geometría de proporción prof: isaías correa m.. geometría de proporción i
TRANSCRIPT
Geometría de Proporción
Prof: Isaías Correa M.
Geometría de Proporción I
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
3.5 Postulados de semejanza
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4 Área = 4
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a · bc
• Entre los PerímetrosEntre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo: Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
• Entre las ÁreasEntre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
E
F
D
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
4 10
Q
R
P
6
Solución:
10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
ABPR
10QR
46
= =
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razón de semejanza
4º Postulado: LLA>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
B
C
D E
FEjemplo:
A
Razón de semejanza: 1 : 2
4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= m n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= m n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8
BA D812
20Solución:
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB
= = nADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX
= AX BX
ó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5
OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ
Solución:
(AP)2 = (AP + 5)∙5
(AP)2 = 5∙AP + 25
(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
5
PA B
(AP)2 = AB∙PB
Geometría de Geometría de Proporción IIProporción II
APRENDIZAJES ESPERADOS:APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Conocer el teorema de Apolonio.
• Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides.
• Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.
Segmentos proporcionales
Contenidos
2. Teorema de Euclides
1. Teorema de Apolonio
3. Teorema de Thales
Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz)
b
u
a
v
=
b
vu
a
D
Este teorema es válido para cualquier triángulo.
En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción:
D
9
5
10
Solución:
Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene:
9
AD
10
5
= AD = 9
2
Ejemplo:
En la figura, determinar el valor de AD.
2. Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:
Además, se cumple que:
∙hc2 = p q
a2 = c q ∙
b2 = c p ∙
hc = a·b c
T. De la Bendición
T. De la Derecha
T. De la Izquierda
T. De la Altura
De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo:
Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición)
CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD = 4 3∙
CD = 2 3
Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que:
AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
AC2 = 7 4 ∙
2 7
2 3
C
D
F
E
A
B
L1
L2
L3
3. Teorema de Thales
Sean L1 // L2 // L3, entonces:
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:
ABBC
DEEF
= BCAC
EFDF
= ABAC
DEDF
=
a) Forma de Escalera:
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Sean L1 // L2, entonces:
A
O
C
DB
L1
L2
OAAB
OCCD
= OAOB
OCOD
=
OAAC
OBBD
= OCAC
ODBD
=
ABOB
CDOD
=
OAOB
ACBD
= OCOD
ACBD
=
Sean L1 // L2, entonces:
L1
L2
A
C
B
O
D
AOOD
BOOC
= ABCD
AOOD
= ABCD
BOOC
=
c) Forma de Reloj de Arena:
Ejemplos:
1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
A
O
C
DB
L1
L2
5
7
36
Solución:
Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»:
OAAC
OBBD
= 5 AC
1236
= AC = 15
2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y.
Solución:Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales:
L1
L2
A
C
B
O
D
x + y
2y
2x
ABCD
AOOD
= x+y 2x
2yOD
= 4xyx+y
OD =
Ahora a estudiar….