fundamentos del diseño de estructuras de hormigon

FUNDAMENTOS DEL DISEÑO ESTRUSTURAS DE HORMIGÓN 1 ______________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

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1 FUNDAMENTOS DEL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON 1.1 DEFINICIONES 1.1.1 Hormigón Con el nombre genérico de hormigón se denominan a todos aquellos materiales de construcción que se obtienen de mezclar convenientemente y bajo condiciones controladas ( así lo indican las normas y códigos de construcción) un material ligante y un material llenante. El material ligante debe ser física y químicamente estable y el llenante debe ser compatible con las características del ligante. El producto asi formado debe ser resistente a las cargas externas, durable y económico. De acuerdo al ligante se conocen tres tipos de hormigones: El hormigón de cemento calcáreo, el de cemento epoxi y el de cemento asfáltico. En estos tres hormigones el llenante generalmente lo conforman materiales pétreos granulares del tipo de arenas y gravas provenientes de lechos naturales o de molienda y trituración. En la figura 1.1 se indican esquemáticamente los tres tipos de hormigones y se dan algunas propiedades relativas de su comportamiento.

Epoxi Calcáreo Asfáltico

Figura 1.1 Tipos de hormigones según la naturaleza del ligante

En la ingeniería estructural el hormigón mas utilizado en la construcción de obras es el de cemento calcáreo. Es a este al que se le van a dedicar todas las aplicaciones en este texto. El hormigón de cemento calcáreo se fabrica industrialmente a partir de un cementante del cual el mas conocido es el Pórtland, agua, aditivos, agregados pétreos y adiciones finamente divididas. El material ligante lo constituye el cemento Pórtland, el agua, los aditivos y las adiciones activas. El llenante lo conforman arenas, gravas y adiciones inactivas. El proceso de dosificación, preparación, transporte, colocación y conservación hace parte de una amplia tecnología que es tema de otro campo de la tecnología. En la literatura técnica se le conoce a esta con el nombre de “ tecnología del hormigón”. Su estudio se trata también el campo de los materiales compuestos.

Alta resistencia Alto costo

Resistencia media Bajo costo

Baja resistencia Costo Medio



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Las propiedades que hacen del hormigón un material estructural son: a) Alta facilidad para moldear un gran numero de formas estructurales, mientras mantiene su configuración de fluido. Esta propiedad se le conoce como TRABAJABILIDAD ; b) La mayor parte de sus constituyentes, a excepción del cemento y los aditivos, están cerca de la obra son económicos y de fácil consecución; c) La resistencia a la compresión es relativamente alta en comparación con la de tracción lo que permite un uso adecuado cuando el material se le solicita para atender grandes cargas de compresión como en el caso de columnas y muros de edificios. Sin embargo la debilidad que muestra para atender las tensiones de tracción limita drásticamente el uso generalizado del material en la ingeniería. Este ultimo punto es importante porque en la practica es difícil, por no decir imposible, encontrar un elemento sometido a una solicitación simple, generalmente las estructuras están bajo un estado general de tensiones donde interactúan la flexión, la cortante, la carga axial y la torsión. Este panorama muestra la gran limitación que tiene el hormigón sin refuerzo como material estructural. 1.1.2 Hormigón armado Para solucionar en parte el problema anterior y utilizar eficientemente el hormigón como material estructural, desde mediados del siglo XIX se han venido utilizando barras metálicas embebidas en el hormigón y colocadas en aquellas zonas donde el material este solicitado a tracción. Registros antiguos de las catedrales y domos de los imperios Griegos y Romanos muestran el uso de cadenas de hierro y bronce reforzando el material pétreo. Además en algunas ciudades Egipcias, Incas y Aztecas los Arqueólogos han encontrado llaves metálicas que conectan grandes bloques de piedra y les impide su desplazamiento relativo. Sin embargo, como se dijo anteriormente, el uso de barras metálicas es mas reciente siendo este el verdadero origen del hormigón armado. El resultado de esta combinación de materiales diferentes se denomina HORMIGÓN ARMADO otros nombres conocidos en América para designar el material son: concreto reforzado, hormigón reforzado, concreto armado. Todos son validos mientras se identifique correctamente lo que se quiere indicar con el nombre. Con el uso de este nuevo material se superponen una serie de ventajas logrando un mejor comportamiento y una alta capacidad mecánica. Por ejemplo para el hormigón bajo costo, buen comportamiento a altas y bajas temperaturas, buena resistencia a la compresión y excelente moldeabilidad. Para el refuerzo metálico, alta resistencia a la tracción, mejor ductilidad y alta tenacidad. Es esta combinación de materiales la que permite un amplio espectro de usos y posibilidades del material. Se encuentran aplicaciones en edificios, puentes, carreteras, represas, canales, tanques de almacenamiento y túneles. En la figura 1.3 se ilustran gráficamente algunas de esta estas aplicaciones. En los últimos años la industria de materiales ha logrado producir acero de refuerzo de cuatro a cinco veces la resistencia convencional a tracción del material a un relativo bajo costo. Igualmente el hormigón a logrado resistencias a compresión de cinco a seis veces la resistencia convencional del material ( la resistencia a tracción del acero a pasado de fy =150 MPa a 750 MPa y la del hormigón de f´c = 21 MPa a 120 MPa). Estos materiales



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mejorados ofrecen varias ventajas incluyendo el uso de elementos estructurales de pequeñas dimensiones ( esbeltos), menor carga muerta y uso de grandes luces. Sin embargo las grandes deflexiones que resultan al aumentar las tensiones por efecto de las luces y los espesores superan los valores admisibles e inducen grandes fisuras en el hormigón exponiendo el acero a los ataques ambientales. Esto obliga a limitar la resistencia a la tracción del refuerzo a valores de fy = 560 MPa. 1.1.3 Hormigón pretensado Para usar eficientemente los materiales de alta resistencia indicados anteriormente, solo después de las primeras décadas del siglo XX se puso a disposición de la ingeniería lo que se conoce como el HORMIGÓN PRETENSADO. En este material el refuerzo metálico, en forma de alambres de acero trenzado de varios hilos llamado toron, es colocado ya sea antes o después de vaciado el hormigón y traccionado con equipos especiales para lograr un efecto de compresión en el hormigón después de soltar los cables. Si el refuerzo se tracciona antes de fraguar y endurecer el hormigón el material se conoce como HORMIGÓN PRETENSADO PRETRACCIONADO. Este es poco usado en la practica normal de ingeniería y su uso es mas amplio en el campo de los prefabricados aquí la compresión del hormigón se logra por adherencia. De otra parte si el refuerzo se tracciona después de fraguar y endurecer el hormigón y luego se suelta y ancla para comprimir el hormigón el nombre es de HORMIGÓN PRETENSADO POSTRACCIONADO. Este es el mas utilizado en la construcción y la ingeniería y la compresión del hormigón se logra por anclaje. Debido a esta compresión previa del hormigón, antes de aplicar las cargas, el problema de la fisuracion esta prácticamente resuelto lo mismo que el de las deflexiones. Una comparación simple del comportamiento de los tres materiales bajo carga se da en la figura 1.2. 1.2 HISTORIA 1.2.1 Época antigua Al igual que el origen de los primeros pegantes en la construcción ( arcillas, betunes, yeso, cales) el hormigón armado también tiene un inicio histórico. En varias partes del mundo se han encontrado, en estructuras antiguas, abrazaderas de hierro y bronce sujetando los elementos portantes. Los Romanos las usaron frecuentemente cuando se tenia que atender cargas que producen tracción en la edificación. Su uso fue particularmente importante en bóvedas y arcos. Si los bloques de piedra en la cara de tracción son amarrados con ganchos metálicos en forma de U, las uniones no pueden abrirse y se incrementa la capacidad de carga de la estructura. La técnica anterior fue utilizada en la construcción de los famosos domos Romanos ( por ejemplo el Panteón). El famoso domo de Brunelleschi en Florencia es un ejemplo típico de la utilización de abrazaderas de hierro para sujetar los bloques de piedra que conforman la estructura.



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Figura 1.2 Comparación entre hormigón, hormigón armado y hormigón pretensado

1.2.2 Siglo XIX La primera idea de aumentar la resistencia a la flexión del hormigón utilizando refuerzo metálico nació simultáneamente en al mente de varias personas entre las que pueden destacarse las siguientes: Willian B. Wilkinson ( Inglaterra 1854), Joseph Louis Lambot ( Francia 1855), Francois Coignet ( Francia 1861) y Joseph Monier ( Francia 1867). Inicialmente se utilizo el hierro como refuerzo y así lo manifiestan las publicaciones del E. Gillmore (1871) y Thadeus Hyatt ( 1877). Mas adelante Ernest Leslie Ransone en Estados Unidos desarrollo la técnica para la construcción de pórticos de hormigón armado usando las barras de hierro (1902). Simultáneamente Francois Hennebique introdujo este procedimiento en Europa. Este ultimo fue el primer ingeniero en utilizar el acero en lugar del hierro como refuerzo del hormigón (1898).



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Las primeras bases teóricas para estudiar el comportamiento del material bajo carga fueron propuestas por el Ingeniero Alemán Mattias Köenen. Este propuso aplicar la ley de Hooke en el análisis de las secciones, asumiendo que la tracción fuera resistida por el refuerzo. Köenen sin embargo coloco el eje neutro en la mitad de la viga con lo cual ignoro la diferencia entre el modulo de elasticidad del hormigón y del refuerzo. Este error fue corregido posteriormente por Coignet y Tedesco ( 1894 ). El primer curso de diseño de estructuras de hormigón armado lo dicto Charles Rabut en la escuela de puentes y caminos de Paris en el año 1887. En 1899 en Liege, Paul Cristophe publicó el libro “ Le Beton arme et ses applications”, el cual estaba basado en la teoría de la línea recta propuesta por Coignet y tedesco. El primer libro en ingles de diseño del hormigón armado fue escrito por Charles F. Marsh y en este menciona la teoría de Cristophe. Las bases del diseño del hormigón armado fueron ajustadas y simplificadas por Emil Mörsh en su libro “ Der Eisenbeton bau” (1902). Mörsh fue profesor del Instituto Tecnológico Federal de Zurich desde 1904 y su método de diseño se conservo hasta 1970 cuando se generalizo el uso del diseño por resistencia del hormigón armado. 1.2.3 Siglo XX A finales del siglo XIX F. Hennebique era llamado “ El Napoleón del hormigón armado” por sus aportes y excepcional capacidad para usar el material en trabajos de ingeniería. Sin embargo en 1901 la estructura de cinco pisos del hotel “ Zum Goldenen Baren “ en Basilea Suiza , calculada y construida por él, fallo durante su construcción con perdida de vidas en el colapso. La comisión investigadora bajo la dirección del profesor Ritter de la Universidad técnica de Zurich, encontró fallas en el diseño estructural y una pobre calidad en la mano de obra. En particular se critico el uso de materiales sucios y la falta de control de calidad en el cemento y el hormigón. Este acontecimiento fijo las bases para que en 1903 se introdujera en Suiza el primer reglamento de construcción de hormigón armado, ejemplo que fue seguido rápidamente por otras regiones del mundo. En los Estados Unidos un comité conjunto dirigido por la Sociedad Americana de ingenieros Civiles publicó el primer código en 1908. El colapso del edificio de Hennebique tuvo otras repercusiones mas importantes que las del diseño estructural. Por ejemplo durante las dos primeras décadas del siglo XX se realizo un amplio estudio para la dosificación y fabricación del hormigón lo mismo que para su control de producción. Hasta 1919 el diseño del hormigón armado era controlado por una gran cantidad de patentes. Mörsh enuncio en 1904 alrededor de 43 patentes diferentes distribuidas así: 15 en Francia, 14 en Alemania, Austria y Hungría, 8 en Estados Unidos, 3 en Inglaterra y 3 en otros sitios. Las teorías por resistencia ultima fueron propuestas inicialmente por los códigos Rusos desde 1938 y en los códigos Ingleses y Americanos en 1956. Las teorías de diseño limite también se han formulado en los últimos veinte años del siglo XX y hacen parte de algunos códigos principalmente Europeos. Adicionalmente desde inicios de los años 1980 se han



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incrementado las investigaciones y el uso de nuevos materiales estructurales. El uso de los reductores de agua de alto poder para lograr altas resistencias del hormigón, el uso de los polímeros el látex y el refuerzo con plásticos reforzados con fibra han abierto una nueva puerta al uso de los plásticos reforzados en la construcción de obras en las cuales el hormigón tradicionalmente fue protagonista. En definitiva todas estas investigaciones y desarrollos experimentales han conducido a mejores refinamientos de las teorías de diseño y reglamentos de construcción actualizados sobre el uso eficiente del material en la ingeniería. 1.3 VISION ESTRUCTURAL 1.3.1 Hipótesis básica del hormigón armado Tal como se ha indicado en las definiciones el hormigón sin refuerzo es un material fuerte en compresión pero débil cuando se somete a tracción. De acuerdo a esta característica se propone:

“ En las zonas donde el hormigón este sometido a tracción o a cortante se debe colocar un refuerzo para compensar las deficiencias del material y constituir finalmente un producto

apto para resistir las diferentes solicitaciones externas.”

A diferencia de las secciones de un solo material como las de madera, acero y aluminio las cuales se consideran homogéneas para propósitos de diseño, el hormigón armado requiere la utilización de una teoría modificada que explique realmente el comportamiento estructural del material. 1.3.2 Mecánica del hormigón armado Una consecuencia directa de la debilidad del hormigón sometido a tracción es la presencia de fisuras en estas zonas cuando las cargas externas ( también las acciones internas tales como las deformaciones por retracción y por cambios de temperatura) superan la capacidad del material a esta solicitación. Una vez se alcance esta resistencia el material falla inmediatamente presentándose la primera fisura.

“En un elemento de hormigón armado las barras de acero colocadas convenientemente dentro del hormigón, es decir atendiendo las solicitaciones que producen tracción en el

material, equilibran las fuerzas internas y el resultado es que esta podrá soportar cargas adicionales después de la fisuracion hasta que se produzca un agotamiento general ya sea

del hormigón a compresión o del refuerzo a tracción”.



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1.3.3 Tipos y formas estructurales de hormigón armado Se puede afirmar en general que no hay limitaciones de aplicación del hormigón armado en la construcción. El rango practico de usos es amplio lo que indica la versatilidad y la adaptabilidad del material. Se pueden ilustrar una gran variedad de estructuras tridimensionales como por ejemplo: a) Sistemas de piso únicos de hormigón armado: losa plana, placa plana, losa en dos direcciones, losa nervada en una y en dos direcciones; b) Cubiertas del tipo: placa plegada, laminas cilíndricas, paraboloides hiperbólicos, domos esféricos; c) Puentes: en forma de arco, atirantado, con vigas cajón y con aletas; d) Depósitos de almacenamiento y tanques. La figura 1.3 ilustra esquemáticamente varios tipos de estructuras que se pueden realizar con el material. La selección de cualquier tipo y forma estructural depende de los requisitos funcionales, estéticos, relaciones costo/ beneficio, cargas, luces y alturas que son característicos de cada proyecto constructivo. 1.3.4 Elementos estructurales Las estructuras continuas de hormigón armado se puede decir que están compuestas por una serie de “ elementos” que interactúan para soportar y transferir las cargas internas y externas. En el diseño por conveniencia y facilidad de trabajo cada elemento se estudia separadamente para al final considerar la interacción con el resto de la estructura. Esta consideración se debe tener en cuenta cuando se analiza estructuralmente una edificación con el fin de evaluar el comportamiento de las uniones y las conexiones. Los elementos mas importantes desde este punto de vista se ilustran en las figuras 1.4 y 1.5. En la figura 1.4 se muestra una edificación típica de hormigón armado de varios niveles. Se puede apreciar como el segundo piso es una losa nervada en una dirección. En esta una serie de nervios o viguetas soportan la carga colocada en la parte superior de la losa.

a su vez son soportadas por las columnas. En este sistema la parte superior de la losa, llamada recubrimiento, tiene dos funciones: a) recibir la carga vertical aplicada sobre la losa y transferirla a los nervios los cuales actúan como vigas T paralelas que llevan la carga a la vigas principales que van en sentido perpenticular a los nervios, b) transferir las cargas laterales externas a los nervios y luego al sistema estructural vertical ( fenómeno que se conoce como efecto de diafragma ). El primer piso de la edificación muestra un sistema de losa maciza apoyada perimetralmente sobre vigas cargueras las cuales llevan la carga a las columnas y muros. Las cargas son llevadas por las columnas y muros a la fundación constituida por zapatas continuas de muro y zapatas aisladas bajo las columnas. Esta fundación distribuye las cargas sobre el terreno de tal forma que el área de contacto sea suficiente para impedir sobrecarga y falla del suelo. En algunos casos las características del terreno superficial obligan a utilizar fundaciones profundas del tipo de pilas o pilotes, en estos casos el veredicto lo define un correcto estudio del suelo.



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a) Sistema de piso en dos direcciones con vigas perimetrales de gran rigidez b) Sistema de piso nervado en una dirección c) Construcción típica de hormigón armado: Losa plana d) Cubierta de hormigón armado en forma de bóveda e) Cubierta en forma de membranas cilíndricas f) Cubierta en laminas plegadas g) Puente en arco de varios tramos

Figura 1.3 Principales tipos y formas estructurales de hormigón armado1



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h) Cubierta en forma de domo cilíndrico usado para cubrir grandes luces i) Deposito cilíndrico para almacenamiento de líquidos j) Puente hiperestatico de un tramo central k) Muro de contención de contrafuerte l) Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico m) Cubierta en forma de domo esférico

Figura 1.3 Continuación

Las reacciones en los apoyos de los nervios son las cargas aplicadas en las vigas las cuales En el perímetro del edificio las cargas son soportadas por muros como indica la figura 1.4 o por columnas como en la figura 1.5. La selección de muros exteriores o columnas se basa generalmente en consideraciones económicas y arquitectónicas. En el caso de los muros de cerramiento exterior es conveniente indicar, a diferencia de los muros estructurales, que estos se ensamblan posterior a la construcción de los pórticos.



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Figura 1.4 Elementos típicos de estructuras de hormigón armado7. Caso general

La habilidad del hormigón para construir diferentes tipos de losas hace posible la fabricación de la placa o losa de la figura 1.5. Este tipo de sistema es único en el hormigón armado. En este caso las cargas aplicadas en el piso, incluyendo el peso propio, se transmiten en dos direcciones directamente a las columnas por la conocida “ acción de placa”. Estas estructuras se conocen en la literatura técnica con el nombre de sistemas de piso en dos direcciones. El primer piso de la figura 1.5 es una losa plana cuya característica mas importante es la presencia de ensanchamientos en las zonas de contacto con las columnas en forma de ábacos y capiteles. Estos espesores adicionales en estas regiones incrementan la resistencia a flexión y cortante y reduce las deflexiones de la losa. El segundo piso de la figura 1.5 es una placa plana. Esta tiene espesor uniforme sin ábacos ni capitel en las zonas de contacto con las columnas. Este tipo especial de losa de hormigón armado se usa frecuentemente en edificios destinados a vivienda en donde las cargas externas no son altas y se aprovecha el acabado de la losa para que sirva de piso y techo entre dos niveles consecutivos.



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Por ultimo el uso frecuente de los sistemas prefabricados en la construcción ha permitido el ensamble rápido y el mas eficiente uso de los materiales en edificios y bodegas industriales. Una edificación en estos sistemas pude ahorrar hasta el 80% del tiempo requerido en la construcción convencional.

Figura 1.5 Elementos típicos en estructuras de hormigón armado7. Caso especial

1.4 CARGAS Y ACCIONES EN LAS ESTRUCTURAS 1.4.1 Introducción Una acción es algo que produce tensiones en una estructura. El termino acción directa o carga se refiere a las fuerzas concentradas o distribuidas resultantes del peso de la estructura y su contenido, la presión debida al viento, al agua o al empuje de tierras. Una acción indirecta o deformación impuesta es un desplazamiento o movimiento sin presencia de carga que lo origine pero que produce tensiones en la estructura. Algunos ejemplos de las acciones indirectas son los movimientos del terreno por la acción sísmica, los asentamientos diferenciales en los apoyos por falta de capacidad de carga, la retracción del hormigón en estructuras continuas y el fenómeno de calentamiento y enfriamiento en pavimentos de carreteras puentes y aeropuertos.



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Ya que las deformaciones impuestas producen tensiones que no se deben a cargas externas es evidente que estas se equilibran por la redistribución interna de tensiones. Por ejemplo al considerar un prisma de hormigón con una barra de acero embebida a lo largo de su eje como lo indica la figura 1.6 se detecta que cuando el hormigón se contrae por efecto de sus reacciones químicas el refuerzo resiste esta deformación y el resultado es una fuerza de compresión en el acero y una fuerza de tracción igual en el hormigón. Si el hormigón se fisura, desaparecen las tensiones en los materiales. Hormigón Acero de refuerzo Tensiones de tracción = σ t Tensiones de compresión =σc

Figura 1.6 Tensiones inducidas por la retracción del hormigón7

1.4.2 Clasificación de las cargas La clasificación mas conocida para las cargas que actúan en una estructura es la que considera tres categorías o grupos : a) Las cargas permanentes o muertas, b) las cargas variables o vivas y c) las cargas ambientales. Sin embargo otras clasificaciones son igualmente importantes como las que consideran el tiempo de aplicación y su localización. En este caso las cargas pueden ser de corta o larga duración, pueden ser estáticas o dinámicas. Con este enfoque es importante que el ingeniero considere, con aceptable certeza, que tipo de cargas debe considerar en un determinado diseño estructural. En el caso de cargas dinámicas es imprescindible utilizar un análisis dinámico para establecer los valores máximos que controlan el diseño.



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1.4.2.1 Cargas permanentes o muertas Son aquellas que permanecen constantes en magnitud y posición en toda la vida útil de la estructura. Se puede afirmar que el peso propio constituye el ejemplo típico de este tipo de cargas. La determinación de su valor es simple y solo se requiere conocer las dimensiones y la densidad de los materiales que constituyen la estructura. El procedimiento es determinar primero la masa de la estructura y luego calcular el peso o fuerza de gravedad. Como en el sistema métrico, que es el tradicional en nuestra región, existe el inconveniente de que la masa es numéricamente igual al peso ( fuerza ) ya que 1kgf = 9.8 kg*m/s2 es decir un kilogramo fuerza ( en Europa le dice kilopondio) es igual a un kilogramo masa acelerado a la gravedad, es fundamental utilizar el sistema internacional de unidades para obviar esta coincidencia. En el sistema internacional la situación es diferente y la unidad de fuerza es el Newton que equivale a un kilogramo masa acelerado a un metro por segundo cuadrado ( 1 N = 1 kg*m/s2). Ejemplo 1.1 Determinar la masa y el peso de los siguientes elementos de hormigón armado: Losas, vigas y columnas. Utilizar las siguientes características: § Losa maciza de espesor igual a 150 mm :

ð Masa losa : ML = 2.40 Mg/m3 * 0.150 m = 0.360 Mg/m2 ð ML = 0.36 Mg/m2

§ Losa aligerada de igual espesor y casetones 400*400*100 mm cada 100 mm:

=> Masa losa : ML = 2.40 * [( 0.150-0.100)+(0.100* 0.100)/0.500]=0.168 Mg/m2 => ML = 0.168 Mg/m2 Se puede notar claramente que la determinación es sencilla y solo se requiere conocer el espesor del elemento. En estos casos no es necesario usar cálculos complicados para estimar La masa de la estructura. En el caso de vigas el procedimiento es mas sencillo y solo se requieren conocer las dimensiones de la sección. § La masa de una viga de sección 300*500 mm es:

ð MV = 2.40 Mg/m3 * 0.300*0.500= 0.360 Mg/m

=> MV = 0.36 Mg/m2 § La masa de una viga de sección 500*500 mm es:

ð MV = 2.40 Mg/m3 * 0.500*0.500= 0.600 Mg/m ð MV = 0.60 Mg/m2

En las columnas la masa se determina conociendo el volumen del elemento:



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§ La masa de una columna de dimensiones 300*300* 3000 mm es:

ð MC = 2.40 Mg/m3 * 0.300*0.300*3.000 = 0.648 Mg ð MC = 0.648 Mg/m2

En los cálculos anteriores es importante que el lector considere que cada vez que se determine la masa en losas y cubiertas esta se debe especificar en términos de masa por unidad de superficie . En vigas, masa por unidad de longitud y en columnas en unidades de masa. Al convertir las masas a pesos, usando la gravedad, se obtienen los siguientes valores: § Losa maciza qm = 3.6 kN/m2 § Losa aligerada qm = 1.7 kN/m2 § Viga de 300*500 qm = 3.6 kN/m § Viga de 500*500 qm = 6.0 kN/m § Columna de 300*300*3000 qm = 6.5 kN

Obsérvese como en lugar de usar el Newton (N) como unidad de fuerza se usa el kilonewton (kN) que equivale a 1000 N. En la determinación de las cargas en las estructuras el kN es la unidad mas conveniente (recuerde que 1 kN = 100 kgf ). En los edificios se debe considerar también como carga permanente los materiales usados en la terminación de los pisos, los muros divisorios y sus acabados, las instalaciones eléctricas, hidrosanitarias y las redes contra incendios. En el caso de los puentes las cargas permanentes por lo general varían durante el servicio de la estructura. Por ejemplo la carpeta de rodadura de la losa del puente puede sufrir múltiples reparaciones aumentado su espesor con el tiempo. La tabla 1.1 indica la densidad de los materiales de construcción mas usados en la ingeniería. Adicionalmente la tabla 1.2 da el peso de algunos elementos de construcción para propósitos de diseño estructural. 1.4.2.2 Cargas vivas o variables Este tipo de cargas puede actuar total o parcialmente en un determinado sitio o no estar presentes, además pueden cambiar de posición y su magnitud y distribución en cualquier momento es desconocida. Mas aun su valor máximo a través de la vida útil de la estructura no se conoce con precisión. Este efecto complica el diseño estructural porque el ingeniero debe considerar los posibles casos de variación de esta carga en la estructura y prever el comportamiento bajo estas solicitaciones. El ejemplo típico de estas cargas en los edificios es el peso de los ocupantes y sus enseres, por esto también se le denomina carga por uso y ocupación. En la mayoría de códigos y reglamentos de construcción se especifican unos valores mínimos a usar en los diseños obtenidos de mediciones estadísticas en edificios de oficinas, viviendas, comerciales,



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centros educativos y otros mas. En la tabla 1.3 se indican los recomendados por el instituto de normas de los Estados Unidos ( ANSI), por la normativa Colombiana ( NSR-98) y por las normas Españolas ( MV-101). Los estudios que llevan a estimas estos valores son extensos y complejos. Adicionalmente los valores dados en las tablas no son definitivos y varían de acuerdo a las circunstancias culturales de cada región. Los valores indicados son cargas uniformente distribuidas para varios tipos de ocupación, incluyendo las recomendaciones de impacto donde sea necesario. Estas cargas son las máximas esperadas en servicio y exceden considerablemente los valores promedio esperados. Se recomienda que los pisos de los edificios consideren en los diseños posibles cargas concentradas que aumenten las tensiones en partes localizadas de la estructura. Algunos códigos recomiendan que los pisos de oficina deben diseñarse para transmitir una carga de 9.0 kN distribuida en una superficie de 0.25 m2 ( es decir una carga de 36 kN/m2) para soportar el peso de un posible equipo pesado. Además las escaleras deben diseñarse para soportar una carga concentrada adicional de 1.5 kN aplicada en el centro de la huella. Los códigos recomiendan de igual forma reducir la carga viva cuando esta se aplica en lugares con grandes superficies, ya que es poco probable que toda el área este completamente cargada en un determinado momento. Esta reducción solo se aplica a cargas por uso y ocupación y no se debe realizar en áreas publicas ( graderías, coliseos, teatros, terrazas). La reducción no debe ser mayor al 50% del valor inicial con la restricción de que la carga viva no sea mayor de 5 kN/m2, en caso contrario se recomienda no reducir su valor. 1.4.2.3 Cargas ambientales Consisten principalmente de acciones directas de la naturaleza como por ejemplo la caída de nieve sobre las estructuras, el efecto del viento, los sismos, presiones del suelo y los cambios de temperatura. Al igual que las cargas vivas las cargas ambientales en cualquier momento varían en magnitud, posición y distribución. a) Cargas por nieve. La acumulación de hielo en cubiertas, puentes y carreteras en aquellas regiones que tienen estaciones es un factor a considerar en los diseños. La magnitud de la carga depende de factores climáticos, geometría y exposición de la estructura al hielo. Alguna regiones han elaborado mapas donde se especifican las máximas cargas de nieve esperadas en periodos de diseño de 25, 50 y 100 años. El código ACI considera esta carga como viva cuando se utilizan los factores de mayoracion para el diseño estructural. En Colombia no se tienen antecedentes de caída de nieve sobre las estructuras y el problema no es considerado en los cálculos estructurales.



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Tabla 1.1 Densidad de algunos materiales de construcción3

GRUPO MATERIAL DENSIDAD (Mg/m3) Metales Acero 7.85 Aluminio 2.70 Bronce 8.50 Cobre 8.90 Maderas Abarco 0.69 Laurel 0.66 Pino Ciprés 0.40 Pino Patula 0.43 Roble 0.55 Prefabricados Bloque de hormigón 1.60 Asbesto cemento 2.00 Cerámica. Baldosa 1.80 Ladrillo hueco 1.40 Ladrillo macizo 1.80 Hormigón 2.30 Mortero 2.10 Rocas Arenisca 2.70 Caliza 2.70 Basalto 3.00 Diorita 3.00 Cuarcita 2.60 Granito 2.70 Otros Asfalto 1.30 Plástico 2.10 Vidrio 2.60 Caucho 1.70 b) Cargas de viento. La presión ejercida por el viento sobre las edificaciones es proporcional al cuadrado de su velocidad. Debido a la rugosidad de la superficie de la tierra, la velocidad del viento en un determinado momento se compone de la velocidad promedio mas el efecto de la turbulencia generada (ráfagas).



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Tabla 1.2 Peso de algunos elementos de construcción3

ELEMENTO CARACTERISTICAS PESO ( kN/m2) Muros sin revoque Ladrillo hueco de 100 mm 1.00 Ladrillo hueco de 150 mm 1.80 Revoques Mortero de cemento 0.20 Estuco y cal 0.16 Yeso 0.12 Pisos Baldosa de 30 mm 0.50 Baldosa de 50 mm 0.80 Baldosa de 70 mm 1.10 Cubiertas Una capa de cartón y brea 0.05 Dos capas de cartón y brea 0.15 Placa ondulada de cemento 0.15 Lamina zinc de 1 a 1.2 mm 0.10 Teja curva liviana 0.40 Teja curva corriente 0.50 Teja curva pesada 0.60 Como resultado de esto una estructura sometida al viento responde deformándose en una determinada forma que varia según esta velocidad promedio y las vibraciones producidas por la presión dinámica de ráfaga. Estas vibraciones son función de: a) las relaciones entre la energía natural de la ráfaga y la energía necesaria para desplazar el edificio, b) las relaciones entre la frecuencia de vibración de la ráfaga y la frecuencia natural de vibración del edificio, c) el amortiguamiento de la edificación. Existen en la literatura técnica varios procedimientos para calcular la presión de diseño del viento. La metodología propuesta por la NSR-98 en el numeral B.6.4 es útil en muchos proyectos estructurales. Este procedimiento es comparativamente similar al propuesto por la ASCE de los estados Unidos. El procedimiento resumido se presenta en el diagrama de la figura 1.7 y la forma de trabajar se explicara con el ejemplo 1.2.



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Tabla 1.3 Valores recomendados de cargas vivas por uso y ocupación en edificaciones1,3 TIPO DE OCUPACIÓN Y USO CARGA VIVA EN ( kN/m2)

OCUPACION CARÁCTER. ANSI A58.1 MV-101 NSR-98 Vivienda Alcobas 1.5 1.5 1.8 Oficinas 2.5 3.0 2.0 Escaleras Vivienda 4.0 3.0 3.0 Oficina 4.0 4.0 3.0 Salones de reunión Sillas fijas 3.0 3.0 3.0 Sillas móviles 5.0 5.0 5.0 Hospitales Cuartos 2.0 2.0 2.0 Quirófanos 3.0 3.0 4.0 Coliseos y estadios Graderías 5.0 3.0 4.0 Escaleras 5.0 5.0 5.0 Garajes Automóvil 2.5 4.0 2.5 Vehículo pesado AASHTO 10.0 Según uso Hoteles Dormitorios 2.0 2.0 2.0 Escuelas, colegios Salones 2.0 3.0 2.0 Bibliot.- lectura 3.0 ----- 2.0 Bibliot.- libros 7.5 ----- 5.0 Terrazas Según uso Según uso Igual resto Edif. Cubiertas Según tipo Según tipo Según inclinac. Fabricas Livianas 6.0 ----- 5.0 Pesadas 12.0 ----- 10.0 Bodegas Liviano 6.0 ----- 5.0 Pesado 12.0 ----- 10.0 Almacenes Al detal 4.0 Según uso 3.5 Por mayor 6.0 ----- 5.0

Tabla 1.4 Valores de la velocidad básica del viento por ciudades ( NSR-98)

Ciudad o región geográfica Velocidad básica del viento,V ( k.p.h ) Costa pacifica 60 Uraba antioqueño y de Córdoba 80 Piedemonte llanero 100 Región central del país 100 Valle de aburra 120 Caldas 80 Risaralda 100 Quindío 100 Tolima 80 Atlántico 130



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Figura 1.7 Procedimiento para estimar las cargas de viento

DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS DE VIENTO EN ESTRUCTURAS

DATOS INICIALES 1. Localización geográfica de la estructura 2. Uso y utilización de la edificación 3. Alturas de pisos desde nivel del terreno 4. Geometría en planta y altura de la edificación

Con la información anterior se determina: 1. la velocidad básica del viento, V (tabla 1.4) 2. El factor de importancia, I = (0.95-1.11) 3. El factor de respuesta por ráfaga, Gh=1.0

Determinación de la presión del viento según su velocidad : q

q = 0.0000489*Kz*(I*V) 2 ( kN/m2)

Determinar la presión de diseño equivalente, p:

p = q*Gh*Cp (kN/m2)

Se determina el coeficiente de exposición, Kz:

Kz = ( h/10 ) (2/7)

Determinar los coeficientes de forma, Cp, de acuerdo a las tablas

1.5 y 1.6

Realizar tabla de resultados



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Tabla 1.5 Valores del coeficiente de forma, Cp, para superficies prismáticas

Disposición del viento Valor de Cp Cara a barlovento 0.8 Cara a sotavento -0.5 Caras laterales a dirección del viento -0.7 Nota: Los valores negativos indican que la acción del viento es de succión.

Tabla 1.6 Valores del coeficiente de forma, Cp, para superficies inclinadas

Inclinación superficie Viento a barlovento Viento a sotavento 0-10 -0.8 -0.5 10-20 -0.7 “ 20-30 -0.4 “ 30-40 -0.1 “ 40-50 0.2 “ 50-60 0.5 “ 60-70 0.7 “ 70-80 0.8 “ > 80 Tabla 1.5 Tabla 1.5

Ejemplo 1.2 Para la edificación mostrada en la figura 1.8 que representa un edificio de apartamentos de cinco pisos ubicado en la ciudad de Medellín, se requiere estimar las cargas de viento para su diseño estructural. Solución: El primer paso es identificar las variables para la determinación de las cargas : § De acuerdo a la localización geográfica de la estructura la velocidad básica del

viento es de V = 120 k.p.h. Este dato se obtiene de la tabla 1.4. (B.6.5.1. de la NSR-98). El valor de V = 120 k.p.h es el máximo esperado en un periodo de retorno de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 2%.

§ La edificación es de uso normal por tanto su coeficiente de importancia I = 1.0 § La altura de pisos es constante e igual a 3 m. La altura total es de 15 m. § La estructura es prismática tanto en planta como en altura y h > 2 b § No se van a considerar efectos de ráfaga por tanto Gh =1.0



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3 m 3 m H = 15 m Direccion del viento 3 m 3 m 3 m L = 20 m 7 m 6 m 7 m Dirección del viento B = 7 m

Figura 1.8 Elevación y planta del edificio indicado en el ejemplo 1.2



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TABLA 1.7 CALCULO DE FUERZAS DE VIENTO EN ESTRUCTURAS

DATOS b(m)= 7,0 Frente del edificio Constante de calculo por piso h(m)= 15,0 Altura total edificio 0,0000489*(I*V) 2 = 0,704 Cp= 0,8 Coeficiente de forma a barlovento Cp= -0,5 Coeficiente de forma a sotavento

V(k.p.h)= 120 Velocidad básica del viento I= 1,0 Factor de importancia

Gh= 1,0 Coeficiente de ráfaga CALCULOS PARA UNA DIRECCION DEL VIENTO

CARA AB (BARLOVENTO) CARA DC (SOTAVENTO) Altura Kz q Cp p q Cp p RESULTANTE (m) ( kN/m2) (kN/m2) ( kN/m2) (kN/m2) ( kN/m2) kN 0 0,00 0,00 0,8 0,00 0,00 -0,5 0,00 0,00 0,0 3 0,71 0,50 0,8 0,40 0,50 -0,5 -0,25 0,65 13,6 6 0,86 0,61 0,8 0,49 0,61 -0,5 -0,30 0,79 16,6 9 0,97 0,68 0,8 0,55 0,68 -0,5 -0,34 0,89 18,7 12 1,05 0,74 0,8 0,59 0,74 -0,5 -0,37 0,96 20,3 15 1,12 0,79 0,8 0,63 0,79 -0,5 -0,40 1,03 10,8

Nota : Las fuerzas resultantes obtenidas se aplican en el centro de presión de cada piso del edificio Succión B C Compres. Succión A D Succión

Figura 1.9 Distribución en planta de las cargas de viento

P = 0.704*Cp * (h/10) (2/7) kN/m2



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Presión (kN/m2) Fuerza (kN) 10.8 1.03 20.3 0.96 18.7 0.89 16.6 0.79 13.6 0.65

Figura 1.10 Distribución Vertical de las cargas de viento Los resultados anteriores se basan en una determinada dirección del viento. En general se deben estudiar todas las direcciones posibles con el fin de tener en cuenta las combinaciones de carga mas desfavorables para el diseño. Es necesario indicar que las fuerzas de viento, que hacen parte de las cargas laterales en los edificios de hormigón armado, pocas veces controlan el diseño ya que el peso de la edificación neutraliza su efecto. Sin embargo en las estructuras metálicas del tipo de torres de transmisión, cubiertas, coliseos y luminarias, cuyo peso es relativamente bajo comparativamente a las de hormigón, es fundamental esta carga en el diseño y se debe calcular con bastante detalle. Existen en el hormigón armado otros efectos laterales mas drásticos que los del viento y cuyo diseño prácticamente cubre las cargas del viento. Este es el tema del próximo numeral y en definitiva el mas critico cuando se trabaja con cargas laterales en las edificaciones.



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c) Efectos sísmicos. Los sismos son movimientos ondulatorios de carácter aleatorio originados en el interior de la tierra y que propagándose a través de ella producen graves daños a la población en cualquier región del planeta. Es necesario entender que ante estas enormes fuerzas naturales, las cuales mueven continentes y generan islas no hay diseños totalmente seguros y la filosofía actual del proyecto estructural es:

“Una estructura afectada por un sismo fuerte al menos debe proteger la vida evitando su colapso total y ante un sismo moderado debe comportarse adecuadamente disminuyendo al

máximo los daños en la edificación”. Este tema es generador de muchas investigaciones sobre las metodologías de diseño y dada la importancia para la comunidad internacional requiere de la participación de expertos reconocidos en el estudio de estos eventos. En este texto se presentara una metodología básica para estimar los efectos de los sismos en los edificios. Sin embargo se debe recordar que el uso de métodos mas elaborados, actualmente disponibles, le permiten al ingeniero realizar un diseño ajustado a las características particulares del caso, lo que anteriormente era imposible. Los efectos sísmicos en las estructuras se pueden evaluar, como se dijo, usando un análisis dinámico elástico o inelástico o utilizando un procedimiento aproximado denominado el método cuasi estático (carga horizontal equivalente). En el primer caso el ingeniero utiliza como parámetros de diseño la máxima aceleración esperada del terreno, la masa, la rigidez y las características de amortiguamiento de la estructura y mediante el calculo matricial resuelve la ecuación dinámica para hallar las formas o modos de vibrar de la estructura, las frecuencias de vibración y finalmente los máximos desplazamientos esperados en la edificación. Por el contrario el método cuasi estático es simple, practico y en muchos casos certero al estimar los probables desplazamientos laterales de la edificación. Los códigos de construcción son cuidadosos al recomendar este método porque su uso requiere el cumplimiento de algunas características especiales de la edificación como por ejemplo: estructura simétrica tanto en planta como en altura, forma regular, presencia de pórticos y muros resistentes a momento. Adicionalmente reflexionan al justificar su uso, ya que las incertidumbres asociadas con el mismo fenómeno sísmico y con las hipótesis en que se fundamentan los métodos dinámicos contrastan con la simplicidad de los cuasi estáticos. Es por este motivo que frecuentemente el diseño sísmico se fundamenta en fuerzas estáticas equivalente ( es decir fuerzas laterales que actúan en los pisos de la edificación y que producen un efecto similar al del sismo). La NSR-98 presenta en el numeral A.4 el procedimiento a seguir para obtener las fuerzas horizontales equivalentes. El diagrama de flujo de la figura 1.11 presenta una versión paso a paso del proceso y del cual se realizara un ejemplo numérico. En resumen este método lo que hace es estimar primero la magnitud de la fuerza cortante que actúa en la base del



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edificio ( Cortante basal ) y luego la distribuye a nivel de los pisos los cuales actúan como diafragmas que llevan la carga a las columnas y muros. Finalmente sobre el tema sísmico se ha escrito demasiado y en la literatura técnica se encuentran documentos, libros e investigaciones de gran ayuda para el ingeniero. En este texto se pretende mostrar al lector un recurso general de como se puede atacar preliminarmente el problema y un procedimiento sencillo para estimar los resultados. En el siguiente ejemplo se presenta el calculo de las fuerzas horizontales equivalentes para la edificación del ejemplo 1.2 usando el procedimiento de la NSR-98 y el del UBC-97 con el fin de comparar resultados.

Tabla 1.8 Valores de Ct para hallar el periodo de vibración de una estructura

Tipo de sistema estructural Valor de Ct Pórticos de hormigón armado resistentes a momento o de acero con diagonales

0.08

Pórticos de acero resistentes a momento 0.09 Otros sistemas de resistencia sísmica 0.05 Mampostería estructural y edificios con muros estructurales de hormigón armado

0.075/ ( Ac) 0.5

Nota: El valor de Ac de la tabla anterior tiene como significado el área efectiva de muros en el primer piso considerando la dirección particular en estudio. Ecuación 1.1.

∑

+=

2

2.0n

eec h

DAA (m2) (1.1)

Donde las otras variables de la ecuación significan: Ae: Área efectiva en planta de la sección transversal del muro en estudio ( m2) De: Longitud en planta de un muro estructural en la dirección bajo estudio (m) hn: Altura total del muro, desde la base hasta el nivel mas alto (m). Nota: Se debe controlar el valor de la relación (De/hn) para que esta no exceda 0.9.



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Figura 1.11 Procedimiento para estimar las fuerzas horizontales según NSR-983

DETERMINACIÓN DE LOS EFECTOS SISMICOS EN LAS ESTRUCTURAS

METODO CUASIESTATICO NSR-98

RECOGER DATOS GENERALES: 1. Tipo se sistema estructural 2. Alturas por piso y total de la edificación 3. Mapas de amenaza sísmica, locales o regionales 4. Pesos del edificio por piso y total 5. Características del terreno de fundación 6. Uso y ocupación del edificio

Determinar el coeficiente de calculo del periodo de vibración de la estructura, Ct:

Ct = Función ( Tipo de sistema estructural) Usar tabla 1.8

Calcular el periodo de vibración de la estructura con la siguiente ecuación:

Ta = Ct h(3/4 ) Donde h: Altura total edificación

Hallar los coeficientes de aceleración pico de los mapas de zonificación Figuras 1.12 y 1.13 o tablas 1.10 y 1.11

Aa: Coef. con base en la acel. Pico esperada

Determinar el coeficiente de sitio de acuerdo a la tabla 1.9

S= Función ( Tipo de suelo)

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Continuación de la figura 1.11

Hallar el coeficiente de importancia de la estructura, I, de acuerdo a tabla 1.12

I : Función ( Uso y ocupación estructura)

Calcular el valor de la aceleración de acuerdo al espectro de diseño disponible estadísticamente:

Sa = (1.2*Aa*S*I ) / T

Determinar los valores máximos de Sa de acuerdo al periodo T.

Si T < 0.48* S => Sa max.= 2.50*Aa*I Si T > 2.40* S => Sa max.= 0.50*Aa*I

Calcular la cortante basal de la estructura, Va: Vs = Sa*W

Donde W: Peso de la edificación

Hallar el coeficiente basal por piso para la distribución vertical de Vs :

Cvx= ( Wx hxk ) / (ΣWi hi

k) Donde K se obtiene de tabla 1.13

Calcular las fuerzas horizontales por piso, Fx:

Fx = Cvx Vs

Entregar tabla de resultados Analizar los valores

obtenidos



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Tabla 1.9 Coeficientes de sitio según tipo de suelo

Características del suelo Clasificación NSR-98 Valor de S Rocas con Vc > 750 m/s Depósitos de arenas y

gravas de menos de 60 m de profundidad con Vc >400

m/s

S1

1.0

Arcillas duras con espesores > de 60 m y Vc >400 m/s.

Suelos duros Con espesores < 60m y con Vc entre 270 y

400 m/s

S2

1.2

Depósitos de Arcillas de dureza intermedia con

espesores >20 m hasta la roca y Vc entre 150 y 270

m/s

S3

1.5

Arcillas blandas de mas de 12 m de espesor con Vc <

150 m/s

S4

2.0

Nota: Cuando el estudio de suelos entregue un perfil de suelo que no se ajuste a las características mencionadas en la tabla anterior, se recomienda determinar el periodo de vibración del terreno, Ts, y estimar el valor del coeficiente de sitio así: S = 0.70 + 0.80 Ts. Este valor debe ser mayor o igual a 1.0 La norma sismo resistente NSR-98 en el numeral A.2.9 recomienda adicionalmente realizar estudios de micro zonificación sísmica en las regiones ubicadas en zonas de intermedia y alta amenaza sísmica y con mas de 100.000 habitantes. Estos estudios deben tener en cuenta las reglamentaciones locales de ordenamiento y uso de la tierra y el efecto que sobre las edificaciones tenga el sismo. Además debe ser aprobado por las autoridades legalmente establecidas en la región y cubrir como mínimo los temas indicados en el numeral A.2.9.3 de la NSR-98. Bajo estas consideraciones varias ciudades capitales han iniciado estos trabajos locales. Las pioneras en estos estudios son Manizales, Bogota, Medellín, Cali, Pereira y Armenia. Como se puede notar regiones de intermedio y alto amenaza sísmica. En Medellín el estudio lo viene realizando un comité conjunto compuesto por universidades, empresas de ingeniería y organismos gubernamentales el grupo se denomina : GRUPO DE SISMOLOGIA DE MEDELLÍN14 ( Universidad Nacional de Colombia, Universidad EAFIT, Integral S.A., Alcaldía de Medellín. Este grupo entrego el primer informe de su estudio en el año 1999. En la tabla 1.11 se presentan los resultados obtenidos en este primer documento.



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Tabla 1.10 Valores de Aa para diferentes capitales del país3

Ciudad Nombre Aa Zona 1 Arauca 0.15 Intermedia 2 Armenia 0.25 Alta 3 Barranquilla 0.10 Baja 4 Bogota 0.20 Intermedia 5 Bucaramanga 0.25 Alta 6 Cali 0.25 Alta 7 Cartagena 0.10 Baja 8 Cúcuta 0.30 Alta 9 Florencia 0.20 Intermedia

10 Ibagué 0.20 Intermedia 11 Leticia 0.05 Baja 12 Manizales 0.25 Alta 13 Medellín 0.20 Intermedia 14 Mitu 0.05 Baja 15 Mocoa 0.30 Alta 16 Montería 0.15 Intermedia 17 Neiva 0.30 Alta 18 Pasto 0.30 Alta 19 Pereira 0.25 Alta 20 Popayán 0.25 Alta 21 Puerto Carreño 0.05 Baja 22 Puerto inirida 0.05 Baja 23 Quibdo 0.30 Alta 24 Riohacha 0.15 Baja 25 San Andrés islas 0.10 Baja 26 Santa marta 0.15 Baja 27 San José del Guaviare 0.10 Baja 27 Sincelejo 0.15 Baja 28 Tunja 0.20 Intermedia 29 Valledupar 0.10 Baja 30 Villavicencio 0.30 Alta 31 Yopal 0.20 Intermedia

Nota: Esta tabla es tomada directamente de la NSR-98 y corresponde a la A.2.2



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Tabla 1.11 Valores de Aa obtenidos para varias zonas de la ciudad de Medellín14

Zona Nombre Aa 1 Noroccidental 0.27 2 Cuenca Iguaná 0.34 3 Belencito 0.30 4 La América 0.23 5 Laureles 0.18 6 Rió Medellín 0.18 7 Minorista 0.18 8 Campo Valdez 0.23 9 Alta Aranjuez 0.26 10 Villa Hermosa 0.38 11 Santa Helena 0.26 12 Alta San Diego 0.26 13 Poblado 0.26 14 Cristo Rey 0.20

Nota: Los valores de Aa se obtienen a partir de los espectros de diseño entregados en el informe indicado anteriormente.

Tabla 1.12 Valores de los coeficientes de importancia I

Grupo de uso Significado Coeficiente de importancia I

1 Ocupación normal 1.0 2 Ocupación especial 1.1 3 Edificios de atención a la comunidad 1.2 4 Edificaciones indispensables 1.3

Nota : Esta tabla es tomada directamente de la NSR-98 donde es definida como A.2-4

Tabla 1.13 Valores del coeficiente K para determinar el Cvx

Valor del periodo de vibración T Valor de K Si T < 0.5 segundos 1.0 Si 0.5 < T < 2.5 segundos 0.75 + 0.50 * T Si T > 2.5 segundos 2.0



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Figura 1.12 Mapa de zonificación de amenaza sísmica de Colombia. NSR-98



32

Figura 1.13 Mapa de valores de la aceleración pico esperada, Aa, en Colombia



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Ejemplo 1.3 Para la edificación indicada en el ejemplo 1.2 y que representa un edificio de apartamentos de cinco pisos ubicado en la ciudad de Medellín se requiere estimar las cargas horizontales equivalentes por efectos del sismo usando las siguientes variantes: a) Las aceleraciones dadas para el sismo de diseño de la NSR-98, b) Las aceleraciones dadas para el sismo de diseño de la zona dos (2) de la zonificación sísmica de Medellín y c) Usando El UBC-97 en zona de amenaza sísmica intermedia. Usar además los siguientes datos: Vigas de 400*400 mm Columnas de 400*400 mm La planta típica de las losas es la siguiente: 7 m 6 m 7 m VA Area= 43.56 m2 Area = 36.96 m2 Area = 43.56 m2 7 m VB V1 V2 V3 V4 La sección típica de losa es la siguiente: ..t = 50 mm hn=300 mm ..bw = 100 mm ln=800 mm

Figura 1.14 Dimensiones estructura del ejemplo 1.2 a) Solución para el sismo de diseño NSR-98 Se identifican los datos generales del problema: § Sistema estructural: Pórticos de hormigón armado resistentes a momento § Alturas de piso hi =3.0 m y la altura total es de hn =15.0 m



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§ Se usa el mapa de la figura 1.12 y la tabla 1.10 § El peso concentrado en cada piso se puede estimar y también el peso total § El terreno de fundación se asumirá tipo S2 § El edificio es de ocupación normal: apartamentos

De la tabla 1.8 se obtiene un valor de Ct = 0.08 El periodo aproximado del edificio es de T = 0.08 x ( 15 ) 0.75 = 0.61 segundos Nota: Es importante en este punto indicar que existen formulas aproximadas para revisar rápidamente este resultado. Por ejemplo una muy conocida dice que el periodo de una edificación se puede asumir igual a la décima parte del numero de pisos. En este caso se obtiene : T= 0.1*5= 0.5 segundos, valor cercano al obtenido. Para Medellín el valor de Aa = 0.20 tomado de figura 1.10 o tabla 1.9 El coeficiente de sitio en este caso se obtiene de tabla 1.12 => S = 1.2 El coeficiente de importancia de tabla 1.13 => I = 1.0 Aceleración espectral: Sa = (1.2 x 0.20 x 1.2 x 1.0) / 0.61 = 0.472 Como Tc = 0.48 x 1.2 = 0.576 y TL = 2.4 x 1.2= 2.88 => no hay limitación en Sa El peso total del edificio se estima considerando lo que aporta cada piso: Primer piso: No aporta peso al edificio porque esta directamente sobre el suelo Pisos Intermedios => losa aligerada => Peso =1.95 kN/m2 Aligerante del tipo caseton de madera => Peso =0.30 “ Acabados cielo raso y pisos => Peso =1.20 “ Muros divisorios y sus acabados> Peso =1.50 “ _________________ Peso total de losa por piso => 4.95 kN/m2 Vigas de 400*400 mm => Peso =3.84 kN/m Columnas de 400*400 mm => Peso =3.84 kN/m Cubierta: Se asumirá una cubierta en losa aligerada solo con impermeabilizante El peso total de la edificación es estima así: Peso de cada losa con acabados = 4.95 x [ 43.56 + 36.96 + 43.56 ]= 614 kN Peso de cubierta = 2.25 x [ 43.56 + 36.96 + 43.56 ]= 279 kN

Peso de vigas en losas = 3.84 x [ 2 x 20.4 + 4 x 6.6 ]= 258 kN



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Peso de columnas niveles 1,2,3 y 4 = 3.84 x 8 x ( 3.0 - 0.40 ) = 80 kN Peso de columnas ultimo piso = 3.84 x 8 x (1.5 - 0.4 ) = 34 kN Peso columnas primer piso = 3.84 x 8 x 1.5 = 46 kN Peso total edificio: W = 4 x [ 614 + 258 ] + [ 279 + 258 ] + 4 x 80 + 34 + 46 = 4425 kN La cortante basal se determina como: Vs = 0.472 x 4425 = 2089 kN El calculo de las fuerzas horizontales por piso se realiza en forma tabular. Para esto se estima primero el coeficiente K de acuerdo al periodo de vibración de la estructura => Como T = 0.61 segundos => K = 0.75 + 0.50 T = 0.75 + 0.50 x 0.61 = 1.06

Tabla 1.14 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso a)

Nivel altura Wx (kN) Wx hxk Cvx Fx (kN)

Cubierta 15 571 10076 0.24 501 4 12 952 13261 0.31 648 3 9 952 9775 0.23 481 2 6 952 6360 0.15 313 1 3 952 3051 0.07 146

Piso 0 46 0 0.00 0.00 Suma ---- 4425 42523 1.00 2089

494 kN 651 kN 481 kN 313 kN 151 kN

Figura 1.15 Valores de la carga horizontal del ejemplo 1.3 a)



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Las cargas indicadas en la tabla 1.14 son para una determinada dirección del sismo. En este caso estas cargas se pueden analizar en el mismo sentido del viento por lo tanto se puede notar claramente que bajo los efectos combinados ( viento- sismo) las cargas equivalentes por sismo superan las cargas por viento. La relación en este ejemplo indica cargas por sismo del orden de 15 a 20 veces las de viento. En los diseños de estructuras de hormigón armado solo se trabaja con las cargas laterales equivalentes obtenidas del estudio sísmico ya que la probabilidad de que se presenten los dos fenómenos simultáneamente es muy baja. La carga lateral para cada piso se reparte proporcionalmente a la rigidez lateral de cada sistema estructural ( en este caso cada pórtico). En el caso de pórticos de igual rigidez y el sismo en dirección normal al ancho del edificio, las cargas laterales en cada pórtico equivalen a la mitad de las del piso ( En este sentido solo hay dos pórticos). b) Solución para el sismo de la zona dos (2) de la ciudad de Medellín. Para esta zona se tiene un Aa = 0.34 y un suelo tipo S2 de acuerdo a NSR-98 => S =1.2 Las demás condiciones del diseño permanecen constantes por tanto solo se indicaran los resultados obtenidos.

Ct T I Tc TL 0.08 0.61 1.0 0.576 2.88

Ahora el valor de Sa = 1.2 x 0.34 x 1.2 x 1.0 / 0.61 = 0.803 Como T = 0.61 > 0.576 => no hay limitación para Sa Cortante basal Vs = 0.803 x 4425 = 3553 kN Este resultado significa un aumento del 70% en la cortante basal. Este incremento se traduce en mayores cargas horizontales equivalentes que para el sistema estructural del ejemplo se traduce en mayores desplazamientos relativos de piso y en definitiva en mayores daños en la edificación por efectos del sismo.

Tabla 1.15 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso b)

Nivel altura Wx Cvxhxk Fx

m kN kN kN Cubierta 15 571 9937 840

4 12 952 13095 1107 3 9 952 9667 817 2 6 952 6303 533 1 3 952 3034 256

Piso 0 46 0.00 0.00 Suma ---- 4425 42036 3553



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c) Usando El UBC-97 en zona de amenaza sísmica intermedia17 Para resolver el problema usando esta metodología se deben primero trasladar los datos al caso particular de esta norma.

Tabla 1.16 Datos para solucionar ejemplo 1.2 método UBC-97

DATO NSR-98 UBC-97 Localización Amenaza intermedia Zona 2B Tipo suelo S2 SC

Sistema estructural 1 3 Importancia 1 1

Tipo fuente sísmica ----- B Distancia a fuente ----- 40 km

Con los datos anteriores se procede en la determinación de los parámetros necesarios para la determinación de la cortante basal y las fuerzas horizontales equivalentes. § Dirección a considerar: Según el largo de la edificación. Para este caso el X § Sistema estructural: Pórticos de hormigón armado resistentes a momento: 1 § Localización geográfica: La ciudad de Medellín. Zona sísmica 2B § Tipo de suelo: Consistencia dura con Vs> 200 m/s. Es tipo Sc § Tipo de fuente sísmica: Falla Cauca-Romeral. Tipo B § Distancia a fuente: Aprox. 40 km § Los datos para estimar el peso son iguales a los usados en los numerales a) y b). § No se considera ningún porcentaje de carga viva como carga permanente.

Con estas primeras consideraciones y usando el código UBC-97 se obtiene: § Factor de importancia, I=1.0 § Factor de zonificación sísmica, Z= 0.30 § Coeficiente para calculo del periodo de vibración, Ct = 0.03 § Periodo aproximado de vibración de la estructura, T= 0.56 s § Coeficiente de aceleración de cercanía de la fuente sísmica, Na = 1.0 § Coeficiente de velocidad de cercanía de la fuente sísmica, Nv = 1.0 § Coeficiente sísmico de aceleración, Ca = 0.24 § Coeficiente sísmico de velocidad, Cv = 0.32 § Factor de modificación de respuesta, R = 8.5 ( Se usara 1.0 para comparar con NSR-

98) es decir las fuerzas calculadas no se disminuirán por efecto inelástico. § Peso propio de la edificación, W = 4426 kN ( calculado en numeral a) § Cortante basal, V = 2541 kN § Cortante basal máximo, Vs max. = 2655 kN § Cortante basal mínimo, Vs min. = 117 kN



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Tabla 1.17 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso c)

Nivel altura Wx Cvxhx Fx m kN kN kN

Cubierta 15 571 8565 586 4 12 952 11424 782 3 9 952 8568 586 2 6 952 5712 391 1 3 952 2856 195

Piso 0 46 0.00 0.00 Suma ---- 4425 37125 2540

Estas fuerzas son aproximadamente un 20 % mas altas que las obtenidas con el procedimiento recomendado por la NSR-98. Se considera para efectos prácticos que los resultados obtenidos son comparables y se pueden usar para efectos de diseño estructural. Es importante anotar que el UBC-97 recomienda calcular las fuerzas horizontales equivalentes usando el valor de R correspondiente al tipo de sistema estructural. Estas fuerzas obtenidas son apreciablemente menores que las aquí calculadas para un R =1.0. Sin embargo después de realizar el análisis estructural elástico, para las cargas laterales indicadas, los desplazamientos laterales obtenidos en cada piso se deben incrementar un 70% de R para hallar las derivas inelásticas ( Deriva inelast. = 0.70*R*Deriva elast.). Alternativamente se puede usar un análisis no lineal función del tiempo para hallar estas derivas inelásticas ( este procedimiento se conoce como análisis de segundo orden). Por el contrario en el caso de las fuerzas halladas por la NSR-98 los valores dados por el análisis estructural son directamente los desplazamientos inelásticos del sistema y con ellos se determina directamente las derivas de piso. Para observar resultados comparativos con los entregados con el procedimiento del UBC-97 es necesario usar unos valores del coeficiente de modificación de respuesta, R consistentes con el método. 1.5 SEGURIDAD Y FUNCIONABILIDAD ESTRUCTURAL 1.5.1 Generalidades El tema de la seguridad estructural es tan amplio y complejo que sin lugar a dudas se tendría que presentar separadamente en otro texto universitario. Sin embargo por ser fundamental para adquirir unos principios sólidos de diseño se requiere al menos conocer las bases elementales en que se apoya toda esta tecnología. Con estos conceptos se logra comprender mejor la filosofía actual del diseño en ingeniería siendo este ultimo punto el objetivo final que se pretende para incluirlo en este numeral. Por definición una estructura ofrece seguridad y funcionabilidad cuando:



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“Esta en condiciones de soportar, sin alcanzar un estado limite, todas las intensidades de carga, en las posiciones y combinaciones mas desfavorables, que puedan actuar a lo largo

de la vida útil para la cual fue proyectada la estructura”.

La funcionabilidad requiere: a) que las deflexiones sean adecuadamente pequeñas para que no se altere el funcionamiento de la edificación, b) que las fisuras en el hormigón se mantengan dentro de los limites tolerables y c) que las vibraciones y efectos de corrosión exterior sean minimizados satisfactoriamente. Si la resistencia de una estructura, construida como se diseña, se pudiera predecir con exactitud y si las cargas con sus efectos internos ( Momentos, cortantes, torsiones y fuerzas axiales) fueran igualmente conocidos, la seguridad podría lograrse suministrando una capacidad resistente justo por encima de la requerida por las cargas externas. Sin embargo la existencia de un gran numero de factores asociados con el análisis y diseño estructural obligan al ingeniero a utilizar un enfoque no deterministico en la solución de estos problemas. Un ejemplo de algunos factores se ilustran a continuación: § Las cargas reales pueden diferir de las utilizadas en el diseño § Las cargas reales pueden distribuirse en forma diferente a la usada en el diseño § Las hipótesis y simplificaciones en que se basan los métodos de análisis y diseño

pueden producir resultados teóricos diferentes a los observados realmente en la estructura.

§ El comportamiento real de la estructura puede diferir del asumido en los cálculos por la falta de conocimientos al respecto.

§ Las dimensiones reales de la estructura pueden diferir de las indicadas en los diseños, por practicas inadecuadas de construcción.

§ La posición del refuerzo puede variar de la indicada en los diseños. § La resistencia real de los materiales puede diferir de la indicada en los diseños.

Estas consideraciones sumadas a las consecuencias de falla de una estructura nos indican la importancia de realizar un riguroso estudio de la seguridad estructural. En algunos casos una falla podría solo ser un inconveniente fácilmente superable con algunas herramientas de rehabilitación estructural. En otros casos la perdida de vidas y de patrimonio son realmente irrecuperables para la comunidad. En este ultimo punto hay consenso general de que en estos casos lo mas importante es el estudio de la naturaleza de la falla y la forma como ella ocurre. Una falla gradual se caracteriza por manifestaciones visibles y evidentes de un colapso, por lo que permite realizar las medidas necesarias para eliminar las perdidas. Por el contrario una falla súbita es mas catastrófica y se debe tratar de evitar en la medida de lo posible. Los técnicos y científicos continúan trabajando en estos temas y en la búsqueda de mejores alternativas de diseño estructural. Históricamente el enfoque de diseño utilizado fue deterministico como lo manifiestan los documentos técnicos de la época. Es así como durante aproximadamente ochenta años ( desde 1870 hasta 1950) el conocido método de las tensiones admisibles permitía asegurar la confiabilidad de una estructura usando solo un porcentaje limitado de la resistencia de los materiales estructurales. Estos porcentajes se obtenían de pruebas de laboratorio y se



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denominaban coeficientes de seguridad. Entre mas se desconocía del comportamiento del material y de su naturaleza y resistencia el valor era mas bajo, por lo que algunos autores también los denominaron coeficientes de ignorancia. En la actualidad el enfoque de diseño es semi-probabilistico y tiene en cuenta tanto la naturaleza variable de la resistencia de los materiales como la de las cargas y sus efectos en las estructuras. Este método se denomina diseño por resistencia y es el que prácticamente utiliza la ingeniería estructural. En el caso ideal se debe utilizar un enfoque completamente probabilistico, sin embargo para ello es necesario conocer con exactitud las variaciones estadísticas tanto de las cargas como de la resistencia de los materiales durante la vida útil de una estructura. Ya que esto aun no esta disponible ( en algunas regiones altamente desarrolladas se esta recogiendo información al respecto) el problema se resuelve con el uso de unos coeficientes parciales de seguridad obtenidos estadísticamente ( Coeficientes de minoración de resistencia,Φ y coeficientes de mayoracion de cargas, γ ). 1.5.2 Variabilidad de la resistencia de los materiales La resistencia de una estructura depende de las propiedades mecánicas de los materiales usados en su construcción. La propiedad mas importante desde el punto de vista estructural es su resistencia ( tracción, compresión, flexión, cortante, torsión) por lo que en el diseño el ingeniero especifica unos valores lo suficientemente adecuados (mínimos) para que se garantice su posterior cumplimiento. Estos valores mínimos se conocen como resistencias de diseño o resistencias características del material; generalmente la tecnología los normaliza definiendo lo que se conoce como materiales de baja, media y alta resistencia. En el caso del hormigón y del acero de refuerzo la tabla 1.16 ilustra ejemplos. F(R) Rd : Resistencia de diseño Rd < R prom. Rn : Resistencia nominal Rd Rn Rprom. R

Figura 1.16 Función de densidad de probabilidad de la resistencia estructural



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Al estudiar la resistencia real de los materiales usados estructuralmente se encuentra que en realidad estos no pueden conocerse con certeza y que su estudio requiere la participación de los métodos estadísticos para estimar datos de diseño consistentes. Adicionalmente para conocer la resistencia de una estructura también se debe tener en cuenta el nivel de supervisión y control usado en su construcción ya que el tamaño y forma de los elementos estructurales pueden diferir de los exigidos en los planos, el refuerzo mal colocado, el hormigón mal compactado, mal curado y mal conservado. Es este el panorama que se vislumbra para el ingeniero proyectista por lo que no queda mas alternativa definir la resistencia de una estructura como una variable aleatoria caracterizada por una determinada función de densidad de probabilidad, figura 1.16. Aunque la forma exacta de la función no puede conocerse si puede aproximarse a una forma conocida a partir de los datos observados o mediciones experimentales de la resistencia de los materiales. En los últimos años se ha recopilado bastante información al respecto obteniendo cada vez mejor estimación estadística de las propiedades de los materiales. La figura 1.18 muestra un histograma de frecuencias de la relación entre la resistencia a la flexión teórica y real de vigas de hormigón armado obtenida en mediciones de laboratorio. Se aprecia como los métodos actuales en promedio garantizan un diseño seguro ya que el momento flector real promedio es 1.05 veces el momento flector teórico promedio. Sin embargo existe una probabilidad apreciable de que una determinada viga quede tenga resistencia inferior a la especificada. Numero de ensayos 60 50 40 30 20 10 Z= Mt / Mr

Figura 1.17 Histograma de frecuencias de la resistencia a flexión de vigas de hormigón armado. Mt: momento teórico, Mr: momento real



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Tabla 1.18 Resistencia de materiales usados en el hormigón armado

MATERIAL TIPO DE RESISTENCIA

BAJA MEDIA ALTA

Acero Tracción < 420 MPa 420-560 MPa >560 MPa

Hormigón Compresión < 21 MPa 21-42 MPa > 42 MPa

1.5.3 Variabilidad de las cargas externas Ya que las cargas externas máximas que se pueden presentar durante el periodo en servicio de la estructura no son conocidas, estas pueden considerarse como variables estadísticas de carácter aleatorio. Algunas cargas se pueden predecir con buena precisión como en el caso del peso propio, sin embargo las cargas por uso y ocupación, las de viento, las sísmicas, explosiones y hundimientos son prácticamente desconocidas. A pesar de esto la comunidad exige al ingeniero proyectar una estructura adecuadamente segura contra cualquier eventual sobrecarga. Un modelo estadístico para las cargas máximas podría aplicarse si se conociera la función de densidad de probabilidades de la respectiva carga. La forma exacta de esta distribución solo puede obtenerse a partir de registros experimentales u observaciones de campo en las estructuras reales. La figura 1.18 ilustra las características principales de un modelo de este tipo. Numerosas investigaciones se han realizado y muchas otras están en curso. Para algunas cargas existen pocos datos y estos no son completamente confiables, para otras la experiencia, juicio y observación del problema son fundamentales a la hora de tomar alguna decisión al respecto. Existen modelos bien fundamentados para las cargas por uso y ocupación y las cargas de viento. Para las sísmicas falta mas información y conocimientos. En la figura 1.18 el área bajo la curva entre las abscisas Q1 y Q2 representa la probabilidad de ocurrencia de una carga Q i de tal forma que Q1< Qi < Q2. En el diseño estructural se selecciona una carga Q d que cumpla la condición de que la probabilidad de que se presenten cargas mayores al valor seleccionado sea mínimo. Esto significa que Qd es mayor que Qprom. En realidad el valor de Qprom. Es mas representativo de las condiciones reales de carga en la estructura, pero si se diseñara con este valor no se garantizaría un adecuado margen de seguridad en la edificación. En la figura 1.19 se compara la carga viva sostenida en oficinas con áreas de 14 m2; como se aprecia esta carga en promedio es de 0.64 kN/m2 y solo el 1% de esta carga tiene una intensidad mayor de 2.15 kN/m2. Para este tipo de edificación los códigos de construcción ( ACI-318 o NSR-98 ) especifican una carga mínima para el diseño de 2.5 kN/m2. En áreas mayores la carga viva promedio se mantiene en 0.64 kN/m2 pero la variabilidad disminuye



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como se indica en la figura 1.20. Esto indica la excelente aproximación que tienen las tablas actualmente usadas para estimar las cargas vivas. F (Q) Q d : Carga de diseño Qd > Qprom. Qprom. Q1 Q2 Qd

Figura 1.18 Función de densidad de probabilidades para las cargas en una estructura 1.5.4 Cálculos probabilisticos y factores de seguridad La forma como se puede determinar la probabilidad de falla de una estructura con unos determinados materiales y frente a unas determinadas cargas se puede visualizar primero mediante la figura 1.21. En esta se ilustra en el eje horizontal la distribución estadística de la resistencia, R de los materiales y en el eje vertical la de las cargas, Q para un determinado tiempo de servicio. Con el fin de tener resultados comparativos tanto la resistencia, R, como las cargas, Q, se deben expresar en relación a una misma propiedad ( por ejemplo flexión, fuerza axial). La línea a 45° corresponde a iguales efectos de resistencia y carga. Cuando la combinación de Q y R esta por encima de esta línea, es decir Q > R se presenta la falla. Por ejemplo los efectos que produce la carga Q1 actuando sobre una estructura de resistencia R1 podrían causar la falla de la estructura, mientras que los efectos que produce la carga Q2 en una estructura de resistencia R2 representa una combinación segura.



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0.10 Frecuencia relativa 0.08 0.06 0.04 0.02 0.5 1.0 1.5 2.0 Carga ( kN/m2)

Figura 1.19 Distribución de la carga viva en oficinas1 con áreas de 14 m2 Para una determinada distribución de efectos de carga, la probabilidad de falla puede reducirse aumentando la resistencia de la estructura. Esto se podría lograr si desplazáramos a la derecha la distribución de resistencia de la figura 1.20. Adicionalmente la probabilidad de falla puede reducirse disminuyendo al dispersión de las resistencias en la estructura. Frecuencia relativa 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.5 1.0 1.5 2.0 Carga ( kN/m2)

Figura 1.20 Distribución de la carga viva en oficinas1 con áreas de 192 m2



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Efectos de las cargas, Q Q = R Q > R => Hay probabilidad de falla Q < R => Hay seguridad R1 R2 Resistencia, R

Figura 1.21 Combinaciones de carga y resistencia para efectos de seguridad estructural 7 A manera de definición se denomina margen de seguridad, M a la diferencia entre la resistencia de una estructura y los efectos de las cargas, Q.

QRM −= (1.2) Si M > 0 la estructura tiene un determinado margen de seguridad, en caso contrario cuando M < 0 la estructura es insegura. La figura 1.22 muestra la distribución de probabilidades de M, la probabilidad de falla ( Pf ) esta representada por el área sombreada en la distribución estadística.

( ) ( ) 00 ≤−=≤= QRPMPPf (1.3)

La función de M tiene un valor promedio de Mm y una desviación estándar σM. De la

figura 1.22 se puede concluir que Mm = 0 + βσM, donde β = Mm / σM . Si la distribución se desplaza a la derecha, aumentando el valor de Mm, el valor de β aumentara y el área sombreada disminuirá, por lo que se concluye que Pf es función de β. El valor β se denomina índice de seguridad.

Rm

Q2

Q1

Qm



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Si M sigue una determinada función de densidad de probabilidades (FDP) y si Mm y σM son conocidas, la probabilidad de falla puede calcularse u obtenerse de tablas como una función del tipo de distribución y del valor de β. Si por ejemplo la FDP es normal o

Gaussiana y β es 3.5 se obtiene un Mm = 3.5σM . De las tablas de integración de la función normal para un Z = 3.50 la probabilidad de tener un valor igual o menor de cero es de (1- 0.99977). Es decir la probabilidad de falla es de 0.00023 que equivale a decir que 23 estructuras de 100.000 fallan cuando β =3.5. Entre mas alto sea el valor de ß menos probabilidad de falla tiene la estructura. Por ejemplo si B = 4 la probabilidad de falla es solo de (1-0.9999683)= 0.0000317 que equivale a decir que 3 estructuras de 100.000 fallan. Los valores apropiados para Pf y β se seleccionan de acuerdo a las consecuencias de la falla. Algunos códigos y normas de diseño han propuesto los siguientes valores de β : § En fallas dúctiles donde las consecuencias de falla no son graves: β = 3.0 – 3.5 § En fallas súbitas donde hay serias consecuencias de falla : β = 3.5 – 4.0

Frecuencia relativa

β∗σM Mi = 0.0 Mm M = R - Q Área sombreada = Prob. Falla ( Pf ) = P ( M< 0) = P [ ( R - Q) < 0 ]

Figura 1.22 Significado de probabilidad de falla , margen e índice de seguridad



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En la practica es mas conveniente introducir coeficientes parciales de seguridad tanto para las resistencias estructurales como para las cargas aplicadas. Bajo este criterio se puede indicar que una estructura es segura cuando:

dn QR .. γφ ≥ (1.4)

En la que Φ es un factor de reducción de resistencia ( aplicado a la resistencia nominal del material, Rn ) y γ es un factor de mayoracion de las cargas. Si se reconocen las diferencias de variabilidad entre las capacidades resistentes de los materiales y las cargas aplicadas, es razonable y practico definir diferentes magnitudes para Φ y para γ . Por ejemplo si se consideran los efectos a flexión de las cargas muertas y las cargas vivas se debe cumplir:

( ) LDFlexionR ldn ... γγφ +≥ (1.5)

En la cual γd es un factor mayor que la unidad para la carga muerta y γl igualmente para carga viva. Cuando se consideran cargas adicionales como las del viento (W), las de sismos ( E), las de empuje de tierras ( H) se deben usar los factores adecuados para su mayoracion. De la misma forma cuando hay simultaneidad de acciones verticales mas laterales se debe utilizar un factor de reducción α que tenga en cuenta la baja probabilidad de que se presenten varios efectos al mismo tiempo en la estructura.

( ).............. ++++≥ EWLDR ewldn γγγγαφ (1.6) El formato actual de seguridad de los códigos nacionales e internacionales sigue la ecuación 1.6 como en el caso ACI-318-02, NSR-98 y del IBC-200016. 1.6 CODIGOS DE DISEÑO Y NORMAS DE CONSTRUCCIÓN 1.6.1 Marco histórico El primer compendio de normas sobre el uso del hormigón armado para la construcción de edificaciones fue realizado bajo la dirección del profesor Emil Morsch de la Universidad de Sttugard ( Alemania) y fue impreso y editado en Prusia en el año 1904. Estas regulaciones fueron utilizadas en varios países Europeos Inglaterra, Francia, Austria y Suiza durante los años 1907 y 1909. En el caso de América para el año de 1890 la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles nombro un comité sobre mampostería y en 1903 este presento las primeras especificaciones para la construcción con hormigón de cemento Pórtland. En el año de 1910 la Asociación Nacional de Usuarios del Cemento ( NACU) de los Estados Unidos presento unas regulaciones estándar para el uso del hormigón armado en la construcción. En 1913 esta asociación se conoció como el Instituto Americano del Hormigón ( ACI).



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En 1904 se estableció un comité conjunto conformado por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ASCE), la Sociedad Americana para Ensayo de Materiales (ASTM), la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles (AREA) y la Asociación de Cemento Pórtland (PCA), para el estudio del hormigón y del hormigón armado. Este equipo de trabajo realizo entre 1904 y 1910 varias investigaciones y consultas sobre libros y artículos publicados sobre el material. El informe final de esta comisión fue publicado en 1916. A partir de esa fecha la historia de los códigos de hormigón armado en nuestro continente es liderada por el ACI. En la tabla 1.18 se muestra el desarrollo histórico de los códigos de hormigón armado en América. 1.6.2 Generalidades de los códigos de construcción El diseño y construcción de las estructuras de hormigón armado esta generalmente enmarcado dentro de ciertas restricciones y rangos de trabajo que se indican en los conocidos códigos de construcción. Estos especifican una serie de requisitos mínimos para los materiales, el análisis y diseño estructural, la construcción, el mantenimiento y control y actualmente la reparación y rehabilitación. La existencia de estos documentos es primordial para la protección y seguridad publica. No es de extrañar que la civilización ha reconocido lo anterior desde hace muchos siglos. En la antigua Babilonia un decreto promulgado por el Rey HAMMURABI y grabado en una columna de diorita, actualmente conservado en el museo de LOUVRE, en el siglo XVIII a de C. Indica lo siguiente:

“Si un constructor construye una casa, pero su obra no es lo bastante resistente y luego resulta que la casa se derrumba causando la muerte del propietario de la misma, el

constructor será condenado a muerte, si el derrumbamiento causa la muerte del hijo del dueño, se condenara a muerte el hijo del constructor.....”

Es inquietante para la humanidad saber que el primer registro histórico del que se tenga evidencia ya regulaba la vida en comunidad y penalizaba los delitos de la construcción. Esto por consiguiente debió dar origen a una cuidadosa aplicación de los conocimientos del constructor en el desempeño de sus oficios. En la actualidad cada ciudad, país o continente esta en libertad de escribir o adoptar su propio código de construcción y tener estatus legal para motivar su aplicación. En el caso por ejemplo de los Estados Unidos, hasta 1998, existían cuatro modelos de códigos generales de construcción el Uniform Building Code (UBC) el Basic Building Code ( BBC), el Southern Standard Building Code (SSBC) y el National Building Code ( NBC). Estos códigos destacan diferentes temas en su contenido tales como: § Requisitos de uso y ocupación de las estructuras § Resistencia al fuego § Requisitos de ventilación § Diseño estructural § Consideraciones especiales para cargas de viento § Aspectos sísmicos



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Tabla 1.19 Historia del código ACI para hormigón armado

FECHA PUBLICACION 1910 Primeras regulaciones oficiales para la construcción NACU 1925 Primeras regulaciones del ACI 1936 Informe ACI-501-36 1941 Informe ACI-318-41 1947 Informe ACI-318-47 1951 “ ACI-318-51 1956 “ ACI-318-56 1963 “ ACI-318-63 1971 “ ACI-318-71 1977 “ ACI-318-77 1983 “ ACI-318-83 En Colombia se Publica CSR-1400-84 1989 “ ACI-318-89 1995 “ ACI-318-95 En Colombia se Publica NSR-98 1999 “ ACI-318-99 2002 “ ACI-318-02

Como se puede notar, a diferencia de otras naciones, los Estados Unidos no tiene un código nacional que regule el diseño y construcción de las edificaciones. Sin embargo a mediados del año 1998 se publica el primer borrador de un código modelo general para los Estados Unidos que se conoce como el International Building Code (IBC). Este documento revisado y actualizado por la Building Officials and Code Administrators International, Inc (BOCA) se publica oficialmente iniciando el siglo XXI y se conoce como el IBC-2000. En el tema especifico del diseño y construcción de edificios de hormigón armado tanto los codigos modelo regionales como el código internacional hacen referencia a las regulaciones del Instituto Americano del Hormigón (ACI) específicamente al documento “ Requisitos de construcción para un código de hormigón armado ACI-318-99”. Este documento en si no tiene estatus legal pero al incorporarlo a un código general de construcción adquiere la categoría de reglamento oficial. Es importante para el ingeniero estructural tener presente que:

“ Un código de construcción, legalmente adoptado, previene a la población de los daños y perjuicios ocasionados por la aplicación de practicas inadecuadas de construcción.

Este desde luego especifica unos requisitos mínimos que están de acuerdo con una seguridad adecuada de la estructura. Es necesario aclarar que un código de

construcción no es manual de practicas, ni un libro de diseño ni tampoco es su objetivo reemplazar el conocimiento juicio y experiencia del ingeniero en su actividad

profesional. Este por lo consiguiente no debe relevar al diseñador de la responsabilidad de que su estructura sea segura, confiable y económica”.



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1.6.3 El código ACI y sus requisitos de diseño. En los numerales 1.6.1 y 1.6.2 se explicaron los antecedentes y el soporte investigativo que se realizo para la implantación de los diferentes codigos de construcción y particularmente para el código ACI-318 que ha servido de modelo para el caso del diseño y construcción de estructuras de hormigón armado. El ACI permite actualmente dos procedimientos de diseño: El diseño por resistencia y el diseño unificado (apéndice B). El método mas usado para dimensionar y reforzar las estructuras de hormigón armado es el

denominado por resistencia. Este se fundamente en los factores de resistencia Φ y los de

carga γ. Este procedimiento es esencialmente un diseño por estados limites. El capitulo 9 del código ACI-318- (02) presenta la filosofía básica del diseño por resistencia. El termino

resistencia de diseño se refiere al valor Φ Rn y el termino resistencia requerida se refiere a

los efectos internos que se producen en la estructura por acción de las cargas : γD D + γL L

+ γW W + γE E ...... . Hasta la versión ACI-318-99 se disponía del método alternativo del apéndice A el cual era un procedimiento por tensiones admisibles ( o de trabajo). En este el diseño se fundamenta en las cargas de servicio ( sin mayorar) y en la resistencia admisible de los materiales. En el caso de diseño a flexión este método recomienda que las máximas tensiones en los materiales hormigón y acero no excedan los limites admisibles de 0.45 la resistencia a compresión del hormigón ( f´c) y 170 MPa para la resistencia a tracción del acero ( fy = 420 MPa). El diseño plástico, también conocido como diseño limite ( no se debe confundir con el diseño por estados limites) o diseño por capacidad es un procedimiento que considera la posibilidad de la redistribución de tensiones en secciones criticas ( zonas de concentración de fuerzas internas como por ejemplo nudos, mensulas, codos, regiones bajo cargas concentradas, vigas pared ) en donde se forman articulaciones plásticas que llevan a la estructura a un mecanismo de colapso plástico. Este concepto es fundamental en el diseño por efectos sísmicos en donde la posibilidad de la estructura a la formación de articulaciones plásticas es alta y se requieren por tanto diseño mas complejos como el diseño dúctil ( mas allá del rango elástico). 1.6.4 Factores de carga y de resistencia del ACI Los requisitos de seguridad dados en el código ACI se dan en forma de ecuaciones como las 1.5 y 1.6 utilizando los factores de reducción de resistencia y los de mayoracion de carga. Adicionalmente la sección 9.2 del ACI-318-02 presenta los factores de carga con sus combinaciones mas frecuentes que se deben utilizar en el calculo de los efectos de las cargas en las estructuras.



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En el código el símbolo “u” se refiere a la combinación de cargas mayoradas y los símbolos Mu, Vu, Nu y Tu se refieren a los efectos por cargas mayoradas ( Flexión, cortante, Axial y torsión respectivamente). El código ACI usa el termino resistencia requerida al hablar de los efectos de las cargas mayoradas.

( )FDU += .4.1 (1.7.a)

( ) ( ) ( )RSLHLTFDU r ,,.5.0.6.1.2.1 +++++= (1.7.b)

( ) ( )WLRSLDU r .8.0,.0.1,,.6.1.2.1 ++= (1.7.c)

( )RSLLWDU r ,,.0.1.5.0.6.1.2.1 +++= (1.7.d)

SLEDU .2.0.0.1.0.1.2.1 +++= (1.7.e)

HWDU .6.1.6.1.9.0 ++= (1.7.f)

HEDU .6.1.0.1.9.0 ++= (1.7.g) En Donde: D: Carga muerta F: Carga debida al presión lateral de fluidos, se considera la altura máxima. T: Fuerzas internas debidas a la fluencia, retracción y temperatura L: Carga viva H: Carga debida al peso y presión lateral del suelo. Incluye la presión del agua en el suelo. Lr: Carga en el techo o cubierta S: Carga de nieve R: Carga de lluvia W: Carga debida al viento E: Carga por sismo Los factores de carga para “ L “ en la ecuaciones 1.7.c, 1.7.d y 1.7.e se pueden reducir a 0.5 excepto en garajes, áreas publicas y en general cuando “ L “ es mayor de 5.0 kN/m2. Cuando la carga de viento “ W “ no se ha reducido por el factor de dirección, el código permite usar un factor de 1.3 en lugar del 1.6. Si la carga por sismo “ E “ se basa en fuerzas sísmicas a nivel de servicio, se debe usar el factor de 1.4 en lugar de 1.0 en las ecuaciones 1.7.d y 1.7.g.



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El factor de carga para “ H “ en la ecuación 1.7.f y 1.7.g es igual a cero si la acción estructural debida a “ H “ contrarresta la debida a “ W “ o “ E “. Cuando la presión lateral de tierra suministra resistencia contra la acción de otras cargas, esto no se debe incluir en “ H “ pero si tenerlo en cuenta en la resistencia de diseño. De otra parte el numeral 9.3 del codigo ACI-318 especifica los factores de reducción de resistencia, Φ para diferentes efectos en las estructuras. La tabla 1.20 ilustra los valores recomendados en el diseño. En regiones de alta sismicidad se pueden usar factores Φ mas bajos que los anteriores para el caso de esfuerzos cortantes y en columnas por la falta de conocimientos experimentales en este campo ( ver ACI 9.3.4). Todo lo expuesto en este numeral se fundamenta en una amplia información experimental y en el análisis estadístico, juicio y experiencia de importantes organizaciones profesionales. El compromiso entre seguridad y economía es la plataforma en que se basan los adelantos en este campo. El ingeniero debe recordar que si cumple la relación dada en la ecuación 1.4 la probabilidad de falla es muy baja.

Tabla 1.20 Factores de reducción de resistencia4

TIPO DE RESISTENCIA FACTOR DE REDUCCIÓN,

Φ Flexión sin carga axial 0.90 Tracción o flexión mas tracción 0.90 Compresión y compresión mas flexión con refuerzo en espiral 0.70 “ “ “ “ en otros casos 0.65 Cortante y torsión 0.75 Apoyo sobre el hormigón ( Excepto en pretensado) 0.70 Zonas de anclaje en pretensado 0.85 La aplicación conjunta de los valores ? y F indicados anteriormente en el diseño definen una probabilidad de subresistencia de 1/100 y una probabilidad de sobrecarga de 1/1000. La probabilidad conjunta, que es la probabilidad de falla es :

Prob. De falla = (1/100)*(1/1000) = 1/100000 = 10-4

Es decir el margen de seguridad es de 4 [ o sea el cologaritmo de 10-4 ]que significa que de 100.000 estructuras o elementos estructurales diseñados con estos coeficientes solo uno fallara. Por lo general las probabilidades de falla en las construcciones debe ser baja sin embargo es importante considerar los efectos económicos que con llevan a proyectos inalcanzables cuando se usan mayores coeficientes de amplificación de las cargas y menores factores de reducción de resistencia.



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1.6.5 Códigos Colombianos de construcción 1.6.5.1 Primera época. Hasta 1983 Históricamente la ingeniería Colombiana utilizo los códigos Americanos fundamentalmente el ACI-318 para el hormigón armado y el UBC para propósitos generales aplicando estas prescripciones directamente en los proyectos de ingeniería. Se tenían traducciones del ACI-318-77 realizadas por ingenieros Colombianos y publicadas por el Instituto colombiano de Productores de Cemento Estructurales en el año de 1978. Además se trabajaba en la parte sísmica con traducciones de los documentos ATC-3 , SEAOC y UBC. El primer mapa sísmico de Colombia fue realizado en un proyecto de grado dirigido por el profesor Alberto Sarriá de la Universidad de los Andes en 1972 y presentado por J.M. Atuesta. En 1978 el profesor Sarriá presento algunas modificaciones al primer documento. Otros mapas como los del Ingeniero Gabriel Estrada Uribe, Interconexión Eléctrica S.A. también estaban disponibles para fines de la década del 70. Los sismos ocurridos a finales de 1979 y que representaron grandes perdidas en varias regiones del territorio nacional fueron los que motivaron el inicio para la redacción de unas normas de diseño y construcción de carácter obligatorio. A fines del año 1981 se publica la norma ICONTEC-2000 para la construcción de estructuras de hormigón armado y la norma ACIS-100 para el diseño sísmico. El sismo de Popayán de Marzo 31 de 1983 marco una nueva etapa en la normalización del diseño y construcción en Colombia. Las primeras estimaciones de daños indicaban perdidas por mas de cuatrocientos millones de dólares. 1.6.5.2 Decreto ley 1400-84 “Código Colombiano de Construcciones sismoresistentes” Después del sismo de Popayán el gobierno nacional encargo, de manera urgente, al ministerio de obras publicas la tarea de implementar un compendio de normas para el diseño y construcción considerando el lamentable suceso presentado en Popayán. El ministerio con la ayuda de la Sociedad Colombiana de Ingenieros (SCI) decidió encomendar a la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (AIS) la elaboración de la parte técnica del documento. La asociación disponía del trabajo realizado por la Norma AIS-100 en la parte sísmica, la norma ICONTEC-2000 en el hormigón armado y el codigo de estructuras metálicas de Fedestructuras. El decreto ley por el cual se establecía el primer codigo Colombiano de construcciones fue firmado por el Sr. presidente de la Republica Dr. Belisario Betancurt Cuartas y se conoció también como el MOP-1400-84. El Gobierno Nacional consciente de que un documento como tal debe ser actualizado periódicamente con el avance del conocimiento creo la comisión permanente del codigo por decreto 2170 de 1984. Esta comisión debía al menos actualizar el documento cada ocho años en forma similar a la actualización del codigo ACI-318.



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El codigo 1400 contiene seis títulos así: A: requisitos para el diseño sísmico, B: las cargas aplicadas, C: la construcción de hormigón armado, D: la mampostería, E: las casas de uno y dos pisos y la F: las estructura metálicas. 1.6.5.3 Norma Sismo Resistente Colombiana. NSR-98 Posterior a la publicación del decreto 1400 se incremento a nivel mundial la investigación en el diseño sísmico. Las normas UBC se actualizan, lo mismo que las disposiciones ATC con los resultados obtenidos de los sismos de México, Loma Prieta, Kobe, Northridge, Turquía. Aparecen nuevas disposiciones con mas criterio para el diseño. Se proscriben algunas practicas de diseño inseguras y se le da gran importancia al diseño dúctil en rango inelástico de las estructuras. Para reflejar estas tendencias en Colombia la ACIS comienza a inicios de la década del 90 una labor de actualización de las normas sísmicas con el apoyo del Fondo Nacional de Calamidades. Los primeros resultados se dan para el año de 1994 con el documento AIS-100-94 el que posteriormente es denominado decreto ley 400 del 19 de agosto de 1997. El decreto definitivo que le da estatus legal a las disposiciones es # 33 del 9 de enero de 1998. La NSR-98 describe el panorama sísmico actualizado para el país. Presenta estrategias de diseño estructural que deben adaptarse para minimizar la vulnerabilidad de las edificaciones ante la ocurrencia de futuros sismos. Esta compuesta por cinco títulos adicionales a los del decreto 1400. Cada uno de los títulos fue actualizado, ampliado y referenciado correctamente. Sin lugar a dudas es un documento excepcional que permite mejorar sustancialmente la correcta practica de la ingeniería estructural. En el numeral B.2.4 se presentan las combinaciones de carga que se deben usar en el diseño estructural. Estas difieren ligeramente de las recomendadas por el ACI-318-02 y es importante nuevamente enumerarlas: § U = 1.4 D + 1.7 L § U = 1.05 D + 1.28 L + 1.28 W § U = 0.9 D + 1.3 W § U = 1.05 D + 1.28 L +1.0 E § U = 0.9 D + 1.0 E § U = 1.4 D + 1.7 L + 1.7 H § U = 1.05 D + 1.28 L + 1.05 T § U = 1.4 D + 1.4 T

1.6.5.4 Estado Actual de los códigos de construcción A nivel mundial la tendencia es la de unificar, mediante códigos generales que agrupan varios países, las recomendaciones generales para el diseño y construcción de edificaciones. Esta es la dirección que han tomado tanto los países Europeos como los Norteamericanos. En Europa se tiene el conocido Eurocódigo y en estados Unidos el recién Código Internacional de Construcción (CIB-2000).



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1.7 OBJETIVOS Y PROCEDIMIENTOS DEL DISEÑO ESTRUCTURAL Una estructura diseñada correctamente debe cumplir los siguientes objetivos: § Apropiada según necesidades del propietario: Arquitectura § Económica: Arquitectura + Ingeniería § Segura: Ingeniería § Durable: Ingeniería

Con el fin de cumplir los objetivos planteados, se debe seguir durante todo el proyecto un procedimiento ajustado y coordinado a las características particulares del trabajo. En general son varias las fases operativas: § Definición de necesidades y prioridades del propietario. Grupo de

profesionales que gerencia el proyecto ( Arquitectos, Ingenieros, abogados, administradores ).

§ Realización de anteproyectos. Se busca la solución optima. Arquitectos e Ingenieros ( Estructurales, geotécnicos, Hidráulicos, mecánicos, eléctricos).

§ Ejecución Proyecto definitivo. Diseños, Planos, Licitación o adjudicación directa ( Grupo de diseñadores, propietario y gerencia proyecto).

§ Construcción de obras e instalación de elementos. Trabajo de campo ensamble, verificaciones y controles.( Ingenieros y Arquitectos)

§ Puesta en servicio, mantenimiento y reparación. Durante el tiempo de uso. Propietario y equipo técnico asesor).



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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La viga dintel de la figura es de hormigón armado con un b = 400 mm y un h = 500 mm tiene una luz libre de 3.50 m y soporta además de su propio peso un muro de ladrillo de 150 mm de ancho y altura de 3.0 m. En la parte superior el muro recibe una losa de 1.50 m de ancha y de 100 mm de espesor que soporta una carga viva de 2 kN/m2. Determinar a) la carga viva y muerta que actúan sobre la viga, b) la carga ultima según la NSR-98. L = 3.50 m 2. Para la edificación de 7 pisos indicada en el grafico y localizada en la ciudad de Medellín con planta rectangular de ancho 15 m y largo 30 m, destinada a vivienda, se requiere determinar las cargas laterales por viento y por sismo en las direcciones dadas usando las recomendaciones de la NSR-98. Utilizar una altura de piso constante e igual a 3.0 m. Indicar al menos cinco combinaciones de carga para el diseño estructural de la edificación. Viento Viento 15.0 m 30.0 m 8.0 m 7.0 m Usar : Losa maciza de 125 mm de espesor Vigas de b = 400 mm h = 500 mm Sismo Columnas de 400*400 mm



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3. En un estudio experimental de resistencias a flexión en vigas de hormigón armado se encontró un valor promedio de Mr = 45 kN*m con una desviación típica de 8.0 kN*m. Si se asume una distribución Gaussiana determinar cual es la resistencia mínima que garantiza un : a) 95 %, b) 99% y c) 99.9% de valores superiores. F(Mr) 8 8 Mr.min 45 Mr ( kN*m) 4. En el ejemplo anterior determinar cual es la probabilidad de subresistencia si el valor asumido para la resistencia de la viga es de a) 35 kN*m, b) 30 kN*m y c) 20 kN*m. Analizar los resultados. 5. En un estudio de campo sobre la magnitud de las cargas por uso y ocupación en edificios destinados a vivienda se encuentra un valor promedio de 1.2 kN/m2 con una desviación típica de 0.85 kN/m2. Considerando una distribución Gaussiana determinar cual es la carga máxima que garantiza un : a) 80%, b) 90% , c) 99.9% de valores inferiores a ella. F(qv) 0.85 0.85 1.2 Carga viva ( kN/m2)



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6. Si la carga viva máxima especificada para una edificación destinada a vivienda es de 2.0 kN/m2 y los resultados observados en el campo reflejan un comportamiento similar al de la distribución indicada en el ejemplo 5 determinar cual es la probabilidad de sobrecarga. Cual debe ser la carga viva máxima que garantiza una probabilidad de excedencia igual a 0.001.

7. Las vigas de un edificio de hormigón armado se diseñan para las siguientes

combinaciones de carga ( qd ) y resistencia ( Rd ): a) qd = 70 kN*m Rd = 125 kN*m, b) qd = 32 kN*m Rd = 135 kN*m . Determinar la probabilidad de falla y el margen de seguridad para las siguientes estadísticas:

§ Resistencia media= 175 kN*m § Desviación típica de la Resistencia= 35 kN*m § Carga de diseño media= 135 kN*m § Desviación típica de la carga= 55 kN*m Para una resistencia de diseño Rd= 125 kN*m hallar la cargas de diseño que garantiza una probabilidad de falla de 10-4. Usar distribución Normal.

fundamentos del diseño de estructuras de hormigon

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