AC=10 y m∢C=26,5º. calcular la medida de la altura BH.

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

6. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo agudo mayor a la mediatriz de la hipotenusa se intersecan en un punto sobre el

Geometría 62

QUINTO AÑO

cateto mayor. Calcular la medida de uno de los ángulos agudos.

A) 75ºB) 60ºC) 53ºD) 45ºE) 37º

7. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en A es el triple de la medida del ángulo C. La mediatriz de interseca a en Q tal que: , calcular AB.

A) 3B) C)D) E) 4

8. En un triángulo ABC, AB=6 y AC=9. Por B se traza perpendicular a la bisectriz interior . Si N es el punto medio de , calcular PN.

A) 2,5B) 1C) 3,5D) 2E) 1,5

9. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que lam∢ABM=50º y m∢MBC=65º. Si AB=18, calcular BM.

A) 6B) 8C) 9D) 12E)

10. Si AE = EF, DE = 4 y es bisectriz del ∢ACB,

calcular AC.

A) 4B) 6C) 8D) E) 12

CLAVES

1. C

2. D

6. B

7. D

Geometria 63

QUINTO AÑO

3. D

4. D

5. B

8. E

9. C

10. C

Geometría 64

QUINTO AÑO

TEMA: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

POLÍGONODefinición

Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.

ElementosVértices : A, B, C, D,...Lados : , , , ,...m ∢ internos : , , ,...m ∢ externos : x, y, z,...Diagonales : , , ,...Diagonales medias : , , ,...

Polígono ConvexoEs cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es

decir, mayores que cero y menores que 180º.

Clasificación de los Polígonos Convexos1. Polígono Equiángulo

Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes

Geometria 65

QUINTO AÑO

2. Polígono EquiláteroCuando tienen todos su lados congruentes

3. Polígono RegularCuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes

Polígonos No ConvexosCuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir

mayores que 180º y menores que 360º.

Denominación de los PolígonosTriángulo.............................................3 ladosCuadrilátero.........................................4 ladosPentágono...........................................5 ladosHexágono............................................6 ladosHeptágono...........................................7 ladosOctógono.............................................8 lados

Geometría 66

QUINTO AÑO

Nonágono o eneágono.........................9 ladosDecágono..........................................10 ladosEndecágono o Undecágono...............11 ladosDodecágono.......................................12 ladosPentadecágono..................................15 ladosIcoságono..........................................20 ladosEnégono..............................................n lados

Propiedad para todo Polígono ConvexoSi “n” es el número de lados de un polígono convexo, se

cumple que:1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:

. Sm∢i = 180 (n – 2) .

2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:. Sm∢i = 360 .

3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:. Di = (n – 3) .

4. Número total de diagonales:. .

5. Número total de diagonales medias:. .

6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos

. .

En Polígonos Regulares y Equiángulos7. Medida de un ángulo interno:

. .

8. Medida de un ángulo exterior:

Geometria 67

69

QUINTO AÑO

. .

CUADRILÁTERODefinición

Es un polígono de 4 lados.

. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 .

Clasificación General

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos1. Trapezoide

Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2. TrapeciosTienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos

Geometría 68

QUINTO AÑO

Propiedad del Trapecio- Mediana de un trapecio

. .- Segmento que une los puntos medios de las diagonales

. .

3. ParalelogramosAquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.

Geometria 69

QUINTO AÑO

Propiedades Generales1.

. .

2.

. .

3.

// PQ = RS

4. . .

Geometría 70

QUINTO AÑO

5. En trapecios isósceles. .

. .

6. En triángulos

7. En trapecios

8. Segmento que une los puntos medios de las bases

Si: + = 90º : . .

Geometria 71

QUINTO AÑO

9. En paralelogramos

. x = b – a .

10. En paralelogramos

. .PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo donde el cociente de su total de diagonales y su número de lados es “0”

Rpta.

2. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales es igual al triple de su número de vértices?

Rpta.

3. Calcular la suma de las medidas de los ángulos

internos de un polígono regular si: 9m∢ext=5DT.

Rpta.

4. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono regular, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es 15/2 de la medida de un ángulo externo?

Rpta.

5. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo si al quitarle un lado su total

Geometría 72

QUINTO AÑO

de diagonales disminuye en 7?

Rpta.

6. En un cuadrado ABCD, se construye interiormente el triángulo equilátero AED, calcular m∢AEB.

Rpta.

7. En un rombo ABCD, AB = 5;m∢A = 53º. ¿Cuánto mide la altura relativa a ?

Rpta.

8. Calcular “x”, si //

Rpta.

9. En la figura calcular AD, si //

Rpta.

10. Si ABCD es un romboide y AB=18. Calcular “x”

Rpta.

11. Si ABCD es un romboide. Calcular “x”

Rpta.

12. En la figura, calcular AE.

Geometria 73

QUINTO AÑO

Rpta.

13. ¿Cuánto mide el ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles, si una diagonal mide la suma de las medidas de las bases?

Rpta.

14. En la figura, calcular AC.

Rpta.

15. Calcular la distancia entre los puntos medios de y , si // .

Rpta.

SATÉLITE DE COMUNICACIONES SYNCOM

Geometría 74

QUINTO AÑO

El satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.

Geometria 75

QUINTO AÑO


1. Si la medida del ángulo externo de un polígono regular es “k” veces el interior. Calcular “k” (k Z).

A) 1 y 3 B) 1 y 2 C) 1 y 4D) 2 y 3 E) 2 y 4

2. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono equiángulo, si la suma de las medidas de 7 ángulos internos es 1134?

A) 20 B) 25 C) 30D) 35 E) 40

3. Es un polígono regular ABCDE.... la m∢ACE = 144. ¿Cuántas diagonales medias tiene?

A) 100 B) 150 C) 160D) 170 E) 190

4. Si el número total de diagonales de un polígono regular es igual a 1/3 de la diferencia entre su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma

de las medidas de sus ángulos internos. Calcular dicho perímetro.

A) 70 B) 71 C) 72D) 73 E) 74

5. En el gráfico, calcular “x”

A) 75º B) 72º C) 90ºD) 60º E) 54º

6. En un trapecio ABCD;m∢A=m∢B=90; las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersecan en P. Calcular AB, si la distancia desde el punto P a es 4.

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 16

7. En un rombo ABCD, se traza

⊥ , tal que AH = HD, calcular m∢C.

A) 30º B) 45º C) 40ºD) 60º E) 75º

Geometría 76

QUINTO AÑO

8. En un trapecio ABCD se sabe que: mB = 2mD; BC = 4; AB = 5. calcular la medida de la base mayor

.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

9. En un romboide ABCD se traza la bisectriz (M en ). Si AB = 6, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de y .

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 2

10. En la figura el lado del cuadrado ABCD es 2, calcular PB.

A) B)C) D)E)

Geometria 77

QUINTO AÑO

CLAVES

1. A

2. A

3. A

4. A

5. A

6. A

7. D

8. D

9. B

10. B

Geometría 78

808080

QUINTO AÑO

ÍNDICE

PÁG.

SEGMENTOS..................................................................................................................................................................................................7

ÁNGULOS...................................................................................................................................................................................................14

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS..........................................................................................................................................................................24

TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS.............................................................................................................................................................33

TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES....................................................................................................................................................45

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS......................................................................................................................................................................58

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS.......................................................................................................................................................................67

Geometria 79

geometría i

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