bab 2. fungsi matematika
TRANSCRIPT
WAHYU WIDODO.
1
SILABI
• Definisi
• Jenis- jenis fungsi
• Penggambaran fungsi Linear
• Penggambaran fungsi non linear
- Penggal
- Simetri
- Perpanjangan
- Asimtot
- Faktorisasi
2
Definisi
• Fungsi : suatu bentuk hubungan
matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hub. fungsional) antara
suatu variabel dengan variabel lain.
• y = a + bx
Dependent
variable
Konstanta Koefisien var. x
Independent
variable
3
Pengertian Fungsi yang lain:
– Aturan yang menghubungkan masing –masing elemen dalam himpunan A dengan satu dan hanya satu elemen dalam himpunan B.
– Aturan yang menghubungkan bilangan-bilangan “baru” dengan bilangan “lama”.
– Bilangan “lama” = x.
– Bilangan “baru” = y.
– Notasi Fungsi = f(x)
Contoh :
Aturan harus menghasilkan bilangan dengan menambah 1 pada dua kali bilangan lama. Bilangan manakah yang berhubungan dengan 3 ?
2 x 3 + 1 = 7
Lama baru
Notasi Fungsi :
Y = f (x)
Y = 5 + 0.8 x
f (x) = 5 + 0.8 x
5 Konstanta
0,8 Koef. Variabel x
X Variabel bebas
Y Variabel Terikat
Jenis-jenis fungsiFungsi
F.PangkatF. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
Fungsi rasionalFungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar
(transenden)
Fungsi aljabar
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
6
• Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.
y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn
• Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).
y = a0 + a1x a1 ≠ 0
7
• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.
y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0
• Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).
y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1x
n-1 + anxn
an ≠ 0
8
• Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel
bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol.
y = xn n = bilangan nyata bukan nol.
• Fungsi eksponensial : fungsi yang
variabel bebasnya merupakan pangkat
dari suatu konstanta bukan nol.
y = nx n > 0
9
• Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari
fungsi eksponensial, variabel bebasnya
merupakan bilangan logaritmik.
y = nlog x
• Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan
bilangan-bilangan goneometrik.
persamaan trigonometrik y = sin x
persamaan hiperbolik y = arc cos x
10
• Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya :
fungsi eksplisit dan implisit
0 Kubik
0 Kuadrat
0 Linear
0 Umum
Implisit Eksplisit Fungsi
3
3
2
210
3
3
2
210
2
210
2
210
1010
yxaxaxaaxaxaxaay
yxaxaaxaxaay
yxaa x aay
f(x,y) f(x) y
11
x
y
x
y
Linear
y = a0 + a1x
a0
Kemiringan = a1
(a) (b)
0 0
Kuadratik
y = a0 + a1x + a2x2
a0
(Kasus a2 < 0)
12
x
y
x
y
(c) (d)
0 0
Kubik
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3
a0
Bujur sangkar hiperbolik
y = a / x
(a > 0)
13
x
y
x
y
(e) (f)
0 0
Eksponen
y = bx
(b > 1)
Logaritma
y = logb x
14
Penyimpangan Eksponen
• xn = x x x x…..x x
• Aturan I : xm x xn = xm+n
Contoh : x3 x x4 = x7
• Aturan II : xm / xn = xm-n
Contoh : x4 / x3 = x
• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0)
n suku
15
Penyimpangan Eksponen
• Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0)
• Aturan V : x1/n =
• Aturan VI : (xm)n = xmn
• Aturan VII : xm x ym = (xy)m
n x
16
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas• z = g (x, y)
• z = ax + by
• z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y
2
• Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti :
dari titik (x1,y1) ke titik z1
dari titik (x2, y2) ke titik z2
17
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas
z
z1
z2(x2, y2)
(x1, y1)
g
x2x1
y1y2
0 x
y
18
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas
x2
x1
y1
y2
x
y
z
(x2, y2, z2)
(x2, y2, z2)
19
Penggal• Penggal sebuah kurva adalah titik-titik
potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu
koordinat. Penggal pada sumbu x dapat
dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku
sebaliknya).
• Contoh :
y = 16 – 8x + x2
penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4
penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16
20
Simetri
• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
sebuah garis apabila garis tersebut
berjarak sama terhadap kedua titik tadi
dan tegak lurus teradap segmen garis
yang menghubungkannya.
• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak
persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi.21
Simetriy yy
x xx
(x,y) (x,y)
(x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
0 00
Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik :
(x, -y) sehubungan dengan sumbu x
(-x, y) sehubungan dengan sumbu y
(-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal22
Simetriy yy
x xx
(x,y)
(x,y)(x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
0 0
Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap :
Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0
Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0
Titik pangkal jika f(x, y) = f(-x, -y) = 023
Perpanjangan
• Konsep perpanjangan menjelaskan apakah
ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus
diperpanjang sampai tak terhingga (tidak
terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya
dapat diperpanjang sampai nilai x atau y
tertentu.
• Coba selidiki apakah terdapat batas
perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan oleh
persamaan :
x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0
24
Asimtot
• Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut.
• Jarak tersebut tidak akan menjadi nol.
• Tidak akan terjadi perpotongan antara garis lurus dan kurva.
• Penyelidikan asimtot berguna untuk mengetahui pola kelengkungan kurva yang akan digambarkan 25
x x
x x
y y
y y
y = k
x =
k
y = f(x)y = f(x)
y = - a - bxy = - a - bx
26
Faktorisasi
• Faktorisasi fungsi maksudnya ialah
menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama
dari dua fungsi yang lebih kecil.
• f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
• Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0
faktorisasi persamaan di atas
menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0
27
Latihan
28
• Gambar grafik persamaan linear dan non linear
dengan persamaan:
• y = a – bx
• y = bx
• y = -bx
• y = bx2
• y = -bx2