8.5. Series de potencias. Radio de convergencia

8.5.6. Criterio del cociente

Baste para demostrar este criterio que si existe el lmite de la sucesin co-ciente, ste debe coincidir con la sucesin raz n-sima del criterio anterior.

En el siguiente apartado abordaremos las relaciones entre una serie y la se-rie formada por sus derivadas o integrales y la transmisin de la convergencia.

Recordemos que:

.:. La eleccin del criterio de convergencia ms adecuado depende de la naturaleza del trmino general an de la serie en estudio.

411

8. Sucesiones y series de funciones

8.6. Diferenciacin e integracin de series de potencias

8.6.1. Proposicin

8.6.2. Proposicin sobre diferenciabilidad de series de potencias

Generalizando, llegamos al importante teorema de la diferenciabilidad.

8.6.3. Teorema de diferenciabilidad

412

8.6. Diferenciacin e integracin de series de potencias

Veamos algunos ejemplos: Conoce ya el lector los desarrollos en serie de sen x y cos x

x x X x 9 sen x=x- -+---+-- ...

3! 5! 7! 9! X 2 x4 x6 x8

cos x = 1--+---+-- ... 2! 4! 6! 8!

d d y que - (sen x) = cos x - (cos x) = - sen x

dx dx

Vamos a comprobarlo diferenciando las series trmino a trmino:

d 3x" 5x4 7x6 9x8 - (senx)= 1--+---+--... = dx 3! 5! 7! 9!

Anlogamente:

X 2 x 4 x6 x8 = 1--+---+--... = cosx

2! 4! 6! 8!

d 2x 4x 3 6x5 8x 7 -(cos x) =--+---+-- ... = dx 2! 4! 6! 8!

x x x 7 =-x+---+-- ... =

3! 5! 7!

8.6.4. Proposicin sobre integracin de series de potencias

413

8. Sucesiones y series de funciones

Veamos un ejercicio de aplicacin:

8.6.5. Ejemplo

414

Sabemos que:

~ ) "" 2 3 4 1 1 L.,.(-1 X =-l+ x -x +x - .. . = =--n=O 1 - (-x) 1 + x

en (-1, 1)

ya que se trata de una serie geomtrica de razn (-x). Integrando trmino a trmino, obtenemos:

00 ( 00 (1) f1 ) L,, (l +x) = f L (-1)" x"dx = L _-_xn+ [ +e para todo x E (-1, 1) n=O n=O n + 1

En x = O, LI1(1 + O) = O = O + e, luego e = O Y resulta:

~ (-Ir " +l X 2 x 3 x 4 d L,, (l+x)= L.,.--x =x--+---+ ... parato o xE(-I,I)

n=O n+ 1 2 3 4

Por ltimo, conviene que el lector vuelva a recordar las propiedades de las series de Taylor y relacione stas con las series de potencias en general.

Entre otras conclusiones llegar a concluir que:

Para comprobar esto basta con diferenciar:

(x) = ao + a[x + a2x2 + ... + a"x" + ... trmino a trmino.

Al hacerlo se comprueba que i " (O) = n!afl

, luego

Los all son los coeficientes de Taylor de f

8.6. Diferenciacin e integracin de series de potencias

8.6.6. Ejemplo

Desarrollar X 2 cos x3 en potencias de x. 2 ~ 6

X X x Sabemos que cos x = 1 - - + - - - + ...

2! 4! 6!

8 14 20 2 3 2 X X X

por tanto x cos x = x - - + - - - + . .. desarrollo vlido para todo x. 2! 4! 6!

De otra manera:

J x3 -_ ddx

("31 sen x3 ) Resulta que x- cos luego podemos obtener el

1 desarrollo de X2 cos x3 desarrollando sen x3 y luego diferenciando trmino a

3

trmino. En efecto:

1 sen x 3 =.!.[x3 _ (X3

) 3 + (X3

) 5 _ (x3f + (X 3 )9 _ . .. ]

3 3 3! 5! 7! 9!

1 3 1 [ 3 x9 X 15 X 21 x2? ] 3 sen x ="3 x -T!+S"!-T!+T!- ...

d (1 ) X8 X 14 20 26

3 J X X . sen x = x- - - + - - - + - - ... desarrollo vahdo para todo x.

dx 3 2! 4! 6! 8!

Recordemos que:

.:. Las proposiciones sobre diferenciabilidad e integrabilidad de series de potencias son de gran utilidad en la obtencin de desarrollos en serie de funciones.

415

Adjunto, 101 Anillo, 84

A

Aplicacin bilineal, 162 Aplicacin composicin, 75 Aplicacin lineal, 59

B

Base, 39

e

Cambio de variable, 347 Combinacin lineal, 27 Convergencia puntual, 382 Convergencia uniforme, 385 Coordenadas de un vector, 42 Criterio de Sylvester, 183 Criterio del cociente, 411 Criterio de la mayorante, 402 Criterio de la raz, 409 Cuerpo, 8 Cuerpo conmutativo, 8

D

Dependencia lineal, 27 Determinante, 98 Determinante de un endomorfismo, 99 Determinante de una matriz, 99 Determinante de vectores, 99 Diagonalizacin, 122 Dimensin de un espacio vectorial, 44

E

Ecuacin caracterstica, 125 Endomorfismo, 81 Espacio vectorial, 12 Espacio vectorial finito, 39 Estructura algebraica, 6

F

Finura de una particin, 327 Forma bilineal, 164 Forma bilineal antisimtrica, 170 Forma bilineal simtrica, 169 Forma cannica de Jordan, 148

417

ndice analtico

Forma cuadrtica, 174 Forma cuadrtica cannica, 178 Forma cuadrtica definida negativa, 180 Forma cuadrtica definida positiva, 180, Forma cuadrtica semidefinida negativa,

180 Forma cuadrtica semidefinida positiva,

180 Frmula de Grassmann, 52 Funcin integrable, 325

G

Grupo, 7 Grupo conmutativo, 7

1

Integracin por partes, 353 Integral definida, 341 Integral inferior, 325 Integral superior, 325 Integrales inmediadas, 343 Invariantes, 184 Inversin, 97 Isomorfismo, 71

L

Lugar geomtrico, 187

M

Matrices congruentes, 120 Matrices equivalentes, 118 Matrices semejantes, 121

418

Matriz adjunta, 110 Matriz asociada a una aplicacin lineal,

63 Matriz asociada a una forma bilineal,

165 Matriz del cambio de base, 86 Matriz diagonalizable, 122 Matriz escalonada, 92 Matriz inversa, 106 Matriz ortogonal, 143 Matriz regular, 106 Matriz singular, 106 Menor, 100 Menor complementario, 101 Mtodo de Hermite, 371

N

N meros enteros, 2 Nmeros irracionales, 2 Nmeros naturales, l N meros racionales, 2 N meros reales, 3

Particin, 323 Permutacin, 97

p

Polinomio caracterstico, 126 Primer teorema fundamental del

clculo, 337 Producto de escalar por aplicacin

lineal,67 Producto de escalar por matriz, 67 Producto de matrices, 75 Proposicin de Cauchy, 392 Proposicin del supremo, 389

R

Radio de convergencia, 406 Races caractersticas, 126 Rango de una forma cuadrtica, 176 Rango de una matriz, 113 Regla de Laplace, 104 Relacin de equivalencia, 118

s

Segundo teorema fundamental del clculo, 339

Serie de funciones, 398 Serie de potencias, 404 Signatura, 179 Sistema de generadores, 28 Sistema linealmente dependiente, 30

ndice analtico

Sistema ortonormal de vectores, 146 Subespacio vectorial , 19 Sucesin de funciones, 382 Suma de aplicaciones, 65 Suma de matrices, 65 Suma de subespacios, 49 Suma directa de subespacios, 52 Suma inferior, 324 Suma superior, 324

Valor propio, 125 Vector fijo, 10 Vector propio, 124

v

Vectores linealmente dependientes, 31 Vectores linealmente independientes, 31

419

84-96094-56-1

I 788496 094567

ndice General1- Espacios vectoriales2- Aplicaciones lineales, matrices y determinantes3- Diagonalizacin de matrices. Formas de Jordan4- Formas bilineales y formas cuadrticas5- Funciones reales de una variable real6- El teorema de Taylor. Aplicaciones7- La integral de Riemann8- Sucesiones y series de funcionesndice analtico