matematika relasi dan fungsi
TRANSCRIPT
Kelompok 5
MAYDINA IZZATUL YAZIDAHWIDYA APRINIKA SARI
ALMA SUPHIA DEVIZAHRATUNNISA
WANDA HIKMAH PERMANA
RELASI DAN FUNGSI
PENGERTIAN RELASI
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah
pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-
anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari ,
kurang dari , setengah dari , faktor dari dan
sebagainya.
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “
kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat
ditunjukkan pada gambar di bawah :
1 .2 .3 .4 .
.1 .2 .3
BA
RELASI”KURANG DARI”
MENYATAKAN RELASI
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah
1
1 2 3 4 5 6 7 98 100
23456789
10
Him
pu
nan
B
Himpunan A
DIAGRAM KARTESIUSContoh :Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danB = { 1, 2, 3, …, 10 }.Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganhubungan : “SETENGAH DARI”
HIMPUNAN BERURUTAN
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : “KUADRAT DARI”
JAWAB
{ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }
PERHATIKAN…
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
BA
Daerah kawan/kodomain
Daerah asal/Domain
Daerah hasil/Range
Diagram panah pada gambar di samping merupakan pemetaan maka rangenya adalah
a. {a, b, c}b. {d, e}c. {a, b, c, d, e}d. {1, 2, 3, 4}
CONTOH SOAL
Misalkan R adalah Relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Sifat yang mungkin pada R:
1. Refleksif : Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) anggota R untuk setiap a anggota AMenyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri.
2. Simetris : Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) anggota R, maka (b,a) anggota R , untuk a,b anggota A menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) anggota R sedemikian sehingga (b,a) anggota R
3. Transitif : Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) anggotaR dan (b,c) anggota R, maka (a,c) anggota R untuk semua a,b,c anggota A
SIFAT-SIFAT RELASI
4. AntisimetrisRelasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b)Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.
Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) ÏR kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.
5) EkuivalenRelasi R disebut ekuivalensi jika dan hanya jika relasi R bersifat reflektif, simetris, dan transitif.
Jenis-jenis Relasi1) Relasi invers2)Relasi refleksi3)Relasi simetris4)Relasi antisimetris5)Relasi transitif6)Relasi ekuivalensi
PENGERTIAN FUNGSI
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi yang memasangkan setiap
elemen dari A secara tunggal , dengan elemen
pada B
SYARAT RELASI ADALAH FUNGSI :
Semua anggota A memiliki pasangan anggota B
Anggota A hanya memiliki satu pasangan
dengan anggota B
Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :
PERHATIKAN...
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
BA
Daerah kawan/kodomain
Daerah asal/Domain
Daerah hasil/Range
Dari diagram panah diatas dapat dilihat
bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .
MENYATAKAN FUNGSISuatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu
dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan
pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 ,
i 2 , u 1 , e 4 , o 2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
DIAGRAM KARTESIUS
1
a i u e o0
23456789
10
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
• HIMPUNAN BERURUTAN
SIFAT KHUSUS FUNGSI
1. Fungsi Injektif (satu-satunya) Jika setiap anggota A memiliki bayangan berbeda di B2. Fungsi Surjektif (pada) Jika setiap anggota B prapeta di A.3. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) Jika fungsi tsb injektif sekaligus surjektif.
Jenis-jenis Fungsi1) Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.Fungsi konstan ditulis sebagai:
f: x f(x) = k
2) Fungsi linearSuatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupagaris lurus.
3) Fungsi identitasSuatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsiberlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.
4) Fungsi kuadratSuatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dangrafiknya berupa parabola.5) Fungsi tangga (bertingkat)Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentukinterval-interval yang sejajar.
6) Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlakSuatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakansetiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.7) Fungsi ganjil dan fungsi genapSuatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebutfungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi initidak genap dan tidak ganjil.
MENGHITUNG NILAI FUNGSIUntuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3 Tentukan : a. Rumus fungsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
JAWAB :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8
Menentukan bentuk fungsiSuatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya
JAWABa. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 - 6a = 18 a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
b. f (x) = ax + b f (x) = 3x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4