GeoGebra segítségével bizonyított feladatok

VIII. osztály

II. félév

A Digitaliada programban résztvevő iskolák matematika tanárai által összeállított kiadvány, koordinálta Adina

Roșca Oktatási Szakértő

A jelen dolgozatban olyan szövegek és illusztrációk találhatóak, amelyeket az Orange Alapítvány szerzői joga véd, az AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) feltételeinek megfelelően. Ezeket

a https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ címen találhatjuk meg. Az itt megjelenő illusztrációk a javasolt alkalmazások képernyőmásolatai. A borító, az illusztrációk, bejegyzett védjegyek, az Orange Alapítvány és Digitaliada logók, valamint minden más, a borítón megjelenő márkaelem szerzői jogok által védett és nem használható a jogos tulajdonos előzetes beleegyezése nélkül.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

1 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

TARTALOMJEGYZÉK

A kocka ............................................................................................................................................................. 2

A hasáb ............................................................................................................................................................. 6

A gúla .............................................................................................................................................................. 10

Görbe lapú testek ............................................................................................................................................ 13

Könyvészet ...................................................................................................................................................... 17

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

2 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

A KOCKA

1. Tekintsük az kockát. Az alap síkjában rajzoljuk meg az átmérőjű kört. Legyen

ezen kör egy pontja, az szakasz felezőpontja, az él felezőpontja, és az egyenes és

az alap síkjának metszéspontja.

a) Igazoljátok, hogy az összeg konstans, ha az M pont a körön mozog.

b) Igazoljátok, hogy paralelogramma.

c) Igazoljátok, hogy négyszög az alap síkjára eső vetülete egy rombusz vagy egy szakasz.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

3 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

2. Legyen az kocka, az pont pont szerinti szimmetrikusa a pontból a

egyenesre húzott merőleges talppontja, és az négyzet szimmetria középpontja. Mutassátok

ki, hogy az pontok kollineárisak.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

4 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

3. Legyen az kocka, jelölje az és szakaszok felezőpontjait, a és oldallapok szimmetria középpontját

a) Igazoljátok, hogy b) Határozzátok meg, az egyenesek által bezárt szög sinus-át

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

5 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

4. Legyen az kocka amelynek élhossza , pedig az lap szimmetria középpontja. a) Számítsátok ki a egyenesek szögének cosinus-át. b) Határozzátok meg a pont távolságát az síktól.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

6 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

A HASÁB

1. Az szabályos hatoldalú hasábban megszerkesztjük a pontokat, amelyek

az pont és szakaszokra eső vetülete, valamint az pontokat, amelyek a pont

éa szakaszokra eső vetülete.

a) Határozzátok meg az síkok által bezárt szöget.

b) Mutassátok ki, hogy

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

7 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

2. Az derékszögű paralelipipedonban jelölje az oldallap szimmetria

középpontját. Legyen az pont és egyenesek szerinti szimmatrikusa. Igazoljátok,

hogy:

a) ;

b) Ha , akkor

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

8 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

3. Egy szabályos háromoldalú hasáb alakú kartondoboz méretei és

a) Határozzátok meg az és síkok által alkotott szög cotangens-ét.

b) Egy hangya a doboz oldallapjain egyenes vonalban halad az útvonalat követve,

ahol és az és szakaszok felezőpontjai. Mutassátok ki, hogy a hangya által megtett

út kisebb mint .

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

9 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

4. Az egyenes hasáb alapjai oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszögek. Tudva, hogy

az és egyenesek merőlegesek egymásra, határozzátok meg:

a) az oldalél hosszát;

b) az és síkok által bezárt szög egyik szögfüggvényét, ahol az él felezőpontja.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

10 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

A GÚLA

1. Legyen a szabályos négyoldalú gúla, amelynek magassága egyenlő az alap hosszának

felével. Tudva, hogy az pont szerinti szimmetrikusa igazoljátok, hogy:

a) az egyenes párhuzamos a síkkal

b) a egenes merőleges az síkra.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

11 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

2. Legyen a egy szabállyos hatoldalú gúla, amelynek csúcsát -vel jelöljük, a szakasz

felezőpontja , az alap szimmetria középpontja { } úgy, hogy .

Igazoljátok, hogy:

a) az egyenes párhuzamos a síkkal

b) az összefutó egyenesek, ahol a szakasz felezőpontja.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

12 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

3. Igazoljátok, hogy az ABCD tetraéderben a B, C és D csúcsokon keresztül a szemben fekvő oldallapok

oldalfelezőivel húzott párhuzamosok összefutó egyenesek.

4. Az szabályos három oldalú gúlában legyen az él egy olyan pontja amelyre és

a szakasz felezőpontja. Igazoljátok, hogy az magasság felezőpontja rajta van, az

egyenesen.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

13 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

GÖRBE LAPÚ TESTEK

1. Egy egyenes körkúp alapja az középpontú és sugarú kör. Ha az pont távolsága az alkotótól

12 cm, számítsátok ki:

a) az alkotó és a magasság hosszát;

b) a kúp térfogatát.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

14 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

2. Egy gömböt és egy kúpot egy n sugarú körhengerbe írtunk. Mutassátok ki, hogy

.

3. Legyen az gömb és a gömb sugara. Az ponton áthaladó sík az egyenessel fokos

szöget zár be. Határozzátok meg sík és az gömb metszete által kapott kör területét.

I. módszer

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

15 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

II. módszer

4. Adott az gömbbe írt sugarú henger. Ha

határozzátok meg a henger és a gömb

térfogatainak arányát.

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

16 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

5. A, B és C egy gömb három olyan pontja, amelyek egy √ oldalhosszúságú egyenlő oldalú

háromszöget alkotnak. Határozzátok meg a gömb térfogatát, tudva, hogy a gömb középpontjának az

síktól mért távolsága .

GeoGebra segítségével bizonyított feladatok – VIII. osztály

II. FÉLÉV

17 A Digitaliada program keretén belül készült kiadvány.

KÖNYVÉSZET

1. Fianu, M., Perianu, M., Balica, I., Matematică Clasa a VIII-a, Editura Art Educațional, București, 2019.

2. Negrilă, A., Negrilă, Maria, Matematică Algebră Geometrie, clasa a VIII-a, Editura Paralela 45, Pitești,

2019.

3. Pop, C.P., Pop, Simona, Olimpiada satelor din România pentru clasele VI-VIII, Editura Nomina, Pitești,

2018.

4. Păduraru, V., Constructii geometrice cu rigla si compasul_Abordari metodice, Editura Ștef, Iași, 2018.

5. *** 18 editii ale concursului interjudetean de matematica Dimitrie Pompeiu, clasele III-XI, Editura Taida,

Iași, 2019.

6. ***http://mate.info.ro/acasa.html

http://mate.info.ro/acasa.html