1

Konstanta je količina,ki ne menja svoje vrednosti Spremenljivka x je količina, ki lahko zavzame katerokoli vrednost iz dane množice M, ki ji pravimo definicijsko območje spremenljivke

x MSpremenljivka je realna, če je definirana na intervalu realnih števil, ki se imenuje definicijski interval spremenljivke: ,x a b

2

Definicija

Funkcija ene neodvisne spremenljivke je preslikava (enolična relacija) realne spremenljivke x v množico realnih števil R

:f x R

[a,b]:definicijski interval funkcijex: neodvisna spremenljivka

Odvisna spremenljivka je vrednost ,ki jo funkcija priredi neodvisni spremenljivki

y R

:f x y

3

Analitična oblika funkcije : zveza med x in y podana v obliki enačbe

y=f(x) : eksplicitna oblika

f(x,y)=0 : implicitna oblika

x=x(t) , y=y(t) : parametrična

Graf funkcije G(f) :

,( ) ( ,),G f y afy xx bx

Graf funkcije v koordinatnem sistemu določa krivuljo !

4

Funkcija posredne spremenljivke (posredna funkcija)

x u yg f ali v analitični obliki

y = f(u) , u = g(x)

Inverzna funkcija k dani funkciji y = f(x) je funkcija,ki jo dobimo, če v njej zamenjamo mesti med neodvisno (x) in odvisno (y) spremenljivko

1f

( ) ( ), ,y x x xf y yf

5

x = f(y) : inverzna funkcija Rešitev na x (eksplicitna oblika) zapišemo

1( )y f x

Velja : Krivulji (grafa) funkcije in inverzne funkcije sta simetrični na simetralo prvega in tretjega kvadranta

6

Zveznost funkcije

Funkcije si predstavljamo kot krivulje v ravnini, ki so lahko pretrgane ali nepretrgane. Kadar so nepretrgane, pravimo da je funkcija zvezna, če pa je krivulja v kakšni točki prekinjena, pravimo da je funkcija nezvezna.Definicija Funkcija y = f(x) je v točki x = a zvezna,če za vsak eksistira tak ,da velja za vsak

0 R 0 R h

f a h f a

7

Kadar je točka x = a na intervalu [a,b] poljubno izbrana,pravimo,da je funkcija zvezna na intervalu [a,b] .

Ničla funkcije y = f(x) je takšna vrednost neodvisne spremenljivke za katero velja

0x x

0( ) 0f x

Če je funkcija na intervalu [a,b] zvezna, in sta f(a) in f(b) različnih predznakov, potem obstaja na tem intervalu vsaj ena ničla.

8

Pol funkcije je takšna točka v kateri je vrednost funkcije

px x( )pf x

Funkcija je na intervalu [a,b] navzgor omejena,kadar za vsak eksistira tako realno število G, da velja f(x) G.

,x a b

G : zgornja meja

Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja (M)

M = inf G

9

Funkcija je na intervalu [a,b] navzdol omejena,kadar za vsak eksistira tako realno število g,da velja f(x) g

,x a b

g : spodnja meja

Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m)

m = sup g

Funkcija je na intervalu [a,b] omejena, če je omejena navzgor in navzdol.

10

Monotono naraščajoča funkcija

21 1 2( ) ( )x xf xfx

Monotono padajoča funkcija

21 1 2( ) ( )x xf xfx

Soda funkcija : f(-x) = f(x)

Liha funkcija f(-x) = - f(x)

Periodična funkcija

kf f f fx x x x

1, 2,...,k

11

Za poljubno izbran vselej lahko najdemo poljubno mnogo zaporedij

0x R

1 2, ,... , ., ..nx x x ki konvergirajo k 0x

0 lim nn

xx

12

Funkcija je v točki določena,če ima v njej končno realno vrednost, sicer je funkcija v tej točki nedoločena.

0x

, , ,0

.0

0

13

Dana funkcija y = f(x),definirana v točki .Za poljubno zaporedje

z sestavimo zaporedje

0x

1 2, ,... , ., ..nx x x 0 lim nn

xx

1 2( ), ( ),..., ( ),...nf x xf fx

Definicija

Funkcija y = f(x) ima v točki limito A, če pri poljubnem zaporedju neodvisne spremenljivke konvergira pripadajoče zaporedje funkcijskih vrednosti k A :

0x

( )lim nn

f xA

14

Limito funkcije v točki ponavadi zapišemo

0

( )limx x

A xf

0x

1. Funkcija, ki je v točki določena, ima v njej limito enako funkcijski vrednosti

0x

0

0( ) ( )limx x

f x xfA

15

2. Kadar je funkcija v točki nedoločena, jo skušamo preoblikovati tako, da potem ni več nedoločena ali na kakšen drugačen način odpraviti nedoločenost in tako funkcijo prevesti na prejšnji primer.

0x

V primeru,ko je, govorimo o nepravi limiti.

0

( )limx x

f x

Funkcija ima limito v ,če je

( )limx

f Rx A

16

Definicija

Asimptota krivulje je premica h kateri se krivulja približuje za a je nikoli ne doseže

Krivulja se premici asimptotično približuje

Asimptota je premica : y = k.x + n

( )limx

fk

x

x

( ) .limx

fn kx x

Za k = 0 vodoravna asimptota

x