fungsi matematika

MATEMATIKA EKONOMI

TOPIK BAHASAN:

FUNGSI MATEMATIKA

Oleh : Dani Rizana

www.themegallery.com

Penerapan Fungsi dalam bidang ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena:

1) Model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi;

2) Fungsi merupakan dasar untuk mempelajari mengenai konsep limit dan aljabar kalkulus (derivatif fungsi, Integral, dll).

PENDAHULUAN


Fungsi Ditinjau dari segi Jumlah variabelnya terdiri dari :

(1). Fungsi yang terdiri dari satu variabel bebas: Y= f(X) ….Contoh: Y = 2x + 4;

(2) Fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas: Y = f (X1, X2,…Xn)

Contoh: Y = 2 + 4X1 + 3X2.


Jenis fungsi (ditinjau dari segi bentuk gambar/ kurvanya) yang lazim diterapkan dalam ekonomi dan bisnis antara lain:

Fungsi Linier, Fungsi Kuadrat, Fungsi Logaritma, dan Fungsi Eksponen.

Dalam bagian ini akan dijelaskan mengenai: Pengertian Fungsi, Unsur-unsur dalam fungsi, dan Macam-macam fungsi yang dapt diterapkan dalam

ekonomi dan bisnis.,

PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (fungsional) antara satu unsur dengan unsur lain

Komponen Fungsi: Variabel. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan/mewakili faktor tertentu dan terdiri atas variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain. Sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung variabel lain. Koefisien. Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dlm sebuah fungsi. Konstanta. Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan variabel (berdiri sendiri).

Fungsi : suatu bentuk hubungan

matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (hub. fungsional) antara

suatu variabel dengan variabel lain.

y = a + bx

Independent variable

Koefisien var. x

Konstanta

Dependent

variable

Pengertian Fungsi secara matematis

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .


. 1 . 2 . 3 . 4 . 5

0 . 2 . 4 . 6 .

B A

Daerah kawan/ kodomain

Daerah asal/ Domain

Daerah hasil/ Range

Perhatikan diagram panah dibawah ini :


Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).


Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal :

f : x → y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .


Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .


f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

Merumuskan suatu fungsi


Fungsi

F.Pangkat F. Polinom

F. Linier

F. Kuadrat

F. Kubik

F. Bikuadrat

Fungsi rasional Fungsi

irrasional

Fungsi non-aljabar

(transenden)

Fungsi aljabar

F. Eksponensial

F. Logaritmik

F. Trigonometrik

F. Hiperbolik

JENIS-JENIS FUNGSI


Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.

y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn

Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).

y = a0 + a1x a1 ≠ 0


Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.

y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0

Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).

y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1x

n-1 + anxn

an ≠ 0


Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel

bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata

bukan nol.

y = xn n = bilangan nyata bukan nol.

Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel

bebasnya merupakan pangkat dari suatu

konstanta bukan nol.

y = nx n > 0


Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari

fungsi eksponensial, variabel bebasnya

merupakan bilangan logaritmik.

y = nlog x

Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :

fungsi yang variabel bebasnya merupakan

bilangan-bilangan goneometrik.

persamaan trigonometrik y = sin x

persamaan hiperbolik y = arc cos x


Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya :

fungsi eksplisit dan implisit

x

y

x

y

Linear

y = a0 + a1x

a0

Kemiringan = a1

(a) (b)

0 0

Kuadratik

y = a0 + a1x + a2x2

a0

(Kasus a2 < 0)


x

y

x

y

(c) (d)

0 0

Kubik

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3

a0

Bujur sangkar hiperbolik

y = a / x

(a > 0)


x

y

x

y

(e) (f)

0 0

Eksponen

y = bx

(b > 1)

Logaritma

y = log x

Fungsi Linier

Fungsi Linier/garis lurus adalah

suatu fungsi dimana variabel bebasnya paling

tinggi berpangkat satu.

Bentuk umum : y = bx + a

a dan b = konstanta

y = variabel tidak bebas

x = variabel bebas

Persamaan sebuah garis yang

menelusuri/melewati satu buah titik (X1,Y1)

yaitu :

11

11

1

1

bxybxy

xxbyy

xx

yybtg

Persamaan sebuah garis yang

menelusuri/melewati dua buah titik (X1,Y1)

dan (X2,Y2) yaitu :

12

1211

12

12

1

1

xx

yyxxyy

xx

yy

xx

yybtg

Membentuk Persamaan Garis Linier Berimpit,

Sejajar, Tegak Lurus dan Berpotongan

Dua garis linier dapat berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan.

Dengan persamaan garis linier :

g1 : y = bx + a

g2 : y’= b’x + c maka,

Dua garis (g1 dan g2) akan sejajar bila tg α kedua garis tersebut sama atau b = b’

Dua garis akan tegak lurus bila tg α kedua garis pertama dikalikan tg β garis kedua sama dengan minus 1 atau b.b’ = -1

Dua garis akan berimpit bila kedua persamaan garis tersebut identik

Dua garis akan berpotongan bila b ≠ b’

Contoh Soal

1. Gambarkan grafik fungsi: y = 3x + 2

2. Sebuah garis membentuk sudut 1350 dengan

sumbu X positif dan melewati titik (3,4).

Ditanyakan persamaan garis serta gambarkan

grafik fungsinya dan apakah garis itu melewati

titik P(2,3) dan titik Q(2,5) ?

3. Sebuah garis melewati titik A(2,1) dan B(3,4).

Ditanyakan persamaan garisnya!

4. Hitung titik potong P dari dua persamaan garis:

y = 4x + 2 dan y = x - 4

1. Gambarlah grafik yang persamaannya y = 4x – 2 !

2. Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis 2√3x – 2y = 1!

3. Tentukan persamaan garis yang melalui P (2 , 3) dan

mempunyai gradien 2.

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (3, -2) dan

Q (-4 , 5) !

5. Tentukan titik potong garis 4x + 3y = 11 dengan garis 2x –

5y = -1!

6. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-2 , 3) dan

tegak lurus terhadap garis 2y - 4x + 8 = 0 !

7. Sebuah garis melalui titik (6 , -4) dan sejajar dengan garis

-3y + 9x +12 = 0. Tentukan persamaan garis tersebut !

LATIHAN SOAL FUNGSI LINEAR


TERIMAKASIH

SELAMAT BELAJAR !!!

fungsi matematika

Economy & Finance