ade uned matemáticas i, cap i

8/10/2019 ADE UNED Matemáticas I, Cap I

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Capítulo I

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Extraído de “Temas de Álgebra Lineal para Administración y Dirección de

Empresas”, de Alberto A. Álvarez y Emilio Prieto, editorial UNED. Prohibido

reproducir sin permiso.



PRESENTACIÓN DEL CAPÍTULO 15

PRESENTACIÓN DEL CAPÍTULO

Muchos modelos del mundo de la Economía y la Empresa (entendiendo por

tales descripciones simplificadas de ciertos aspectos de la realidad econó-

mica o empresarial) son lineales . Básicamente, esto significa que las magni-

tudes estudiadas por el modelo están relacionadas entre sí por ecuaciones

lineales .

Las ecuaciones lineales son las más sencillas de todas. Sin duda, el lec-

tor las ha manejado en su etapa escolar. Estamos hablando de ecuaciones

como 2x + 3 = 5 (con una sola incógnita) o 3x + 2y = 1 (con dos incóg-

nitas). Este es nuestro punto de partida: las ecuaciones lineales —con unao más incógnitas—, o más precisamente: los sistemas de ecuaciones linea-

les , que no son más que listas de varias ecuaciones lineales consideradas

simultáneamente.

La primera sección de este capítulo recuerda al lector los métodos que

nos enseñaron en nuestra Educación Secundaria (o equivalente) para re-

solver sistemas de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas; nos referimos a

los métodos de reducción, sustitución e igualación. Estos métodos, en parti-

cular el de reducción, se tratan de generalizar a sistemas de más ecuaciones

y más incógnitas, y ello da lugar a los métodos de eliminación (el de Gauss

y el de Gauss–Jordan). En este punto, surge de forma “natural” el concepto

de matriz como una forma de ganar operatividad y comodidad a la hora dedesarrollar tales métodos. Termina la sección con un “guiño” a sistemas de

infinitas soluciones y a sistemas sin solución, todo dentro del contexto de

los métodos de eliminación. Esta primera sección es introductoria: tan solo

pretende motivar y presentar al lector distintos elementos de los sistemas

de ecuaciones lineales.

La segunda sección, sin dar por sabido nada de la primera, detalla los

conceptos vistos en esta última: ecuación lineal, sistemas de ecuaciones li-

neales, solución, sistemas equivalentes, etc. En particular, incluye todo lo

necesario sobre matrices para poder ofrecer después un método práctico

sencillo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales: básicamente,

transformaciones elementales, matriz escalonada y matriz escalonada re-ducida.

Finalmente, la tercera sección propiamente detalla un método práctico

para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales (dado un sistema,

se distingue entre discutirlo —averiguar si admite solución o no, y en caso

afirmativo cuántas— y resolverlo —calcular efectivamente las soluciones



16 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

cuando existen—). El método es esencialmente el de eliminación de Gauss–

Jordan) (introducido en la primera sección), llevado a cabo con ayuda de

las matrices que se definen a partir de un sistema. La sección incluye un

apartado dedicado a los sistemas homogéneos, y termina con ejemplos de

discusión y resolución de sistemas en los que figuran parámetros (es decir,

variables —diferentes de las incógnitas— que pueden tomar distintos valo-

res, según los cuales el sistema puede ser de una clase u otra, o puede tener

una solución u otra).



I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 17

I.1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES

1. Repaso de los métodos escolaresA modo de punto de partida, en este apartado recordamos los métodos

escolares para resolver sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas: susti-

tución, reducción e igualación.

1 El lector habrá visto, en Educación Secundaria o en un nivel educa-

tivo similar, sistemas de ecuaciones lineales sencillos. Por ejemplo:Un sistema de ecuaciones

lineales. Repaso de

nomenclatura4x − 2y = 8

3x + y = 1.(1)

Y el lector recordará algunos detalles de nomenclatura relacionados con

los sistemas. Las letras x y y designan las incógnitas del sistema. Los

números que acompañan a las incógnitas (4 y −2 en la primera ecuación,

y 3 y 1 en la segunda) son los coeficientes del sistema. Los números que,

en los segundos miembros, figuran sin acompañar a las incógnitas (8 en la

primera ecuación y 1 en la segunda) son los términos independientes.

El sistema de ecuaciones lineales (1) es un sistema de dos ecuaciones

y dos incógnitas. Nótese que las incógnitas aparecen escritas en el mismoorden en ambas ecuaciones.

2 ¿Qué buscamos a partir de un sistema de ecuaciones lineales como

el (1)? Buscamos números que, escritos en lugar de las incógnitas x y y ,

nos proporcionen igualdades, una por cada ecuación.

¿Qué ocurre si, por ejemplo, sustituimos x por 2 y y por 0? Que obte-

nemos lo siguiente: 4 · 2 − 2 · 0 = 8

3 · 2 + 0 = 6 ≠ 1.

Es decir, una igualdad a partir de la primera ecuación, pero no a partir de

la segunda. Como no hemos obtenido una igualdad a partir de todas ycada una de las ecuaciones, los números 2 y 0, como sustitutos de x y y ,

respectivamente, no nos sirven.

Otro ejemplo: ¿y si sustituimos x y y por 3 y 1, respectivamente? Esta

vez no llegamos a ninguna igualdad: 4 · 3 − 2 · 1 = 10 ≠ 8 y 3 · 3 + 1 = 7 ≠ 1.

Con mayor razón que antes, si cabe, tampoco nos valen estos números.




El lector nos permitirá, por el momento, que digamos que los números buscados son x = 1 y y = −2. En efecto, si en el sistema de ecuaciones

lineales (1) sustituimos x y y por 1 y −2, respectivamente, obtenemos:4 · 1 − 2 · (−2) = 8

3 · 1 + (−2) = 1,

que ahora sí son igualdades, una a partir de cada ecuación.

Se dice que los números x = 1 y y = −2 son una solución del sistema deSolución del sistema de

ecuaciones lineales ecuaciones lineales (1). Cuando las incógnitas están dadas en un orden fijo

(aquí están escritas en el orden x , y en ambas ecuaciones), es más cómodo

y compacto llamar solución al par ordenado (1,−

2). El primer elemento

del par ordenado (lo que se llama la primera componente del par) nos da

el número que debemos escribir en el lugar de la primera incógnita (que

es la incógnita x en este caso); el segundo elemento del par (su segunda

componente) nos da el número que debemos escribir en vez de la segunda

incógnita (la incógnita y ).

De acuerdo con los ejemplos vistos, podemos afirmar que los pares or-

denados (2, 0) y (3, 1) no son una solución del sistema de ecuaciones linea-

les (1).

Acontece, de hecho, que el par ordenado (1, −2) es la única solución

del sistema de ecuaciones lineales (1). Veremos inmediatamente un método

sistemático para obtenerla.

3 Hemos afirmado que el par (1, −2) es la solución del sistema de

ecuaciones lineales (1). Pero ¿cómo podemos obtenerla efectivamente? Lo

preguntamos de otra forma: ¿cómo podemos resolver el sistema?

En nuestra época colegial (o quizá del instituto) nos enseñaron tres méto-

dos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y

reducción. Recordemos primero el de sustitución.Método de sustitución

La idea es esta: se despeja en una ecuación una de las incógnitas, y se

sustituye lo obtenido en la otra ecuación, lo que nos lleva a una ecuación con

solo una incógnita. Con el sistema de ecuaciones lineales (1), esto se con-

creta así. En la primera ecuación, por ejemplo, despejamos la incógnita y :

de 4x − 2y = 8 obtenemos: y = 2x − 4.¿Ayuda? Se tiene: 4x −8 = 2y ,

de donde:

y = 4x − 8

2 = 4

2x − 8

2

= 2x − 4.

Sustituimos lo obtenido en la segunda ecuación; es decir, en esta ecuación

escribimos 2x − 4 en lugar de y :

de 3x + y = 1 obtenemos: 3x + (2x − 4) = 1.




De la última ecuación obtenida resulta: 5x − 4 = 1, o bien: 5x = 5, dedonde: x = 5/5 = 1. Y ahora que ya sabemos que x es igual a 1, lo sustitui-

mos en la expresión despejada de y :

y = 2x − 4 = 2 · 1 − 4 = −2.

Hemos obtenido la solución que adelantamos en el parágrafo anterior: x = 1

y y = −2; esto es, hemos obtenido como solución el par ordenado (1, −2).

4 Resolvamos ahora el sistema de ecuaciones lineales (1) con el méto-

do de reducción (también llamado de eliminación). La idea es “operar” conMétodo de reducción (o

eliminación) las ecuaciones del sistema de forma que se obtenga como resultado una

ecuación en la que alguna de las incógnitas haya “desaparecido” —con lo

que se “reduce” el número de incógnitas—. Por operar con las ecuaciones se

entiende multiplicarlas por algún número y sumarlas o restarlas miembro

a miembro; por desaparecer o eliminar una incógnita en una ecuación se

entiende propiamente que su coeficiente correspondiente se hace nulo.

En el sistema de ecuaciones lineales (1), podemos eliminar, por ejemplo,

la primera incógnita multiplicando la primera ecuación por −3/4 y sumando

la ecuación obtenida a la segunda ecuación del sistema. Tras la multipli-

cación por −3/4, la primera ecuación se transforma en:

−3

4 · (4x − 2y) = −3

4 · 8, o bien − 3x +3

2 y = −6

(nótese que se multiplican por el número ambos miembros de la ecuación).

Ahora sumamos, miembro a miembro, la ecuación obtenida y la segunda del

sistema:

+−3x + 3

2y = −6

3x + y = 1

52

y = −5.

En esta última ecuación ya no figura la primera incógnita (su coeficiente esHemos hablado de tres mé-

todos escolares: sustitución,igualación y reducción. Pero,

¿no desarrollamos el de igua-

lación? Sí: cf. ejercicio 2.

nulo). Su solución es: y = −

2. Finalmente, sustituimos este valor de y

en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la

primera incógnita; por ejemplo, en la primera: 4x − 2(−2) = 8, lo que nos

lleva a: 4x + 4 = 8, de donde x = 1. Obtenemos, por supuesto, la solución

que ya conocemos: (1, −2).




2. Métodos de eliminación de Gauss y de Gauss– Jordan

En este apartado mostramos cómo se pueden generalizar a sistemas de tres

ecuaciones y tres incógnitas los métodos de sustitución y reducción repasa-

dos en el apartado anterior. También se introduce el concepto de sistemas

equivalentes.

5 Nuestro interés es resolver sistemas de ecuaciones lineales más

generales, de cualquier número de incógnitas y de cualquier número de

ecuaciones. ¿Habrá alguna forma de generalizar los métodos vistos en el

apartado anterior, que nos han ayudado con un sistema de dos ecuaciones

y dos incógnitas?Veamos. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de

tres ecuaciones y tres incógnitas:x + y + z = 0

2x + y − z = 3

−x + 2y + z = −2.

(2)

Resolvámoslo por el método de sustitución. La idea básica sigue siendo laMétodo de sustitución

para un sistema con tres

ecuaciones y tres incógnitasmisma: despejamos una de las incógnitas en una de las tres ecuaciones y

sustituimos lo obtenido en las otras dos.

En la tercera ecuación, por ejemplo, podemos despejar la incógnita x :

de −x + 2y + z = −2 obtenemos: x = 2y + z + 2,

y sustituir esta igualdad en las otras dos ecuaciones: (2y + z + 2) + y + z = 0

2(2y + z + 2) + y − z = 3,o bien

3y + 2z = −2

5y + z = −1.

Hemos llegado así a un sistema de ecuaciones lineales con una ecuación

y una incógnita menos (ahora las incógnitas son y y z), que podemos re-

solver directamente por sustitución como hicimos con el sistema de dos

ecuaciones y dos incógnitas del § 3 (cf. p. 18). Verbigracia, despejamos en

la primera ecuación la incógnita y :

de 3y + 2z = −2 obtenemos: y = − 23

z − 23

,

y sustituimos el resultado en la segunda:

5− 2

3z − 2

3

+ z = −1 o bien − 7

3z = − 7

3,




de donde: z = −1. Ahora recordamos la igualdad en la que hemos despejado y :

y = − 2

3z − 2

3 = − 2

3(−1) − 2

3 = 0,

y finalmente recordamos la igualdad en la que, al principio, hemos despe-

jado x :

x = 2y + z + 2 = 2 · 0 + (−1) + 2 = 1.

La solución que obtenemos para el sistema de ecuaciones lineales (2) es,

pues, esta: (1, 0, −1). Nótese que la escribimos en formato de terna de

números, que es lo análogo, para tres números, del par ordenado. Una terna

tiene tres componentes : primera, segunda y tercera; en la terna (1, 0,−

1) de

este ejemplo se corresponden, respectivamente, con los valores en la solu-

ción de las incógnitas x , y y z .

El método de sustitución es sencillo, pero puede resultar pesado en

cuanto aumenta el número de ecuaciones e incógnitas (salvo que el sistema

esté escrito de alguna forma adecuada). Será más facil desarrollar una teoría

general de los sistemas de ecuaciones lineales a partir de otros métodos,

como el de reducción.

6 Tratemos de resolver el sistema de ecuaciones lineales (2) por re-Método de reducción


ecuaciones y tres incógnitasducción. La idea que subyace es la misma que vimos en el § 4 (cf. p. 19):

operar entre las ecuaciones con el fin de eliminar incógnitas. Pero debe-

mos llevar un orden, con la intención de asegurarnos que obtenemos al-guna ecuación con solo una incógnita; esta incógnita será fácil de despejar,

y permitirá a su vez despejar las dos restantes.

Lo que se hace es lo siguiente:

• en primer lugar, y operando con la primera ecuación, se sustituyen las

ecuaciones segunda y tercera por otras en las que no figure la incóg-

nita x ;

• en segundo lugar, y operando con la nueva segunda ecuación, se susti-

tuye la nueva tercera ecuación por otra en la que tampoco figure la

incógnita y ;

• finalmente, la última ecuación obtenida permite despejar inmediata-

mente la incógnita z , y una sencilla sustitución lleva a obtener el valorde las restantes incógnitas, primero y , y finalmente x .

Veámoslo. ¿Qué significa la frase “operando con la primera ecuación, se

sustituye la segunda ecuación por otra en la que no figure la incógnita x ”?

Significa sumar a la segunda ecuación algún múltiplo de la primera de forma

que el resultado sea una ecuación sin incógnita x; esta ecuación obtenida




será la nueva segunda ecuación. Para saber cómo hacer esta operación,debemos fijarnos en los coeficientes de la incógnita x en ambas ecuaciones:

en la primera, tal coeficiente es igual a 1; en la segunda, igual a 2. Si multi-

plicamos la primera ecuación por −2 y sumamos el resultado a la segunda

ecuación, eliminaremos la incógnita x . El cálculo es este:La ecuación x + y +z = 0 mul-

tiplicada por −2 es:

−2x − 2y − 2z = 0. +−2x − 2y − 2z = 0

2x + y − z = 3

−y − 3z = 3.

La ecuación obtenida: −y − 3z = 3, efectivamente no presenta incógnita x .

Llevamos ahora a cabo una operación análoga con la tercera ecuación:operando con la primera, tratamos de sustituirla por otra en la que no figure

la incógnita x . Simplemente sumando ambas ecuaciones lo conseguimos:

+x + y + z = 0

−x + 2y + z = −2

3y + 2z = −2.

Hemos obtenido dos ecuaciones nuevas: −y + 3z = 3 y 3y + 2z = −2.

¿Cuál es el siguiente paso? Según lo dicho al principio, operando con la

primera de estas nuevas ecuaciones, debemos sustituir la segunda por otra

en la que no figure la incógnita y . ¿Se atreve el lector a calcularlo solo?Nosotros lo haremos, por supuesto, pero no inmediatamente. Antes de

proceder, debemos parar un momento a analizar con detalle los cálculos

que hemos efectuado. Pasamos al parágrafo siguiente.

7 De acuerdo con los cálculos llevados a cabo en el parágrafo ante-

rior, podemos decir que hemos obtenido, a partir del sistema de ecuaciones

lineales (2), este otro sistema:

x + y + z = 0

−y − 3z = 3

3y +

2z= −

2.

(3)

La primera ecuación es la misma en ambos sistemas, y las dos restantes

del segundo se han obtenido a partir de las ecuaciones del primero con la

ayuda de una operación especial entre ecuaciones: sumar a una ecuación

un múltiplo de otra. Como estas manipulaciones transforman igualdades

en igualdades, toda combinación de valores de x, y , z que satisfaga las




ecuaciones del sistema (2) también satisface las ecuaciones del sistema (3).Es decir: toda solución del sistema (2) también es solución del sistema (3).

Por otra parte, la operación de sumar a una ecuación un múltiplo de

otra es reversible: podemos recuperar las ecuaciones del sistema (2) a partir

de las del sistema (3). Por ejemplo, la segunda ecuación del sistema (2) se

puede obtener sumando a la segunda ecuación del sistema (3) su primera

multiplicada por 2. De esta forma, también acontece que toda solución del¿Puede comprobarlo el lector?

sistema (3) es a su vez solución del sistema (2). En consecuencia, ambos

sistemas tienen las mismas soluciones.

Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si todaSistemas equivalentes

solución de uno también es solución del otro. Los sistemas de ecuaciones

lineales (2) y (3) son, pues, equivalentes.1

Además de la operación de sumar a una ecuación un múltiplo de otra,

también haremos uso más adelante de otros dos tipos de operaciones re-

versibles entre ecuaciones: multiplicar una ecuación por un número no nulo

(ambos miembros de la ecuación se multiplican por el número) e intercam-

biar dos ecuaciones. Si un sistema se puede obtener de otro mediante la

aplicación de alguna o algunas de estas operaciones entre ecuaciones, am-

bos sistemas resultan entonces equivalentes.

Nótese que, al considerar el sistema de ecuaciones (3) en vez del sis-

tema (2), estamos considerando un sistema de ecuaciones equivalente —con

las mismas soluciones, por tanto— pero más simple (en tanto en todas susecuaciones, salvo en la primera, no figura la incógnita x ). La idea básica del

método de reducción puede entonces ser formulada así: sustituir el sistema

original por otro equivalente que sea más simple y fácil de resolver.

8 Continuemos con la resolución por reducción del sistema de ecua-Método de reducción


ecuaciones y tres incógnitas

(continuación)

ciones lineales (2). Hemos eliminado la incógnita x en sus dos últimas

ecuaciones, y hemos obtenido con ello el sistema equivalente (3). Bus-

camos ahora (recordemos lo apuntado al principio del § 6) eliminar la incóg-

nita y en la última ecuación del sistema (3), y para conseguirlo sumamos

a esta ecuación algún múltiplo de la segunda. Es decir, sumamos a la

ecuación 3y + 2z = −2 algún múltiplo de la ecuación −y − 3z = 3 de forma

que desaparezca la incógnita y . El múltiplo adecuado se obtiene multipli-

1Nótese que la equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales es transitiva : si un sistema

es equivalente a otro, y este último es a su vez equivalente a un tercero, el primero y el

tercero también son equivalentes.




cando por 3. Los cálculos son estos:La ecuación −y − 3z = 3 mul-

tiplicada por 3 es:

−3y − 9z = 9.+

−3y − 9z = 9

3y + 2z = −2

−7z = 7.

Finalmente, si sustituimos en el sistema de ecuaciones (3) su tercera

ecuación por la que acabamos de obtener, tenemos un sistema nuevo:

x + y + z = 0

−y − 3z = 3

−7z = 7,

(4)

el cual resulta entonces equivalente al sistema (3) y por ende al (2). El sis-

tema de ecuaciones (4) está escrito de una forma que facilita su resolu-

ción: cada ecuación tiene menos incógnitas que su precedente. De la tercera

ecuación obtenemos: z = −1, que sustituido en la segunda nos lleva a:

−y − 3 · (−1) = 3, de donde: y = 0;

y al escribir en la primera ecuación estos valores obtenidos de y y z resulta:

x + 0 + (−1) = 0, de donde: x = 1.

El sistema de ecuaciones (4) tiene por solución, pues, la terna (1, 0, −1). En

virtud de ser equivalentes, esta es también la solución de los sistemas (3)

y (2). Por supuesto, vemos confirmado el resultado que obtuvimos al re-solver el sistema (2) por sustitución (cf. § 5, p. 20).

9 En el proceso de resolución por reducción del sistema de ecua-Método de reducción: cuando

se reduce todavía más.. . ciones (2), hemos llegado al sistema (4), equivalente al original y fácil de

resolver. Pero podríamos haber seguido con el proceso de simplificación

hasta otro sistema todavía más sencillo. Lo que podemos hacer a partir del

sistema (4) es lo siguiente: en primer lugar, buscamos que el primer coefi-

ciente no nulo de cada ecuación sea igual a 1; en segundo lugar, eliminamos

todos los restantes coeficientes de cada ecuación.

Lo primero lo conseguimos multiplicando cada ecuación por un número

(no nulo) adecuado: con la primera ecuación no hay que hacer nada; con lasegunda, multiplicamos por −1; con la tercera, multiplicamos por −1/7. El

resultado es este sistema: x + y + z = 0

y + 3z = −3

z = −1,

(5)




que efectivamente tiene igual a 1 el primer coeficiente no nulo de cadaecuación.

Para el segundo paso, en el sistema (5) eliminamos la incógnita z de

las dos primeras ecuaciones con la ayuda de la tercera, y eliminamos des-

pués la incógnita y de la primera ecuación con la ayuda de la segunda.

Lo conseguimos haciendo uso de la ya conocida operación de sumar a una

ecuación un múltiplo adecuado de otra. Por ejemplo, sumando a la segunda

ecuación la tercera multiplicada previamente por −3, obtenemos:

+y + 3z = −3

−3z = 3

y = 0,

lo que nos da una nueva segunda ecuación sin la incógnita z. De forma

similar, sumando a la primera ecuación la tercera multiplicada por −1 eli-

minamos la incógnita z también en la primera ecuación: x + y = 1. Y,

finalmente, una última operación entre las nuevas ecuaciones primera y se-

gunda (es decir, entre x + y = 1 y y = 0) nos elimina la incógnita y de la¡Vea el lector cómo!

primera. Llegamos así al siguiente sistema de ecuaciones:

x = 1

y

= 0

z = −1.

(6)

Para obtener el sistema (6), además de la operación de sumar a una

ecuación un múltiplo de otra, hemos hecho uso de otra operación con ecua-

ciones: multiplicar una ecuación por un número no nulo. Ya sabemos

(cf. § 7 , p. 22) que estas operaciones entre ecuaciones nos transforman un

sistema de ecuaciones en otro equivalente. El sistema de ecuaciones (6) es,

pues, equivalente al (4), y por ende al sistema original, el (2). Y la solución

del sistema (6) salta a la vista: por supuesto, es la terna (1, 0, −1).

10 En un sistema de ecuaciones, además de sumar a una ecuación un

múltiplo de otra, o de multiplicar una ecuación por un número no nulo, hayotro tipo de operación entre ecuaciones que permite obtener sistemas de

ecuaciones equivalentes. La hemos citado —en el § 7 (cf. p. 22)—, pero no

la hemos utilizado todavía. Se trata del intercambio de ecuaciones. Veamos

un ejemplo.

Resolvamos por reducción o eliminación el siguiente sistema de tres




en la segunda nos lleva a: x2 − (−1/2) = 2, de donde: x2 = 3/2; sustituidotodo a su vez en la primera ecuación nos permite escribir:

x1 + 32

− 12

= 2,

de lo que x1 = 1. La solución del sistema de ecuaciones (8) es entonces la

terna (1, 3/2, −1/2). Y esta es también la solución del sistema original, el (7),

pues las operaciones que nos han permitido obtener un sistema a partir del

otro, incluida la del intercambio de ecuaciones, transforman un sistema de

ecuaciones en otro equivalente.

11 ¿Continuamos con la reducción del sistema (8), de manera análogaContinuación del ejemplo del

parágrafo anterior. . . a como procedimos en el § 9 (cf. p. 24)?

En un primer paso, debemos conseguir que el primer coeficiente no nulo

de cada ecuación sea igual a 1; para ello solo tenemos que multiplicar la

última ecuación por −1/4:x1 + x2 + x3 = 2

x2 − x3 = 2

x3 = −1/2.

A continuación, eliminamos la incógnita x3 de las ecuaciones segunda y

primera, en ambos casos con la ayuda de la tercera ecuación. Lo primero

lo coseguimos sumando directamente a la segunda ecuación la tercera; losegundo lo logramos sumando a la primera ecuación la tercera multiplicada

por −1. El resultado es: x1 + x2 = 5/2

x2 = 3/2

x3 = −1/2.

Finalmente, eliminamos la incógnita x2 de la primera ecuación con ayuda

de la segunda; restamos esta a aquella:

x1 = 1

x2 = 3/2x3 = −1/2.

(9)

Vemos confirmada la solución ya conocida: (1, 3/2, −1/2).

12 El método de reducción que hemos desarrollado para el sistema deAlgo de nomenclatura:

ecuaciones lineales (2) en los § 6, 7 y 8, o para el sistema de ecuaciones




lineales (7) en el § 10, se suele denominar método de eliminación de GAUSS.• Método de eliminaciónde GAUSS Requiere, como hemos visto, transformar el sistema de ecuaciones que nos

dan en otro equivalente con la característica de que cada ecuación tiene

menos incógnitas que su precedente; luego, este nuevo sistema se resuelve

por sustitución hacia atrás : primero se calcula el valor de la última incógnita

a partir de la última ecuación, después el de la penúltima incógnita con la

penúltima ecuación, y así sucesivamente (recordemos que se calculaban en

el orden z , y y x , o bien en el orden x3, x2 y x1).

Por otra parte, el método de reducción que “iba más allá”, que lleva el sis-

tema de ecuaciones (2) al (6) o el sistema de ecuaciones (7) al (9) (cf. § 9 y 11,

respectivamente) es habitualmente conocido como método de eliminación

de GAUSS–JORDAN. Empieza como el método de Gauss: llevando el sistema• Método de eliminación

de GAUSS–JORDAN de ecuaciones dado a uno en el que cada ecuación tiene menos incógni-

tas que su precedente; pero, en vez de resolver este sistema, se continúa

manipulando: se busca que el primer coeficiente no nulo de cada ecuación

sea igual a 1, y también que sean nulos todos los coeficientes restantes. El

sistema así obtenido está tan simplificado que su solución salta a la vista.

3. Introducción a las matricesEn este apartado, presentamos las matrices, las cuales nos permitirán es-

cribir de forma cómoda y sintética los sistemas de ecuaciones lineales y

nos facilitarán el desarrollo de su resolución. Nos limitamos a los concep-

tos sobre ellas de que haremos uso para sistemas (básicamente, matriz es-

calonada, matriz escalonada reducida y transformación elemental). En el

Capítulo II, estudiaremos las matrices de nuevo con mayor profundidad y

detalle.

13 Como hemos visto, los métodos de eliminación con los que esta-

mos trabajando requieren llevar a cabo tres tipos de operaciones entre las

ecuaciones de un sistema —intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una

ecuación por un número no nulo, o sumar a una ecuación un múltiplo de

otra—, pero estas operaciones entre ecuaciones suponen en definitiva ope-

raciones entre los coeficientes y los términos independientes del sistema.Cuando transformamos un sistema de ecuaciones en otro equivalente (en

virtud de alguna de estas operaciones entre ecuaciones), ¿no sería entonces

más cómodo escribir, de alguna forma, solamente los coeficientes y los tér-

minos independientes, evitando escribir las incógnitas mismas e incluso los

signos de igualdad? Sí. Veamos cómo.




Podemos ganar operatividad y comodidad si simplificamos la represen-tación de un sistema escribiendo sus coeficientes y términos independientes

en una suerte de tablas rectangulares. Por ejemplo, para el sistema de ecua-

ciones lineales (2), podemos escribir sus coeficientes tabulados, así:Recordemos el sistema (2):

x + y + z = 0

2x + y − z = 3

−x + 2y + z = −2.

1 1 12 1 −1

−1 2 1

. (10)

(Esta tabla es lo más parecido a lo que queda si, en el sistema (2), nos

quedamos solo con los coeficientes, “borrando” las incógnitas, los signos

de igualdad y los términos independientes —y añadimos unos confortables

paréntesis—.)Una tabla como la escrita en (10) es un ejemplo de un objeto matemático

denominado matriz. Los números que se escriben en una matriz se denomi-Matriz

nan términos de la matriz. Podemos notar, por ejemplo, que los términos de

la primera fila de la matriz (la de arriba), leídos de izquierda a derecha, son

precisamente los coeficientes que acompañan a las incógnitas x , y y z en la

primera ecuación del sistema: 1, 1 y 1, respectivamente. Asimismo, los tér-

minos de la primera columna (la de la izquierda), leídos de arriba abajo, son

los coeficientes que acompañan a la primera incógnita en las ecuaciones pri-

mera, segunda y tercera: 1, 2 y −1, respectivamente. Cada fila de la matriz

se corresponde con una ecuación, y cada columna con una incógnita.

14 La matriz que hemos escrito en (10) es la llamada matriz de coefi-

cientes (o matriz asociada) del sistema de ecuaciones lineales (2). Pero laMatriz de coeficientes (o

matriz asociada) matriz de coeficientes no incluye los términos independientes del sistema

de ecuaciones. Estos se incorporan en la llamada matriz ampliada del sis-Matriz ampliada

tema, resultante de adjuntar a la matriz de coeficientes una columna más

(a la derecha) con los términos independientes. La matriz ampliada del sis-

tema de ecuaciones lineales (2) es: 1 1 1 02 1 −1 3

−1 2 1 −2

.

Podría pensarse que no vale la pena tener registro de la matriz de coe-ficientes de un sistema y que sería suficiente considerar exclusivamente la

matriz ampliada, dado que esta contiene toda la información que sobre el

sistema proporciona aquella. Sin embargo, como veremos, la matriz de coe-

ficientes por sí misma juega un papel muy importante en el estudio de los

sistemas de ecuaciones lineales.




15 Las matrices se denotan habitualmente con letras mayúsculas. Lamatriz de coeficientes de un sistema se suele designar con la letra A (si no

está empleada en otra cosa), y la ampliada se puede denotar con la mismaNotación para la matriz de

coeficientes y para la matriz

ampliadaletra que la de coeficientes pero coronada por un acento circunflejo: A.

Asimismo, resulta útil escribir en la matriz ampliada de un sistema una

raya vertical que separe la columna de los términos independientes de las

demás, con el fin de enfatizarla. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones

lineales (2) podemos escribir:

A =

1 1 12 1 −1

−1 2 1

y

A =

1 1 12 1 −1

−1 2 1

03

−2

.

Otro ejemplo. Para el sistema de ecuaciones (7), su matriz de coeficientes

y su matriz ampliada son, respectivamente, estas:Recordemos el sistema (7):

x2 − x3 = 2

x1 + x2 + x3 = 2

x1 − x2 − x3 = 0.

D =

0 1 −11 1 11 −1 −1

y D =

0 1 −11 1 11 −1 −1

220

.

Nótese que hemos elegido la letra D para denotar la matriz de coeficientes,

lo que hace que designemos la ampliada por D.

16 Acabamos de ver cómo representar un sistema de ecuaciones linea-

les con la ayuda de las matrices. En particular, la matriz ampliada de un sis-

tema recoge tanto sus coeficientes como los términos independientes. Pero,

¿qué transformación se ejecuta en la matriz ampliada de un sistema cuando

en este efectuamos una operación entre ecuaciones de las que hemos visto?

Empecemos viendo el efecto de un intercambio de ecuaciones. En el § 10

(cf. p. 25) trabajamos con el sistema de ecuaciones lineales (7), y lo primero

que hacíamos con él era intercambiar sus ecuaciones primera y segunda.

El sistema (7) y su transformado con esta permutación de ecuaciones son,

respectivamente, estos dos:

x2 − x3 = 2

x1

+x2

+x3

=2

x1 − x2 − x3 = 0

y

x1 + x2 + x3 = 2

x2

−x3

=2

x1 − x2 − x3 = 0.

Y sus matrices ampliadas correspondientes son, respectivamente, estas:0 1 −11 1 11 −1 −1

220

y

1 1 10 1 −11 −1 −1

220

.




¿Qué ha ocurrido en las matrices? Simplemente se han permutado sus filasIntercambiar dos filas

primera y segunda.

El intercambio de ecuaciones en un sistema toma la forma, pues, de un

intercambio de filas en la matriz ampliada (y por supuesto también en la de

coeficientes, si solo nos fijamos en ella). Aunque veremos estas transforma-

ciones de matrices con detalle más adelante, es instructivo ahora introducir

su notación. La transformación de “permutar entre sí las filas primera y

segunda” se denota así: F 1 ↔ F 2, de forma que se escribe:

0 1 −11 1 11

−1

−1

220

F 1↔F 2 →

1 1 10 1 −11

−1

−1

220

.

Nótese que esta transformación solo afecta a las dos filas que se permu-

tan —la primera y la segunda—; las restantes filas —solo la tercera en este

caso— permanecen inalteradas tras la transformación.

17 Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se multiplica una ecua-

ción por un número no nulo, ¿qué acontece en su matriz ampliada? El lector

lo está adivinando: se multiplican por tal número todos los términos de la

fila correspondiente.

Por ejemplo, en el § 11 (cf. p. 27) escribíamos el sistema de ecuaciones

resultante de multiplicar por −1/4 la tercera ecuación del sistema (8); ambos

sistemas, el (8) y el transformado por esta operación, son respectivamente:

x1 + x2 + x3 = 2

x2 − x3 = 2

−4x3 = 2

y

x1 + x2 + x3 = 2

x2 − x3 = 2

x3 = −1/2,

de matrices ampliadas:1 1 10 1 −10 0 −4

222

y

1 1 10 1 −10 0 1

22

−1/2

,

donde apreciamos que, efectivamente, todos los términos de la tercera filaMultiplicar una fila por un

número (no nulo) se han multiplicado por −1/4, o dicho forma más sintética: la tercera fila se

ha multiplicado por −

1/4.

La transformación de “multiplicar la tercera fila por el número −1/4”(esto es, multiplicar cada uno de los términos de la tercera fila por −1/4) se

designa así: F 3 ← (−1/4)F 3, y se escribe:1 1 10 1 −10 0 −4

222

F 3←(−1/4)F 3 →

1 1 10 1 −10 0 1

22

−1/2

.




19 Acabamos de ver tres tipos de transformaciones que se ejecutan enmatrices:

• intecambiar dos filas;

• multiplicar una fila por un número no nulo;

• sumar a una fila un múltiplo de otra.

Las llamaremos transformaciones elementales por filas de una matriz, yTransformaciones

elementales por filas diremos que son del tipo i, ii y iii, respectivamente.

Más adelante estudiaremos con mucho detalle las transformaciones ele-

mentales de matrices. (Por cierto, también se definen transformaciones ele-

mentales por columnas , de la forma que el lector puede sospechar. . . ) Pero

es importante observar ahora una caracterísitica de estas transformaciones:

son reversibles —es de esperar, pues al fin y al cabo las operaciones entre

ecuaciones que las motivan son reversibles (cf. § 7, p. 22)—. La palabra

reversible se utiliza aquí en el sentido siguiente: si una matriz sufre una

transformación elemental, es posible aplicar a la nueva matriz otra trans-

formación elemental que nos devuelva a la matriz original. Por ejemplo,

si aplicamos a una matriz la transformación F 1 ↔ F 3 (intercambiar las fi-

las primera y tercera), una nueva aplicación de la misma transformación

nos devuelve a la primera matriz; si aplicamos la transformación F 2 ← 2F 2

(multiplicar la segunda fila por 2), es claro que recuperamos la matriz ori-

ginal con la transformación F 2 ← (1/2)F 2; y, finalmente, si a una matriz

le aplicamos la transformación F 2 ← F 2 +

3F 1 (sumar a la segunda fila la¡Anímese el lector a compro-

bar estas afirmaciones con unejemplo! primera multiplicada por 3), recuperamos la matriz de partida con la trans-

formación F 2 ← F 2 + (−3)F 1 (sumar a la segunda fila la primera mutiplicada

por −3).

20 Unas páginas más atrás hemos estudiado que la idea básica para re-Resolución de un sistema de

ecuaciones lineales con ayuda

de matrices: idea básicasolver un sistema de ecuaciones lineales es la de transformarlo, con ayuda

de las operaciones entre ecuaciones que hemos visto, en otro sistema equi-

valente más sencillo de resolver. De acuerdo con todo lo afirmado en los

últimos parágrafos, podemos llevar a cabo tal tarea con la ayuda de las

matrices. Se trataría, entonces, de escribir la matriz ampliada del sistema

que nos dan; de transformar esta matriz, mediante transformaciones ele-

mentales, en otra “más sencilla”; y, finalmente, de resolver el sistema deecuaciones representado por esta matriz sencilla. Este último sistema de

ecuaciones resultará equivalente al original, y por tanto su solución será la

que buscamos.

¿Cómo debe ser esa matriz “más sencilla” a la que debemos llegar desde

la matriz ampliada del sistema original? Respondemos con otra pregunta:




¿de qué manera buscábamos un “sistema equivalente más sencillo de re-solver”? Respuesta: con el método de eliminación, en dos variantes: Gauss

y Gauss–Jordan. ¿Cómo es el sistema al que se llega con estos métodos?

En el caso de la eliminación de Gauss, se trata de un sistema con la carac-

terística de que cada ecuación tiene menos incógnitas que su precedente; en

el caso de la eliminación de Gauss–Jordan, además de esta propiedad se

cumple esta otra: los primeros coeficientes no nulos de cada ecuación son

iguales a 1, y son nulos los restantes coeficientes. Analicemos, entonces,

cómo son las matrices ampliadas que representan los sistemas de ecua-

ciones con estas características.

21 Veamos cómo es la matriz ampliada de un sistema de ecuacioneslineales que se ha obtenido por aplicación del método de eliminación de

Gauss (y que por tanto cumple que cada ecuación tiene menos incógnitas

que su precedente). Son un ejemplo de sistema de este tipo los sistemas (4)

y (8), obtenidos a partir de los sistemas (2) y (7), respectivamente. Sus ma-

trices ampliadas son, respectivamente, estas:1 1 10 −1 −30 0 −7

037

y

1 1 10 1 −10 0 −4

222

.

Se observa que cada fila comienza con más ceros que la precedente. Que-

remos decir: cada fila tiene cierta cantidad de ceros iniciales —ninguno laprimera, uno la segunda, dos la tercera—, y cualquier fila —excepto la pri-

mera, por supuesto— tiene más ceros iniciales que su fila anterior. Ambas

matrices son un ejemplo de lo que se denomina matriz escalonada.Matriz escalonada

En una matriz escalonada, el primer término no nulo de cada fila recibe

el nombre de pivote. Las dos matrices del párrafo anterior, ambas escalo-

nadas, tienen entonces tres pivotes cada una; en la primera, tales son: 1, −1

y −7; en la segunda: 1, 1 y −4.

22 Los sistemas de ecuaciones lineales (6) y (9) fueron obtenidos a par-

tir de los sistemas (2) y (7), respectivamente, por el método de eliminación

de Gauss–Jordan: cada ecuación tiene menos incógnitas que la anterior,el primer coeficiente no nulo de cada ecuación es igual a 1 y los restantes

coeficientes son nulos. Las matrices ampliadas respectivas son estas:1 0 00 1 00 0 1

10

−1

y

1 0 00 1 00 0 1

13/2

−1/2

.




aplicando dos transformaciones elementales en un orden que en el otro,pero para estas dos transformaciones concretas sí que se obtiene lo mismo.

Esto es así porque las dos transformaciones son de tipo iii, afectan a filas

distintas —a la segunda y a la tercera, respectivamente— y ambas suponen

sumar un múltiplo de la misma fila —la primera—. Cuando estudiemos más

adelante con detalle las transformaciones elementales, veremos confirmado

que las transformaciones de estas características efectivamente permiten

un cambio de orden entre ellas.

En segundo lugar, hacemos un cero en la segunda columna, debajo de

su segundo término; ello nos lleva ya a una matriz escalonada, en la que

destacamos los pivotes (recordemos: los primeros términos no nulos de

cada fila):La matriz escalonada obtenida

es la ampliada del sistema (4):x + y + z = 0

−y − 3z = 3

−7z = 7.

1 1 10 −1 −30 3 2

03

−2

F 3←F 3+3F 2 →

1 1 10 −1 −30 0 −7

037

.

La matriz escalonada obtenida se denota por A (añadimos una “prima” a la

letra que designa la matriz original). Ahora, podemos resolver el sistema de

ecuaciones lineales que tiene como matriz ampliada la matriz A; tal sistema

es el sistema (4), que fue resuelto en el § 8 (cf. p. 23). Con ello terminaría la

aplicación del método de eliminación de Gauss en este ejemplo.

Pero también podemos continuar con el otro método de eliminación,el de Gauss–Jordan, que requiere seguir aplicando transformaciones ele-

mentales sucesivas a la matriz A a fin de obtener una matriz escalonada

reducida (o como también se dice: obtener la forma escalonada reducida de

la matriz A).2 ¿Nos ponemos con ello?

En primer lugar, transformamos los pivotes en 1:

A =

1 1 10 −1 −30 0 −7

037

F 2←(−1)F 2

F 3←(−1/7)F 3 →

1 1 10 1 30 0 1

0−3−1

;

en segundo lugar, hacemos ceros en la tercera columna, en todos los térmi-

2Nótese que hablamos de obtener la forma escalonada reducida de la matriz A, y que unos

párrafos antes —en este mismo parágrafo— hablamos de obtener una forma escalonada de

la matriz A. Dada una matriz (con algún término no nulo), en general hay infinitas matrices

escalonadas que se pueden obtener a partir de ella mediante la aplicación de transformacio-

nes elementales sucesivas, pero solo hay una que sea escalonada reducida. Esta unicidad de

la forma escalonada reducida de una matriz se demostrará más adelante (cf. § 100, p. 100).




nos menos el pivote:1 1 10 1 30 0 1

0−3−1

F 2←F 2−3F 3

F 1←F 1−F 3 →

1 1 00 1 00 0 1

10

−1

;

finalmente, hacemos ceros en todos los términos de la segunda columna

salvo el pivote (para ello solo queda un término no nulo):1 1 00 1 00 0 1

10

−1

F 1←F 1−F 2 →

1 0 00 1 00 0 1

10

−1

.

Esta última matriz ya es escalonada reducida; la denotamos por A (añadi-

endo una “prima” más a la letra). Ya vimos esta matriz (aunque entonces no

la designamos con ninguna letra) en los § 22 y 23 (cf. p. 34), donde comenta-

mos que en su última columna podemos leer directamente la solución única

del sistema de ecuaciones lineales (2): (1, 0, −1).

25 Recapitulemos ahora la resolución completa del sistema de ecua-Recapitulación de la

resolución con matrices del

sistema (7) ciones lineales (7) con la ayuda de las matrices.

La matriz ampliada del sistema es:

Recordamos el sistema (7):

x2

−x3

=2

x1 + x2 + x3 = 2

x1 − x2 − x3 = 0.

D = 0 1 −1

1 1 11 −1 −1

2

20 .

Escalonamos esta matriz:

D =

0 1 −11 1 11 −1 −1

220

F 1↔F 2 →

1 1 10 1 −11 −1 −1

220

F 3←F 3−F 1 →

1 1 10 1 −10 −2 −2

22

−2

F 3←F 3+2F 2 →1 1 10 1 −1

0 0 −4

222

= D.

El sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es la matriz D —el sis-

Esta matriz escalonada

D es

la matriz ampliada del siste-ma (8):

x1 + x2 + x3 = 2

x2 − x3 = 2

−4x3 = 2.tema (8)— se resolvió en el § 10 (cf. p. 25); esta resolución daría por ter-

minada la eliminación de Gauss del sistema de ecuaciones lineales (7).




Si queremos resolver el sistema de ecuaciones (7) por eliminación deGauss–Jordan, buscamos la forma escalonada reducida de la matriz D:

D =

1 1 10 1 −10 0 −4

222

F 3←(−1/4)F 3 →

1 1 10 1 −10 0 1

22

−1/2

F 2←F 2+F 3

F 1←F 1−F 3 →

1 1 00 1 00 0 1

5/23/2

−1/2

F 1←F 1

−F 2

→1 0 0

0 1 00 0 1

1

3/2−1/2 = D.

La lectura de la matriz escalonada reducida D nos lleva a concluir que

el sistema de ecuaciones lineales (7) tiene solución única y que esta es la

terna (1, 3/2, −1/2) (cf. § 23, p. 35).

4. Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones ysistemas de ecuaciones sin solución

En el apartado anterior solo hemos tratado sistemas de ecuaciones lineales

con una única solución. Pero hay sistemas que admiten infinitas soluciones

y hay también sistemas que no admiten solución.3 Vemos ejemplos de ambos tipos en este apartado. También veremos algún ejemplo de sistema con

distinto número de ecuaciones que de incógnitas.

26 Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incóg-Un sistema con infinitas

soluciones nitas: 3x + y = −3

6x + 2y = −6.(11)

Intentemos aplicar en este sistema el método de eliminación de Gauss–

Jordan con la ayuda de las matrices. Escribimos entonces la matriz am-

pliada:

A = 3 16 2

−3−6 ,

y tratamos de obtener su forma escalonada reducida.

3Comprobaremos más adelante (cf. § 45, p. 55), que no hay más posibilidades en lo que

a las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales se refiere: solución única, infinitas

soluciones o ninguna solución.




Una sola transformación elemental nos lleva la matriz A a una formaescalonada:

A =

3 16 2

−3−6

F 2←F 2−2F 1 →

3 10 0

−30

= A.

La matriz escalonada A solo tiene un pivote, pues su segunda fila es nula

(esto es, tiene todos sus términos nulos). En la columna de este pivote —la

primera— ya es nulo el otro término, así que solo nos resta conseguir que

el pivote sea igual a 1:

A =

3 1

0 0

−3

0 F 1←(1/3)F 1

→1 1/3

0 0

−1

0 = A.

La matriz A es la forma escalonada reducida de la matriz A.

Nota bene La matriz A es, en efecto, escalonada, porque cada fila —salvo la

primera— tiene más ceros iniciales que la anterior (como es una matriz de dos

filas, esto se reduce simplemente a comprobar que la segunda fila tiene más

ceros iniciales que la primera). Y la matriz A es efectivamente escalonada

reducida: es escalonada, su único pivote es igual a 1 y el único término que

acompaña a este pivote en su columna es nulo.

Ahora, ¿cuál es el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada

es la matriz escalonada reducida A? Este:Cualesquiera que sean los va-

lores que tomen las incógni-

tas x y y , se va a satisfacer

la ecuación 0x + 0y = 0; si

quitamos o añadimos a un sis-

tema esta ecuación, obtene-

mos otro equivalente.

x − 1

3y = −1

0x + 0y = 0,

o bien

x − 13

y = −1. (12)

Este sistema —ya lo sabemos— es equivalente al original, el (11). ¿Cuál es su

solución (si la hay)? De la única ecuación de este sistema, podemos deducir:

x = −1 + 13

y. (13)

Si sustituimos la letra y por algún número concreto, por ejemplo: y

= 1,

nos queda que x = −2/3, y una rápida comprobación nos confirma que elpar (−2/3, 1) es solución de este sistema, y desde luego también del (11).

Pero hay más soluciones. Si sustituimos y por otro número, digamos y = 0,

lo que obtenemos para x: x = −1, nos configura otra solución: (−1, 0).

De hecho, podemos sustituir la letra y por el número que queramos; el

correspondiente valor de x de acuerdo con la igualdad x = −1 + y/3 nos




configura una solución del sistema. Realmente, todas las soluciones delsistema son los pares ordenados (x,y) tales que:

x = −1 + 13

y, donde y puede ser un número cualquiera.

El sistema de ecuaciones lineales (11) es, pues, un sistema con infinitas solu-

ciones.

27 En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es es-Incógnitas básicas o

incógnitas principales;

incógnitas libres o

parámetros

calonada reducida, las incógnitas que figuran en primer lugar en alguna

ecuación (y que por tanto son tales que su coeficiente es un pivote de la ma-

triz y es igual a 1) se denominan incógnitas básicas o incógnitas principales ;

las restantes se denominan incógnitas libres , o parámetros .

Por ejemplo, en el sistema (12), visto en el § 26, la primera incógnita

en la única ecuación que tiene el sistema es x , luego esta es una incógnita

básica (o principal), y la otra, la y , es una incógnita libre (o un parámetro).

Cuando hemos buscado la solución de este sistema, hemos despejado la

incógnita básica en función de la incógnita libre; es lo que está plasmado en

la igualdad (13).

Cuando un sistema cuya matriz ampliada es escalonada reducida admite

solución y exhibe incógnitas libres o parámetros, en la expresión final de la

solución se suelen sustituir estas incógnitas por otras letras, habitualmente

griegas, para distinguirlas en su notación de las incógnitas principales. Para

el sistema (12), y en definitiva para el (11), si denotamos la incógnita libre y

por λ (léase “lambda”), podemos concluir lo siguiente: todas las soluciones

del sistema (11) son los pares ordenados (x,y) tales que:x = −1 + 1

3λ

y = λ,

donde λ es un número cualquiera;

o también: todas las soluciones del sistema (11) son los pares ordenados de

la forma:

−1+

1

3

λ, λ, donde λ es un número cualquiera.

28 Consideremos ahora el siguiente sistema de tres ecuaciones y cua-Otro sistema con infinitas

soluciones, esta vez con más

ecuaciones que incógnitastro incógnitas:

x1 − x2 + x3 = 2

x2 + x3 + x4 = −1

x1 + 2x3 + x4 = 1.

(14)




A diferencia de los sistemas de ecuaciones lineales que hemos visto hastaahora, este sistema tiene un número de ecuaciones distinto del de incógni-

tas. No por ello dejemos de intentar resolverlo con el método de eliminación

de Gauss–Jordan (con la ayuda de las matrices). La matriz ampliada del

sistema tiene tres filas y cinco columnas:

A =

1 −1 1 0 20 1 1 1 −11 0 2 1 1

.

Con dos transformaciones elementales llegamos a una matriz escalonada:

A = 1 −1 1 0 2

0 1 1 1 −11 0 2 1 1 F 3←F 3

−F 1

→1 −1 1 0 2

0 1 1 1 −10 1 1 1 −1F 3←F 3−F 2 →

1 −1 1 0 20 1 1 1 −10 0 0 0 0

= A.

La matriz escalonada A tiene dos pivotes (adviértase que la tercera fila es

nula), y ambos ya son iguales a 1; para obtener a partir de ella una matriz

escalonada reducida solo resta conseguir que sea nulo el término que ocupa

simultáneamente la primera fila y la segunda columna:

A = 1 −1 1 0 20 1 1 1

−1

0 0 0 0 0 F 1←F 1+F 2

→1 0 2 1 10 1 1 1

−1

0 0 0 0 0 = A.

La matriz A es efectivamente escalonada reducida: es escalonada (al pasar

de cada fila a la siguiente crece la cantidad de ceros iniciales), los pivotes

son unitarios y las dos columnas en las que figuran los pivotes presentan

sus restantes términos nulos. La matriz A es, pues, la forma escalonada

reducida de la matriz A.

Escribamos ahora el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz am-

pliada es la matriz A —el cual, bien lo sabemos, será equivalente al inicial,

el (14)—. Como la tercera fila de la matriz A es nula, no escribimos la

ecuación correspondiente. Nos queda este sistema:Si quitamos o añadimos a un

sistema la ecuación

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0,

obtenemos otro equivalente.

x1 + 2x3 + x4 = 1

x2 + x3 + x4 = −1.(15)

Si en la primera ecuación despejamos la incógnita x1 y en la segunda la

incógnita x2, resulta:

x1 = 1 − 2x3 − x4 y x2 = −1 − x3 − x4. (16)




Ahora, de manera similar a como acontecía en el § 26 (cf. p. 38) con el sis-tema escrito en (12), si damos a las incógnitas x3 y x4 algún valor numérico

concreto, los valores correspondientes de x1 y x2 obtenidos a partir de (16)

nos configuran una solución del sistema. Por ejemplo, si ponemos x3 = 1

y x4 = 2, obtenemos x1 = −3 y x2 = −4, y la cuaterna formada por estosEl lector adivinará que la cuaterna es lo análogo, para cua-

tro números, del par ordenado

o de la terna.

cuatro valores numéricos (en su orden adecuado) es una solución del sis-

tema: (−3, −4, 1, 2). Podemos afirmar que todas las soluciones del sistema

de ecuaciones lineales (15), y por ende todas las del (14), son las cuater-

nas (x1, x2, x3, x4) tales que:

x1 = 1 − 2x3 − x4,

x2 = −

1−

x3 −

x4

,donde x3 y x4 son números cualesquiera.

En particular, el sistema de ecuaciones lineales (14) tiene infinitas solu-

ciones.

De acuerdo con la nomenclatura introducida en el § 27, las incógnitas x1

y x2 son las incógnitas básicas del sistema (15) (pues son las que figuran

en primer lugar en alguna ecuación), y las incógnitas x3 y x4 son las in-

cógnitas libres. En las igualdades de (16), figuran despejadas las incógnitas

básicas en función de las libres. Si, como es usual, sustituimos las letras de

las incógnitas libres por letras griegas —por ejemplo, x3 por λ y x4 por µ

(léase “mi”)—, entonces podemos escribir que todas las soluciones del sis-

tema (15), y por tanto las del (14), son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales

que:

x1 = 1 − 2λ − µ

x2 = −1 − λ − µ

x3 = λ

x4 = µ,

donde λ y µ son números cualesquiera;

o bien: tales soluciones son todas las cuaternas de la forma:

(1 − 2λ − µ, −1 − λ − µ, λ,µ), donde λ y µ son números cualesquiera.

29 Estudiemos este sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:Un sistema sin solución

x1 + x2 − x3 = 5

2x1 + x2 = 2x1 + x3 = −1.

(17)

Su matriz ampliada es:

A =

1 1 −1 52 1 0 21 0 1 −1

,




la ecuación lineal que correspondería a la fila de este pivote tendría todossus coeficientes nulos y el término independiente no nulo (como la ecuación

lineal escrita en (18)); una ecuación lineal así no admite solución.

Por el contrario, todos los demás sistemas que hemos estudiado en la

sección actual, tanto en este apartado como en los anteriores, son tales que

la matriz escalonada a la que hemos llegado a partir de su matriz ampliada

no presenta un pivote en la última columna. Cuando una matriz escalonada

no tiene pivote en su última columna, es posible encontrar alguna solución

para el sistema correspondiente.

Por otra parte, si tenemos un sistema tal que una forma escalonada de

su matriz ampliada no presenta un pivote en la última columna (un sistema

que, acuerdo con lo afirmado en el párrafo anterior, tiene solución), pode-mos saber si admite solución única o no comparando el número de pivotes

de la forma escalonada con el de incógnitas:

• Si el número de pivotes es igual al de incógnitas, la solución es única.

Esto es lo que acontece en todos los sistemas trabajados antes del

apartado actual.

• Pero si el número de pivotes es menor que el número de incógnitas,

hay más de una solución; de hecho, infinitas. Esto sucede en los sis-

temas (11) y (14) (cf. pp. 38 y 40, respectivamente).

Además, en el caso de infinitas soluciones, el número de parámetros o in-

cógnitas libres a partir de las cuales se expresa la solución es igual a la

diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes. Animamosal lector a comprobar este hecho con los citados sistemas (11) y (14).

Veremos una justificación de todas estas afirmaciones en la Sección I.3,

que estará dedicada a presentar un método sintético para resolver cualquier

sistema de ecuaciones lineales. Antes, en la Sección I.2, presentaremos

las definiciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales en

general.




Ejercicios I.11 Resolver, tanto por sustitución como por reduc-

ción, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y = 6

−x + 3y = 2.

2 Un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

se resuelve por igualación de la siguiente manera: se

despeja en ambas ecuaciones una misma incógnita y

se igualan las dos expresiones obtenidas, lo que lleva a

una ecuación con una sola incógnita, la cual se resuelve;

el resultado se sustituye en cualquiera de las dos expre-siones obtenidas en el primer paso para así determinar

el valor de la incógnita que falta.

Resolver por igualación este sistema:2x + 3y = 8

5x + 2y = −2.

3 Treinta y cinco garrafas de vino, unas de dos

litros y otras de cinco, se llenan al vaciar completa-

mente una tinaja que contiene cien litros. ¿Cuántas

garrafas de cada tipo hay?

4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones linea-

les: 2x + 3y + 5z = 1

5y − z = 1

2x + 8y + 5z = 2.

5 Considérese el siguiente sistema de ecuaciones

lineales: x1 + ax2 = 1

ax1 + x2 = 1,

donde a designa un número (real).

a) ¿Es el par ordenado (1,1) solución del sistema

para algún valor de a?

b) ¿Hay solución cualquiera que sea el valor de a?

c) Si a es tal que el sistema admite alguna solución,

encontrarlas todas.


lineales: x1 − x2 = 2

2x1 − 2x2 = 4.

Justificar que es solución de este sistema cualquier par

ordenado de la forma (2 + λ,λ) donde λ es un número

real. Justificar que también es solución cualquier par

ordenado de la forma (2 − 2λ,−2λ) donde λ es un nú-

mero real. ¿Hay alguna contradicción entre ambas afir-

maciones?

7 Si las letras a, b, c y d designan números tales

que a ≠ 0 y ad − bc ≠ 0, resuélvase este sistema de

ecuaciones lineales:ax1 + bx2 = 1

cx1 + dx2 = 1.




I.2 DEFINICIONES Y PROPIEDADES

1. Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuacioneslineales

En este apartado, presentamos las primeras definiciones necesarias sobre

sistemas de ecuaciones lineales, así como sus propiedades básicas. En par-

ticular, veremos la definición general de algunos conceptos ya citados en la

sección anterior, y analizaremos con detalle la representación matricial de

un sistema de ecuaciones lineales.

Ecuación lineal

31 Sea m un número natural positivo. Una ecuación lineal en las mEcuación lineal. Incógnitas,

coeficientes y término

independienteincógnitas (o variables) x1, x2, . . ., xm es una expresión de la forma:

a1x1 + a2x2 + · · · + amxm = c,

donde a1, a2, . . ., am son números (reales), que llamaremos coeficientes

de la ecuación, y c es otro número (también real), que llamaremos término

independiente de la ecuación.

Por ejemplo, la expresión

1x1 + (−1)x2 + 5x3 + 0x4 + √ 2 x5 = −5,

que escribiremos simplemente así: x1 − x2 + 5x3 +√

2 x5 = −5, es una

ecuación lineal en las incógnitas x1, x2, x3, x4 y x5. Los coeficientes de la

ecuación son 1, −1, 5, 0 y √

2 (en este orden). El término independiente de

la ecuación es −5.

Otro ejemplo: las tres siguientes son ecuaciones lineales en las incógni-

tas x1, x2 y x3:

x1 − x2 − 3x3 = 2, x3 = 1 y − 15

x1 + 4x3 = 0.

Los coeficientes de la primera ecuación son 1,−

1 y−

3; los de la segunda: 0,

0 y 1; y los de la tercera: −1/5, 0 y 4. Los tres términos independientes

son 2, 1 y 0, respectivamente.

Las siguientes también son ecuaciones en las incógnitas x1, x2 y x3, pero

no son lineales:

x1x2 + x3 = 2, x21 + 3x2 − x3 = −1, 2x1 − 1

x3= 1.




diremos que es una solución de la ecuación lineal si al sustituir, en la ecua-Obsérvese que una m-upla es

lo análogo, para m números,

de un par ordenado o de una

terna. (De hecho, si m = 2,

una m-upla es justamente un

par ordenado.) Los números

que figuran escritos en una

m-upla son sus componentes :primera, segunda, . . . , m-ési-

ma, en el mismo orden en que

están escritos.

ción, x1 por s1, x2 por s2, . . . , xm por sm se obtiene una igualdad. Es decir,

si se verifica:

a1s1 + a2s2 + · · · + amsm = c.

Por ejemplo, consideremos esta ecuación lineal en las incógnitas x1, x2

y x3:

x1 + x2 + 2x3 = −1.

La terna (0, −3, 1) es una solución de la ecuación, pues si sustituimos x1

por 0, x2 por −3 y x3 por 1, obtenemos una igualdad:

0 + (−3) + 2 · 1 = −1.

Por el contrario, la terna (1, 1, 1) no es una solución de la ecuación, pues

escribir 1, 1 y 1 en vez de x1, x2 y x3, respectivamente, nos lleva a

1 + 1 + 2 · 1 = 4 ≠ −1.

El lector puede comprobar que la terna (0, 0, −1/2) es otra solución de laEn efecto:

0 + 0 + 2 ·− 1

2

= −1.

ecuación. Se trata de una ecuación lineal con más de una solución.

34 Consideremos la ecuación lineal 3x2 = 1, en las incógnitas x1 y x2.Más ejemplos

Más explícitamente, se trata de la ecuación 0x1 + 3x2 = 1. Una solución es

el par ordenado (1, 1/3), pues la sustitución x1 = 1 y x2 = 1/3 nos lleva auna igualdad:

0 · 1 + 3 · 13

= 1.

Si nos fijamos, realmente todo par ordenado de la forma (a, 1/3), siendo a

un número cualquiera, es una solución de la ecuación:Hacemos la sustitución x1 = a

y x2 = 1/3. 0 · a + 3 · 13

= 1.

Examinemos ahora esta otra ecuación lineal: 3x1 = 1. Si no nos dicen

nada más, debemos pensar que es una ecuación solo en la incógnita x1;

como tal, tiene solución única : el número 1/3. Pero podríamos conside-Si m = 1, una m-upla se re-

duce a un solo número.

rar que es una ecuación lineal en las incógnitas (por ejemplo) x1 y x2; másexplícitamente: 3x1 + 0x2 = 0. En este caso, una solución de la ecuación

sería un par ordenado y no simplemente un número. En concreto, podemos

comprobar que todo par ordenado de la forma (1/3, a), con a un número ar-En efecto: 3 · 1

3 + 0 · a = 1.

bitrario, configura una solución de la ecuación así considerada. La ecuación

lineal 3x1 = 1, en las incógnitas x1 y x2, tiene infinitas soluciones.




Ahora, al sumar la primera ecuación y esta última obtenida, conseguimosuna ecuación cuyo coeficiente de x1 es nulo. Esquemáticamente:

+a1x1 + a2x2 + · · · = c

−a1x1 − a1b2

b1x2 − · ·· = − a1d

b1

0x1 +

a2 − a1b2

b1

x2 + · · · = c − a1d

b1.

Tal y como queríamos, la ecuación obtenida tiene nulo su coeficiente de x1.

Si quisiéramos, a partir de las mismas dos ecuaciones, conseguir que

fuera nulo otro coeficiente, digamos el de xj (donde 1 j m y bj ≠ 0), elnúmero por el cual habría que multiplicar la segunda ecuación sería −aj /bj .

41 Si multiplicamos una ecuación lineal por un número, obteniendoSoluciones de una ecuación

lineal tras efectuar

operaciones con ella con ello una segunda ecuación, las soluciones de la primera ecuación, ¿son

también soluciones de la segunda? Sí.

Veamos un ejemplo. Consideremos la ecuación lineal 2x1 − x2 + x4 = 1,

de la cual una solución es la cuaterna (1, 3, 5, 2), pues: 2 · 1 − 3 + 2 = 1.Una cuaterna es una m-upla

con m = 4.

Multipliquemos la ecuación por 2; obtenemos: 4x1 − 2x2 + 2x4 = 2. Acon-

tece que la cuaterna (1, 3, 5, 2) también es solución de esta última ecuación,

pues: 4 · 1 − 2 · 3 + 2 · 2 = 2.

Con la adición de ecuaciones lineales acontece algo similar. Lo que seasolución simultáneamente de las dos ecuaciones lineales que se suman sigue

siendo solución de la ecuación lineal suma. Por ejemplo, la terna (1, 1, 1) es

solución de estas dos ecuaciones lineales:

+x1 − x2 − x3 = −1

x1 + x2 − 2x3 = 0

2x1 − 3x3 = −1

x1 − x2 − x3 = −1 y x1 + x2 − 2x3 = 0; (20)

pero también es solución de la ecuación lineal suma de ambas ecuaciones,

que es: 2x1 − 3x3 = −1. Dejamos al lector la comprobación de los detalles.

Nota bene Cuando decimos que toda solución de dos ecuaciones lineales lo es

también de su suma, se exige que tal solución lo sea de las dos ecuaciones que

se suman.

Como consecuencia de lo dicho en este parágrafo, si sumamos a una

ecuación lineal un múltiplo de otra, cualquier solución común a las dos

ecuaciones originales también será solución de la ecuación lineal obtenida

como resultado.



I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 53

A modo de ejemplo, podemos partir de nuevo de las ecuaciones linea-les escritas en (20). Ya sabemos que la terna (1, 1, 1) es solución de ambas.

Acontece que esta terna también es solución de la ecuación que resulta de

sumar a la primera de las ecuaciones la segunda multiplicada por −1. En

+x1 − x2 − x3 = −1

−x1 − x2 + 2x3 = 0

−2x2 + x3 = −1

efecto, el resultado de tal operación es la ecuación −2x2 + x3 = −1, y clara-

mente la terna (1, 1, 1) es solución de ella.

La justificación en general de todo lo afirmado en este parágrafo se deja

como ejercicio al lector.

Sistemas de ecuaciones lineales

42 Un sistema de ecuaciones lineales es una lista (finita) de ecuaciones¿Qué es un sistema deecuaciones lineales? lineales consideradas simultáneamente, todas en las mismas incógnitas.

Si n y m son dos números naturales positivos, la expresión general de

un sistema de n ecuaciones lineales en las m incógnitas x1, x2, . . ., xm es

esta: a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = c1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = cn.

Nótese que, fijados dos números naturales i y j , con 1 i n y 1 j m,

en la expresión general anterior se designa por aij el coeficiente que, en

la i-ésima ecuación lineal, acompaña a la incógnita xj . Por otra parte, lasletras c1, c2, . . . , cn designan los n términos independientes.

Por ejemplo, el siguiente es un sistema de dos ecuaciones y cuatro in-

cógnitas: 2x1 + 3x3 − x4 = 2

x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.(21)

Nótese que ambas son efectivamente ecuaciones lineales en las mismas

incógnitas: x1, x2, x3 y x4.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equi-valentes

43 Dado un sistema de n ecuaciones lineales y m incógnitas, una solu-Solución de un sistema de

ecuaciones lineales ción del sistema es una m-upla que es solución de todas y cada una de las n

ecuaciones lineales del sistema (cf. § 33, p. 47).

Por ejemplo, la cuaterna (1, −2, 0, 0) es una solución del sistema (21), de

dos ecuaciones y cuatro incógnitas, escrito en el § 42, pues es una solución




de cada una de sus dos ecuaciones. En efecto, si escribimos 1, −2, 0 y 0 enRecordamos el sistema (21):2x1 + 3x3 − x4 = 2

x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.

vez de x1, x2, x3 y x4, respectivamente, obtenemos dos igualdades, una a

partir de cada ecuación:2 · 1 + 3 · 0 − 0 = 2

1 + (−2) + 4 · 0 + 0 = −1.

Por el contrario, la cuaterna (1, 0, 1, 3), verbigracia, no es solución de este

sistema citado: aunque es solución de su primera ecuación, no lo es de su

segunda. El lector puede tener a bien comprobar ambas afirmaciones.

44 En una sección posterior (Sección I.3), estudiaremos un métodoEjemplos de solución de

sistemas sistemático para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales (es decir,

para encontrar todas sus soluciones, lo que incluye determinar que el sis-

tema no tiene solución si es el caso). En los ejemplos de sistemas de este

parágrafo, escribimos para cada uno todas sus soluciones, y nos limitamos

a comprobar que las soluciones escritas efectivamente lo son.

En la sección introductoria de este capítulo (cf. Sección I.1), vimos este

sistema de ecuaciones (el sistema (1), escrito en el § 1, p. 17):4x − 2y = 8

3x + y = 1,

y comentamos que tenía una única solución: el par (1, −2). El lector puede

comprobar que este par es efectivamente solución del sistema.

Este otro sistema: x1 + x2 = 1

2x1 + 2x2 = 2,

admite infinitas soluciones: todas los pares ordenados de la forma (1−a,a)

con a un número cualquiera. Lo comprobamos sustituyendo x1 por a y x2

por 1 − a; obtenemos con ello dos igualdades: a + (1 − a) = 1

2a + 2(1 − a) = 2.

Por otra parte, el sistema (21) admite como solución todas las cuaternas

de la forma:

1− 32

a+ 12

b, −2− 52

a− 32

b,a,b, donde a y b son números cualesquiera.

La comprobación es esta:Recordamos de nuevo el sis-

tema (21):2x1 + 3x3 − x4 = 2

x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.

2

1 − 32

a + 12

b

+ 3a − b = 21 − 3

2a + 1

2b

+−2 − 5

2a − 3

2b

+ 4a + b = −1.




Finalmente, salta a la vista que el siguiente sistema de dos ecuacioneslineales no admite solución:

¡Dos números no pueden su-

mar 1 y 2 a la vez! x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 2.

Enfatizamos, para tranquilidad del lector, que todavía no estamos en

condiciones, a la luz de lo que hemos visto hasta ahora, de llegar por

nosotros mismos a las soluciones de sistemas aquí consignadas.

45 En el § 44, acabamos de citar varios ejemplos de sistemas de ecua-Posibilidades para las

soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales: una,

infinitas o ninguna

ciones lineales: uno de ellos con una única solución, dos con infinitas solu-

ciones y un cuarto sin solución. De acuerdo con lo visto en el § 36 (cf. p. 49),son estas tres las posibilidades para la cantidad de soluciones de un sistema

de ecuaciones lineales.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, se satisface una y solo una de las

siguientes afirmaciones: admite una solución, admite infinitas soluciones

o no admite ninguna.

46 De un sistema que admite solución única diremos que es compa-Nomenclatura: sistema

compatible determinado,

sistema compatible

indeterminado y sistema

incompatible

tible determinado; de uno que admite infinitas soluciones diremos que es

compatible indeterminado; y de uno que no admite solución diremos que

es incompatible.De acuerdo con lo afirmado en el § 45, todo sistema de ecuaciones linea-

les es de una, y solo una, de estas tres clases.

Por ejemplo (§ 44), los siguientes sistemas:4x − 2y = 8

3x + y = 1,

x1 + x2 = 1

2x1 + 2x2 = 2 y

x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 2,

son, respectivamente, compatible determinado, compatible indeterminado

e incompatible.

47 Sabemos que una ecuación lineal con todos sus coeficientes nulosSistemas que incluyen

ecuaciones con todos los

coeficientes nulos pero con el término independiente no nulo, es decir, una ecuación linealcomo esta:

0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = c, con c ≠ 0,

no admite solución (cf. § 35, p. 49). Por tanto, si un sistema incluye tal

ecuación entre las suyas, podemos afirmar que el sistema no admite solu-

ción: se tratará de un sistema de ecuaciones lineales incompatible.




También sabemos (del mismo § 35) que, por el contrario, la ecuaciónlineal con todos sus coeficientes nulos y con el término independiente tam-

bién nulo , esto es, la ecuación

0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = 0 (22)

(lo que llamaremos una ecuación nula), admite como solución toda m-uplaEcuación nula

de números reales. Si un sistema de ecuaciones lineales incluye esta ecua-

ción, podemos eliminarla, en el sentido de que el sistema resultante tendrá

las mismas soluciones que el original.

En efecto, si una m-upla es solución del sistema que incluye la ecua-

ción (22), será solución de todas y cada una de sus ecuaciones lineales, ypor tanto del sistema formado por cualesquiera de ellas. Recíprocamente,

si el sistema resultante de eliminar la ecuación (22) admite alguna solución,

tal m-upla también será solución de esta ecuación, pues cualquier m-upla

lo es.

48 Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentesSistemas equivalentes

si tienen las mismas soluciones; es decir, si toda solución del primero tam-

bién es solución del segundo, y si toda solución del segundo también es

solución del primero. Si dos sistemas de ecuaciones lineales en las mismas

incógnitas no admiten solución, también diremos que ambos sistemas son

equivalentes.

De acuerdo con lo visto en el § 47, si un sistema de ecuaciones lineales

tiene alguna ecuación nula, al eliminar esta obtenemos un nuevo sistema

equivalente al original.

En la Sección I.1, ya vimos algunos primeros ejemplos de sistemas equi-

valentes. En estos ejemplos, a partir de un sistema dado obteníamos un sis-

tema equivalente llevando a cabo en el primero ciertas operaciones con sus

ecuaciones. Estudiamos estas operaciones entre ecuaciones en el parágrafo

siguiente.

49 Recordemos, pues, las operaciones entre ecuaciones que llevába-Manipulaciones en sistemas

de ecuaciones lineales mos a cabo en sistemas de ecuaciones lineales en la Sección I.1. Son las

siguientes:• intercambiar dos ecuaciones;

• multiplicar una ecuación por un número no nulo;

• sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Una manipulación de cualquiera de estos tipos transforma un sistema de

ecuaciones lineales en otro equivalente.




Comprobamos esta afirmación para cada uno de los

tres tipos de manipulación señalados.

En primer lugar, si en un sistema de ecuaciones li-

neales intercambiamos dos de ellas, el sistema sigue

teniendo, en definitiva, las mismas ecuaciones: es claro

que toda solución de uno es también solución del otro.

Esta operación efectivamente transforma un sistema de

ecuaciones lineales en otro equivalente.

En segundo lugar, consideremos en un sistema

de ecuaciones lineales la multiplicación de alguna

ecuación por un número no nulo, digamos b. Note-

mos que, si multiplicamos por el número no nulo buna ecuación lineal, a partir de la ecuación obtenida

podemos recuperar la original multiplicando a su vez

por 1/b. Pero ya sabemos que la multiplicación de una

ecuación lineal por un número cualquiera nos lleva a

otra ecuación lineal tal que toda solución de la primera

ecuación sigue siéndolo de la segunda (cf. § 41, p. 52).

Deducimos entonces lo siguiente: al multiplicar una

ecuación lineal por un número no nulo, obtenemos

otra ecuación de modo que ambas tienen las mismas

soluciones. Esto prueba que la operación de multi-

plicar una ecuación por un número no nulo nos lleva

un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente.

Finalmente, analicemos la operación de sumar a

una ecuación un múltiplo de otra. Por fijar ideas,

supongamos que las ecuaciones involucradas son las

dos primeras: a la primera ecuación de un sistema

se le suma la segunda previamente multiplicada por

un número b. Podemos comprobar que, si sumamos

a la nueva primera ecuación la segunda multiplicada

por −b, recuperamos con ello la primera ecuación origi-nal. Como toda solución común a dos ecuaciones tam-

bién lo es de la ecuación que resulta de sumar a una

de las ecuaciones un múltiplo de la otra, deducimos

lo siguiente: antes y después de sumar a la primera

ecuación la segunda multiplicada por b los sistemas co-

rrespondientes tienen las mismas soluciones. Sumar a

una ecuación un múltiplo de otra transforma, pues, un

sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente.

50 A modo de ejemplo ilustrativo de estas manipulaciones, considere-Un ejemplo de aplicación de

las operaciones entre

ecuaciones mos el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3,

(23)

y tratemos, mediante la aplicación de operaciones entre ecuaciones, de lle-

varlo a otro sistema equivalente que sea sencillo de resolver. Sigamos para

ello la pauta de los ejemplos estudiados en la Sección I.1.

Empezamos buscando un sistema cuya segunda ecuación tenga nulo el

coeficiente de x1; lo conseguimos sumando a la segunda ecuación del sis-

tema original la primera multiplicada por −1:

+−x1 − x2 + 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

−x2 + 4x3 = 1

x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3.

Continuamos tratando de conseguir que la tercera ecuación también tenga

nulo el coeficiente de x1; ello se logra sumando a la tercera ecuación la




primera multiplicada por −1:

+−x1 − x2 + 2x3 = 0

x1 − x2 + 7x3 = 3

−2x2 + 9x3 = 3

x1 + x2 − 2x3 = 0

− x2 + 4x3 = 1

−2x2 + 9x3 = 3.

En un siguiente paso, “hacemos nulo” el coeficiente de x2 de la tercera

ecuación recién obtenida; llegamos a ello sumando a esta tercera ecuación

la segunda multiplicada por −2:

+2x2 − 8x3 = −2

−2x2 + 9x3 = 3

x3 = 1

x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x3 =

1.

(24)

Este último sistema de ecuaciones lineales es fácil de resolver: la tercera

ecuación ya nos dice que x3 = 1; sustituyendo x3 por 1 en la segunda

ecuación, llegamos a:

−x2 + 4 · 1 = 1, de donde: x2 = 3.

Y sustituyendo x3 y x2 por 1 y 3, respectivamente, en la primera ecuación,

obtenemos:

x1 + 3 − 2 · 1 = 0, de donde: x1 = −1.

La terna (−1, 3, 1) es, pues, solución del sistema (24), y por ende del original:

el (23), pues ambos son equivalentes al haberse obtenido uno de otro con

la aplicación de operaciones entre ecuaciones del tipo descrito en el § 49.Esta solución es de hecho única, pues la resolución del sistema (24) nos ha

llevado obligadamente a ella; el sistema es compatible determinado.

Hemos resuelto el sistema de ecuaciones lineales (24) con un método que

se suele llamar sustitución hacia atrás: se despeja en la última ecuaciónSustitución hacia atrás

la única incógnita que figura, y el resultado se sustituye en las restantes

ecuaciones; con ello, una nueva incógnita queda solitaria en la penúltima

ecuación y se procede de igual manera: tal incógnita se despeja y su valor

se sustituye en las demás ecuaciones; se sigue este proceso hasta tener

todas las incógnitas despejadas. Podemos aplicar este método porque el

sistema (24) está escrito de una forma adecuada: su última ecuación tiene

una única incógnita, y leído el sistema de abajo arriba cada ecuación añadeuna incógnita nueva.

Nota El sistema de ecuaciones lineales (24) es compatible determinado, pero

también puede aplicarse la sustitución hacia atrás a sistemas compatibles inde-

terminados. En el § 92 (cf. p. 93) veremos un ejemplo de ello, pero adelantamos

aquí que la idea es básicamente la misma.




51 En el ejemplo del § 50, hemos llegado al sistema (24) y lo hemosContinuación del ejemplo

resuelto (por sustitución hacia atrás), pero podríamos haber seguido apli-

cando a partir de este sistema operaciones entre ecuaciones con el fin de

simplificarlo aún más. Hagámoslo.

En primer lugar, busquemos que sea igual a 1 el coeficiente de la primera

incógnita de cada ecuación; para ello, solo hace falta multiplicar por −1 la

segunda ecuación del sistema (24), lo cual nos lleva a:

x1 + x2 − 2x3 = 0

x2 − 4x3 = −1

x3 = 1.

A continuación, tratemos de llegar a un sistema en el que sea nulo el coe-ficiente de x2 de la primera ecuación; ello se logra sumando a la primera

ecuación la segunda multiplicada por −1:x1 + 2x3 = 1

x2 − 4x3 = −1

x3 = 1.

Finalmente, “anulemos” los coeficientes de la incógnita x3 en las ecuaciones

primera y segunda. Para el de la primera, sumamos a esta ecuación la ter-

cera multiplicada por −2; para el de la segunda, sumamos a esta segunda

ecuación la tercera multiplicada por 4. Llegamos a este sistema:

x1 = −1

x2 = 3

x3 = 1,

que, por supuesto, es equivalente al (24), y por tanto al (23). Su solución

salta a la vista: (−1, 3, 1).

2. Representación matricial de un sistema de ecua-ciones lineales

En este apartado, además de introducir la definición de matriz, vemos las

matrices que se definen a partir de un sistema de ecuaciones lineales con

el fin de representarlo más sintéticamente. También, consideramos ciertostipos de transformaciones ejecutadas en matrices (las llamadas transforma-

ciones elementales), y de matrices (en concreto, las matrices escalonadas y

las matrices escalonadas reducidas), relevantes para el tratamiento de los

sistemas de ecuaciones lineales. En el Capítulo II estudiaremos las matri-

ces con mucho más detalle.




Los términos de la segunda fila, verbigracia, son 1, 0 y 2, precisamente loscoeficientes de la segunda ecuación del sistema; y los de la tercera columna

son −2, 2 y 7, justamente los coeficientes que acompañan a la incógnita x3

(tercera incógnita) en el sistema. Nótese que hay tantas filas en la matriz

como ecuaciones en el sistema, y tantas columnas en una como incógnitas

en el otro.

54 La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales noMatriz ampliada de un

sistema de ecuaciones

lineales consigna los términos independientes del sistema; solo sus coeficientes.

Dado el sistema de ecuaciones lineales (25), se denomina matriz ampliada

del sistema la matriz de orden (n,m + 1) siguiente:

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

... ...

. . . ...

an1 an2 . . . anm

c1

c2...

cn

.

Esta matriz se diferencia de la de coeficientes en que tiene una columna más,

cuyos términos son los términos independientes del sistema. Asimismo, se

suele trazar una raya vertical para separar la última columna de las demás

y así enfatizarla.

Por ejemplo, la matriz ampliada del sistema (23) es esta matriz de or-Volvamos a recordar el sis-

tema (23):x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3.

den (3, 4): 1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

.

Designaremos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones li-

neales con la letra A (salvo que esté ya empleada en la notación de otra

cosa), y distinguiremos la matriz ampliada con un acento circunflejo coro-

nando la misma letra que designa la matriz de los coeficientes; habitual-

mente, pues, A. Por ejemplo, para el sistema (23) podemos escribir:

A =

1 1 −21 0 21

−1 7

y

A =

1 1 −2 01 0 2 11

−1 7 3

.

Transformaciones elementales por filas de una matriz

55 Hemos visto (cf. § 49, p. 56) varios tipos de operaciones entre lasIntercambio de filas

ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales que lo transforman en otro

sistema equivalente. A saber: intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una




ecuación por un número no nulo, y sumar a una ecuación un múltiplo deotra. Estas operaciones entre las ecuaciones de un sistema tienen un corre-

lato como transformaciones entre las filas de las matrices ampliadas (y por

ende también de las matrices de coeficientes) correspondientes.

En primer lugar, al intercambio de ecuaciones en el sistema le corres-

ponde un intercambio de filas en la matriz. Por ejemplo, si en el sistema (23)

intercambiamos las filas primera y segunda, los dos sistemas, antes y des-

pués del intercambio, son respectivamente estos:

x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3

y

x1 + 2x3 = 1

x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 − x2 + 7x3 = 3,

y las matrices ampliadas correspondientes a estos sistemas son, respectiva-

mente, las siguientes:1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

y

1 0 2 11 1 −2 01 −1 7 3

;

apreciamos que, efectivamente, se ha producido una permutación entre las

filas primera y segunda. Esta transformación: “intercambiar las filas pri-

mera y segunda de la matriz”, se denotará así: F 1 ↔ F 2, y escribiremos:

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

F 1↔F 2 →

1 0 2 11 1 −2 01 −1 7 3

.

Recíprocamente, si en la matriz ampliada del sistema (23) ejecutáramos la¿Puede comprobarlo el lector? transformación de permutar las filas primera y segunda, el sistema cuya

matriz ampliada es la matriz obtenida diferiría del original en que tendría

permutadas sus ecuaciones primera y segunda.

En general, podemos afirmar: a la operación de intercambiar las ecua-

ciones i-ésima y j-ésima de un sistema de ecuaciones lineales le corres-

ponde la transformación de intercambiar las filas i-ésima y j-ésima de la

matriz ampliada (con i y j dos números naturales comprendidos entre 1

y el número de ecuaciones del sistema —o de filas de la matriz—). EstaF i ↔ F j

transformación en la matriz se denota así: F i ↔ F j.

56 De manera similar, a la multiplicación de la ecuación (de un sistemaMultiplicar una fila por un

número no nulo de ecuaciones lineales) por un número no nulo le corresponde la multipli-

cación de una fila (de la matriz ampliada correspondiente) por el número




no nulo. La transformación, ejecutable en matrices, de multiplicar la filai-ésima por un número no nulo b se denotará así: F i ← bF i (siendo i unF i ← bF i

número natural comprendido entre 1 y el número de filas de la matriz).

Por ejemplo, podemos escribir:1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1

F 2←(−1)F 2 →

1 1 −2 00 1 −4 −10 0 1 1

, (26)

para indicar que hemos multiplicado la segunda fila de la primera matriz

por el número (no nulo) −1. Nótese que todos los términos de la segunda

fila quedan multiplicados por −1, y que los términos de las restantes filas

no se ven alterados.

Nota bene Multiplicar una fila de una matriz por un número significa multiplicar

todos y cada uno de los términos de tal fila por el número.

Continuando con el ejemplo, obsérvese que la primera de las matrices

escritas en (26) es la matriz ampliada del sistema (24) (cf. p. 58), y que la se-

gunda es la matriz ampliada del primer sistema escrito en el § 51 (cf. p. 59).

Recordamos ambos sistemas:

x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x3 = 1

y

x1 + x2 − 2x3 = 0

x2 − 4x3 = −1

x3 = 1.

Apreciamos así lo que hicimos al principio del citado § 51: se ha obtenido el

segundo sistema del primero multiplicando la segunda ecuación por −1.

57 Finalmente, la operación (en un sistema de ecuaciones lineales) deSumar a una fila un múltiplo

de otra sumar a una ecuación un múltiplo de otra se corresponde con la transfor-

mación (en la matriz ampliada) de sumar a una fila un múltiplo de otra. La

transformación, en una matriz, de sumar a la fila i-ésima el resultado de

multiplicar por un número b (nulo o no) la fila j -ésima se designará de estaF i ← F i + bF j

forma: F i ← F i + bF j (aquí i y j denotan números naturales comprendidos

entre 1 y el número de filas de la matriz).

A modo de ejemplo, podemos escribir:La transformación

F 2 ← F 2 + (−1)F 1

también se puede denotar de

esta forma: F 2 ← F 2 − F 1.

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

F 2←F 2+(−1)F 1 →

1 1 −2 00 −1 4 11 −1 7 3

, (27)

y así señalar que, en la primera matriz escrita, se suma a la segunda fila el

resultado de multiplicar la primera fila por −1. Nótese que las filas primera




y tercera no se han alterado, y que a cada término de la segunda fila se le hasumado el término correspondiente de la primera previamente multiplicado

por −1:La primera fila, tras multipli-

carla por −1, queda:

−1 −1 2 0.+

1 0 2 1

−1 −1 2 0

0 −1 4 1.

Nota bene En esta transformación, la fila que se multiplica por el número —la

primera en el ejemplo— queda finalmente inalterada. Al ejecutar en una matriz

la transformación F i ← F i +bF j , solo puede verse cambiada la fila i-ésima; todas

las demás, y en particular la j-ésima, permanecen inalteradas.

Entre las matrices escritas en (27), la primera es la matriz ampliada del

sistema (23), y la segunda es la matriz ampliada del segundo sistema escrito

en el § 50 (cf. p. 57). Los recordamos; respectivamente:x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3

y

x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3.

Como vimos en el citado § 50, el segundo de estos dos sistemas se obtenía

del primero precisamente sumando a la segunda ecuación la primera multi-

plicada por −1.

58 Vemos, pues, tres tipos de transformaciones que se ejecutan enTransformaciones

elementales por filas de una

matrizmatrices:

• intercambiar dos filas;



Las llamaremos transformaciones elementales por filas de una matriz, de

tipo i, ii y iii , respectivamente.

En los parágrafos anteriores, hemos ido presentando las transformacio-

nes elementales como un correlato en las matrices ampliadas de las opera-

ciones que realizábamos en los sistemas de ecuaciones lineales correspon-dientes (intercambio de ecuaciones, multiplicación de una ecuación por un

número no nulo y suma de una ecuación y un múltiplo de otra). Según lo

visto en el § 49 (cf. p. 56), estas operaciones entre ecuaciones nos llevan

un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente. De acuerdo con ello,

podemos entonces afirmar:




Si a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales se le aplica

una transformación elemental, la matriz resultante es la matriz ampliada

de un sistema de ecuaciones lineales equivalente al original.

59 De esta forma, dado un sistema de ecuaciones lineales, podemosDe nuevo, el sistema de

ecuaciones del ejemplo del

§ 50 (cf. p. 57)escribir su matriz ampliada y aplicarle transformaciones elementales suce-

sivas hasta llegar a la matriz ampliada de algún sistema fácil de resolver (o,

en su caso, del que podamos fácilmente concluir que no admite solución).

El sistema obtenido será equivalente al sistema dado.

Como ilustración de ello, consideremos de nuevo el sistema de ecua-

ciones lineales (23) (cf. p. 57):x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3,

y apliquemos a su matriz ampliada las transformaciones elementales que se

corresponden con las operaciones entre ecuaciones que llevamos a cabo en

el § 50 (cf. p. 57), y también en el § 51 (cf. p. 59). La matriz ampliada es:

A =

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

,

y podemos escribir:

A =

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

F 2←F 2−F 1 →

1 1 −2 00 −1 4 11 −1 7 3

F 3←F 3−F 1 →

1 1 −2 00 −1 4 10 −2 9 3

F 3←F 3−2F 2 →

1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1

= A.

La matriz obtenida: A, es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones

El lector puede comparar las

operaciones entre ecuaciones

del § 50 con las realizadas

aquí entre las filas de las ma-

trices ampliadas.

lineales (24) (cf. p. 58), el cual recordamos:x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x3 = 1.




La primera es escalonada: tiene tres filas no nulas, son las tres primerasde la matriz, y cada una de ellas, salvo la primera, tiene más ceros iniciales

que la anterior (ninguno la primera, dos la segunda y tres la tercera). Pero

la segunda matriz no es escalonada: aunque sus filas no nulas también son

las primeras, sus filas segunda y tercera tienen la misma cantidad de ceros

iniciales.

63 Estas dos matrices no son escalonadas:Más ejemplos

Incidentalmente, note el lector

que la segunda de las matrices

solo presenta una columna.

1 2 20 0 00 1 0

y

1−1

0

.

La primera no cumple que sus filas no nulas sean las primeras; la segundasí lo cumple, pero sus dos primeras filas tienen la misma cantidad de ceros

iniciales (en este caso, ninguno).

Estas cuatro matrices sí son escalonadas:

La tercera de estas matrices

solo tiene una fila. Toda ma-

triz con una sola fila es esca-

lonada. ¿Se da cuenta el lector

de la razón?

100

,

00

,

1 −1 0 2

y

1 2 20 1 00 0 1

.

Obsérvese que la segunda es una matriz nula: las matrices nulas son esca-

lonadas.

64 En una matriz escalonada, el primer término no nulo de cada filaPivote

recibe el nombre de pivote.Si reescribimos las matrices escalonadas que hemos visto en los §s 62

y 63 de forma que destacamos en cada una todos sus pivotes con un re-

cuadro, podemos escribir:

0 1 −2 00 0 0 −10 0 0 0

y

3 5 −1 00 0 1 −20 0 0 30 0 0 0

,

y también:

1

00 , 0

0 , 1 −1 0 2 y 1 2 2

0 1 00 0 1

.

65 Nótese que las filas nulas de una matriz escalonada no tienen pivo-Algunas propiedades de los

pivotes tes; en particular, una matriz nula —que es escalonada— no tiene ningún

pivote. Es de observar también que cada fila en una matriz escalonada tiene

a lo más un pivote; y exactamente un pivote si la fila es no nula.




Nota bene En una matriz escalonada, los pivotes figuran exactamente en lasprimeras filas de la matriz, y hay tantos como filas no nulas.

También acontece que cada columna en una matriz escalonada tiene a

lo más un pivote. En efecto: si una columna tuviera dos pivotes, habría dos

filas con su primer término no nulo en la misma posición, lo que sería tanto

como decir que habría dos filas con el mismo número de ceros iniciales: ello

estaría en contradicción con el supuesto de que la matriz es escalonada.

En una matriz escalonada, el número de pivotes es menor o igual que el

número de filas y menor o igual que el número de columnas.

66 Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a partir de ella, me-Forma escalonada de una

matriz. Escalonar una matriz diante la aplicación de transformaciones elementales sucesivas, una matriz

escalonada. De la matriz obtenida se dice que es una forma escalonada de

la matriz dada; también se dice que hemos escalonado la matriz original.

Para ver un ejemplo, recordemos el § 59 (cf. p. 65), en el que trabajamos

con la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales (23) (cf. p. 57):Recordemos el sistema (23):

x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + 2x3 = 1

x1 − x2 + 7x3 = 3.

A =

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

.

A esta matriz A le aplicamos varias transformaciones elementales sucesivas

que nos llevaron a esta otra matriz:

A =

1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1

.

El lector puede observar que la matriz A es escalonada (de hecho, nos

hemos permitido señalar ya sus pivotes). La matriz A es, pues, una forma

escalonada de la matriz

A.

Adicionalmente, la matriz Aes la matriz ampliada de un sistema de

Recordemos el sistema (24):x1 + x2 − 2x3 = 0

−x2 + 4x3 = 1

x3 = 1.

ecuaciones lineales: el sistema (24) (cf. p. 58), el cual es un ejemplo desistema compatible determinado que puede resolverse fácilmente por susti-

tución hacia atrás (cf. § 50, p. 57). Cuando la matriz ampliada de un sistema

de ecuaciones lineales es escalonada, el sistema puede resolverse por susti-

tución hacia atrás. Ello también es válido para sistemas compatibles inde-

terminados; remitimos al lector al futuro § 92 (cf. p. 93) para un ejemplo.




67 Comprobemos ahora que efectivamente es posible escalonar cual-Un procedimiento para

escalonar una matriz quier matriz. Describimos un procedimiento para ello, y lo ejemplificamos

con esta matriz:

A =

0 1 1 12 4 6 0

−1 0 −1 2

.

En primer lugar , nos vamos a la primera columna que tenga algún tér-Si la matriz de partida tuvie-

ra todas sus columnas nulas

(de forma que no es posible

aplicar este paso), entonces se

trataría de una matriz nula: la

matriz original ya sería escalo-nada.

mino no nulo (la primera columna no nula ), y seleccionamos en ella un tér-

mino no nulo. Mediante una adecuada transformación elemental de tipo i

(intercambiar dos filas), conseguimos que este término no nulo figure como

el primero de su columna. Este término será el pivote de la primera fila; vale

la pena recuadrarlo para enfatizar que será un pivote.

En el caso de la matriz A, su primera columna no nula es la primera

columna, que tiene dos términos no nulos; seleccionamos uno cualquiera de

ellos, verbigracia el último, que es igual a −1. La transformación elemental

(de tipo i) que intercambia las filas primera y tercera nos sitúa este término

como el primero de su columna. No se nos olvida recuadrarlo:

A =

0 1 1 12 4 6 0

−1 0 −1 2

F 1↔F 3 →

−1 0 −1 22 4 6 00 1 1 1

.

En segundo lugar , “anulamos” los términos que están por debajo del pi-

vote en su misma columna; esto se logra con transformaciones elementales

de tipo iii.

En el ejemplo, con una sola transformación elemental lo conseguimos:−1 0 −1 22 4 6 00 1 1 1

F 2←F 2+2F 1 →

−1 0 −1 20 4 4 40 1 1 1

.

En tercer lugar , “ignoramos” la primera fila, y procedemos con el resto

de la matriz como en los pasos anteriores.

En nuestro caso, este tercer paso implica que busquemos un término noSe trata de trabajar con la ma-

triz “como si no estuviera” laprimera fila: · · · ·

0 4 4 4

0 1 1 1

.

Así, ¿cuál es la primera colum-

na no nula? La segunda.

nulo en la segunda columna. Podemos elegir entre el término igual a 4 y eltérmino igual a 1; nos quedamos, por ejemplo, con el primero. Procedemos

a anular el término por debajo de él:

−1 0 −1 20 4 4 40 1 1 1

F 3←F 3+(−1/4)F 2 →

−1 0 −1 20 4 4 40 0 0 0

.




Esta matriz que hemos obtenido:

A =

−1 0 −1 20 4 4 40 0 0 0

,

ya es escalonada. Es una forma escalonada de la matriz A. Como acontece

con toda matriz escalonada, tiene tantos pivotes como filas no nulas —dos

en este caso—, y están situados en las primeras filas, uno en cada una.

68 En el procedimiento descrito en el § 67 para escalonar una matrizLa forma escalonada de una

matriz no es única en general —el cual hemos aplicado a la matriz A vista en ese parágrafo—, se nos

pide en su primer paso que busquemos la primera columna no nula —la

primera columna, en el caso de la matriz A—, y que seleccionemos en ellaun término no nulo. Para la matriz A del parágrafo citado, en este primer

paso fue elegido el término igual a −1, pero podríamos haber elegido el

término igual a 2. Es decir:

A =

0 1 1 12 4 6 0

−1 0 −1 2

F 1↔F 2 →

2 4 6 00 1 1 1

−1 0 −1 2

.

De esta forma, el primer paso del proceso para escalonar la matriz A nos

da ahora un pivote para la primera fila igual a 2. Continuemos con el proce-

dimiento a partir de aquí. Anulamos entonces los términos de la columna

del pivote que están por debajo de él: 2 4 6 00 1 1 1

−1 0 −1 2

F 3←F 3+(1/2)F 1 →

2 4 6 00 1 1 10 2 2 2

.

Y seleccionamos un término no nulo de la segunda columna (con la primera

fila ignorada), verbigracia el que es igual a 1, y anulamos el término que

tiene debajo en su misma columna:2 4 6 00 1 1 10 2 2 2

F 3←F 3−2F 2 →

2 4 6 00 1 1 10 0 0 0

.

La matriz recién obtenida es una matriz escalonada. Ha sido obtenida a par-

tir de la matriz A aplicando a esta transformaciones elementales sucesivas.También es, por tanto, una forma escalonada de la matriz A, como lo era la

matriz A deducida en el § 67.

En general, la forma escalonada de una matriz no es única (solo es única

si la matriz es nula). Por eso, dada una matriz, hablamos de una forma

escalonada de la matriz.




69 Para la matriz A con la que hemos trabajado en los § 67 y 68, hemosUnicidad en el número de

pivotes de todas las formas

escalonadas de una matrizobtenido, pues, dos formas escalonadas; respectivamente:−1 0 −1 2

0 4 4 40 0 0 0

y

2 4 6 00 1 1 10 0 0 0

.

Si las comparamos, vemos que ambas matrices escalonadas presentan el

mismo número de pivotes —dos en este caso—, y además en las mismas

columnas —primera y segunda.

Realmente, este es un ejemplo de un resultado general importante: todas

las formas escalonadas de una misma matriz tienen el mismo número de

pivotes, y estos pivotes figuran en las mismas columnas.

La justificación de este resultado debe dejarse para más adelante, en este

mismo capítulo (cf. § 99, p. 99).

70 Busquemos, con el procedimiento descrito en el § 67, una formaOtro ejemplo en el que

escalonamos una matriz escalonada de esta matriz:

A =

1 0 0

−1 2 00 −1 11 0 −1

.

En primer lugar , seleccionamos la primera columna no nula de la matriz,la cual es la primera, y en ella elegimos un término no nulo; nos quedamos,

por ejemplo, con el primero, que es igual a 1. Al haber podido elegir el pri-

mero, no hay que aplicar en este paso ninguna transformación elemental de

tipo i. Señalamos el término, en tanto es el futuro pivote de la primera fila:

A =

1 0 0

−1 2 00 −1 11 0 −1

.

En segundo lugar , “anulamos” los términos que están por debajo del

término señalado y en su misma columna. Ello se consigue con transforma-ciones elementales adecuadas de tipo iii :

1 0 0−1 2 0

0 −1 11 0 −1

F 2←F 2+F 1 →

1 0 00 2 00 −1 11 0 −1

F 4←F 4−F 1 →

1 0 00 2 00 −1 10 0 −1

.




tener ignorada la primera fila, esto significa que debemos llevar tal términohasta la segunda fila. Lo conseguimos con una transformación elemental de

tipo i: 1 −1 20 0 10 4 −1

F 2↔F 3 →

1 −1 20 4 −10 0 1

.

Finalmente, ignoramos también la segunda fila, lo que nos deja solo una · · ·· · ·0 0 1

columna no nula: la tercera, y solo un término no nulo en ella. Este es

directamente el pivote de la tercera fila. El procedimiento ha terminado y

hemos llegado a:

B = 1 −1 2

0 4 −10 0 1 .

La matriz B es efectivamente escalonada: una forma escalonada de la ma-

triz B . Como vemos, tiene tres pivotes.

Matriz escalonada reducida

72 Una matriz escalonada reducida es una matriz escalonada con es-Matriz escalonada reducida

tas dos propiedades adicionales: todos sus pivotes (si los tiene) son iguales

a 1 (son unitarios ), y en toda columna donde hay un pivote es este el único

término no nulo.

Por ejemplo, estas tres matrices son escalonadas reducidas:

1 0 −2 30 1 1 10 0 0 0

,

1 0 00 1 00 0 1

y

1 2 00 0 10 0 00 0 0

.

Las tres son escalonadas, sus pivotes son iguales a 1, y las columnas en las

que están los pivotes son tales que el único término no nulo de ellas es el

pivote mismo.

Por el contrario, estas otras tres matrices no son escalonadas reducidas:

1 0 −2 3

0 1 1 10 1 0 0 , 1 0 −

1

0 2 0 y 1 0 −1

0 1 00 0 1 .

La primera no es escalonada; la segunda sí lo es, pero presenta al menos un

pivote distinto de 1; la tercera también es escalonada, y sí presenta todos

sus pivotes unitarios, pero en la columna de uno de ellos —la tercera— hay

un término no nulo además del pivote.




73 Dada una matriz cualquiera, también es posible obtener a partir deForma escalonada reducida

de una matriz ella, mediante la aplicación de transformaciones elementales sucesivas, una

matriz escalonada reducida. De la matriz obtenida se dice que es la forma

escalonada reducida de la matriz dada.

Para ver un ejemplo, recordemos de nuevo el § 59 (cf. p. 65). Allí traba-

jamos —entre otras— con estas dos matrices:

A =

1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3

y A =

1 0 0 −10 1 0 30 0 1 1

,

y podíamos obtener la segunda a partir de la primera mediante la aplicaciónPara recordar con más preci-

sión, a partir de

A obteníamos

una matriz A, y a partir deesta llegábamos a A.

de transformaciones elementales sucesivas. Acontece que la matriz A es

escalonada reducida: además de ser escalonada, sus pivotes son unitarios

y en la columna de cada uno de ellos el único término no nulo es el propio

pivote. Podemos afirmar, pues, que la matriz A es la forma escalonada

reducida de la matriz A.

Nota Habrá observado el lector que hablamos de la forma escalonada reducida.Unicidad de la forma

escalonada Esto es así porque la forma escalonada reducida de una matriz es única (a di-

ferencia de la forma escalonada sin más). Lo comprobaremos más adelante en

este mismo capítulo (cf. § 100, p. 100).

Por otra parte, en el citado § 59 escribimos el sistema de ecuacionesRecordemos el sistema citado:

x1 = −1

x2 = 3

x3 = 1.

lineales cuya matriz ampliada es la matriz A: un sistema compatible de-terminado cuya solución salta a la vista. Los sistemas de ecuaciones lineales

cuya matriz ampliada es escalonada reducida son muy sencillos de resolver

(y esta afirmación también es válida para los sistemas compatibles indeter-

minados). Lo veremos con detalle en la sección siguiente.

74 ¿Cómo podemos obtener efectivamente la forma escalonada redu-Obtención de la forma

escalonada reducida de una

matrizcida de una matriz dada? En primer lugar , escalonamos la matriz (ya sabe-

mos cómo). En segundo lugar , transformamos en 1 todos los pivotes de

la forma escalonada recién obtenida con la ayuda de transformaciones ele-

mentales de tipo ii: en concreto, multiplicamos cada fila en la que hay un

pivote por el inverso de tal pivote. En tercer lugar , en la columna de cada

pivote, “anulamos” los términos que están por encima del propio pivote.A modo de ejemplo, calculemos la forma escalonada reducida de la ma-

triz B que vimos en el § 71 (cf. p. 73):

B =

1 −1 20 0 11 3 1

.




pero el de la segunda fila no está en la segunda columna, sino en la tercera.Podemos conseguir que este pivote sí esté en la segunda columna intercam-

biando las columnas segunda y tercera:1 0 20 1 00 0 00 0 0

.

La matriz resultante es, efectivamente, escalonada reducida, pues el inter-

cambio de columnas ha dejado la misma cantidad de ceros iniciales en todas

las filas excepto en la segunda (que ahora tiene exactamente un cero inicial

más de los que hay en la primera fila), y las columnas de los pivotes siguen

teniendo los mismos términos (unitario el pivote mismo y nulos los demás).

Es decir, a partir de la matriz escalonada reducida A, y con la ayuda de un

intercambio de columnas, hemos conseguido escribir una matriz escalonada

reducida que tiene sus pivotes en las primeras columnas.

Esbocemos una prueba general de este resultado.

Dada una matriz escalonada reducida, supongamos

que no todos sus pivotes están en las primeras colum-

nas.

Por un momento, consideremos ordenados los pi-

votes por la fila que ocupan: el primero es el de la pri-

mera fila, el segundo el de la segunda fila, y así sucesi-

vamente. Consideremos el primer pivote de la matriz

con la siguiente propiedad: el pivote figura en la fila

i-ésima, pero no en la columna i-ésima, sino en otra co-

lumna, digamos la j-ésima, con j > i (en la matriz A del

ejemplo anterior, teníamos i = 2 y j = 3). Para este pi-

vote, permutamos las columnas i-ésima y j -ésima. Con

ello, obtenemos una nueva matriz con esta caracterís-

tica: la fila i-ésima tiene exactamente un cero inicial

más que su fila precedente, y las restantes filas siguen

teniendo el mismo número de ceros iniciales (pues los

términos por debajo de la fila i-ésima son nulos en

las dos columnas permutadas). La matriz nueva sigue

siendo escalonada reducida, y presenta el pivote de la

fila i-ésima en la columna i-ésima.

Continuaríamos el proceso de permutación de co-

lumnas con los siguientes pivotes hasta que todos que-

daran en las primeras columnas.

Nota bene El número de pivotes de la matriz escalonada reducida es el mismo

antes y después del intercambio de columnas explicado.

77 Consideremos una matriz de orden (n, m) que es escalonada re-¿Cómo son las matrices

escalonadas reducidas?(Continuación) ducida, y designemos por r la cantidad de sus pivotes. Distinguimos dos

casos: r = m (tantos pivotes como columnas) y r < m (menos pivotes que

columnas). A su vez, dentro de cada caso, distinguimos dos posibilidades

adicionales: r = n (tantos pivotes como filas) y r < n (menos pivotes que

filas). Como el número de pivotes es menor o igual que el de columnas y

menor o igual que el de filas (cf. § 65, p. 68), no hay más opciones.




En el primer caso: r = m, hay un pivote en cada columna. La matrizescalonada reducida presenta una de estas dos formas, según sea r = n

o r < n, respectivamente:

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . 1

r = m

r = n ,

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . 10 0 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . 0

r

n − r

r = m

.

La primera de estas matrices tiene un nombre especial: es la llamada matriz

identidad de orden n. Tiene el mismo número de filas que de columnas, yMatriz identidad de orden n

todos sus términos son nulos salvo los que tienen igual número de fila que

de columna, que son iguales a 1. No tiene filas nulas. Por el contrario, la

segunda de las matrices escritas sí presenta filas nulas: tantas como marca

la diferencia n − r .

En el segundo caso: r < m, podemos considerar que los r pivotes de

la matriz ocupan las r primeras columnas (posiblemente tras la aplicación

de intercambios de columnas adecuados, cf. § 76). La matriz escalonada

reducida tiene finalmente uno de estos aspectos, según sea r = n o r < n,respectivamente:

1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...

... . . .

... ...

. . . ...

0 0 . . . 1 • . . . •

r

m − r

r = n ,

1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...

... . . .

... ...

. . . ...

0 0 . . . 1 • . . . •0 0 . . . 0 0 . . . 0...

... . . .

... ...

. . . ...

0 0 . . . 0 0 . . . 0

r

n − r

r m − r

.

Las puntos: ‘•’, señalan posiciones que pueden ser ocupadas por cualquier

número, nulo o no, y ambas matrices tienen tantas columnas con términos

de este tipo como señala la diferencia m − r . Por otra parte, como en el caso

anterior, la primera matriz no tiene filas nulas, y la segunda tiene tantas

como indica la diferencia n − r .




Ejercicios I.21 Considérense los siguientes sistemas de ecua-

ciones lineales, el primero de una sola ecuación y el

segundo de dos:

2x1 − x2 + x3 = 1, y

2x1 − x2 + x3 = 1

8x1 − 4x2 + 4x3 = 4.

Justificar (sin resolverlos) que son equivalentes. Por

cierto, ¿de qué tipo son?

2 Si a designa un número, nos dan la ecuación li-

neal ax1 = 0. Se pide:

a) considerando esta ecuación lineal en la incógni-ta x1, calcular su solución (o soluciones) distinguiendo

los casos a = 0 y a ≠ 0;

b) hacer lo mismo, pero considerando la ecuación

dada en las incógnitas x1 y x2;

c) si c también designa un número, calcular las

soluciones de la ecuación lineal ax1 = c, tomada en

las incógnitas x1 y x2, distinguiendo los cuatro casos

que resultan de tomar a y c nulos o no.

3 Determinar qué matrices de las siguientes son es-

calonadas, y señalar los pivotes de las que lo sean:

a)

0 0 00 0 0

y

−100

;

b)

−1 00 00 1

y

0 1 00 2 00 0 0

;

c)

0 1 00 0 10 0 0

y

2 1 00 5 00 0 3

.

4 De cada una de las matrices del ejercicio 3 que

no sea escalonada, encontrar al menos dos formas es-

calonadas.

5 De todas las matrices del ejercicio 3 , ¿cuáles son

escalonadas reducidas? De cada matriz que no lo sea,

escribir su forma escalonada reducida.


lineales: x + 2y = 0

2x + 2y + z = 1

−x − 2y + z = 2.

Se pide:

a) escribir la matriz de coeficientes y la matriz am-

pliada del sistema;

b) calcular la forma escalonada reducida de la ma-

triz ampliada;

c) escribir el sistema cuya matriz ampliada es la

matriz escalonada reducida obtenida en el apartado an-

terior;

d) calcular la solución del sistema; ¿de qué tipo ha

resultado ser el sistema?

7 Considérese la matriz:

1 2 0 a

2 4 1 b

−1 −2 1 c

,

donde a, b y c designan tres números reales.

a) Escalonar la matriz. ¿Cuántos pivotes tiene la

matriz escalonada obtenida? Escribir también la forma

escalonada reducida de la matriz.

b) Si un sistema de ecuaciones lineales es tal que la

matriz del enunciado es su matriz ampliada, ¿qué se

puede decir del sistema a la luz de lo obtenido en el

apartado anterior?

8 ¿Cómo es una matriz escalonada que tiene una

sola fila? ¿Y la que tiene una sola columna?

9 ¿Cómo es una matriz escalonada reducida que

tiene una sola fila? ¿Y la que tiene una sola columna?



I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 81

I.3 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UNSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1. Un método para discutir y resolver un sistema deecuaciones lineales

Dedicamos este apartado a presentar un método general para discutir y

resolver un sistema de ecuaciones lineales. Lo iniciamos indicando qué se

entiende por discutir y por resolver un sistema.

Planteamiento del método

78 Sabemos (cf. § 45 y 46, p. 55) que hay tres tipos de sistemas de ecua-Discutir frente a resolver un

sistema de ecuaciones

linealesciones lineales atendiendo a su solución: incompatibles (no tienen solución),

compatibles determinados (tienen una única solución) y compatibles inde-

terminados (tienen infinitas soluciones). Por discutir un sistema de ecua-

ciones lineales nos referimos a determinar de cuál de estos tres tipos es el

sistema. Por resolver el sistema nos referimos a encontrar efectivamente

todas sus soluciones.

79 Consideremos un sistema de ecuaciones lineales que queremos re-Esquema de trabajo: una

distinción de casos solver, con n ecuaciones y m incógnitas. Designamos por A su matriz decoeficientes (recordemos: la matriz cuyos términos son los coeficientes del

sistema, cf. § 53, p. 60), y por A su matriz ampliada. La primera tendrá or-

den (n, m) (tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógni-

tas); la segunda, orden (n,m + 1) (tiene una columna más, con los términos

independientes).

Denotemos por A una forma escalonada (no necesariamente reducida)

de la matriz A (también es habitual esta notación para una forma escalo-

nada: se añade una “prima” a la letra de la matriz original). Sabemos que el

sistema cuya matriz ampliada es la matriz A es equivalente al sistema de

partida, con matriz ampliada

A.

Consideraremos tres casos:• La matriz A presenta un pivote en su última columna.

• La matriz A no presenta un pivote en su última columna y la cantidad

de sus pivotes coincide con la cantidad de incógnitas del sistema.

• La matriz A no presenta un pivote en su última columna y la cantidad

de sus pivotes es menor que la cantidad de incógnitas del sistema.




Como veremos en los siguientes parágrafos, estos tres casos se correspon-den con los tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales (en virtud de su

solución) que ya conocemos: respectivamente, sistema incompatible, sis-

tema compatible determinado y sistema compatible indeterminado.

Nota bene El número de pivotes de una matriz escalonada es menor o igual

que el de columnas (cf. § 65, p. 68), y hay tantas columnas en la matriz de

coeficientes como incógnitas en el sistema, luego todo sistema de ecuaciones

lineales está contemplado en uno (y solo en uno) de los casos anteriores.

Sistemas incompatibles

80 Como en el § 79, consideramos un sistema de n ecuaciones linealesSistema incompatible

y m incógnitas que queremos resolver, con matriz ampliada A, y suponemos

que existe una forma escalonada A de la matriz A con la característica de

presentar un pivote en su última columna.

La fila de la matriz A en la que está el pivote de la última columna tiene

por términos los siguientes:

0 0 . . . 0 a m ceros

,

donde a es un número que es no nulo, y la ecuación lineal que se corres-

ponde con esta fila es

0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = a, con a ≠ 0.

Pero un sistema de ecuaciones lineales que incluye una ecuación de este tipo

es incompatible (cf. § 47, p. 55).

Es decir, el sistema cuya matriz ampliada es A es incompatible. El sis-

tema de partida (con matriz ampliada A ), que es equivalente a él, también

lo será.

Si una forma escalonada de la matriz ampliada de un sistema de ecua-

ciones lineales tiene un pivote en su última columna, entonces el sistema

no tiene solución: es un sistema incompatible.

81 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:Un ejemplo x1 + 2x2 + 4x3 = 1

x2 + 2x3 = −3

x1 + 3x2 + 6x3 = 2.

(29)




pivotes), tenemos una matriz de orden (n, m), también escalonada redu-cida, y con tantos pivotes como columnas. En el § 77 (cf. p. 78) vimos cómoSi en una matriz escalonada

eliminamos la última colum-

na (o las últimas columnas),

la matriz que se obtiene sigue

siendo escalonada. Lo mismo

acontece con matrices escalo-

nadas reducidas.

son estas matrices. De acuerdo con ello, y denotando por r el número de pi-

votes, podemos afirmar que la matriz A (volvemos a considerarle la última

columna) será de una de las dos siguientes formas, según sea el número de

pivotes igual que el de filas (r = n) o menor (r < n), respectivamente:

1 0 . . . 0 d1

0 1 . . . 0 d2...

... . . .

... ...

0 0 . . . 1 dm

r = m

r = n ,

1 0 . . . 0 d1

0 1 . . . 0 d2...

... . . .

... ...

0 0 . . . 1 dm

0 0 . . . 0 0...

... . . .

... ...

0 0 . . . 0 0

r

n − r

r = m

, (30)

y donde d1, d2, . . . , dm pueden ser números cualesquiera (nulos o no). La

primera de las matrices escrita en (30) es la matriz ampliada de este sistema

de ecuaciones lineales:

x1 = d1

x2 = d2

. . . ...

xm = dm.

(31)

La segunda de las matrices de (30) difiere de la primera solo en que tiene

filas nulas adicionales; como las filas nulas en la matriz ampliada de un sis-

tema se corresponden con ecuaciones nulas —que eliminadas de un sistema

nos dejan otro equivalente—, se tiene que el sistema cuya matriz ampliada

es la segunda matriz de (30) es equivalente al sistema (31).

En definitiva, el sistema de ecuaciones lineales (31) es el sistema que

tiene por matriz ampliada la matriz escalonada reducida A (o al menos

es equivalente a él). De acuerdo con la construcción de la matriz

A, el

sistema (31) también será equivalente al que tiene por matriz ampliada la

matriz escalonada A, y lo que es más importante: será equivalente al quetiene por matriz ampliada la matriz A. Es decir, el sistema (31) es equiva-

lente al sistema que originalmente queremos resolver.

El sistema de ecuaciones lineales (31) tiene solución única, la cual salta

a la vista: la m-upla (d1, d2, . . . , dm). El sistema de partida es, pues, compa-

tible determinado.




Si una forma escalonada de la matriz ampliada de un sistema de ecua-

ciones lineales tiene tantos pivotes como incógnitas, y ninguno de los

pivotes está en la última columna, entonces el sistema tiene una única

solución: es un sistema compatible determinado.

83 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:Un ejemplo x1 − 2x2 = 2

2x2 + 3x3 = 0

x1 − 2x2 + 2x3 = 6.

(32)

Escribimos su matriz ampliada, que denotamos por A, y la llevamos a unaforma escalonada; con una sola transformación elemental lo conseguimos:

A =

1 −2 0 20 2 3 01 −2 2 6

F 3←F 3−F 1 →

1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4

= A.

La matriz escalonada A tiene tres pivotes, tantos como incógnitas, y ningu-

no de ellos figura en la última columna. De acuerdo con lo visto en el § 82,

el sistema (32) es compatible determinado: admite una única solución.

Acabamos de discutir el sistema (32). Ahora querríamos resolverlo , es

decir, encontrar efectivamente la única solución que ya sabemos tiene. Lo

visto en el mismo § 82

nos sugiere cómo buscar tal solución: calculamos la

forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema y escribimos

el sistema que la tiene como matriz ampliada; este sistema será inmediato

de resolver, y su solución será la que buscamos.

Para encontrar la forma escalonada reducida de la matriz A, podemos

seguir aplicando transformaciones elementales adecuadas a su forma esca-

lonada A (cf. § 74, p. 75):

A =

1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4

F 2←(1/2)F 2

F 3←(1/2)F 3 →

1 −2 0 20 1 3/2 00 0 1 2

F 2←F 2−(3/2)F 3 →1 −2 0 20 1 0 −3

0 0 1 2

F 1←F 1+2F 2 →

1 0 0 −40 1 0 −30 0 1 2

= A.




Ahora, el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es la matrizescalonada reducida A es este:

x1 = −4

x2 = −3

x3 = 2.

Su solución es única, e inmediata: (−4, −3, 2). Esta terna es también la solu-

Nótese que la solución única

(de un sistema compatible de-

terminado) se puede leer, de

arriba abajo, en la última co-

lumna de la forma escalona-

da reducida A (eliminando

antes las filas nulas si las hay). ción única del sistema compatible determinado (32).

84 En el § 83, una vez discutido el sistema de ecuaciones lineales (32),Continuación del ejemplo:

resolución alternativa con

sustitución hacia atrás

lo hemos resuelto a partir de la forma escalonada reducida de su matriz

ampliada. Pero podríamos haberlo resuelto de otra manera: por sustitución

hacia atrás (cf. p. 58) a partir de una forma escalonada (no necesariamente

reducida) de su matriz ampliada.

En el mismo § 83, obtuvimos esta forma escalonada de la matriz am-

pliada del sistema (32):

A =

1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4

.

El sistema de ecuaciones linales del cual es matriz ampliada es este:

x1 − 2x2 = 2

2x2 + 3x3 = 0

2x3 = 4.

(33)

De la tercera ecuación se deduce: x3 = 4/2 = 2, que sustituido en la segunda

nos lleva a: 2x2 + 6 = 0, de donde: x3 = −6/2 = −3; y sustuido este valor

en la primera ecuación, obtenemos: x1 + 6 = 2, de donde: x1 = −4. Es decir,

la solución del sistema (33) es la terna (−4, −3, 2).

Como los sistemas (33) y (32) son equivalentes, vemos confirmada la

solución de este último que calculamos en el § 83.

85 Discutamos, y resolvamos en su caso, el siguiente sistema de tresOtro ejemplo

ecuaciones y dos incógnitas: x − 2y = 5

2x + y = 0

x + 3y = −5.

(34)




Para discutir el sistema, escribimos su matriz ampliada:

B =

1 −2 52 1 01 3 −5

,

y buscamos una forma escalonada de esta matriz ampliada:

1 −2 52 1 01 3 −5

F 2←F 2−2F 1

F 3←F 3−F 1 →

1 −2 50 5 −100 5 −10

F 3←F 3−F 2 →

1 −2 50 5 −100 0 0

.

La matriz escalonada obtenida, denotémosla B, tiene dos pivotes, tantos

como incógnitas, y ninguno de ellos figura en la última columna. El sistema

de ecuaciones lineales (34) es, pues, compatible determinado.

Para resolver el sistema, buscamos la forma escalonada reducida de su

matriz ampliada. Lo hacemos a partir de la forma escalonada B recién ob-

tenida en el párrafo anterior:1 −2 50 5 −100 0 0

F 2←(1/5)F 2 →

1 −2 50 1 −20 0 0

F 1←F 1+2F 2 →

1 0 10 1 −20 0 0

= B.

El sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es la matriz escalonada re-

ducida B que acabamos de deducir es este:x = 1

y = −2

0x + 0y = 0,

el cual es equivalente (quitando la ecuación nula) a: x = 1

y = −2,

sistema de solución evidente: (1, −2). En conclusión, el sistema de ecuacio-

Como el sistema es compati-

ble determinado, la solución

única se puede leer en la úl-

tima columna de la matriz

B,

eliminando antes su tercera fi-

la por ser nula.

nes lineales (34) es compatible determinado y su única solución es el par

ordenado (1, −2).Es de observar que, para resolver el sistema (34), podríamos haber es-Si en el sistema de matriz am-

pliada B quitamos la ecuación

nula (que es la tercera), queda:x − 2y = 5

5y = −10.

crito el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es la matriz es-

calonada B, y haber resuelto este sistema por sustitución hacia atrás (tras

eliminar su tercera ecuación, que es nula). Dejamos al lector la tarea de

confirmar que con ello se obtiene la misma solución.




88 Antes de pasar a ver algunos ejemplos de resolución de sistemasAlgunas consideraciones

sobre los desarrollos

anteriorescompatibles indeterminados (como suponemos que el lector estará desean-

do que hagamos), debemos aclarar algunos puntos del desarrollo de los § 86

y 87.

En primer lugar, supusimos que el número de pivotes de la matriz A es

menor que el número de filas: r < n, pero podría ser igual: r = n. En este

último caso, la matriz A estaría formada exclusivamente por las r primeras

filas de la matriz escrita en (35) (es decir, A sería la matriz de (35) sin las

filas nulas), pero el sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada la

matriz

A sería justamente el sistema (36). También en este caso, pues,

obtendríamos la conclusión de sistema compatible indeterminado a la que

llegamos en el § 87.

En segundo lugar, admitimos que los r pivotes de la matriz A están

situados en las primeras columnas. Según lo que vimos en el § 76 (cf. p. 77),

con intercambios adecuados de columnas , toda matriz escalonada reducida

se puede escribir de forma que sus pivotes estén en las primeras columnas.

Pero acontece lo siguiente: si una matriz en la que procedemos a intercam-

biar columnas es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales

—como es el caso de la matriz A—, y ninguna de las columnas intercam-

biadas es la última, tal intercambio de columnas se corresponde con una

reordenación de las incógnitas del sistema. Además, los sistemas antes y

después de la reordenación de incógnitas son de la misma clase en lo que a

su discusión se refiere: si, por ejemplo, uno es incompatible, el otro también

lo es, y lo mismo acontece con las otras dos clases.

Lo vemos mejor con un ejemplo. Fijémonos en esta matriz:

C =

1 2 0 10 0 1 2

(la cual, por cierto, es escalonada reducida, y en su última columna no figura

ningún pivote). La matriz C es la matriz ampliada de este sistema:

x1 + 2x2 = 1

x3 =

2.(38)

Por un lado, si intercambiamos en la matriz C las columnas segunda y ter-

cera (a fin, por ejemplo, de que figuren los dos pivotes en las dos primeras

columnas), nos queda:

D =

1 0 2 10 1 0 2

.




Por otro lado, si reescribimos el sistema (38) considerando que el orden delas incógnitas es x1, x3 y x2 (esto es, invirtiendo el orden original de las

incógnitas segunda y tercera), ponemos:x1 + 2x2 = 1

x3 = 2.(39)

Apreciamos que este último sistema de ecuaciones lineales tiene por matriz

ampliada precisamente la matriz D.

Podemos decir más: si comparamos los sistemas (38) y (39), vemosPor ejemplo, la terna (1, 0, 2)

es solución del sistema (38),

y la terna (1, 2, 0) es solucióndel (39). Otro ejemplo lo tene-

mos con las ternas (−1, 1, 2)

y (−1, 2, 1).

que a partir de una terna que sea solución de uno se escribe una terna (y

exactamente una) que es solución del otro, sin más que intercambiar sus

componentes segunda y tercera; es decir, si una terna (a,b,c) es solución

de uno, la terna (a,c,b) lo es del otro. Finalmente, acontece que ambos

sistemas son efectivamente de la misma clase: ambos son compatibles in-

determinados.

En lo que concierne a la matriz escalonada reducida A del § 86, pode-

mos entonces considerar, sin pérdida de generalidad , que sus pivotes figu-

ran en las primeras columnas (si no es el caso, basta una reordenación ade-

cuada de las incógnitas, con la cual el sistema seguirá siendo de la misma

clase en lo que a su discusión se refiere). La conclusión de sistema compa-

tible indeterminado a la que hemos llegado finalmente en el § 87 es válida,

pues, aunque la forma escalonada reducida A no tenga originalmente to-dos sus pivotes en las primeras columnas.

89 Discutamos y resolvamos el siguiente sistema de tres ecuacionesUn ejemplo

lineales y cuatro incógnitas:x1 + x2 + x3 + 2x4 = 1

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 3

x1 + x2 + 2x3 + 6x4 = 1.

(40)

Para discutir el sistema, escribimos su matriz ampliada y buscamos una

forma escalonada de esta matriz ampliada. Tenemos:

A =1 1 1 2 1

1 2 3 2 31 1 2 6 1

F 2←F 2−F 1

F 3←F 3−F 1 →

1 1 1 2 10 1 2 0 20 0 1 4 0

= A.

La matriz escalonada A tiene menos pivotes que incógnitas (de estas hay

cuatro y de aquellos hay tres), y ninguno de los pivotes figura en la última




columna. De acuerdo con el resultado del § 87, el sistema de ecuacioneslineales (40) es compatible indeterminado.

Para resolver el sistema, procedemos como se sugiere en los § 86 y 87:

calculamos la forma escalonada reducida de la matriz A (la ampliada del sis-

tema), y escribimos el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada

es justamente esta forma escalonada reducida. Como ya tenemos una forma

escalonada de la matriz A —la matriz A—, seguimos a partir de ella:

A =

1 1 1 2 10 1 2 0 20 0 1 4 0

F 1←F 1−F 2 →

1 0 −1 2 −10 1 2 0 20 0 1 4 0

F 2←F 2−2F 3

F 1←F 1+F 3 →

1 0 0 6 −10 1 0 −8 20 0 1 4 0

= A.

Ahora, el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada la matriz esca-Nótese que la matriz escalona-

da reducida A presenta sus

pivotes en las primeras colum-

nas.

lonada reducida A es este:x1 + 6x4 = −1

x2 − 8x4 = 2

x3 + 4x4 = 0.

(41)

Despejando las incógnitas x1, x2 y x3 en función de la incógnita x4, obte-

nemos: x1 = −1 − 6x4,

x2 = 2 + 8x4,

x3 = − 4x4.

(42)

Si damos a la incógnita x4 algún valor numérico concreto, el valor corres-

pondiente de las incógnitas x1, x2 y x3 dado por las tres igualdades de (42)

configura una solución del sistema. Por ejemplo, tomando x4 = 0, nos

queda x1 = −1, x2 = 2 y x3 = 0, y la cuaterna (−1, 2, 0, 0) es una solución

del sistema. Otro ejemplo: tomando x4 = 1, obtenemos como solución la

cuaterna (−7, 10, −4, 1).

Finalmente, podemos afirmar que todas las soluciones del sistema de

A modo de comprobación, enel sistema (40), puede el lector

sustituir x1 por −1 − 6x4, x2

por 2 + 8x4 y x3 por −4x4. . .

ecuaciones lineales (41), y por tanto las del sistema de ecuaciones linea-les (40) (ambos son equivalentes), son todas las cuaternas de la forma:

−1 − 6x4, 2 + 8x4, −4x4, x4

, donde x4 es un número cualquiera.

90 En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es es-Incógnitas básicas e

incógnitas libres calonada reducida, las incógnitas que figuran en primer lugar en alguna




ecuación (y que por tanto son tales que su coeficiente es un pivote de lamatriz y es igual a 1) se denominan incógnitas básicas o incógnitas princi-

pales; las restantes se denominan incógnitas libres, o parámetros. Cuando

buscamos escribir la solución del sistema, despejamos las incógnitas básicas

en función de las incógnitas libres.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones lineales (41), visto en el § 89,

y que tiene por matriz ampliada una matriz escalonada reducida, la incóg-

nita x1 es la primera incógnita de la primera ecuación, con lo que es una

incógnita básica (o principal). También son incógnitas básicas las incógni-

tas x2 y x3, primeras de las ecuaciones segunda y tercera, respectivamente.

La incógnita x4, por el contrario, es una incógnita libre (o un parámetro).

Cuando hemos buscado la solución de este sistema, hemos despejado lasincógnitas básicas en función de la incógnita libre; esto es justamente lo que

está plasmado en las igualdades de (42).

91 Cuando un sistema cuya matriz ampliada es escalonada reducidaNotación habitual para las

incógnitas libres, con letras

griegas. Continuación del

ejemplo del § 89

admite solución y exhibe incógnitas libres o parámetros, en la expresión

final de la solución se suelen sustituir las incógnitas libres por otras letras,

habitualmente griegas, para distinguirlas en su notación de las incógnitas

principales.

Por ejemplo, para el sistema (41), y en definitiva para el (40) —que

es equivalente a él—, si denotamos la incógnita libre x4 por λ, podemosLetra griega λ (léase “lamb-

da”). concluir lo siguiente: todas las soluciones del sistema (40) son las cuater-nas (x1, x2, x3, x4) tales que:

x1 = −1 − 6λ,

x2 = 2 + 8λ,

x3 = − 4λ,

x4 = λ,


o también: todas las soluciones del sistema (40) son las cuaternas de la

forma:

−1 − 6λ, 2 + 8λ, −4λ, λ

, donde λ es un número cualquiera.

92 Volvamos al sistema de ecuaciones lineales (40). Una vez hemosSustitución hacia atrás en el

sistema del § 89 llegado a la forma escalonada A de su matriz ampliada —la cual nos ha

permitido deducir que el sistema es compatible indeterminado—, podemos

escribir el sistema cuya matriz ampliada es esta matriz escalonada A: tal

sistema es equivalente al (40) y puede ser resuelto por sustitución hacia

atrás (cf. § 50, p. 57). Veámoslo.




De acuerdo con la nomenclatura introducida en el § 90, en el sistema (44)las incógnitas x1 y x3 son básicas (cada una es la primera de una ecuación),

y las incógnitas x2 y x4 son libres. Despejamos las incógnitas básicas en

función de las libres; obtenemos:x1 = 4 − 2x2 ,

x3 = 1 − x4.

Así vemos que, dando valores numéricos concretos a x2 y x4, los valores

correpondientes de x1 y x3 obtenidos de las igualdades anteriores nos con-

figuran una solución del sistema. Por ejemplo, si x2 = 1 y x4 = 2, se obtiene

que x1 = 2 y x3 = −1, y la cuaterna (2, 1, −1, 2) es una solución del sistema.Finalmente, si —como es usual— sustituimos las letras de las incógnitas

libres por letras griegas —por ejemplo, x2 por λ y x4 por µ—, entoncesLetra griega µ (léase “mi”).

podemos concluir que todas las soluciones del sistema (44), y por tanto las

del (43), son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales que:

x1 = 4 − 2λ

x2 = λ

x3 = 1 − µ

x4 = µ,


o bien: tales soluciones son todas las cuaternas de la forma:

4 − 2λ, λ, 1 − µ, µ

, donde λ y µ son números cualesquiera.

94 La nomenclatura que hemos introducido en el § 90, con la que dis-Más sobre la distinción entre

incógnitas básicas e

incógnitas libres tinguimos entre incógnitas básicas e incógnitas libres, es aplicable también

a sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados. Lo que acon-

tece con estos sistemas es que no presentan incógnitas libres: todas son

básicas.

Dado un sistema de ecuaciones lineales con matriz

ampliada escalonada, acontece lo siguiente: si el sis-tema es compatible determinado, la matriz ampliada

no presenta ningún pivote en su última columna y tiene

tantos pivotes como incógnitas. ¿Por qué? Por un lado,

si hubiera un pivote en la última columna, el sistema

sería incompatible; por otro lado, no puede haber más

pivotes que incógnitas, y si hubiera menos, el sistema

sería compatible indeterminado. Si la matriz ampliadadel sistema, además de escalonada, es escalonada redu-

cida, al haber un pivote por incógnita resulta que cada

incógnita es la primera de alguna ecuación, es decir,

todas las incógnitas son básicas, y no hay incógnitas

libres.




Por otra parte, surge la pregunta de cuántas incógnitas libres (o paráme-tros) presenta finalmente en su solución un sistema de ecuaciones lineales.

La respuesta es esta: tantas como marca la diferencia entre el número de

incógnitas y el número de pivotes. Esta afirmación es válida para sistemas

tanto compatibles determinados como compatibles indeterminados (en el

primer caso, la citada diferencia es nula). Animamos al lector a comprobar

la afirmación particularmente en los sistemas de ecuaciones lineales com-

patibles indeterminados que hemos ido viendo en los últimas páginas.

2. Sistemas homogéneos

Este apartado está dedicado a un tipo particular de sistema de ecuacioneslineales: los sistemas homogéneos.

95 Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es un sistema en elSistemas homogéneos

cual el término independiente de cada ecuación es nulo.

Por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales homogé-

neo: x1 − 2x2 + x3 = 0

x1 − 2x3 = 0,(45)

pues sus dos términos independientes son nulos. En este sistema vemos alSi hacemos x1 = 0, x2 = 0y x3 = 0 en el sistema, obte-

nemos una igualdad de cadaecuación.

menos una solución obvia: la terna (0, 0, 0) (o terna nula ).

En general, un sistema homogéneo de n ecuaciones en las m incógni-

tas x1, x2, . . . , xm tiene esta forma:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0.

Es claro que tiene al menos una solución: la llamada solución nula, dada

por x1 = x2 = . . . = xm = 0; es decir, esta m-upla:

0, 0, . . . , 0 m ceros

.

Nótese también que la última columna de la matriz ampliada de un sis-

tema homogéneo es nula; en particular, no puede dar lugar a un pivote al

escalonar la matriz, lo que vuelve a confirmar que el sistema no es incompa-

tible: admite al menos una solución.




96 Como todo sistema homogéneo admite al menos una solución: laDiscusión de sistemas

homogéneos nula, la discusión de un sistema homogéneo se reduce a determinar si ad-

mite solamente esta solución nula (compatible determinado) o si admite más

soluciones (compatible indeterminado). Dado que la última columna de la

matriz ampliada de un sistema homogéneo no da lugar a ningún pivote, laRecordemos que esta última

columna es nula.

forma de determinar la clase de sistema se puede reducir a escalonar sola-

mente la matriz de coeficientes del sistema y contar sus pivotes: si tiene tan-

tos como incógnitas, el sistema es compatible determinado; si tiene menos

pivotes que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Los sistemas homogéneos, sin embargo, verifican esta propiedad:

Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más incógnitas queecuaciones, entonces es compatible indeterminado.

¿Por qué? Supongamos que ya tenemos una forma escalonada de la ma-

triz ampliada del sistema. Si hay más incógnitas que ecuaciones, entonces

hay más incógnitas en el sistema que filas en la forma escalonada (pues

hay tantas de estas como ecuaciones). Como en toda matriz escalonada el

número de pivotes es menor o igual que el de filas, en definitiva hay más

incógnitas en el sistema que pivotes en la forma escalonada de su matriz

ampliada, con lo que el sistema es compatible indeterminado.

Por ejemplo, el sistema homogéneo (45) tiene más incógnitas que ecua-

ciones, luego es compatible indeterminado.

97 De acuerdo con lo visto en el § 96, el sistema de ecuaciones linealesUn ejemplo de resolución de

un sistema homogéneo homogéneo (45) es compatible indeterminado. Pero, ¿cuáles son todas sus

soluciones?

En principio, los sistemas homogéneos compatibles indeterminados se

resuelven como hemos visto hasta ahora: de su matriz ampliada, se busca

la forma escalonada reducida, y se plantea el sistema que tiene esta forma

escalonada reducida como matriz ampliada. Pero puede haber una pequeña

salvedad en virtud de que se trata de un sistema homogéneo. La última

columna de la matriz ampliada es nula, y cualquier transformación elemen-

tal (por filas) que se le aplique seguirá dejando nula esta última columna; aComo decíamos en el § 96 pa-

ra la discusión de un sistema

homogéneo: solo la matriz de

coeficientes.

fin de no arrastrar una columna nula a cada cálculo, en la práctica es más

operativo escalonar solamente la matriz de coeficientes del sistema.

Con el sistema (45), empezamos escalonando su matriz de coeficientes:

A =

1 −2 11 0 −2

F 2←F 2−F 1 →

1 −2 10 2 −3

= A.




Como la matriz escalonada A tiene dos pivotes, menos que incógnitas tieneel sistema, se ve confirmado lo que ya sabemos: que se trata de un sistema

compatible indeterminado. Concluimos el cálculo de la forma escalonada

reducida de la matriz A a partir de esta forma escalonada A:

A =

1 −2 10 2 −3

F 2←(1/2)F 2 →

1 −2 10 1 −3/2

F 1←F 1+2F 2 →

1 0 −20 1 −3/2

= A.

Ahora, el sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es la matriz esca-

lonada reducida A es este:

¡Que no se nos olviden los tér-minos independientes nulos! x1 − 2x3 = 0

x2 − (3/2)x3 = 0.

En este sistema, las incógnitas x1 y x2 son básicas, y la incógnita x3 es libre;

despejamos aquellas en función de esta:

x1 = 2x3 y x2 = 32

x3.

Denotando la incógnita libre por λ, concluimos que todas las soluciones del

sistema homogéneo (45) son las ternas (x1, x2, x3) tales que:

x1 = 2λ,

x2 =

3

2λ,

x3 = λ,


o bien: todas las ternas de la forma:2λ,

32

λ, λ

, donde λ es un número cualquiera.

98 El siguiente sistema de ecuaciones lineales es homogéneo:Otro ejemplo 4x1 + 2x2 = 0

2x1 − 3x2 = 0.

Resolvámoslo.

Escalonamos su matriz de coeficientes:

A = 4 22 −3

F 2←F 2−(1/2)F 1 →4 2

0 −4 = A.

Como la matriz escalonada A exhibe dos pivotes, tantos como incógni-

tas tiene el sistema, deducimos que el sistema es compatible determinado.

Sin más cálculos, concluimos que su única solución es el par ordenado nu-

lo: (0, 0).




3. Resultados adicionales importantesEn este apartado probamos dos resultados que hemos citado a lo largo de

las páginas anteriores: todas las formas escalonadas de una misma matriz

tienen idéntico número de pivotes (y tienen estos en las mismas columnas),

y la unicidad de la forma escalonada reducida de una matriz.

Invarianza del número de pivotes al escalonar una matriz

99 Una matriz nula solamente tiene una forma escalonada: ella misma,Todas las formas escalonadas

de una matriz tienen el

mismo número de pivotes pero una matriz no nula admite infinitas formas escalonadas. Todas las

formas escalonadas de una matriz tienen el mismo número de pivotes, y en

todas ellas los pivotes están situados en las mismas columnas.

Consideremos una matriz A no nula (tiene, pues,

un término no nulo al menos).

En primer lugar , comprobamos este resultado: si

encontramos una forma escalonada de la matriz A con

un pivote en la última columna, entonces cualquier otra

forma escalonada de A tiene también un pivote en su

última columna.

Si la matriz A solo tiene una columna (es decir, es

de orden (n, 1) para algún número n), para escalonarla

procedemos así: se selecciona algún término no nulo

de la matriz (de su única columna), se lleva a la pri-

mera posición y se anulan los que están por debajo de

él; cualquier forma escalonada de A es, pues, de esta

forma: a

0...0

, para algún número a no nulo,

y podemos afirmar que todas estas formas escalona-

das tienen un pivote en su última columna. Suponga-

mos ahora que la matriz A tiene dos columnas o más,de forma que puede considerarse la matriz ampliada

de un sistema de ecuaciones lineales. Como hay una

forma escalonada de A con un pivote en su última co-

lumna, tal sistema es incompatible, y cualquier sistema

cuya matriz ampliada sea una forma escalonada de A

será también incompatible. No puede haber, pues, una

forma escalonada de la matriz A que no tenga un pivote

en su última columna (si la hubiera, el sistema con ma-

triz ampliada A sería compatible determinado o com-

patible indeterminado). Todas las formas escalonadas

de la matriz A presentan, pues, un pivote en su última

columna.

De acuerdo con lo probado, podemos afirmar lo si-

guiente: o bien todas las formas escalonadas de la ma-

triz A presentan un pivote en su última columna, o bien

no lo presenta ninguna.En segundo lugar , comprobamos este otro resul-

tado: fijada una columna de la matriz A, digamos la

j-ésima (con j un número natural entre 1 y el número

de columnas de A), si alguna forma escalonada de la

matriz A presenta un pivote en su columna j-ésima, en-

tonces cualquier otra forma escalonada de A presenta

también un pivote en su columna j-ésima.

Si la j -ésima columna es la última, estamos ante el

primer resultado (probado en los párrafos anteriores).

Si tal columna no es la última, podemos eliminar, tanto

de la forma escalonada citada en el enunciado como

de la propia matriz A, las últimas columnas de formaque la j-ésima quede como nueva última. La matriz

obtenida al quitar estas columnas en la forma escalo-

nada de A es, a su vez, una forma escalonada de la ma-

triz que queda al quitar tales columnas en la matriz A.

Aplicando el primer resultado, concluimos el segundo.

De esta forma, podemos afirmar lo siguiente: o bien




todas las formas escalonadas de la matriz A presentanun pivote en la columna j -ésima, o bien no lo presenta

ninguna.

Como cada columna de una matriz escalonada tiene

a lo más un pivote, podemos finalmente concluir quetodas las formas escalonadas de la matriz A tienen los

pivotes en las mismas columnas; en particular, todas

tienen el mismo número de pivotes.

Dada una matriz, todas sus formas escalonadas tienen el mismo número

de pivotes, y estos pivotes figuran en las mismas columnas.

Nota bene El resultado anterior también es verificado por una matriz nula.

Unicidad de la forma escalonada reducida

100 La forma escalonada reducida de una matriz es única. Es decir,La forma escalonada reducida

de una matriz es única solo hay una matriz escalonada reducida que pueda obtenerse a partir de la

matriz dada con la aplicación de transformaciones elementales sucesivas.

Consideremos una matriz no nula A de or-

den (n,m). Todas sus formas escalonadas (reducidas

o no) tienen la misma cantidad de pivotes (cf. § 99);

denotemos esta cantidad por r .

Si la cantidad de pivotes es igual a la de colum-

nas: r = m, cualquier posible forma escalonada redu-cida de la matriz A es una matriz de orden (n, m), es-

calonada reducida, y con m pivotes. De acuerdo con

el § 77 (cf. p. 78), una matriz de estas características

debe ser así: o bien es la matriz identidad de orden m,

o bien es la matriz resultante de “añadir filas nulas por

debajo” (tantas como señale la diferencia n−r ) a la ma-

triz identidad de orden m, y tenemos un caso u otro

según sea el número de pivotes igual al de filas (r = n)

o menor (r < n), respectivamente. En cualquiera de los

dos casos, la forma escalonada reducida de la matriz A

resulta ser única.

A partir de ahora, supongamos que el número depivotes es menor que el número de columnas: r < m.

Por comodidad, pongámonos también en el caso en el

que el número de pivotes es igual al de filas: r = n

(si r < n, el desarrollo sería el mismo, solo que con fi-

las nulas o ecuaciones nulas añadidas a las matrices o

a los sistemas, respectivamente, que consideramos).

Supondremos que la matriz A admite dos formas

escalonadas reducidas, que denotaremos B y D, y com-

probaremos que B = D.

Las matrices B y D tienen sus pivotes en las mis-

mas columnas; sin pérdida de generalidad podemos

suponer que ambas los tienen en las primeras colum-nas (si no es el caso, una reordenación adecuada de las

columnas —la misma para ambas matrices— sitúa los

pivotes donde queremos). De nuevo de acuerdo con el

§ 77 (cf. p. 78), la matriz B tiene esta forma:1 0 . . . 0 b1(r +1) . . . b1m

0 1 . . . 0 b2(r +1) . . . b2m

......

. . . ...

... . . .

...0 0 . . . 1 br (r +1) . . . br m

r

m − r

r = n ,

para algunos números bij (1 i r y r + 1 j m);

y la matriz D también tiene la misma forma, pero envez de los números bij tiene eventualmente otros, que

denotamos por dij (1 i r y r + 1 j m).

Ahora observamos que el sistema homogéneo con

matriz de coeficientes B es equivalente al sistema ho-

mogéneo con matriz de coeficientes D; toda solución,

pues, del primero debe serlo del segundo, y viceversa.




Tratemos de escalonarla con el procedimiento que conocemos:

A =

1 −1 22 a 1

F 2←F 2−2F 1 →

1 −1 20 a + 2 −3

= A.

La matriz obtenida: A, ¿es escalonada? Sí. ¿Qué pivotes tiene? Sabemos

que su primer pivote es igual a 1 y que figura en la primera columna. ¿Y un

segundo pivote? Lo hay, pero no sabemos si figura en la segunda columna

o en la tercera; ello dependerá del valor del parámetro a. La expresión a + 2

puede ser nula o no, según el valor de a. Si es no nula, entonces el segundo

pivote de la matriz está en la segunda columna (sería igual, justamente,

a a+

2); si es nula, está en la tercera columna (sería igual a−

3). Distingamos,

pues, ambos casos. Por un lado: a + 2 ≠ 0, es decir: a ≠ −2; por otro

lado: a + 2 = 0, esto es: a = −2.

Primer caso: a ≠ −2. La forma escalonada de la matriz A toma la forma:

En vez de: A, escribimos: A1.

Añadimos subíndices para se-

ñalar los distintos casos.

A1 =

1 −1 20 a + 2 −3

.

Esta matriz, forma escalonada de la matriz ampliada del sistema (46) para

este caso, no presenta un pivote en su última columna, y el número de sus

pivotes es igual al número de incógnitas del sistema. En este caso, pues, el

sistema (46) es compatible determinado.

Segundo caso: a = −2. La forma escalonada de la matriz A es ahora:

Un nuevo subíndice. A2 =

1 −1 20 0 −3

,

la cual presenta un pivote en su última columna. En este caso, entonces, el

sistema (46) es incompatible.

Una vez tenemos discutido el sistema en función de los valores del pa-

rámetro a, resolvámoslo. Para ello, solamente debemos seguir trabajando

en el primer caso —el de a ≠ −2—, pues el otro nos lleva a un sistema in-

compatible. Calculemos, pues, la forma escalonada reducida de la matriz

A

en el caso en que a ≠

−2. Seguimos el procedimiento general ya conocido,

y partimos de la forma escalonada recién calculada: A1. Primero hacemos

unitarios los pivotes; para ello solo debemos multiplicar la segunda fila por

el inverso de a + 2:

A1 =

1 −1 20 a + 2 −3

F 2←[1/(a+2)]F 2 →

1 −1

0 1

2

− 3a + 2

.




Y ahora anulamos el término que figura en la misma columna del segundopivote:

Otra vez añadimos un subíndi-

ce para señalar los casos; es-

cribimos: A1 , en vez de: A.

1 −1

0 1

2

− 3a + 2

F 1←F 1+F 2 →

1 0

0 1

2 − 3a + 2

− 3a + 2

= A1 .

La matriz A1 obtenida ya es ecalonada reducida. El sistema que la tiene por

matriz ampliada es este:

2 − 3

a + 2 = 2a + 1

a + 2

x = 2a + 1a + 2

y = − 3a + 2

,

y su solución única salta a la vista: el par ordenadoNótese que podemos leer esta

solución única en la última co-

lumna de la matriz A1 .

2a + 1a + 2

, − 3a + 2

.

Es esta la solución del sistema (46) en el caso en que a ≠ −2.

Resumimos lo obtenido tras el análisis del sistema de ecuaciones linea-

les (46):

• si a ≠ −2, el sistema es compatible determinado, y su única solución

es el par ordenado

2 − 3/(a + 2), −3/(a + 2)

;

• si a

= −2, el sistema es incompatible.

102 Discutamos y resolvamos, según los valores del parámetro a, esteOtro ejemplo con dos

incógnitas sistema de ecuaciones lineales: x − y = 2

2x + ay = 4.(47)

Escribimos la matriz ampliada del sistema:

A =

1 −1 22 a 4

,

y buscamos escalonarla:

A =1 −1 2

2 a 4

F 2←F 2−2F 1 →

1 −1 20 a + 2 0

= A.

La matriz A obtenida es escalonada, pero es ambiguo el número de sus

pivotes si no tenemos información sobre el valor del parámero a. Más en

concreto, sabemos que la matriz tiene un primer pivote —igual a 1, y en su




primera columna—, pero podría tener otro más —en su segunda columna—,o no tener ninguno más: todo según sea la expresión a + 2 distinta de 0 o

igual a 0, respectivamente.

Si a + 2 ≠ 0, es decir, si a ≠ −2, la matriz A toma la forma:

A1 =

1 −1 20 a + 2 0

.

Se trata de una matriz con dos pivotes, tantos como incógnitas, y ninguno

en la última columna: sistema compatible determinado.

Si a + 2 = 0, es decir, si a = −2, la matriz A resulta ser:

A2 = 1

−1 2

0 0 0 .

Estamos ante un único pivote que no figura en la última columna: sistema

compatible indeterminado.

La discusión del sistema (47) nos ha llevado, pues, a dos posibilidades:

compatible determinado o compatible indeterminado, según sea a ≠ −2

o a = −2, respectivamente. Para la resolución del sistema, en ambos casos

buscamos llegar a la forma escalonada reducida correspondiente.

En el primer caso: a ≠ −2, tenemos:

A

1 =

1 −1 20 a + 2 0

F 2←[1/(a+2)]F 2 →

1 −1 20 1 0

F 1←F 1+F 2 → 1 0 2

0 1 0 = A

1 ,

y podemos leer la solución única correspondiente en la última columna de

La matriz A1 es la matriz am-

pliada de:x = 2

y = 0. esta matriz A1 : el par ordenado (2, 0).

En el segundo caso: a = −2, la matriz escalonada A2 resulta ser ya es-

calonada reducida. En el sistema que la tiene como matriz ampliada, elimi-Podríamos escribir: A2 = A

2.

namos la ecuación nula (correspondiente a la segunda fila de la matriz), y

obtenemos un sistema con una sola ecuación: x − y = 2.

Este sistema presenta una incógnita básica: la x , y una incógnita libre: la y .La incógnita x es la primera dela única ecuación del sistema. Expresamos la primera en función de la segunda: x = 2 + y , y sustitui-

mos la segunda —por ser incógnita libre— por la letra griega λ. Todas las

soluciones del sistema son, pues, los pares ordenados (x,y) de la forma: x = 2 + λ,

y = λ,donde λ es un número cualquiera.




O lo que es lo mismo: las soluciones son todos los pares ordenados (2−λ, λ)

con λ un número cualquiera.

Recapitulamos el estudio del sistema de ecuaciones lineales (47):

• si a ≠ −2, el sistema es compatible determinado, y su única solución

es el par ordenado (2, 0);

• si a = −2, el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones

son los pares ordenados de la forma (2 − λ, λ) con λ un número cual-

quiera.

103 Discutamos, según los valores de los parámetros a y b, el siguienteUn ejemplo de discusión de

un sistema según el valor de

dos parámetrossistema de ecuaciones lineales:

x + az = b + 2

2x + y + 2az = 2b + 3

−2x − y = − 3.

(48)

Como siempre, escribimos la matriz ampliada del sistema y la intenta-

mos escalonar:

A =

1 0 a b + 22 1 2a 2b + 3

−2 −1 0 −3

F 2←F 2−2F 1

F 3←F 3+2F 1 →

1 0 a b + 20 1 0 −10 −1 2a 2b + 1

F 3←F 3+

F 2 →

1 0 a b + 2

0 1 0 −10 0 2a 2b

= A.

La matriz obtenida es escalonada y exhibe al menos dos pivotes —en las

dos primeras columnas—, pero queda ambigua la existencia de un tercero.

Según sean nulos o no los parámetros a y b, podría haber o no un tercer

pivote, y en caso afirmativo estar este pivote en la tercera columna o en la

cuarta. Más en concreto, si a ≠ 0, entonces figura un tercer pivote en la

tercera columna; si a = 0 y b ≠ 0, entonces encontramos el tercer pivote en

la cuarta columna; y si a = b = 0, no hay tal tercer pivote. Examinemos más

detenidamente cada caso.

Si a ≠ 0, la matriz A toma la forma:

A1 =

1 0 a b + 20 1 0 −10 0 2a 2b

,

con tantos pivotes como incógnitas y ninguno en la última columna: sistema

Nótese que, si a ≠ 0, el sis-

tema es compatible determi-

nado independientemente de

que b sea nulo o no. compatible determinado.




Si a = 0 y b ≠ 0, la matriz A queda así:

A2 =

1 0 0 b + 20 1 0 −10 0 0 2b

,

con un pivote en la última columna: sistema incompatible.

Finalmente, si a = b = 0, la matriz A resulta:

A3 =

1 0 0 20 1 0 −10 0 0 0

,

con menos pivotes que incógnitas, y ninguno en la última columna: sistemacompatible indeterminado.

104 En el § 103, hemos discutido el sistema de ecuaciones (48) segúnContinuación del ejemplo

anterior los valores de los parámetros a y b; ahora, resolvámoslo.

Si a ≠ 0, el sistema es compatible determinado; el cálculo de la forma

escalonada reducida de la matriz ampliada toma esta forma:

A1 =

1 0 a b + 20 1 0 −10 0 2a 2b

F 3←[1/(2a)]F 3 →

1 0 a b + 20 1 0 −10 0 1 b/a

F 1←F 1−aF 3 →1 0 0 2

0 1 0 −10 0 1 b/a

= A1 .

Leyendo la última columna de la matriz A1 , deducimos que la única solución

del sistema (48) en este caso es la terna (2, −1,b/a).

Si a = 0 y b ≠ 0, el sistema (48) es incompatible, y no hay nada más que

hacer.

Finalmente, si a = b = 0, el sistema es compatible indeterminado. La

matriz A3, forma escalonada de la matriz A en este caso, ya es escalonada

reducida. El sistema cuya matriz ampliada es la matriz A3 se reduce a estePodríamos escribir: A

3 = A3.

(eliminando la ecuación nula):Nótese que el sistema, con to-

dos los coeficientes explicita-dos, sería este:

x + 0y + 0z = 2

0x + y + 0z = −1

0x + 0y + 0z = 0.

x = 2

y = −1,

el cual debe ser considerado —no lo olvidemos— un sistema en las tres

incógnitas x , y y z . Las incógnitas x y y son básicas, y en este caso toman

un valor fijo; la incógnita z, aunque no figure, es libre. Haciendo uso de la




letra griega λ para designar la incógnita libre, podemos escribir que todaslas soluciones del sistema son las ternas (x,y, z) tales que:

x = 2 ,

y = −1 ,

z = λ,


es decir: las ternas de la forma (2, −1, λ) con λ un número cualquiera.

Recapitulamos la discusión y resolución del sistema de ecuaciones linea-

les (48):

• si a ≠ 0, el sistema es compatible determinado, y su única solución es

la terna (2, −1,b/a);

• si a = 0 y b ≠ 0, el sistema es incompatible;• si a = b = 0, el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones

son las ternas de la forma (2, −1, λ) con λ un número cualquiera.

105 Discutamos y resolvamos, según los valores de los parámetros a, bEjemplo de un sistema en el

que figuran tres parámetros y c , el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2x1 − 3x3 + x4 = a

x2 − 6x3 + 2x4 = b

4x1 − x2 = c.

(49)

Empezamos escalonando la matriz ampliada del sistema:

A = 2 0 −3 1 a0 1 −6 2 b

4 −1 0 0 c

F 3←F 3−2F 1 →2 0 −3 1 a0 1 −6 2 b

0 −1 6 −2 c − 2a

F 3←F 3+F 2 →

2 0 −3 1 a

0 1 −6 2 b

0 0 0 0 c − 2a + b

= A.

La matriz escalonada A exhibe al menos dos pivotes, y en sus dos primeras

columnas. Si c − 2a + b ≠ 0, hay un tercer pivote, justamente en la última

columna: el sistema es incompatible en este caso. Si c − 2a + b = 0, no hay

más pivotes, y el sistema resulta ser compatible indeterminado (dos pivotes

frente a cuatro incógnitas).

Resolvamos ahora el sistema en el caso en que hay solución, esto es, en

el caso en que c − 2a + b = 0. La forma escalonada reducida de la matriz Atoma la forma:2 0 −3 1 a

0 1 −6 2 b

0 0 0 0 0

F 1←(1/2)F 1 →

1 0 −3/2 1/2 a/20 1 −6 2 b

0 0 0 0 0

.




En el sistema cuya matriz ampliada es la matriz escalonada reducida ante-rior, eliminamos la tercera ecuación (que es nula), y obtenemos:

x1 − 32

x3 + 12

x4 = a

2

x2 − 6x3 + 2x4 = b .

Las incógnitas x1 y x2 son básicas, y las incógnitas x3 y x4 son libres. Despe-

jando aquellas en función de estas, y escribiendo las letras griegas λ y µ en

vez de x3 y x4, respectivamente, podemos concluir que todas las soluciones

del sistema son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales que:

x1 =a

2 +32 λ −

12 µ,

x2 = b + 6λ − 2µ,

x3 = λ ,

x4 = µ,


o bien: todas las soluciones del sistema son las cuaternas de la forma:a

2 + 3

2λ − 1

2µ, b + 6λ − 2µ, λ, µ

, con λ y µ números cualesquiera.

Resumamos el estudio del sistema de ecuaciones lineales (49):Sobre este sistema podemos

afirmar que una condición ne-

cesaria y suficiente (cf. notap. 164) para que admita solu-

ción es: c − 2a + b = 0.

• si c

−2a

+b ≠ 0, el sistema es incompatible;

• si c − 2a + b = 0, el sistema es compatible indeterminado, y sus solu-ciones son todas las cuaternas (a/2 + (3/2)λ − µ/2, b + 6λ − 2µ,λ,µ)

con λ y µ números cualesquiera.




Ejercicios I.31 Resolver este sistema de ecuaciones lineales:

x + y + z = 1

2y − z = 2

x − 3y + 3z = −3.

2 Resolver el sistema de ecuaciones lineales

x1 + x2 − x3 − 2x4 = −1

2x1 − x2 + 2x3 = 4

3x1 + x3 − 2x4 = 3.

3 Resolver el sistema de ecuaciones lineales homo-

géneo cuya matriz de coeficientes es 1 0 1 −1−1 2 1 3

0 1 1 1

.

4 Resolver el sistema de ecuaciones lineales cuya

matriz ampliada es

1 1 0 20 1 1 21 0 1 −11 1 2 2

.

5 Nos dan el siguiente sistema de ecuaciones linea-

les, en el que figuran tres parámetros, a, b y c :x − 3y = a

2x + y = b

3x − 2y = c.

a) ¿Para qué valores de los parámetros a , b y c ad-

mite solución?

b) Resolver el sistema cuando los parámetros a, b

y c son tales que el sistema es compatible determinado.

6 Discutir y resolver, según los valores de los pará-metros a y m, este sistema de ecuaciones lineales: x − y = 2

2x + ay = m.

7 Discutir y resolver, según los valores del paráme-

tro p, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x1 − x2 + x3 = 1

x2 + x3 + x4 = 1

2x1 − 2x2 + px3 = 2.

8 Discutir y resolver, según los valores de los pa-

rámetros a, b y c, el siguiente sistema de ecuaciones

lineales:

x1 + x2 + x4 = a

x2 − x3 − x4 = b

−x1 + x2 − x3 = c.

9 Discutir y resolver, según los valores de los pa-

rámetros a, b, r y s , el sistema de ecuaciones lineales

cuya matriz ampliada es

1 a r

b 1 s

.

10 Discutir y resolver, según los valores de los pará-

metros p y m, el siguiente sistema de ecuaciones linea-

les: x1 + x3 = 2 − p

x1 + mx2 + x3 = p2

x1 + (m + 2)x3 = 2.

11 Siendo a un parámetro, nos dan la matriz:

1 1 −1 32 0 5 −10 2 a 7

.

Si esta matriz es la de coeficientes de cierto sistema de

ecuaciones lineales, ¿para qué valores del parámtro a

podemos afirmar que tal sistema admite solución cua-

lesquiera que sean sus términos independientes?




RECAPITULACIÓN IEcuaciones lineales Una ecuación lineal en

las m incógnitas (o variables) x1, x2, . . ., xm es una

expresión de la forma:

a1x1 + a2x2 + · · · + amxm = c, (i )

donde a1, a2, . . ., am son números reales, que se llaman

coeficientes de la ecuación, y c es otro número real,

que se llama término independiente de la ecuación.

Dada una m-upla (s1, s2, . . . , sm) de números, se

dice que es una solución de la ecuación lineal (i ) si al

sustituir, en la ecuación, x1 por s1, x2 por s2 , . . . , xm

por sm, se obtiene una igualdad. Es decir, si se verifica:

a1s1 + a2s2 + · · · + amsm = c.

Las ecuaciones lineales se pueden multiplicar por

un número (decimos en este caso que hemos calculado

un múltiplo de la ecuación lineal) y se pueden sumar

miembro a miembro. Si sumamos a una ecuación li-

neal un múltiplo de otra, cualquier solución común a

las dos ecuaciones originales también será solución de

la ecuación lineal obtenida como resultado.

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de

ecuaciones lineales es una lista (finita) de ecuaciones

lineales consideradas simultáneamente, todas en las

mismas incógnitas. La expresión general de un sis-

tema de n ecuaciones lineales en las m incógnitas x1 ,

x2, . . ., xm es:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = c1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = cn.

(ii )

Se llama solución de un sistema de n ecuaciones li-

neales y m incógnitas a toda m-upla que sea solución,

simultáneamente, de todas y cada una de las n ecua-

ciones lineales del sistema.

Si un sistema de ecuaciones lineales admite solu-

ción única, se dice que es compatible determinado; si

admite infinitas soluciones, se dice que es compatible

indeterminado; y si no admite solución, se dice que es

incompatible.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, o bien es

compatible determinado, o bien es compatible indeter-

minafo, o bien es incompatible.

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalen-

tes si tienen las mismas soluciones; si dos sistemas en

las mismas incógnitas no admiten solución, también di-

remos que ambos son equivalentes.Si en un sistema de ecuaciones lineales intercam-

biamos dos ecuaciones, o multiplicamos una ecuación

por un número no nulo, o sumamos a una ecuación un

múltiplo de otra, obtenemos un sistema equivalente al

original.

Representación matricial de un sistema de ecuacio-

nes lineales Una matriz de orden (n,m) (o de

orden n × m) es una disposición de n · m números

(reales) en forma rectangular en n filas y m columnas.

Los números que se escriben en una matriz se denomi-

nan términos de la matriz.

Se denomina matriz de coeficientes, o matriz aso-

ciada, del sistema de ecuaciones lineales (ii ) a esta ma-

triz de orden (n,m):a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . . ...

an1 an2 . . . anm

.

Los términos de la i-ésima fila son los coeficientes de

la i-ésima ecuación del sistema, y los términos de la j -

ésima columna son los coeficientes que acompañan a la

j-ésima incógnita en las ecuaciones del sistema.

Se denomina matriz ampliada del sistema de ecua-

ciones lineales (ii ) a esta matriz de orden (n,m + 1):a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . . ...

an1 an2 . . . anm

c1

c2

...cn

.



RECAPITULACIÓN I 111

Esta matriz se diferencia de la de coeficientes en quetiene una columna más, cuyos términos son los térmi-

nos independientes del sistema.

Se denominan transformaciones elementales por

filas de una matriz, de tipo i , ii y iii, respectivamente,

a estos tres tipos de transformaciones que se ejecutan

en matrices:

• intercambiar dos filas;



Estas transformaciones son un correlato, en las ma-

trices ampliadas, de las operaciones en los sistemas

de intercambio de ecuaciones, multiplicación de una

ecuación por un número no nulo y suma a una ecuación

de un múltiplo de otra, respectivamente.

Si a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones

lineales se le aplica una transformación elemental, la

matriz resultante es la matriz ampliada de un sistema

de ecuaciones lineales equivalente al original.

En una matriz, una fila nula es una fila con todos

sus términos nulos. Una matriz nula es una matriz con

todos sus términos nulos. Dado un número natural k,

se dice que una fila no nula de una matriz tiene k ceros

iniciales si los k primeros términos de la fila son nulos

y el (k + 1)-ésimo no lo es.

Una matriz escalonada es una matriz que satisface

esta condición: o bien es nula, o bien sus filas no nulas

son las primeras, y cada una de ellas salvo la primera

tiene más ceros iniciales que su precedente.

En una matriz escalonada, se llama pivote al pri-

mer término no nulo de cada fila. En cualquier matriz,

el número de pivotes es menor o igual que el número

de filas y menor o igual que el número de columnas.

Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a

partir de ella, mediante la aplicación de transformacio-

nes elementales sucesivas, una matriz escalonada; de lamatriz obtenida se dice que es una forma escalonada

de la matriz dada; también se dice que se ha escalona-

do la matriz original.

Cualquier matriz no nula admite infinitas formas

escalonadas (una matriz nula solo admite una: ella

misma).

Una matriz escalonada reducida es una matriz es-calonada que satisface además estas dos condiciones:

todos sus pivotes (si los tiene) son iguales a 1 (son uni-

tarios ), y en toda columna donde hay un pivote es este

el único término no nulo.

Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a

partir de ella, mediante la aplicación de transformacio-

nes elementales sucesivas, una matriz escalonada re-

ducida, de la que se dice que es la forma escalonada

reducida de la matriz original. La forma escalonada

reducida de una matriz es única.

Dada una matriz escalonada reducida de or-

den (n, m), con r pivotes, si suponemos que estosocupan las r primeras columnas (posiblemente tras la

aplicación de intercambios de columnas adecuados), la

matriz tiene esta forma:

1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...

... . . .

......

. . . ...

0 0 . . . 1 • . . . •0 0 . . . 0 0 . . . 0...

... . . .

......

. . . ...

0 0 . . . 0 0 . . . 0

r

n − r

r

m − r

.

Las puntos: ‘•’, señalan posiciones que pueden ser ocu-

padas por cualquier número, nulo o no, y esta matriz

tiene tantas columnas con términos de este tipo como

señala la diferencia m−r . También, la matriz tiene tan-

tas filas como indica la diferencia n −r . En esta matriz,

puede ocurrir que m − r = 0 o que n − r = 0 (o ambas

igualdades a la vez).

Un método para discutir y resolver un sistema de

ecuaciones lineales Por discutir un sistema de

ecuaciones lineales nos referimos a determinar de qué

tipo es: incompatible, compatible determinado o com-

patible indeterminado. Por resolver un sistema nos

referimos a encontrar efectivamente todas sus solu-

ciones (cuando las admite).

Dado un sistema de ecuaciones lineales (con n

ecuaciones y m incógnitas), designemos por A su ma-




triz de coeficientes y por A su matriz ampliada, y deno-temos por A una forma escalonada (no necesariamente

reducida) de la matriz A. Hay tres posibilidades:

• la matriz A presenta un pivote en su última co-

lumna: sistema incompatible;

• la matriz A no presenta un pivote en su última

columna y la cantidad de sus pivotes coincide con

la cantidad de incógnitas del sistema: sistema

compatible determinado;

• la matriz A no presenta un pivote en su última

columna y la cantidad de sus pivotes es menor

que la cantidad de incógnitas del sistema: sis-

tema compatible indeterminado. Un sistema del cual sabemos que admite solución

puede resolverse de alguna de estas dos formas:

• Una . Se escribe el sistema cuya matriz ampliada

es una forma escalonada de la matriz ampliada

del sistema; este nuevo sistema es equivalente al

original y se puede resolver por sustitución hacia

atrás (se resuelve la última ecuación y el resul-

tado se sustituye en las demás, se resuelve a con-

tinuación la penúltima y se sustituye de nuevo el

resultado en las restantes, y así sucesivamente).

• Dos . Se escribe el sistema cuya matriz anpliada

es la forma escalonada reducida de la matriz am-pliada del sistema; este nuevo sistema también

es equivalente al original, y su resolución es in-

mediata (véase el párrafo siguiente).

En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz

ampliada es escalonada reducida, las incógnitas que fi-

guran en primer lugar en alguna ecuación se denomi-

nan incógnitas básicas (o incógnitas principales); las

número de incógnitas y el número de pivotes (ello tam- biuén es válido para sistemas compatibles determina-

dos: para tales sistemas, la citada diferencia es nula).

Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones

lineales homogéneo es un sistema en el que es nulo el

término independiente de cada ecuación. En general,

un sistema homogéneo de n ecuaciones en las m in-

cógnitas x1, x2, . . . , xm tiene esta forma:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0.

Cualquier sistema homogéneo tiene al menos la

solución nula, dada por x1 = x2 = . . . = xm = 0; es

decir, esta m-upla:

0, 0, . . . , 0 m ceros

.

La discusión de un sistema homogéneo se reduce a

determinar si admite solamente la solución nula (com-

patible determinado) o si admite más soluciones (com-

patible indeterminado). Para ello, basta escalonar so-

lamente la matriz de coeficientes del sistema y contar

sus pivotes: si tiene tantos como incógnitas, el sistema

es compatible determinado; si tiene menos pivotes que

incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo

tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces es com-

patible indeterminado.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones li-

neales en los que figuran parámetros Conside-

ade uned matemáticas i, cap i

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