funciones reales
TRANSCRIPT
Funciones reales. Ejercicios y problemas
1Calcu lar e l domin io de las func iones po l inómicas :
1
2
2Calcu lar e l domin io de las func iones rac iona les :
1
2
3
4
5
3Calcu lar e l domin io de las func iones rad ica les :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4Calcu lar e l domin io de las func iones exponenc ia les :
1
2
5Calcu lar e l domin io de las func iones logar í tmicas :
1
2
6Calcu lar e l domin io de las func iones t r igonométr icas :
1
2
7Estud ia la s imetr ía de las s igu ientes func iones :
1 f(x) = x 6 + x 4 - x 2
2 f(x) = x 5+ x 3 - x
3 f(x)= x |x|
4 f(x) = |x| − 1
8Estud ia e l c rec imiento o decrec imiento de las s igu ientes
func iones en los puntos que se ind ican:
1 f(x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1
2
9Hal lar las func iones inversas de:
1
2
4
10Dadas las func iones :
Calcular:
1
2
3
4
5
6
7Probar que:
11Dadas las func iones :
Calcular:
1
2
Concepto función antes del naterios
Dados dos con juntos A y B , l lamamos función a la
correspondencia de A en B en la cua l todos los elementos de
A t ienen a lo sumo una imagen en B , es dec i r una imagen o
n inguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f
que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto
de números reales, l lamado dominio, otro número real .
f : D
x f (x) = y
El subconjunto en e l que se def ine la func ión se l lama
dominio o campo existencia de la función . Se des igna por D.
E l número x per tenec iente a l dominio de la func ión rec ibe e l
nombre de variable independiente .
Al número, y, asociado por f a l valor x, se le l lama
variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x) .
Luego
y= f(x)
Se denomina recorr ido de una func ión a l conjunto de los
valores reales que toma la variable y o f(x) .
x
Conjunto inicial Conjunto f inal
Dominio Conjunto imagen o recorr ido
El dominio es el conjunto de elementos que t ienen
imagen.
D = {x / f (x)}
El recorr ido es el conjunto de elementos que son
imágenes.
R = {f (x) / x D}
Dominio función
El dominio es el conjunto de elementos que t ienen
imagen.
D = {x / f (x)}
Conjunto inicial Conjunto f inal
Dominio Conjunto imagen o recorr ido
Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R , cua lqu ier número rea l t iene imagen.
f (x )= x 2 - 5x + 6 D=R
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al
denominador (no puede ex is t i r un número cuyo denominador sea
cero) .
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irrracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Si re l i zamos operac iones con func iones , e l domin io de la
func ión resu l tante será :
Grafica fnciones
Si f es una func ión rea l , a cada par (x, y) = (x , f (x ) )
determinado por la func ión f le corresponde en e l p lano
car tes iano un único punto P(x, y) = P(x , f (x ) ) . E l va lor de x debe
pertenecer a l domin io de def in ic ión de la func ión.
Como e l con junto de puntos pertenec ientes a la func ión es
i l imi tado, se d isponen en una tab la de va lores a lgunos de los
pares correspondientes a puntos de la func ión. Estos va lores ,
l levados sobre e l p lano car tes iano, determinan puntos de la
gráf ica . Un iendo estos puntos con l ínea cont inua se obt iene la
representación gráf ica de la función .
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 4 6 8 10
Grafo de una función
Grafo de una función es el conjunto de pares formados
por los valores de la variable y sus imágenes
correspondientes.
G(f) = {x, f (x) /x D(f)}
Sistema de coordenadas cartesianas
Un s is tema de coordenadas car tes ianas es un par de rectas
graduadas , perpendicu lares , que se cor tan en un punto O(0,0) ,
l lamado origen de coordenadas . A la recta hor izonta l se l lama
eje de abscisas , y a su perpendicu lar por O, eje de ordenadas .
Se puede representar una func ión en e l p lano hac iendo
corresponder a cada par de l gra fo un punto determinado,
marcando en e l e je de absc isas e l va lor de su var iab le y en e l de
ordenadas , su correspondiente imagen
Comosicon 2 funcionmes
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el
dominio de la 2ª esté incluido en el recorr ido de la 1ª, se
puede def inir una nueva función que asocie a cada elemento
del dominio de f(x) el valor de g[f(x)] .
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f ) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Dominio
D ( g o f ) = {x D f / f (x) D g}
Propiedades
Asoc iat iva :
f o (g o h) = (f o g) o h
No es conmutat iva .
f o g ≠ g o f
El e lemento neutro es la función identidad , i (x) = x .
f o i = i o f = f
Sean las func iones :
Func ión inversa
Se l lama función inversa o reciproca de f a otra función
f− 1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f− 1(b) = a.
Podemos observar que:
E l domin io de f− 1 es e l recorr ido de f .
E l recorr ido de f− 1 es e l domin io de f .
S i queremos ha l lar e l recorr ido de una func ión tenemos que
ha l lar e l domin io de su func ión inversa .
S i dos funciones son inversas su composición es la
función identidad .
f o f - 1 = f - 1 o f = x
Las gráf icas de f y f - 1 son s imétr icas respecto de la b isect r i z
de l pr imer y tercer cuadrante .
Hay que d is t ingu i r entre la función inversa , f− 1 (x ) , y la
inversa de una función , .
Cálculo de la función inversa
1Se escr ibe la ecuac ión de la func ión con x e y .
2Se despeja la var iab le x en func ión de la var iab le y .
3Se intercambian las var iab les .
Ca lcu lar la función inversa de:
Vamos a comprobar e l resu l tado para x = 2
Estud io func ión
En este tema para rea l i zar e l estud io de una func ión
ana l i zaremos los s igu ientes puntos :
Crecimiento y decrecimiento .
Cotas .
Máximos y mínimos absolutos y relat ivos .
Simetría .
Periodic idad .
En ot ro tema veremos estos puntos ba jo ot ra ópt ica y ot ros
puntos como:
Puntos de corte con los ejes .
Asíntotas .
Intervalos de crecimiento y decrecimiento .
Extremos relat ivos o locales .
Puntos de inf lexión .
Concavidad y convexidad .
Crec imiento y decrec imiento
Tasa de variación
El incremento de una func ión se l lama tasa de var iac ión , y
mide e l cambio de la func ión a l pasar de un punto a ot ro .
t .v.= f(x+h) - f (x)
Función estrictamente creciente
f es estr ictamente creciente en a s i sólo s i existe un
entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno
de a se cumple:
La tasa de var iac ión es pos i t iva .
Función creciente
f es creciente en a s i sólo s i existe un entorno de a, tal
que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de var iac ión es pos i t iva o igua l a cero .
Función estrictamente decreciente
f es estr ictamente decreciente en a s i sólo s i existe un
entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno
de a se cumple:
La tasa de var iac ión es negat iva .
Función decreciente
f es decreciente en a s i sólo s i existe un entorno de a,
tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se
cumple:
Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente s i existe un
número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se l lama cota superior.
k=0.135
Función acotada inferiormente
Una func ión f está acotada in fer iormente s i ex is te un número
rea l k ′ ta l que para toda x es f (x ) ≥ k ′ .
El número k ′ se l lama cota infer ior.
k ′ = 2
Función acotada
Una func ión esta acotada s i lo está a super ior e
in fer iormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k
k = ½ k ′ = -½
La tasa de var iac ión es negat iva o igua l a cero .
Funciones acotadas
M,aximo y minimo absoluto
Máximo absoluto
Una función t iene su máximo absoluto en el x = a s i la
ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del
dominio de la función.
a = 0
Mínimo absoluto
Una func ión t iene su mín imo abso luto en e l x = b s i la
ordenada es menor o igua l que en cua lqu ier ot ro punto de l
domin io de la func ión.
b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una func ión f t iene un máximo re lat ivo en e l punto a , s i f (a )
es mayor o igua l que los puntos próx imos a l punto a .
Una func ión f t iene un mín imo re lat ivo en e l punto b , s i f (b )
es menor o igua l que los puntos próx imos a l punto b .
a = 3 .08 b = -3 .08
funcionessimetricas
Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par
Una func ión f es s imétr ica respecto de l e je de ordenadas
cuando para todo x de l domin io se ver i f i ca :
f(−x) = f(x)
Las funciones s imétr icas respecto del eje de ordenadas
reciben el nombre de funciones pares.
Simetría respecto al origen. Función impar
Una func ión f es s imétr ica respecto a l or igen cuando para
todo x de l domin io se ver i f i ca :
f(−x) = −f(x)
Las funciones s imétr icas respecto al or igen reciben el
nombre de funciones impares.
Función periodica
Una func ión f (x ) es per iód ica , de per íodo T , s i para todo
número entero z , se ver i f i ca :
f(x) = f(x + zT)
La func ión f (x ) = sen x es per iód ica de per iodo 2π, ya que
cumple que:
sen (x + 2π) = sen x
La func ión f (x ) = tg x es per iód ica de per iodo π , ya que
cumple que:
tg (x + π) = tg x
La función mantisa, f (x) = x - E(x), es periódica de
periodo 1.
Si tenemos una func ión per iód ica f(x) de periodo T , la
func ión g(x) = f(kx) t iene de periodo :
Hal lar e l per iodo de las func iones :
1 f(x) = sen 2x
2 f(x) = tg (1/2)x
3 f(x) = E (1/2)x
Funciones reales
Concepto de función
Función real de variable real es toda correspondencia f
que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto
de números reales, l lamado dominio, otro número real .
f : D
x f (x) = y
El subconjunto en e l que se def ine la func ión se l lama
dominio o campo existencia de la función . Se des igna por D.
E l número x per tenec iente a l dominio de la func ión rec ibe e l
nombre de variable independiente .
Al número, y, asociado por f a l valor x, se le l lama
variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x) .
Luego
y= f(x)
Se denomina recorr ido de una func ión a l conjunto de los
valores reales que toma la variable y o f(x) .
Estudio del Dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R , cua lqu ier número rea l t iene imagen.
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al
denominador (no puede ex is t i r un número cuyo denominador sea
cero) .
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Gráfica de funciones
Si f es una func ión rea l , a cada par (x, y) = (x , f (x ) )
determinado por la func ión f le corresponde en e l p lano
car tes iano un único punto P(x, y) = P(x , f (x ) ) . E l va lor de x debe
pertenecer a l domin io de def in ic ión de la func ión.
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el
dominio de la 2ª esté incluido en el recorr ido de la 1ª, se
puede def inir una nueva función que asocie a cada elemento
del dominio de f(x) el valor de g[f(x)] .
f o i = i o f = f
Función inversa o recíproca
Se l lama función inversa o reciproca de f a otra función
f− 1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f− 1(b) = a.
f o f - 1 = f - 1 o f = x
Cálculo de la función inversa
1Se escr ibe la ecuac ión de la func ión en x e y .
3Se intercambian las var iab les .
2Se despeja la var iab le x en func ión de la var iab le y .
Tasa de variación
El incremento de una func ión se l lama tasa de var iac ión , y
mide e l cambio de la func ión a l pasar de un punto a ot ro .
t .v.= f(x+h) - f (x)
Función estrictamente creciente
f es estr ictamente creciente en a s i sólo s i existe un
entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno
de a se cumple:
La tasa de var iac ión es pos i t iva .
Función creciente
f es creciente en a s i sólo s i existe un entorno de a, tal
que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de var iac ión es pos i t iva o igua l a cero .
Función estrictamente decreciente
f es estr ictamente decreciente en a s i sólo s i existe un
entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno
de a se cumple:
La tasa de var iac ión es negat iva .
Función decreciente
f es decreciente en a s i sólo s i existe un entorno de a,
tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se
cumple:
La tasa de var iac ión es negat iva o igua l a cero .
Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente s i existe un
número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se l lama cota superior.
Función acotada inferiormente
Una func ión f está acotada in fer iormente s i ex is te un número
rea l k ′ ta l que para toda x es f (x ) ≥ k ′ .
El número k ′ se l lama cota infer ior.
Función acotada
Una func ión esta acotada s i lo está a super ior e
in fer iormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k
Máximo absoluto
Una función t iene su máximo absoluto en el x = a s i la
ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del
dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una func ión t iene su mín imo abso luto en e l x = b s i la
ordenada es menor o igua l que en cua lqu ier ot ro punto de l
domin io de la func ión.
Máximo y mínimo relativo
Una func ión f t iene un máximo re lat ivo en e l punto a s i f (a )
es mayor o igua l que los puntos próx imos a l punto a .
Una func ión f t iene un mín imo re lat ivo en e l punto b s i f (b )
es menor o igua l que los puntos próx imos a l punto b .
Simetría respecto del eje de ordenadas
Una func ión f es s imétr ica respecto de l e je de ordenadas
cuando para todo x de l domin io se ver i f i ca :
f( -x) = f(x)
Las funciones s imétr icas respecto del eje de ordenadas
reciben el nombre de funciones pares.
Simetría respecto al origen
Una func ión f es s imétr ica respecto a l or igen cuando para
todo x de l domin io se ver i f i ca :
f( -x) = -f(x)
Las funciones s imétr icas respecto al or igen reciben el
nombre de funciones impares.
Funciones periódicas
Una func ión f (x ) es per iód ica , de per íodo T , s i para todo
número entero z , se ver i f i ca :
f(x) = f(x + z T)
Si tenenos una func ión per iód ica f(x) de periodo T , la
func ión g(x) = f(kx) t iene de periodo :
Ejercicios2
Funciones reales. Ejercicios
1Calcu lar e l domin io de las func iones :
1
2
2Estud ia la s imetr ía de las s igu ientes func iones :
1
2
3Estud ia e l c rec imiento o decrec imiento de las s igu ientes
func iones en los puntos que se ind ican:
1 f(x) = |x| en x = -2
2
4Hal lar la func ión inversa de:
5Dadas las func iones :
Ca lcu lar :
1
2
3
4
5Probar que :